Markowitz Portfolio Theory

Portföljteori Markowitz ( engelsk medelvariansanalys - ett tillvägagångssätt baserat på analys av förväntade medelvärden och variationer av slumpvariabler ) - utvecklad av Harry Markowitz , en metodik för att bilda en investeringsportfölj , som syftar till det optimala valet av tillgångar, baserat på erforderligt förhållande mellan avkastning / risk . De idéer han formulerade på 1950 -talet utgör grunden för modern portföljteori [1] [2] .

Origins

De viktigaste bestämmelserna i portföljteorin formulerades av Harry Markowitz när han förberedde sin doktorsavhandling 1950-1951 .

Markowitz portföljteorins födelse anses vara artikeln "Portfolio Choice" publicerad i Financial Journal 1952 [3] . I den föreslog han först en matematisk modell för bildandet av en optimal portfölj och gav metoder för att konstruera portföljer under vissa förhållanden [4] . Markowitz främsta förtjänst var att föreslå en probabilistisk formalisering av begreppen "lönsamhet" och "risk", vilket gjorde det möjligt att översätta problemet med att välja den optimala portföljen till ett formellt matematiskt språk [5] . Det bör noteras att under åren av skapandet av teorin arbetade Markowitz på RAND Corp. , tillsammans med en av grundarna av linjär och icke-linjär optimering - George Dantzig och han själv deltog i att lösa dessa problem. Därför passade hans egen teori, efter den nödvändiga formaliseringen, väl in i den angivna riktningen.

Markowitz förbättrar ständigt sin teori och 1959 publicerade han den första monografin som ägnas åt den, Portfolio Selection: Effective Diversification of Investments [6] .

1990 , när Markowitz tilldelades Nobelpriset, publicerades boken "Mean-variance analysis in portfolio selection and the capital market" [ 7] .

Beskrivning av teorin

Efter formaliseringen utförd av Markowitz, ur en matematisk synvinkel, var problemet med att bilda en optimal portfölj ett kvadratiskt optimeringsproblem under linjära begränsningar [5] . Denna klass av problem är en av de mest studerade klasserna av optimeringsproblem för vilka det finns ett stort antal effektiva algoritmer [8] .

För att bygga upp utrymmet för möjliga portföljer föreslog Markowitz att använda tillgångsklassen, vektorn för deras genomsnittliga förväntade avkastning och kovariansmatrisen [5] .

Baserat på dessa data byggs en uppsättning möjliga portföljer upp med olika risk-avkastningskvoter [5] .

Eftersom analysen baseras på två kriterier väljer förvaltaren portföljer [5] :

Antingen genom att söka efter effektiva eller icke-förbättringsbara lösningar. I det här fallet kommer alla andra lösningar som är bättre än de som finns i en parameter nödvändigtvis att vara sämre i en annan.
Eller att välja huvudkriteriet (till exempel bör lönsamheten inte vara lägre än ett visst värde), med resten endast som kriteriebegränsningar.
Eller genom att sätta några superkriterier, som är en överlagring av de två ovanstående (till exempel deras funktion).

Matematisk formulering och problemlösning

Minimal risk Markowitz portfölj

Uppgiften att optimera en portfölj av tillgångar med medelavkastningsvektorn genom kovariansmatrisen kan formuleras enligt följande $r$ $V$

${\begin{cases}\sigma _{p}^{2}=d^{T}Vd\rightarrow \min \\d^{T}r=r_{p}\\d^{T}e=1 \\\end{case}}$

Till dessa förhållanden i problemet med optimering av tillgångsportföljen bör man lägga till att portföljens (aktierna) tillstånd är positivt. I det allmänna fallet med finansiella instrument antas dock möjligheten att öppna korta positioner (negativa andelar av instrument i portföljen). Sedan kan vi hitta en generell analytisk lösning på problemet. Om vi utser

$A={\begin{pmatrix}r^{T}\\e^{T}\\\end{pmatrix}}V^{{-1}}(r,e)={\begin{pmatrix}r^ {T}V^{{-1}}r&r^{T}V^{{-1}}e\\e^{T}V^{{-1}}r&e^{T}V^{{- 1}}e\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{{11}}&a_{{12}}\\a_{{21}}&a_{{22}}\\\end{ pmatrix}}$

då har lösningen på problemet formen

$d^{*}=V^{{-1}}(r,e)A^{{-1}}{\begin{pmatrix}r_{p}\\1\\\end{pmatrix}}$

Då kommer beroendet av variansen för den optimerade (effektiva) portföljen på avkastningskravet att ha formen

$\sigma _{p}^{2}=(r_{p},1)A^{{-1}}{\begin{pmatrix}r_{p}\\1\end{pmatrix}}={\frac {a_{{22}}r_{p}^{2}-2a_{{12}}r_{p}+a_{{11}}}{a_{{11}}a_{{22}}-a_{ {12}}^{2}}}=\sigma _{0}^{2}{\frac {(r_{p}-r_{0})^{2}}{r_{0}(r_{1 }-r_{0})}}+\sigma _{0}^{2}$

var är minsta möjliga portföljavkastningsspridning och motsvarande genomsnittliga avkastning $\sigma _{0}^{2}=1/a_{{22}},r_{0}=a_{{12}}/a_{{22}}$

r_{1}=a_{{11}}/a_{{12}}

- portföljavkastning, med samma risk-avkastningsförhållande som minimi riskportföljen (grafiskt sett är detta den enda skärningspunkten med parabeln på den räta linjen som går genom parabelns ursprung och vertex) Tobins portfölj med minsta risk

I närvaro av en riskfri tillgång (med noll varians i avkastning) med avkastning ändras problemformuleringen $r_{f}$

${\begin{cases}\sigma _{p}^{2}=d^{T}Vd\rightarrow \min \\d^{T}(r-r_{f}e)=r_{p}-r_ {f}\\d_{f}=1-d^{T}e\end{fall}}$

Lösningen på detta problem har formen

$d^{*}={\frac {r_{p}-r_{f}}{(r-r_{f}e)^{T}V^{{-1}}(r-r_{f}e )}}V^{{-1}}(r-r_{f}e)$

Riskportföljens strukturvektor (andelen riskfyllda tillgångar inte i hela portföljen, utan av riskportföljens totala värde) kommer att vara lika med

$d^{{**}}={\frac {V^{{-1}}(r-r_{f}e)}{e^{T}V^{{-1}}(r-r_{ f}e)}}$

Det kan ses att strukturen på den riskfyllda delen av portföljen inte är beroende av avkastningskravet. Avkastningskravet bestämmer endast förhållandet mellan den riskfyllda portföljen och den riskfria tillgången.

Den genomsnittliga avkastningen på riskportföljen blir lika med

$r_{p}^{{**}}=r^{T}d^{{**}}={\frac {r^{T}V^{{-1}}(r-r_{f} e)}{e^{T}V^{{-1}}(r-r_{f}e)}}={\frac {a_{{11}}-r_{f}a_{{12}} }{a_{{12}}-r_{f}a_{{22}}}}={\frac {r_{0}(r_{1}-r_{f})}{r_{0}-r_{ f}}}$

Standardavvikelsen för den optimala (effektiva) portföljen beror linjärt på avkastningskravet, nämligen enligt följande

$\sigma _{p}={\frac {r_{p}-r_{f}}{{\sqrt {(r-r_{f}e)^{T}V^{{-1}}(r- r_{f}e)}}}}={\frac {\sigma _{0}(r_{p}-r_{f})}{{\sqrt {(r_{f}-r_{0})^ {2}-r_{0}(r_{1}-r_{0})}}}}$

Det är också lätt att fastställa sambandet mellan den genomsnittliga avkastningen för enskilda instrument och den genomsnittliga avkastningen för portföljen. För att göra detta definierar vi vektorn av koefficienter

$\beta ={\frac {Vd^{*}}{\sigma _{p}^{2}}}={\frac {r-r_{f}e}{r_{p}-r_{f}} }\Rightarrow r-r_{f}e=\beta (r_{p}-r_{f})$

Av detta får vi att om investerare är rationella, så kan marknadsportföljen villkorligt anses effektiv, därför på marknaden är instrumentets genomsnittliga lönsamhet relaterad till lönsamheten för marknadsportföljen på följande linjära sätt

$r-r_{f}=\beta (r_{M}-r_{f})$

Detta är en prissättningsmodell för finansiella tillgångar - CAPM

Se även

Black-Litterman modell

Anteckningar

↑ Gitman L. J., Jonk M. D. Fundamentals of investment. Per. från engelska. - M .: Delo, 1997. - 1008 sid. ISBN 0-06-0423625 (engelska) ISBN 5-7749-0011-8 (ryska). Sida 810
↑ Krass M.S., Chuprynov B.P. Matematik för ekonomer. - St Petersburg, Peter, 2009. - sid. 251
↑ Markowits Harry M. Portfoliourval // Journal of Finance. 1952. 7. Nr 1 s. 71-91
↑ Evsenko Olga Sergeevna. Investeringar i frågor och svar. Handledning.
↑ 1 2 3 4 5 Yu. F. Kasimov. Grunderna i teorin om den optimala portföljen av värdepapper - M: Information and Publishing House "Filin", 1998. - 144 sid. ISBN 5-89568-086-0
↑ Markowitz HM Portfolio Selection: Effektiv diversifiering av investeringar. Wiley. new york. 1959.
↑ Markowitz HM, Medelvariansanalys i portföljval och kapitalmarknader. Basilika. Blackwell. 1990.
↑ Bazaraa MS, Sherali HD, Shetty CM icke-linjär programmering (2:a upplagan) Wiley & Sons, 1994.

Litteratur

Harry Markowitz. Portfolio Selection Arkiverad 3 juni 2017 på Wayback Machine

Aktier och bolagsmarknaden
Marknadstyper	primärmarknad Sekundärmarknad OTC värdepappersmarknad Fjärde marknaden
Typer av värdepapper	Stock vanlig delning gyllene aktien Begränsade värdepapper Spårningskampanj preferensaktie Obligation
Aktiekapital	Auktoriserat kapital Utestående aktier Emitterade aktier egen aktie
Medlemmar	Market maker Handlare daghandlare Aktiehandlare prop handlare Aktiehandlare försäkringsgivare Mäklare Transaktionsmäklare Handlare Investerare Kvantitativ analytiker Regulator
Börsen	Lista Avnotering Korslistning Onoterade värdepapper
Listor över börser	Allmän lista över börser Lista över afrikanska börser Lista över europeiska börser Lista över amerikanska börser Lista över sydasiatiska börser Elektroniskt kommunikationsnätverk
Uppskattning av aktiers värde och lönsamhet	Alfakoefficient Arbitrage prissättningsteori Beta Spridning Bolagets bokförda värde CAPM Kapitalmarknadslinje Utdelningsrabattmodell Direktavkastning Vinst per aktie Lönsamhet Modell Feda Substansvärde Karakteristisk linje av värdepapper Värdepappersmarknadslinje T-modell Beta Neutral Portfölj Sharpe förhållande Sortino koefficient Treynor koefficient Mått på risk Värde i riskzonen Black-Litterman modell
Teorier och strategier för handel	Algoritmisk handel Köp och håll strategi Motsatt investering dagshandel Kostnadsgenomsnitt Den effektiva marknadshypotesen Grundläggande analys Snabbväxande bestånd Välja tidpunkten för transaktionen Modern portföljteori Momentum investing Mosaikteori Parhandel Postmodern Portfolio Theory Random walk hypothesis Branschrotation Stiliserad investering Swing trading Teknisk analys Trend efter Värdemedelvärde Värdeinvestering Fraktal marknadsanalys Dow teori Elliott Wave Theory Mark Twain-effekten Januarieffekt
Finansiella indikatorer	Vinst per aktie (EPS) Pris/vinst (P/E) Pris/intäkter (P/S) Pris/Framtida intäkter (PEG) Pris/bokfört värde (P/B)

Finansiell risk och finansiell riskhantering

Typer

Kreditrisk	Koncentrationsrisk Konsumentlånerisker Kreditderivat Värdepapperisering CVA Risk före avveckling PFE
Marknadsrisk	Råvarurisk Volymrisk grundrisk Formrisk Befattningsrisk aktierisk Valutarisk Marginalrisk Ränterisk Volatilitetsrisk Likviditetsrisk Refinansieringsrisk
Operativ risk	Hantering av operativa risker BIA TSA AMA IMA Juridisk risk Politisk risk Ryktesrisk Uppskattningsrisk Modellrisk
Andra risker	Vinstförlustrisk Beräknad risk Systemrisk

Modellering

Marknadsportfölj
Markowitz Portfolio Theory
RAROC
Riskfri ränta
Riskparitet
Sharpe förhållande
Sortino koefficient
VaR
Vinst i riskzonen
Marginal i riskzonen
Likviditeten i riskzonen

Andra begrepp