E₈ (matematik)

$E_8$ är den största speciella enkla Lie-gruppen . upptäcktes av Wilhelm Killing 1888-1890, och dess moderna beteckning kom från klassificeringen av enkla Lie algebras , som introducerades av Elie Cartan och Wilhelm Killing . Klassificeringen särskiljer fyra oändliga familjer av enkla Lie-algebror , betecknade , , , , och fem specialfall, betecknade E 6 , E 7 , E 8 , F 4 och G 2 . $E_8$ $En}$ $B_{n}$ $C_{n}$ $D_{n}$

Beskrivning

$E_8$ har rank 8 och dimension 248 (som sort ). Rotsystemvektorerna definieras i åtta dimensioner.

Dynkins schema

Dynkin-schemat för E 8 har formen

Detta schema beskriver kortfattat rotsystemets struktur. Varje schemanod är en enkel rot. En linje som förbinder två enkla rötter betyder att de står i en vinkel på 120° mot varandra. Två enkla rötter som inte är förbundna med en linje är ortogonala.

Cartan matris

Cartan-matrisen för ett rotsystem av ordningen r är en matris vars element bestäms av enkla rötter enligt följande: $r\ gånger r$

A_{{ij))=2{\frac {(\alpha _{i},\alpha _{j})}{(\alpha _{i},\alpha _{i))))))

var är den euklidiska skalärprodukten och är enkla rötter. Matriselement är inte beroende av valet av enkla rötter (upp till beställning). $(\cdot, \cdot)$ $\alpha_i$

Cartan-matrisen för E 8 har formen

\vänster[{\begin{smallmatrix}2&-1&0&0&0&0&0&0\\-1&2&-1&0&0&0&0&0\\0&-1&2&-1&0&0&0&-1\\0&0&-1&2&-1&0&0&0\\\0&0&0&-&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0 1&2&0\\0&0&-1&0&0&0&0&2\end{smallmatrix}}\right]

Determinanten för denna matris är 1.

Se även

Länkar

"Tja, ett mycket stort resultat" , Computerra , Galaktion Andreev, 11 april 2007
"Teoretiker bryter sig in i ett 248-dimensionellt rum" , Cnews , 20 mars 2007

Exceptionella enkla Lie-grupper
G2 F4 E6 E7 E₈

Gruppteori
Grundläggande koncept	Undergrupp Normal undergrupp Faktorgrupp Arbete direkt halvdirekt fri
Algebraiska egenskaper	kommutativ grupp Cyklisk grupp beställd grupp Förvandla grupp Lösbar grupp Schreiers Lemma Lagranges sats Sylows satser Klassificering av enkla ändliga grupper
ändliga grupper	Finit cyklisk grupp C n Symmetrisk grupp S n Dihedral grupp D n Alternerande grupp A n Klein Quadruple Group Mathieu-grupper M11 _ M12 _ M22 _ M23 _ M24 _ Conway grupper Co 1 Co2 _ Co3 _ Janko grupper J1 _ J2 _ J3 _ J4 _ Fisher grupper F22 _ F 23 F24 _ Monster (M)
Topologiska grupper	Lögngrupper Ortogonal grupp O(n) Special ortogonal grupp SO(n) Enhetsgrupp U(n) Särskild enhetlig grupp SU(n) Sympletisk grupp Sp(n) Exceptionellt enkelt Lorentz grupp Poincaré-gruppen
Algoritmer på grupper	Schreier - Sims Todd - Coxeter Fouriertransform