Simplex

En simplex eller n - dimensionell tetraeder (från latin simplex 'enkel') är en geometrisk figur , som är en n - dimensionell generalisering av en triangel .

Definition

En simplex (närmare bestämt en n -simplex , där talet n kallas dimensionen av simplex) är det konvexa skrovet av n  + 1 punkter i ett affint utrymme (av dimension n eller större) som antas vara affint oberoende (dvs inte ligga i ett delrum med dimension n  − 1). Dessa punkter kallas hörn av [1] [2] simplex .

En simplex kan karakteriseras som en uppsättning av alla möjliga konvexa kombinationer av dess hörn : $A_{i}$

\Delta =\left\{\sum _{i=0}^{n}t_{i}A_{i}:\left(\sum _{i=0}^{n}t_{i} =1\right)\wedge (\forall i\;t_{i}\geqslant 0)\right\}.

Relaterade definitioner

En öppen simplex är en uppsättning av alla möjliga barycentriska kombinationer av dess hörn med positiva koefficienter (i det här fallet kallas en simplex med samma hörn som uppfyller definitionen från föregående avsnitt också ett slutet simplex ; i enlighet med terminologin för allmän topologi , en sluten simplex är stängningen av motsvarande öppna simplex, och denna öppna en simplex är en öppen kärna av en sluten simplex) [1] [3] .
Skelettet av en simplex är mängden av alla dess hörn [4] .
Kanterna på en simplex är de segment som förbinder dess hörn [5] .
Ytor med dimension s av en simplex kallas s -dimensionella simpliceringar, vars skelett är delmängder av skelettet i den ursprungliga simplexen [6] .
En simplex sägs vara orienterad om dess kärna är en välordnad mängd ; det antas att de ordningar som skiljer sig från varandra genom en jämn permutation av hörn definierar samma orientering (en orienterad 0-simplex är en punkt till vilken ett tecken tilldelas: "plus" eller "minus") [6] [7 ] .
En simplex som ligger i det euklidiska rymden kallas regelbunden om alla dess kanter har samma längd [8] .

Standard simplex

Standarden n - simplex är en delmängd av det aritmetiska rummet , definierat som [9] $\mathbb {R} ^{n+1}$

\Delta ^{n}=\left\{(t_{0},\dots ,t_{n}):\left(\summa _{i=0}^{n}t_{i}=1 \right)\wedge (\forall i\;t_{i}\geqslant 0)\right\}.

Dess hörn är punkter [9]

e 0 = (1, 0, …, 0), e 1 = (0, 1, …, 0), … e n = (0, 0, …, 1).

Det finns en kanonisk en-till-en-mappning från en standard n - simplex till vilken annan n - simplex Δ som helst med vertexkoordinater : $(v_{0},v_{1},\dots ,v_{n})$

(t_{0},\dots ,t_{n})\mapsto \sum _{i}t_{i}v_{i}.

Värdena för en given punkt i simplexet Δ kallas dess barycentriska koordinater [3] . $t_{i}$

Egenskaper

En n -dimensionell simplex har hörn, varav vilka som helst bildar en k -dimensionell yta. $n+1$ $k+1$
- I synnerhet är antalet k -dimensionella ytor i en n - simplex lika med den binomiala koefficienten ${\tbinom {n+1}{k+1)).$
- I synnerhet sammanfaller antalet ytor av den högsta dimensionen med antalet hörn och är lika med . $n+1$
Den orienterade volymen av ett n - simplex i ett n - dimensionellt euklidiskt utrymme kan bestämmas med formeln $V={\frac {1}{n!}}\det(v_{1}-v_{0},v_{2}-v_{0},\dots ,v_{n}-v_{0 }).$
- Cayley-Menger-determinanten låter dig beräkna volymen av en simplex, och känna till längden på dess kanter: $V^{2}={\frac {(-1)^{n-1}}{2^{n}(n!)^{2}}}{\begin{vmatrix}0&1&1&1&\dots &1 \\1&0&d_{01}^{2}&d_{02}^{2}&\dots &d_{0n}^{2}\\1&d_{10}^{2}&0&d_{12}^{2}&\dots &d_{1n}^{2}\\1&d_{20}^{2}&d_{21}^{2}&0&\dots &d_{2n}^{2}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&d_{n0}^{2}&d_{n1}^{2}&d_{n2}^{2}&\dots &0\\\end{vmatrix}},$

där är avståndet mellan i- : te och j -te hörnen, n är utrymmets dimension . Denna formel är en generalisering av Herons formel för trianglar.

d_{ij}=|v_{i}-v_{j}|

Volymen av en vanlig n -simplex med enhetssida är . ${\frac {\sqrt {n+1}}{n!\cdot 2^{n/2}}}$

Radien för den beskrivna n -dimensionella sfären uppfyller förhållandet $R$ $(R\cdot V)^{2}=T,$

var är volymen av simplexet, och

V

T={\frac {(-1)^{n}}{2^{n+1}{(n!)}^{2}}}{\begin{vmatrix}0&d_{01}^{ 2}&d_{02}^{2}&\dots &d_{0n}^{2}\\d_{10}^{2}&0&d_{12}^{2}&\dots &d_{1n}^{2} \\d_{20}^{2}&d_{21}^{2}&0&\dots &d_{2n}^{2}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\d_{n0 }^{2}&d_{n1}^{2}&d_{n2}^{2}&\dots &0\\\end{vmatrix}}.

Byggnad

Om dimensionen av ett utrymme är n , då kan ett hyperplan ritas genom vilket n som helst av dess punkter , och det finns uppsättningar av n  + 1 punkter genom vilka hyperplanet inte kan dras. Således är n  + 1 det minsta antalet sådana punkter i det n - dimensionella rymden som inte ligger i samma hyperplan; dessa punkter kan tjäna som hörn av en n - dimensionell polyeder [10] .

Den enklaste n - dimensionella polyederen med n  + 1 hörn kallas en simplex (namnet " n - dimensionell tetraeder " accepteras också). I lägre dimensionella utrymmen motsvarar denna definition följande figurer [11] :

0-simplex ( punkt ) — 1 vertex;
1-simplex ( segment ) — 2 hörn;
2-simplex ( triangel ) - 3 hörn;
3-simplex ( tetraeder ) - 4 hörn.

Alla dessa figurer har tre gemensamma egenskaper.

Enligt definitionen är antalet hörn för varje figur en mer än rymddimensionen.
Det finns en allmän regel för omvandling av lägre dimensionella förenklingar till högre dimensionella förenklingar. Den består i det faktum att från någon punkt i simplexen dras en stråle som inte ligger i det affina skalet av denna simplex, och en ny vertex väljs på denna stråle, som är ansluten med kanter till alla hörn i originalet simplex.
Som följer av proceduren som beskrivs i stycke 2 är alla hörn av simplexen anslutna med kanter till alla andra hörn.

Beskriven sfär

En n - sfär kan beskrivas runt vilket n - simplex som helst i det euklidiska rummet .

Bevis

För en 1-simplex är detta påstående uppenbart. Den beskrivna 1-sfären kommer att vara två punkter på samma avstånd från segmentets mitt, sammanfallande med segmentets ändar, och dess radie kommer att vara R = a /2. Låt oss lägga till ytterligare en punkt till 1-simplexen och försöka beskriva en 2-sfär runt dem.

Vi konstruerar en 2-sfär s 0 med radien a /2 på ett sådant sätt att segmentet AB är dess diameter . Om punkten C är utanför cirkeln s 0 kan du genom att öka cirkelns radie och flytta den mot punkten C säkerställa att alla tre punkterna är på cirkeln. Om punkten C ligger innanför cirkeln s 0 , så kan du passa in cirkeln under denna punkt genom att öka dess radie och flytta i motsatt riktning mot punkten C. Som framgår av figuren kan detta göras i alla fall när punkt C inte ligger på samma linje som punkt A och B. Den asymmetriska placeringen av punkten C i förhållande till segmentet AB är inte heller ett hinder .

Med tanke på det allmänna fallet, anta att det finns en ( n  − 1)-sfär S n −1 med radie r omskriven runt någon ( n −1)-dimensionell figur. Placera sfärens centrum vid utgångspunkten för koordinaterna. Sfärekvationen kommer att se ut

x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+\dots +x_{n-1}^{2}=r^{2}. \qquad(1)

Låt oss konstruera en n -sfär centrerad vid punkten (0, 0, 0, ... 0, h S ) och radien R , och

R^{2}=r^{2}+h_{S}^{2}.

Ekvationen för denna sfär

x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+\dots +x_{n-1}^{2}+(x_{n}- h_{S})^{2}=r^{2}+h_{S}^{2},

eller

x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+\dots +x_{n-1}^{2}=r^{2}- x_{n}^{2}+2x_{n}h_{S}.\qquad (2)

Genom att ersätta x n = 0 i ekvation (2), får vi ekvation (1). Sålunda, för varje h S , är sfären S n −1 en delmängd av sfären S n , nämligen dess sektion med planet x n = 0.

Antag att punkt C har koordinater ( x 1 , x 2 , x 3 , ..., x n ). Låt oss omvandla ekvation (2) till formen

x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+\dots +x_{n-1}^{2}+x_{n}^{ 2}=r^{2}+2x_{n}h_{S}

och ersätt koordinaterna för punkt C i den :

X_{1}^{2}+X_{2}^{2}+X_{3}^{2}+\dots +X_{n-1}^{2}+X_{n}^{ 2}=r^{2}+2X_{n}h_{S}.

Uttrycket på vänster sida är kvadraten på avståndet RC från origo till punkten C , vilket gör att vi kan få den sista ekvationen till formen

R_{C}^{2}=r^{2}+2X_{n}h_{S},

varifrån vi kan uttrycka parametern h S :

h_{S}={\frac {R_{C}^{2}-r^{2}}{2X_{n}}}.

Uppenbarligen finns h S för alla RC , X n och r , förutom X n = 0. Detta betyder att om punkten С inte ligger i sfärens plan S n −1 , kan man alltid hitta en parameter h S så att på sfären S n med centrum (0, 0, 0, ..., h S ) kommer både sfären S n −1 och punkten C att ligga . Således kan en n -sfär beskrivas runt vilken n  + 1 punkt som helst om n av dessa punkter ligger på samma ( n  − 1) -sfär, och den sista punkten inte ligger med dem i samma ( n  − 1) - plan.

Genom att argumentera med induktion kan man hävda att en n -sfär kan beskrivas runt vilka n  + 1 punkter som helst, så länge de inte ligger i samma ( n  − 1)-plan.

Antal ansikten i en simplex

En simplex har n  + 1 hörn, som var och en är ansluten med kanter till alla andra hörn.

Eftersom alla hörn i en simplex är sammankopplade, har alla undergrupper av dess hörn samma egenskap. Detta betyder att vilken delmängd som helst av L  + 1 hörn i en simplex definierar dess L -dimensionella yta, och denna yta är i sig en L -simplex. Sedan för en simplex är antalet L -dimensionella ytor lika med antalet sätt att välja L  + 1 vertex från den totala uppsättningen av n  + 1 hörn.

Beteckna med symbolen K ( L , n ) antalet L -dimensionella ytor i en n -polytop; sedan för n - simplex

K(L,n)=C_{n+1}^{L+1},

var är antalet kombinationer från n till k . ${\displaystyle C_{n}^{k))$

I synnerhet är antalet ytor av den högsta dimensionen lika med antalet hörn och är lika med n  + 1:

K(0,n)=K(n-1,n)=n+1.

Relationer i det vanliga simplexet

För en vanlig n -dimensionell simplex betecknar vi:

$a$ - sidolängd;
$H_n$ - höjd;
$V_{n}$ - volym;
$R_n$ är radien för den omskrivna sfären;
$r_{n}$ är radien för den inskrivna sfären;
$\alpha_{n}$ - dihedral vinkel .

Sedan

$H_{n}=a{\sqrt {\frac {n+1}{2n}}}=R_{n}{\frac {n+1}{n}}$
$V_{n}={\frac {a^{n}}{n!}}{\sqrt {\frac {n+1}{2^{n}}}}={\frac {R_{n}^ {n}}{n!}}{\sqrt {\left({\frac {n+1}{n}}\right)^{n}}}$
$R_{n}=a{\sqrt {\frac {n}{2(n+1)))}$
$r_{n}={\frac {a}{\sqrt {2n(n+1)}}}={\frac {R_{n}}{n}}$
$\cos \alpha ={\frac {1}{n}}$ [åtta]
$R_{n}=H_{n}{\frac {n}{n-1}}$
$a^{2}=H_{n}^{2}+R_{n-1}^{2}$
$V_{n}={\frac {1}{n}}V_{n-1}H_{n}$
${\displaystyle r_{n}^{2}=R_{n}^{2}-R_{n-1}^{2))$

Formler för en vanlig simplex

Antal L-dimensionella ytor	$K(L,n)={\tbinom {n+1}{L+1}}$
Höjd	$H_{n}=a{\sqrt {\frac {n+1}{2n))}$	$H_{n}=R_{n}{\frac {n+1}{n}}$	$H_{2}=a{\frac {\sqrt {3}}{2}}$	$H_{3}=a{\frac {\sqrt {6}}{3}}$	$H_{4}=a{\frac {\sqrt {10}}{4}}$
Volym	$V_{n}={\frac {a^{n}}{n!}}{\sqrt {\frac {n+1}{2^{n}}}}$	$V_{n}={\frac {R_{n}^{n}}{n!)}}{\sqrt {\left({\frac {n+1}{n}}\right)^{n} } }$	$V_{2}=a^{2}{\frac {\sqrt {3}}{4}}$	$V_{3}=a^{3}{\frac {\sqrt {2}}{12}}$	$V_{4}=a^{4}{\frac {\sqrt {5}}{96}}$
Radie av den omskrivna sfären	$R_{n}=a{\sqrt {\frac {n}{2(n+1)))}$	$a=R_{n}{\sqrt {\frac {2(n+1)}{n))}$	$R_{2}=a{\frac {\sqrt {3}}{3}}$	$R_{3}=a{\frac {\sqrt {6}}{4}}$	$R_{4}=a{\frac {\sqrt {10}}{5}}$
Radie av den inskrivna sfären	$r_{n}={\frac {a}{\sqrt {2n(n+1)))}$	$r_{n}={\frac {R_{n}}{n}}$	$r_{2}=a{\frac {\sqrt {3}}{6}}$	$r_{3}=a{\frac {\sqrt {6}}{12}}$	$r_{4}=a{\frac {\sqrt {10}}{20}}$
Dihedral vinkel	$\cos \alpha ={\frac {1}{n}}$

Simplex i topologi

Ett topologiskt simplex är en delmängd av ett topologiskt utrymme som är homeomorft till ett simplex av något affint utrymme (eller, på motsvarande sätt, till ett standardsimplex av motsvarande dimension). Begreppet ett topologiskt simplex ligger till grund för teorin om förenklade komplex (ett förenklat komplex är ett topologiskt rum representerat som en förening av topologiska förenklingar som bildar en triangulering av ett givet rum) [12] .

Se även

Anteckningar

↑ 1 2 Aleksandrov och Pasynkov, 1973 , sid. 197-198.
↑ Zalgaller V. A. . Simplex // Mathematical Encyclopedia. T. 4 / Kap. ed. I. M. Vinogradov . - M . : Soviet Encyclopedia , 1984. Arkivexemplar daterad 21 januari 2022 på Wayback Machine - 1216 stb. - Stb. 1151.
↑ 1 2 Aleksandrov, 1968 , sid. 355.
↑ Alexandrov och Pasynkov, 1973 , sid. 198.
↑ Boltyansky, 1973 , sid. 211.
↑ 1 2 Baladze D. O. . Komplex // Matematisk uppslagsverk. Vol 2 / Kap. ed. I. M. Vinogradov . - M . : Soviet Encyclopedia , 1984. Arkivexemplar daterad 20 november 2012 på Wayback Machine - 1104 stb. - Stb. 995-1101.
↑ Rudin U. . Grunderna i matematisk analys. 2:a uppl. — M .: Mir , 1976. — 319 sid. - S. 257-258.
↑ 1 2 Parks H. R., Wills D. C. . An Elementary Calculation of the Dihedral Angle of the Regular n -Simplex // The American Mathematical Monthly , 2002, 109 (8). - s. 756-758. - doi : 10.2307/3072403 .
↑ 1 2 Kostrikin och Manin, 1986 , sid. 200-201.
↑ Aleksandrov, 1968 , sid. 353-355.
↑ Kostrikin och Manin, 1986 , sid. 201.
↑ Khokhlov A. V. . Enkelt utrymme // Matematisk uppslagsverk. T. 4 / Kap. ed. I. M. Vinogradov . - M . : Soviet Encyclopedia , 1984. Arkivexemplar daterad 21 januari 2022 på Wayback Machine - 1216 stb. - Stb. 1168.

Litteratur

P.S. Alexandrov . kombinatorisk topologi. - M. - L .: GITTL , 1947. - 660 sid.
P.S. Alexandrov . Föreläsningar om analytisk geometri. — M .: Nauka , 1968. — 912 sid.
P.S. Aleksandrov , B.A. Pasynkov. Introduktion till dimensionsteori. Introduktion till teorin om topologiska rum och den allmänna dimensionsteorin. — M .: Nauka , 1973. — 576 sid.
V. G. Boltjanskij . Optimal kontroll av diskreta system. — M .: Nauka , 1973. — 448 sid.
A. I. Kostrikin , Yu. I. Manin . Linjär algebra och geometri. 2:a uppl. — M .: Nauka , 1986. — 304 sid.
L. S. Pontryagin . Grunderna i kombinatorisk topologi. - M. - L .: GITTL , 1947. - 142 sid. - S. 23-31.

Länkar

Enkel - artikel från Great Soviet Encyclopedia .

Ordböcker och uppslagsverk	Stor ryss

Dimension av utrymme
Utrymmen efter dimension	Nolldimensionell en-dimensionell 2D 3D fyrdimensionell femdimensionell Sexdimensionell Sjudimensionell oktal Niodimensionell n-dimensionell Negativ dimension
Polytoper och figurer	Simplex hyperkub tesserakt Hyperrektangel (ortotop) Semihyperkub Cross-polytope hypersfär
Typer av utrymmen	ändligt dimensionellt utrymme Euklidiskt utrymme affint utrymme projektivt utrymme Gratis modul Grenrör Dimension av en algebraisk variabel rum-tid
Andra dimensionella koncept	Krull dimension Lebesgue dimension Induktiv dimension Bråkdimension ( Minkowski dimension , Hausdorff dimension ) fraktal dimension Grader av frihet
Matte