Inskriven och omcirklar av en triangel

En inskriven cirkel i en triangel är en cirkel inuti en triangel som tangerar alla dess sidor; den största cirkeln som kan vara inuti en triangel. Mitten av denna cirkel är skärningspunkten för triangelns halvled och kallas triangelns mittpunkt .

Excirkeln av en triangel är en cirkel som ligger utanför triangeln och berör ena sidan av triangeln och förlängningen av de andra två sidorna . Varje triangel har tre distinkta excirklar, var och en tangent till en annan sida av triangeln. Mitten av cirkelcirkeln är skärningspunkten mellan bisektrisen för en inre vinkel och halveringslinjen för de andra två yttre vinklarna . Eftersom bisektrisen av en inre vinkel är vinkelrät mot bisektrisen av en intilliggande yttre vinkel, bildar centrum av den inskrivna cirkeln tillsammans med de tre mittpunkterna av excirklarna ett ortocentriskt system [1] .

Inte alla polygoner med fler än tre sidor har en inskriven cirkel. De som har kallas beskrivna .

Förhållande med arean av en triangel

Radierna för inskrivna och excirklar är nära relaterade till arean av en triangel. [2]

Inskriven cirkel

Låt har en inskriven cirkel med radie r med centrum I . Låt a vara längden av BC , b längden av AC , och c längden av AB . Låt den inskrivna cirkeln röra vid AB vid någon punkt C′ , då är det en rät linje. Då blir radien C'I höjden på triangeln . Således har den en bas av längden c och höjden r , och därför är dess yta lika med . Likaså har område och har område . Eftersom dessa tre trianglar delar sig får vi det $\triangel ABC$ $\angle AC'I$ $\triangel IAB$ $\triangel IAB$ ${\tfrac {1}{2}}kr$ $\triangle IAC$ ${\tfrac {1}{2}}br$ $\triangel IBC$ ${\tfrac {1}{2}}ar$ $\triangel ABC$

\Delta ={\frac {1}{2}}(a+b+c)r=pr,

var är området och är dess semiperimeter . $\Delta$ $\triangel ABC$ $p={\frac {1}{2}}(a+b+c)$

För att få en alternativ formel, överväg . Detta är en rätvinklig triangel, där ett av benen är lika med r och det andra är lika med . Detsamma gäller för . Hela triangeln består av 6 sådana trianglar, och den totala arean är: $\triangel IC'A$ $r\cdot \mathrm {ctg} {\frac {\angle A}{2))$ $\triangel IB'A$

\Delta =r^{2}\cdot (\mathrm {ctg} {\frac {\angle A}{2))+\mathrm {ctg} {\frac {\angle B}{2))+ \mathrm {ctg} {\frac {\angle C}{2)))

Excirklar

Låt excirkel tangenten till sidan AB röra förlängningen av sidan AC vid punkt G , och låt radien av denna cirkel vara , och dess centrum vara . Sedan är höjden på triangeln , så har arean . Av samma skäl, har ett område , men har ett område . Sedan $r_{c}$ $I_{c}$ $I_{c}G$ $\triangle ACI_{c}$ $\triangle ACI_{c}$ ${\tfrac {1}{2}}br_{c}$ $\triangle BCI_{c}$ ${\tfrac {1}{2}}ar_{c}$ $\triangle ABI_{c}$ ${\tfrac {1}{2}}cr_{c}$

\Delta ={\frac {1}{2}}(a+bc)r_{c}=(pc)r_{c}

Så på grund av symmetrin,

{\displaystyle \Delta =pr=(pa)r_{a}=(pb)r_{b}=(pc)r_{c))

Enligt cosinuslagen får vi

\cos A={\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}

Genom att kombinera detta med identiteten får vi $\sin ^{2}A+\cos ^{2}A=1$

\sin A={\frac {\sqrt {-a^{4}-b^{4}-c^{4}+2a^{2}b^{2}+2b^{2}c^{2 }+2a^{2}c^{2}}}{2bc}}

Men alltså $\Delta ={\tfrac {1}{2}}bc\sin A$

{\begin{aligned}\Delta &={\frac {1}{4}}{\sqrt {-a^{4}-b^{4}-c^{4}+2a^{2 }b^{2}+2b^{2}c^{2}+2a^{2}c^{2}}}\\&={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a +b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+bc)))\\&={\sqrt {p(pa)(pb)(pc)))),\ slut {aligned}}

och detta är Herons formel för att beräkna arean av en triangel givet dess sidor.

Genom att kombinera Herons formel med , får vi $pr=\Delta$

r^{2}={\frac {\Delta ^{2}}{p^{2}}}={\frac {(pa)(pb)(pc)}{p}}

Likaså ger det $(pa)r_{a}=\Delta$

r_{a}^{2}={\frac {p(pb)(pc)}{pa))

Av dessa formler kan man se att excirklarna alltid är större än den inskrivna och den största cirkeln motsvarar den längsta sidan, och den minsta av excirkeln motsvarar den minsta sidan. Ytterligare kombination av formler leder till: [3]

\Delta ={\sqrt {rr_{a}r_{b}r_{c}}}.

Förhållandet mellan arean av en inskriven cirkel och arean av en triangel är mindre än eller lika med , och likhet uppnås endast på vanliga trianglar . [fyra] ${\frac {\pi }{3{\sqrt {3))))$

Relaterade byggen

Cirkeln med nio punkter och Feuerbach- punkten

Eulers cirkelsats . Mittpunkterna i höjdsegmenten från ortocentrum till triangelns hörn kallas Eulerpunkter . Medianernas baser , höjdernas baser och Eulerpunkterna ligger på samma cirkel , kallad cirkeln med nio punkter . [5]

Feuerbachs teorem . Cirkeln med nio punkter tangerar alla tre cirkelcirklarna och även till den inskrivna cirkeln vid fyra olika punkter. En av dem är tangentpunkten för Eulercirkeln och den inskrivna cirkeln som kallas Feuerbach-punkten .

Triangel och Gergonne-punkt

Gergonne-triangeln (för triangel ABC ) definieras av tre kontaktpunkter för den inskrivna cirkeln på tre sidor. Dessa hörn kommer att betecknas med TA osv. Punkten TA ligger mittemot vertex A .

Denna Gergonne-triangel T A T B T C är också känd som tangency- triangeln för triangeln ABC .

Tre linjer AT A , BT B och CT C skär varandra i en punkt - Gergonne-punkten och betecknas med Ge - X(7) . Gergonnes punkt ligger inuti en öppen ortocentroid cirkel med ett punkterat centrum. [6]

Intressant nog är Gergonne-punkten i triangeln skärningspunkten för Gergonne- triangelns symmedianer. En komplett uppsättning Gergonne-punktegenskaper finns i Dekovs artikel. [7]

De trilinjära koordinaterna för tangentriangelns hörn ges av formlerna

vertex $A=0:\sec ^{2}\left({\frac {B}{2}}\right):\sec ^{2}\left({\frac {C}{2}}\right)$
vertex $B=\sec ^{2}\left({\frac {A}{2}}\right):0:\sec ^{2}\left({\frac {C}{2}}\right)$
vertex $C=\sec ^{2}\left({\frac {A}{2}}\right):\sec ^{2}\left({\frac {B}{2}}\right):0$

Trilinjära koordinater för Gergonne-punkten

\sec ^{2}\left({\frac {A}{2}}\right):\sec ^{2}\left({\frac {B}{2}}\right):\sec ^{ 2}\left({\frac {C}{2}}\right)

eller motsvarande sinussatsen ,

{\frac {bc}{b+ca}}:{\frac {ca}{c+ab}}:{\frac {ab}{a+bc}}

Gergonne-punkten är den isotomiska konjugationen av Nagel-punkten .

Triangel och Nagelpunkt

Nageltriangeln (se figuren ovan) för triangeln ABC definieras av hörn TA , T B och T C , som är kontaktpunkterna för triangelns ABCs excirklar och punkt X A är motsatt sida A , etc. Beskrivs runt omkring triangel T A T B T C cirkeln kallas Mandartcirkeln (ett specialfall av Mandartellipsen ). Tre linjer AT A , BT B och CT C halverar omkretsen och skär varandra i en Nagel-punkt Na - X(8) .

De trilinjära koordinaterna för triangelns tangenspunkter av excirklarna ges av formlerna

vertex $A=0:\csc ^{2}\left({\frac {B}{2}}\right):\csc ^{2}\left({\frac {C}{2}}\right)$
vertex $B=\csc ^{2}\left({\frac {A}{2}}\right):0:\csc ^{2}\left({\frac {C}{2}}\right)$
vertex $C=\csc ^{2}\left({\frac {A}{2}}\right):\csc ^{2}\left({\frac {B}{2}}\right):0$

De trilinjära koordinaterna för Nagelpunkten ges av formlerna

\csc ^{2}\left({\frac {A}{2}}\right):\csc ^{2}\left({\frac {B}{2}}\right):\csc ^{ 2}\left({\frac {C}{2}}\right)

eller motsvarande sinussatsen ,

{\frac {b+ca}{a}}:{\frac {c+ab}{b}}:{\frac {a+bc}{c}}

Nagel-punkten är den isotomiska konjugationen av Gergonne-punkten .

Trilinjära koordinater för inskrivna trianglar

De trilinjära koordinaterna för triangelns hörn som bildas av baserna i bisektrarna ges av formlerna

vertex $A=0:1:1$
vertex $B=1:0:1$
vertex $C=1:1:0$

De trilinjära koordinaterna för en triangel som bildas av sidornas kontaktpunkter av cirklarna ges av formlerna

vertex $A=-1:1:1$
vertex $B=1:-1:1$
vertex $C=1:-1:-1$

Cirkelekvationer

Låt x : y : z vara de trilinjära koordinaterna för punkten , och låt u = cos 2 (A/2) , v = cos 2 (B/2) , w = cos 2 (C/2) . De fyra cirklarna som beskrivs ovan kan definieras på något av de två sätten: [8]

Inskriven cirkel:

\ u^{2}x^{2}+v^{2}y^{2}+w^{2}z^{2}-2vwyz-2wuzx-2uvxy=0

\pm {\sqrt {x}}\cos {\frac {A}{2}}\pm {\sqrt {y}}\cos {\frac {B}{2}}\pm {\sqrt {z} }\cos {\frac {C}{2}}=0

A- externt inskrivet:

\ u^{2}x^{2}+v^{2}y^{2}+w^{2}z^{2}-2vwyz+2wuzx+2uvxy=0

\pm {\sqrt {-x}}\cos {\frac {A}{2}}\pm {\sqrt {y}}\cos {\frac {B}{2}}\pm {\sqrt {z }}\cos {\frac {C}{2}}=0

B- externt inskrivet:

\ u^{2}x^{2}+v^{2}y^{2}+w^{2}z^{2}+2vwyz-2wuzx+2uvxy=0

\pm {\sqrt {x}}\cos {\frac {A}{2}}\pm {\sqrt {-y}}\cos {\frac {B}{2}}\pm {\sqrt {z }}\cos {\frac {C}{2}}=0

C- externt inskrivet:

\ u^{2}x^{2}+v^{2}y^{2}+w^{2}z^{2}+2vwyz+2wuzx-2uvxy=0

\pm {\sqrt {x}}\cos {\frac {A}{2}}\pm {\sqrt {y}}\cos {\frac {B}{2}}\pm {\sqrt {-z }}\cos {\frac {C}{2}}=0

Andra egenskaper hos den inskrivna cirkeln

Vissa formler med radien av en inskriven cirkel

$r={\frac {pa}{\operatörsnamn {ctg} (\alpha /2)))={\frac {pb}{\operatörsnamn {ctg} (\beta /2)))={\frac {pc}{\operatörsnamn {ctg} (\gamma /2)}}$ , är triangelns halvperimeter ( Cotangenssats ). $sid$

Radien för den inskrivna cirkeln är inte mer än en niondel av summan av triangelns höjder. [9]

Eulers olikhet : radien för den inskrivna cirkeln överstiger inte halva radien av den omskrivna cirkeln, och likhet gäller endast för en liksidig triangel. [tio]

Antag att tangentpunkterna för den inskrivna cirkeln delar sidorna i segment med längden x och y , y och z , z och x . Då har den inskrivna cirkeln en radie [11]

r={\sqrt {\frac {xyz}{x+y+z))}

och arean av triangeln är

K={\sqrt {xyz(x+y+z))).

Om höjderna sjunkit till sidorna a , b och c är h a , h b och h c , så är radien för den inskrivna cirkeln r lika med en tredjedel av det harmoniska medelvärdet av dessa höjder, dvs.

r={\frac {1}{h_{a}^{-1}+h_{b}^{-1}+h_{c}^{-1}}}.

Produkten av radien för den inskrivna cirkeln r och radien för den omskrivna cirkeln R i en triangel med sidorna a , b och c är [1]

rR={\frac {abc}{2(a+b+c))).

Några samband mellan sidorna, radierna för den inskrivna cirkeln och den omslutna cirkeln: [12]

ab+bc+ca=s^{2}+(4R+r)r,

a^{2}+b^{2}+c^{2}=2s^{2}-2(4R+r)r.

Varje linje som går genom en triangel och delar triangelns area och omkrets på mitten passerar genom mitten av den inskrivna cirkeln. Det kan finnas tre, två eller en sådan rad. [13]

Perpendicularer upphöjda till sidorna av triangeln vid kontaktpunkterna för cirklarna skär varandra vid en punkt. Denna punkt är symmetrisk till mitten av den inskrivna cirkeln med avseende på mitten av den omskrivna cirkeln [14] .

Formler för avstånd till mitten av en inskriven eller excirkel

Eulers teorem

Eulers teorem säger att i en triangel: [10]

(R-r_{in})^{2}=d^{2}+r_{in}^{2},

där R och r in är radierna för de omskrivna respektive inskrivna cirklarna, och d är avståndet mellan dessa cirklars mittpunkter.

För excirklar ser ekvationen ut så här:

(R+r_{ex})^{2}=d^{2}+r_{ex}^{2},

där r ex är radien för en av cirklarna, och d är avståndet mellan den omslutna cirkelns och cirkelns mittpunkter. [15] [16] [17]

Genom att kvadrera och ta med likes från Eulers första formel ovan har vi:

Det kvadratiska avståndet från centrum av den inskrivna cirkeln I till mitten av den omskrivna cirkeln O ges av ekvationen [18]

OI^{2}=d^{2}=R(R-2r_{in}),

På samma sätt för den andra formeln:

d^{2}=R(R+2r_{ex}).

Andra formler för avstånd till mitten av en inskriven eller excirkel

Avståndet från mitten av den inskrivna cirkeln till mitten N av cirkeln med nio punkter är [18]

IN={\frac {1}{2}}(R-2r)<{\frac {1}{2}}R.

Avståndet från spetsen till tangentpunkterna för den inskrivna cirkeln på de intilliggande sidorna är halva summan av längderna på de intilliggande sidorna minus hälften av den motsatta sidan. [19] Så, för vertex B och angränsande kontaktpunkter TA och T C ,

BT_{A}=BT_{C}={\frac {BC+AB-AC}{2}}.

Om vi betecknar mitten av den inskrivna cirkeln av triangeln ABC med bokstaven I , får vi [20]

{\frac {IA\cdot IA}{CA\cdot AB}}+{\frac {IB\cdot IB}{AB\cdot BC}}+{\frac {IC\cdot IC}{BC\cdot CA}} =1

och [21]

IA\cdot IB\cdot IC=4Rr^{2}.

Om vi för I betecknar mitten av den inskrivna cirkeln av triangeln ABC , AD är bisektrisen av vinkeln A , då ${\frac {AI}{DI}}={\frac {AB+AC}{BC}}$
Mitten av den inskrivna cirkeln ligger i en triangel vars hörn är mittpunkterna på triangelns sidor. [arton]
Tridentsats eller trefoilsats , eller Kleiners sats : Om D är skärningspunkten för bisektrisen av vinkel A med den omskrivna cirkeln av triangeln ABC , är I och J mitten av den inskrivna respektive excirkeltangenten till sidan BC , då . $|DI|=|DB|=|DC|=|DJ|$

Munsions teorem (en integrerad del av Trident-satsen ). Mittpunkterna av de tre segmenten som förbinder centrum av den inskrivna cirkeln med mitten av excirkeln ligger på den omskrivna cirkeln. [tio]

Harcourts teorem . Låt triangeln ges av dess hörn A , B och C , sidorna mitt emot hörnen har längderna a , b och c , arean är lika med K och linjen berör cirkeln som är inskriven i triangeln i en godtycklig punkt. Låt oss beteckna avstånden från triangelns hörn till den räta linjen som a ', b ' och c ', medan om spetsen och cirkelns centrum ligger på motsatta sidor av den räta linjen anses avståndet vara negativt. Sedan

aa^{\prime }+bb^{\prime }+cc^{\prime }=2K.

Andra egenskaper för excirklar

Följande relation gäller för radien r för den inskrivna cirkeln, radien R för den omskrivna cirkeln, halvperimetern s och radierna för excirklarna r a , r b , r c : [12]

r_{a}+r_{b}+r_{c}=4R+r,

r_{a}r_{b}+r_{b}r_{c}+r_{c}r_{a}=s^{2},

r_{a}^{2}+r_{b}^{2}+r_{c}^{2}=(4R+r)^{2}-2s^{2},

Cirkeln som passerar genom cirklarnas centrum har radien 2 R . [12]

Om H är ortocentrum för triangeln ABC , då [12]

r_{a}+r_{b}+r_{c}+r=AH+BH+CH+2R,

r_{a}^{2}+r_{b}^{2}+r_{c}^{2}+r^{2}=AH^{2}+BH^{2}+CH^{2} +(2R)^{2}.

Topparna A , B och C i triangeln ABC är baserna för triangelns höjder J A J B , J C ,

där J A J B , J C är mitten av excirklarna. [tio]

Perpendicularer upphöjda till sidorna av triangeln vid kontaktpunkterna för cirklarna skär varandra vid en punkt. Denna punkt är symmetrisk till mitten av den inskrivna cirkeln med avseende på mitten av den omskrivna cirkeln [14] .
Spieker-centrum i en triangel är det radikala mitten av dess excirklar [22] . Om vi ritar 6 tangenter till 3 cirklar av triangeln från Spikerns centrum av triangeln, kommer alla deras längder att vara lika med varandra.

Apollonius omkrets

Definition av Apollonius cirkel

Låt triangeln ABC ges . Låt triangelns ABC cirklar , mittemot hörnen A , B och C , vara respektive E A , E B , E C (se figur). Därefter berör Apollonius cirkel E (visad i grönt i figuren till höger) invändigt tre cirklar av triangeln ABC vid punkterna E A , E B respektive E C (se figur). [23] .

Radie av Apollonius cirkel

Radien för Apollonius cirkel är , där r är radien för den inskrivna cirkeln och s är triangelns halva omkrets. [24] ${\frac {r^{2}+s^{2}}{4r}}$

Definition av Apollonius-punkten Ap

Apollonius-punkten Ap iClark Kimberlings Encyclopedia of Triangle Centers (ETC) hänvisas till som triangelns centrum under namnet X(181).
Apolloniuspunkten Ap eller X(181) definieras enligt följande:

Låt A' , B' och C' vara tangenspunkterna för Apolloniuscirkeln E med motsvarande cirklar. Sedan skär linjerna AA' , BB' och CC' i en punkt Ap , som kallas Apollonius-punkten i triangeln ABC .

Isogonal konjugation

En isogonal konjugation har exakt fyra fasta punkter (det vill säga punkter som är konjugerade till sig själva): mitten av den inskrivna cirkeln och mitten av triangelns excirklar . [25]

En triangels ortocentrum är isogonalt konjugerat med mitten av den omskrivna cirkeln i denna triangel. [25]

Generalisering till andra polygoner

Vissa (men inte alla) fyrhörningar har en inskriven cirkel. De kallas för omskrivna fyrhörningar . Bland egenskaperna hos dessa fyrhörningar är den viktigaste att summan av motsatta sidor är lika. Detta påstående kallas Pitotsatsen .
Vissa (men inte alla) fyrhörningar har en cirkel. De kallas fyrhörningar utanför cirkeln . Bland egenskaperna hos dessa fyrhörningar noterar Urquharts teorem den viktigaste egenskapen . Hon påstår:
Om motsatta sidor av en konvex fyrhörning ABCD skär varandra i punkterna E och F , då

AB+BC=AD+DC\quad \Leftrightarrow \quad AE+EC=AF+FC.

Se även

Excircle
Oomskriven fyrhörning
Inskriven cirkel
Inskrivna och omskrivna figurer för en triangel
Inskriven konisk sektion
inskriven sfär
Triangelhöjd
Anmärkningsvärda punkter i triangeln
Mitten eller mitten av den inskrivna cirkeln
Cirkel
Omskriven cirkel
Omskriven fyrhörning
Ortocenter
Graden av en punkt i förhållande till en cirkel
Mansions teorem
treuddens sats
Tebos sats 2 och 3
Harcourts teorem
Apollonius pekar
Graden av en punkt i förhållande till en cirkel
Spieker Center
Centroid
Triangel tyngdpunkt
Ellipse Mandart
Ellips Steiner

Anteckningar

↑ 1 2 Roger A. Johnson. Avancerad euklidisk geometri . - Dover, 2007 (original - 1929) .. - S. 189 , #298(d).
↑ HSM Coxeter. Introduktion till geometri . - 2. - Wiley, 1961 ..
↑ Marcus Baker. En samling formler för arean av en plan triangel. - Januari 1885. - T. del 1, vol. 1(6) . — S. 134-138 . . Se även del 2 i volymen. 2(1), september 1885, 11–18.)
↑ D. Minda, S. Phelps. Trianglar, ellipser och kubiska polynom // American Mathematical Monthly . - Oktober 2008. - Utgåva. 115 . — S. 679-689: Sats 4.1. .
↑ S. I. Zetel. Ny triangelgeometri. - Moskva: UCHPEDGIZ, 1962. - S. 52-53 Kapitel III.
↑ Christopher J. Bradley, Geoff C. Smith. Placeringen av triangelcentrum // Forum Geometricorum. - 2006. - Utgåva. 6 . - S. 57-70. .
↑ Deko Dekov. Computer-generated Mathematics: The Gergonne Point // Journal of Computer-generated Euclidean Geometry. - 2009. - T. 1 . — S. 1–14. . Arkiverad från originalet den 5 november 2010.
↑ William Allen Whitworth. Trilinjära koordinater och andra metoder för modern analytisk geometri av två dimensioner. - 2012. - S. 210-215. — (Glömda böcker).
↑ Alfred S. Posamentier, Ingmar Lehmann. Trianglarnas hemligheter. - Prometheus Books, 2012. - S. 289.
↑ 1 2 3 4 A. D. Kulanin, S. N. Fedin. Triangelgeometri i problem. - M . : Bokhuset "LIBROKOM", 2009. - ISBN 978-5-397-00786-3 .
↑ Thomas Chu. Pentagon. - Våren 2005. - S. 45, uppgift 584 ..
↑ 1 2 3 4 Amy Bell. Hansens rättriangelsats, dess motsats och en generalisering // Forum Geometricorum. - 2006. - Utgåva. 6 . — S. 335–342 .
↑ Dimitrios Kodokostas. Triangel Equalizers // Matematik Magazine. - 2010. - Utgåva. 83, april . - S. 141-146. .
↑ 1 2 Myakishev, 2002 , sid. 11, punkt 5.
↑ Roger Nelson. Eulers triangelojämlikhet via bevis utan ord // Mathematics Magazine. - Februari 2008. - Utgåva. 81(1) . - S. 58-61 .
↑ R.A. Johnson. modern geometri. - Boston: Houghton Mifflin, 1929. - S. 187.
↑ Lev Emelyanov, Tatiana Emelyanova. Eulers formel och Poncelets porism // Forum Geometricorum. - 2001. - Utgåva. 1 . — S. 137–140. .
↑ 1 2 3 William N. Franzsen. Avståndet från centrum till Eulerlinjen // Forum Geometricorum. - 2011. - T. 11 . — S. 231–236 . .
↑ Mathematical Gazette , juli 2003, 323-324.
↑ Patricia R. Allaire, Junmin Zhou, Haishen Yao. Bevisa en ellipsidentitet från 1800-talet // Mathematical Gazette. - 2012. - Utgåva. 96, mars . - S. 161-165. .
↑ Nathan Altshiller-Court. College geometri. - Dover Publications, 1980. - P. 121, # 84.
↑ Odenhal, 2010 , sid. 35-40.
↑ Darij Grinberg, Paul Yiu. Apolloniuscirkeln som en Tuckercirkel // Forum Geometricorum. - 2002. - Utgåva. 2 . - S. 175-182 .
↑ Milorad R. Stevanovi´c. Apollonius-cirkeln och relaterade triangelcentra // Forum Geometricorum. - 2003. - Utgåva. 3 . — S. 187-195. .
↑ 1 2 V. V. Prasolov. Brocard-punkter och isogonal konjugation. - M . : MTsNPO, 2000. - (Bibliotek "Mathematical Education"). — ISBN 5-900916-49-9 .

Litteratur

Myakishev A.G. Triangelgeometrielement. — M. : MTsNMO, 2002.
Clark Kimberling. Triangelcentra och centraltrianglar // Congressus Numerantium. - 1998. - Utgåva. 129 . - S. i-xxv, 1-295 .
Sandor Kiss. The Orthic-of-Intouch och Intouch-of-Orthic trianglar // Congressus Numerantium. - 2006. - Utgåva. 6 . - S. 171-177 .
Boris Odenhal. Några triangelcentrum associerade med cirklarna som tangerar excirklarna // Forum Geometricorum. - 2010. - T. 10 .

Länkar

Härledning av formeln för en triangels cirkelradie
Weisstein, Eric W. Incircle (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .

Webbplatser med interaktivt innehåll

Triangel incenter Triangel incircle Incirkel av en vanlig polygon Med interaktiva animationer
Konstruera en triangels centrum/cirkel med kompass och rätsida En interaktiv animerad demonstration
Lika incirklar -satsen vid cut-the-knoten
Fem incirklar -satsen vid klipp-knuten
Par av cirklar i en fyrhörning vid cut-the-knoten
En interaktiv Java-applet för centret