Omväxlande serie

En alternerande serie är en matematisk serie vars medlemmar växelvis tar på sig värdena av motsatta tecken, det vill säga:

\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}\,b_{n} ,\;b_{n}>0

Leibniz tecken

Formulering

Leibniz-testet är ett test för konvergensen av en alternerande serie, upprättad av Gottfried Leibniz . Uttalande av satsen:

Låt en omväxlande serie ges

S=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}b_{n},\ b_{n}\geq 0

för vilka följande villkor är uppfyllda:

$b_{n}\geq b_{n+1}$ , med början från något nummer ( ), $n\geq N$
$\lim _{{n\to \infty }}b_{n}=0.$

Sedan konvergerar den här serien.

Anteckningar

Serier som uppfyller Leibniz-testet kallas Leibniz-serier . Sådana serier kan konvergera absolut (om serien konvergerar ), eller de kan konvergera villkorligt (om serien av moduler divergerar). ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }b_{n))$

Monotoniskt förfall är inte nödvändigt för konvergensen av en alternerande serie (medan det är ett nödvändigt villkor för konvergens för alla serier), så själva kriteriet är bara tillräckligt , men inte nödvändigt (till exempel, serien konvergerar). Å andra sidan är monotont förfall väsentligt för att tillämpa Leibniz-testet; om den saknas kan serien divergera även om det andra villkoret i Leibniz-testet är uppfyllt. Ett exempel på en divergerande alternerande serie med en icke-monotone minskning i termer [1] : $\lim _{n\to \infty }b_{n}=0$ ${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n+(-1)^{n))))$

{\frac {1}{1}}-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{6}}+\dots +{\frac {1}{n}}-{\frac {1}{2n}}+\dots

De dubblerade delsummorna för denna serie sammanfaller med delsummorna för övertonsserien och växer därför i det oändliga.

Bevis

Betrakta två sekvenser av delsummor av serien och . ${\displaystyle R_{n}=b_{1}-b_{2}+\ldots -b_{2n))$ ${\displaystyle L_{n}=b_{1}-b_{2}+\ldots +b_{2n+1))$

Den första sekvensen minskar inte: med det första villkoret. $R_{n}-R_{n+1}=b_{2n+2}-b_{2n+1}\leq 0$

Vid samma villkor ökar inte den andra sekvensen: . $L_{n}-L_{n+1}=b_{2n+2}-b_{2n+3}\geq 0$

Den andra sekvensen majoriserar den första, det vill säga för alla . Verkligen, ${\displaystyle L_{n}\geq R_{m))$ $m,n\in {\mathbb {N}}$

när vi har:

m\geq n

L_{n}-R_{m}\geq L_{m}-R_{m}=b_{2m+1}>0,

när vi har:

m\le n

L_{n}-R_{m}\geq L_{n}-R_{n}=b_{2n+1}>0.

Därför konvergerar de båda som monotona bundna sekvenser.

Det återstår att notera att: , så de konvergerar till en gemensam gräns , som är summan av den ursprungliga serien. $\lim _{{m,n}}|R_{n}-L_{{m}}|=0$ $S$

Längs vägen visade vi att för varje delsumma av serien gäller uppskattningen . $S_{n}$ $|S-S_{n}|<b_{{n+1}}$

Exempel

$\sum _{{n=1}}^{\infty }(-1)^{{n+1}}{\frac {1}{n}}\;$ . En serie moduler har formen - detta är en harmonisk serie som divergerar. $\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {1}{n}}$

Nu använder vi Leibniz-testet:

interfoliering gjort
${\frac {1}{n+1}}<{\frac {1}{n)),\;\forall \;n$
$\lim _{{n\to \infty }}\,{\frac {1}{n}}=0$ .

Därför, eftersom alla villkor är uppfyllda, konvergerar serien (och villkorligt, eftersom serien av moduler divergerar).

En uppskattning för resten av Leibniz-serien

En följd följer av Leibniz' teorem, som gör det möjligt att uppskatta felet vid beräkning av den ofullständiga summan av en serie ( återstoden av en serie ):

S_{n}=\summa _{{i=1}}^{n}(-1)^{i}b_{i}.

Resten av den konvergerande alternerande serien kommer att vara modulo mindre än den första kasserade termen: ${\displaystyle R_{n}=S-S_{n))$

\left|R_{n}\right|<b_{n+1}.

Bevis [2]

Sekvensen ökar monotont, eftersom uttrycket a är icke-negativt för något heltal . Sekvensen är monotont avtagande, eftersom uttrycket inom parentes är icke-negativt. Som redan bevisats i själva beviset för Leibniz sats har båda dessa sekvenser - och - samma gräns som So erhållits och även Hence and So, för varje , vad som krävdes för att bevisas. $S_{{2k}}$ $S_{{2k}}=\summa \limits _{{i=2}}^{{i=n}}{\left({b_{{2i-1}}-b_{{2i}}}\right )},$ $b_{{2i-1}}-b_{{2i}}$ $i.$ $S_{{2k-1}}$ $S_{{2k+1}}=S_{{2k-1}}-\vänster({b_{{2k}}-b_{{2k+1}}}\höger),$ $S_{{2k}}$ $S_{{2k-1}}$ $k\till +\infty .$ $S_{{2k}}\leqslant s\leqslant S_{{2k-1}}$ $s\leqslant S_{{2k+1}}.$ $0\leqslant s-S_{{2k}}\leqslant S_{{2k+1}}-S_{{2k}}=b_{{2k+1}}$ $0\leqslant S_{{2k-1}}-s\leqslant S_{{2k-1}}-S_{{2k}}=b_{{2k}}.$ $k$ $\left|{s-S_{k}}\right|\leqslant b_{{k+1}},$

Alternerande serier

Alternerande serier kallas också ibland alternerande [3] , men denna term kan också betyda vilken serie som helst som har ett oändligt antal positiva och negativa termer samtidigt.

Se även

Dirichlet -testet är en generalisering av Leibniz-testet

Litteratur

Bronshtein IN , Semendyaev KA Handbok i matematik . - Ed. 7:a, stereotypt. - M . : Statens förlag för teknisk och teoretisk litteratur, 1967. - S. 296.
Vorobyov N. N. Serieteori. - 4:e uppl. — M .: Nauka, 1979. — 408 sid. - (Utvalda kapitel i högre matematik för ingenjörer och studenter vid högre läroanstalter).
Ivanov G. E. Kapitel 9. Numerisk serie. §3. Serie med alternerande medlemmar // Föreläsningar om matematisk analys. - M. : MIPT, 2000. - T. 1. - S. 299-303. — 359 sid. - 800 exemplar. — ISBN 5-7417-0147-7 .

Anteckningar

↑ Vorobyov, 1979 , sid. 84-85.
↑ Beklemishev D.V. Kurs för analytisk geometri och linjär algebra: Proc. för universiteten. - 10:e upplagan, Rev. — M. : FIZMATLIT, 2005.
↑ Fikhtengolts G. M. Kurs för differential- och integralkalkyl vol. 2 s. 302

Sekvenser och rader
Sekvenser	Numerisk sekvens Grundläggande sekvens Linjär återkommande sekvens Fibonacci-siffror lockiga siffror Faktoriell Barker-sekvens de bruijn sekvens
Rader, grundläggande	Radsumma Resten av raden Villkorlig konvergens Omväxlande serie Rad flersektion
Nummerserier ( operationer med nummerserier )	harmonisk serie Leibniz-serien En serie omvända kvadrater En serie ömsesidiga primtal Dirichlet rad Mercator-serien Rad Grandi 1 - 2 + 3 - 4 + ... 1 + 2 + 3 + 4 + ...
funktionella rader	Taylor-serien Laurent-serien Fourier-serier Trigonometrisk Fourier-serie trigonometrisk serie Wiener-serien
Andra radtyper	Neumann-serien Puiseux rad

Tecken på konvergens av serier
För alla rader	Nödvändigt skick Cauchy kriterium	$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$
För tecken-positiva serier	Huvudkriteriet Jämförelse tecken Kummer tecken Gauss tecken Cauchys radikala tecken Integrerad funktion D'Alemberts tecken makt tecken logaritmiskt tecken Tecken på Raabe Bertrand skylt Tecken på Jamet Tecken på Schlömilch Tecken på Ermakov Lobatsjovskijs tecken teleskopskylt Tecken på Sapogov
För alternerande serier	Leibniz tecken
För rader i formuläret $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}$	Abel tecken Dedekinds tecken Dubois-Reymond skylt Dirichlet skylt
För funktionella serier	Weierstrass tecken
För Fourier-serien	Dini tecken Tecken på de la Vallée Poussin Jordan tecken Jung tecken Salem tecken Lebesgue tecken Lebesgue-Gergen tecken Martsinkevichs tecken