Kvadratiskt pyramidnummer

Ett kvadratiskt pyramidnummer (ofta kallat helt enkelt ett pyramidnummer ) är ett rumsligt figurativt tal som representerar en pyramid med en kvadratisk bas. Kvadratiska pyramidtal uttrycker också antalet kvadrater med sidor parallella med koordinataxlarna i ett gitter med N  ×  N punkter.

Sekvensstart:

1 , 5 , 14 , 30 , 55 , 91 , 140 , 204 , 285 , 385 , 506 , 650 , 819 , 1015 , 1240 , 1496 , 1785 , 21009 , ... 2009 , 2009 , 2409 , 2409 , 2409 ...

Formel

Den allmänna formeln för det kvadratiska pyramidtalet i ordning är:

Detta är ett specialfall av Faulhabers formel , som är lätt att bevisa genom induktion . För första gången gavs en likvärdig formel i " Abacusboken " av Fibonacci (XIII-talet).

I modern matematik sker formaliseringen av krulliga tal med hjälp av Hérard-polynom . Herardpolynomet L ( P , t ) för polytopen P är ett polynom som räknar antalet heltalspunkter i en kopia av polytopen P , vilket ökas genom att multiplicera alla dess koordinater med talet t . Erard-polynomet för en pyramid vars bas är en kvadrat på sida 1 med heltalskoordinater, och vars spets är på en höjd av 1 över basen, beräknas med formeln [1] :

( t  +1)( t  +2)( 2t  +3)/6 =  Pt +  1 .

Genererande funktion

Genereringsfunktionen för kvadratiska pyramidal tal är:

Anslutning till andra lockiga nummer

Kvadratiska pyramidala tal kan också uttryckas som summan av binomialkoefficienter :

De binomialkoefficienter som förekommer i detta presenterade uttryck är tetraedriska tal . Denna formel uttrycker kvadratiska pyramidal tal som summan av två tal, precis som vilket kvadrattal som helst är summan av två på varandra följande triangulära tal . I denna summa räknar ett av de två tetraedriska talen antalet kulor i den staplade pyramiden som är placerade ovanför eller vid ena sidan av diagonalen på pyramidens kvadratiska bas; och den andra - ligger på andra sidan av diagonalen. Kvadratiska pyramidal tal är också relaterade till tetraedriska tal enligt följande [2] :

Summan av två på varandra följande kvadratiska pyramidal nummer är ett oktaedriskt tal .

Problemet med att hitta fyrkantiga pyramidala tal som också är kvadratiska tal är känt som kanonkulans staplingsproblem och formulerades av Lucas (1875) [3] .

Anteckningar

  1. Beck, M.; DeLoera, JA; Develin, M. & Pfeifle, J. (2005), Coefficients and roots of Ehrhart polynomials, Integer points in polyhedra—geometry, number theory, algebra, optimization , vol. 374, Contemp. Math., Providence, R.I.: Amer. Matematik. Soc., sid. 15-36 
  2. Deza E., Deza M., 2016 , sid. 75.
  3. Edouard Lucas. Fråga 1180 // Nouv. Ann. Matematik. - 1875. - Utgåva. 14. - S. 336.

Litteratur

Länkar