Roten ur

Kvadratroten ur ett tal ( 2:a gradens rot ) är ett tal som ger i kvadrat [ 1] : Ekvivalent definition: kvadratroten ur ett tal är lösningen till ekvationen Operationen att beräkna värdet av kvadratroten ur ett tal kallas "att extrahera kvadratroten" av detta tal. $a$ $x$ $a$ $x\cdot x=a.$ $a$ $x^{2}=a.$ $a$

Oftast, och betyder reella tal , men det finns också generaliseringar för komplexa tal och andra matematiska objekt , såsom matriser och operatorer . $x$ $a$

Varje positivt reellt tal har två motsatta kvadratrötter. Till exempel är kvadratrötterna av talet 9 och båda dessa tal har samma kvadrater och är lika med 9. Detta gör det svårt att arbeta med rötterna. För att säkerställa entydighet introduceras begreppet en aritmetisk rot , vars värde alltid är icke-negativt för (och positivt för positivt ); den aritmetiska roten av ett tal betecknas med rotens tecken (radikal) [2] [3] : . $+3$ $-3,$ $a\geqslant 0$ $a$ $a$ ${\sqrt {a}}$

Exempel för reella tal: eftersom ${\sqrt {16}}=4,$ ${\4}^{2}=16.$

Om det krävs att man tar hänsyn till rotens tvetydighet, placeras ett plus- eller minustecken före radikalen [2] ; till exempel, så här görs det i formeln för att lösa en andragradsekvation : $ax^{2}+bx+c=0$

x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}

Historik

De första problemen relaterade till att extrahera kvadratroten finns i de babyloniska matematikernas skrifter . Bland sådana uppgifter [4] :

Tillämpning av Pythagoras sats för att hitta sidan av en rätvinklig triangel givet de andra två kända sidorna.
Hitta sidan på en kvadrat vars area är angiven.
Lösning av andragradsekvationer .

Den babyloniska lertavlan YBC 7289 från Yale Universitys babyloniska samling skapades mellan 1800 och 1600 f.Kr. e. och visar √2 respektive √2/2 i det sexagesimala talsystemet : 1;24.51.10 och 0;42.25.35 på en kvadrat som korsas av två diagonaler [5] . (1;24,51,10) i bas 60 motsvarar 1,41421296, vilket är det korrekta värdet med en noggrannhet på 5 decimaler: Babyloniska matematiker (II årtusende f.Kr.) utvecklade en speciell numerisk metod för att extrahera kvadratrotsuppsättningen [6 ] ut under . Liknande problem och metoder finns i den antika kinesiska " Matematik i nio böcker " [7] . $1+24/60+51/60^{2}+10/60^{3}=1{,}41421296.$

De gamla grekerna gjorde en viktig upptäckt: - ett irrationellt tal . En detaljerad studie av Theaetetus från Aten (300-talet f.Kr.) visade att om roten av ett naturligt tal inte är helt extraherat, så är dess värde irrationellt [8] . ${\sqrt {2}}$

Medeltida europeiska matematiker (till exempel Cardano ) betecknade kvadratroten [9] med symbolen R x , förkortning för ordet "radix". Den moderna notationen användes först av den tyske matematikern Christoph Rudolph , från skolan för kossister (det vill säga algebraister), 1525 [10] . Denna symbol kommer från den stiliserade första bokstaven i samma ord " radix ". Linjen ovanför det radikala uttrycket saknades till en början; det introducerades senare av Descartes (" Geometries ", 1637) för ett annat syfte (istället för parenteser), och denna funktion slogs snart samman med rottecknet.

Efter uppkomsten av Cardano-formeln (XVI-talet) började användningen av imaginära siffror i matematik , förstås som kvadratrötter av negativa tal [11] . Grunderna för att arbeta med komplexa tal utvecklades på 1500-talet av Rafael Bombelli , som också föreslog en originalmetod för att beräkna rötter (med hjälp av fortsatta bråk ). Upptäckten av Moivres formel (1707) visade att det alltid är möjligt att extrahera en rot av vilken grad som helst från ett komplext tal och inte leder till en ny typ av tal [12] .

Komplexa rötter av godtycklig grad studerades på djupet av Gauss i början av 1800-talet , även om de första resultaten beror på Euler [13] . En extremt viktig upptäckt ( Galois ) var beviset på det faktum att inte alla algebraiska tal ( polynomrötter ) kan erhållas från naturliga tal med hjälp av fyra operationer av aritmetik och rotextraktion [14] .

Kvadratrötter av tal

Rationella tal

För rationella tal är ekvationen inte alltid lösbar i rationella tal . Dessutom är en sådan ekvation, även för positiv , lösbar i rationella tal om och endast om både täljaren och nämnaren för talet representerat som ett irreducerbart bråk är kvadrattal . $a$ $x^2=a$ $a$ $a$

Den fortsatta bråkdelen för roten av ett rationellt tal är alltid periodisk (eventuellt med en förperiod), vilket gör det möjligt att å ena sidan enkelt beräkna bra rationella approximationer till rationella tal med hjälp av linjära rekursioner , och å andra sidan begränsar noggrannheten av approximationen: , där beror på [ 15] [16] . Det är också sant att varje periodisk fortsatt bråkdel är en kvadratisk irrationalitet . $|{\sqrt {r}}-p/q|>{\frac {1}{Cq^{2}}}$ $C$ $r$

Exempel på expansion av rötter från naturliga tal från 2 till 10 till fortsatta bråk:

${\sqrt {2}}$	= [1; 2, 2, ...]
$\sqrt{3}$	= [1; 1, 2, 1, 2, ...]
${\sqrt {4}}$	= [2]
${\sqrt {5}}$	= [2; 4, 4, ...]
${\sqrt {6}}$	= [2; 2, 4, 2, 4, ...]
${\sqrt {7}}$	= [2; 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 4, ...]
${\sqrt {8}}$	= [2; 1, 4, 1, 4, ...]
${\sqrt {9}}$	= [3]
${\sqrt {10}}$	= [3; 6, 6, ...]

Verkliga (riktiga) tal

För varje positivt tal finns det exakt två reella rötter som är lika i absolut värde och motsatta i tecken [17] . $a$

En icke-negativ kvadratrot av ett icke-negativt tal kallas en aritmetisk kvadratrot och betecknas med radikaltecknet [3] : . $a$ ${\sqrt a}$

Huvudegenskaperna för den verkliga kvadratroten (alla värden under rottecknet anses vara positiva):

${\sqrt {a^{2))}=|a|:$
${\sqrt {ab}}={\sqrt {a}}\cdot {\sqrt {b}}$ (produktens rot är lika med produkten av faktorernas rötter);
${\sqrt {\frac {a}{b}}}={\frac {\sqrt {a}}{\sqrt {b}}}\quad (b\neq 0);$

För komplexa tal, givet rotens tvåvärdighet, är alla dessa egenskaper otillämpliga (se nedan för ett exempel på ett fel).

Komplexa tal

Det finns alltid exakt två kvadratrötter av ett komplext tal som inte är noll, de är motsatta i tecken. För rötter i den komplexa domänen introduceras inte begreppet en aritmetisk rot, tecknet för radikalen används vanligtvis inte, eller så betecknar det inte rotens funktion, utan mängden av alla rötter. I det senare fallet, för att undvika fel, får det radikala tecknet inte användas i aritmetiska operationer. Vanligt misstag:

-1=({\sqrt {-1}})^{2}={\sqrt {(-1)^{2}}}={\sqrt {1}}=1

(vilket såklart inte är sant)

Felet uppstod eftersom den komplexa kvadratroten är en funktion med två värden och inte kan användas i aritmetik.

För att extrahera kvadratroten ur ett komplext tal är det praktiskt att använda exponentiell notation av ett komplext tal: if

{\displaystyle a=|a|e^{i\phi ))

sedan (se De Moivres formel )

{\sqrt {a}}={\sqrt {|a|}}\cdot e^{i(\phi +2\pi k)/2}

där roten av modulen förstås i betydelsen av ett aritmetiskt värde, och k kan anta värdena k = 0 och k = 1 , så två olika resultat erhålls i slutändan.

Det finns också en rent algebraisk representation för roten till ; båda rotvärdena är av formen där: $a+bi$ $\pm (c+di)$

{\displaystyle c={\sqrt {\frac {a+{\sqrt {a^{2}+b^{2)))){2))))

{\displaystyle d=\operatörsnamn {sgn}(b){\sqrt {\frac {-a+{\sqrt {a^{2}+b^{2)))){2))))

Här är sgn "tecken"-funktionen . Formeln kan lätt verifieras genom att kvadrera [18] . $c+di$

Exempel: för kvadratroten av formeln anges två värden: $3+4i$ $2+i;\;-2-i.$

Kvadratroten som en elementär funktion

Kvadratroten är en elementär funktion och ett specialfall av en potensfunktion med . Den aritmetiska kvadratroten är jämn vid noll, men den är rätt -kontinuerlig men inte differentierbar [19] . ${\displaystyle x^{\alpha ))$ $\alpha=1/2$ $x>0,$

Derivatan av kvadratrotsfunktionen beräknas med formeln:

{\frac {d({\sqrt {x}})}{dx}}={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}

Som en funktion av en komplex variabel är en rot en tvåvärdig funktion vars två blad är kopplade till noll (se Komplex analys för mer detaljer ).

I elementär geometri

Kvadratrötter är nära besläktade med elementär geometri : om ett segment med längden 1 ges, kan man med hjälp av en kompass och en linjal konstruera dessa och endast de segment vars längd skrivs av uttryck som innehåller heltal, tecken på fyra operationer av aritmetik , kvadratrötter och inget mer [20] .

Inom datavetenskap

I många programmeringsspråk på funktionsnivå (liksom märkningsspråk som LaTeX ) betecknas kvadratrotsfunktionen som sqrt (från den engelska kvadratroten "kvadratrot").

Applikation

Kvadratrötter används inom matematik och naturvetenskap, till exempel:

( numeriska metoder ) i formler för att beräkna rötterna till en andragradsekvation , samt rötterna till en ekvation av tredje och fjärde graden ;
(geometri) i definitionen av den euklidiska normen i det euklidiska rummet , såväl som i generaliseringar som Hilbert-rum ;
( sannolikhetsteori och statistik ) vid bestämning av standardavvikelsen för en stokastisk variabel ;
( fysik ) Lorentz transformationer av speciell relativitet involverar faktorn ${\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2))));$
( himmelmekanik ) rotationsperioden för en planet runt solen är relaterad till den halvstora axeln i dess bana med förhållandet: (en konsekvens av Keplers tredje lag ). $T$ $A$ ${\displaystyle T=k{\sqrt {A^{3))))$

Algoritmer för att hitta kvadratroten

Taylor-seriens expansion

{\sqrt {1+x}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{(1-2n)( n!)^{2}(4^{n))}}x^{n}=1+\textstil {\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{8}}x^ {2}+{\frac {1}{16}}x^{3}-{\frac {5}{128}}x^{4}+\dots ,

kl .

|x|\leqslant 1

Grov uppskattning

Många algoritmer för att beräkna kvadratrötterna av ett positivt reellt tal S kräver ett visst initialvärde. Om startvärdet är för långt från rotens verkliga värde saktar beräkningarna ner. Därför är det användbart att ha en grov uppskattning som kan vara mycket felaktig men som är lätt att beräkna. Om S ≥ 1 , låt D vara antalet siffror i S till vänster om decimalkomma. Om S < 1 , låt D vara antalet på varandra följande nollor till höger om decimalkomma, taget med ett minustecken. Då ser en grov uppskattning ut så här:

Om D är udda, D = 2 n + 1 , använd sedan

{\sqrt {S}}\approx 2\cdot 10^{n}.

Om D är jämnt, D = 2 n + 2 , så använder vi

{\sqrt {S}}\approx 6\cdot 10^{n}.

Två och sex används eftersom och ${\sqrt {\sqrt {1\cdot 10}}}={\sqrt[{4}]{10}}\approx 2$ ${\sqrt {{\sqrt {10\cdot 100))))={\sqrt[ {4}]{1000}}\ca 6\,.$

När du arbetar i ett binärt system (som inuti datorer) bör en annan uppskattning användas (här är D antalet binära siffror). $2^{{\vänster\lgolv D/2\höger\rgolv}}$

Geometrisk kvadratrot

Eftersom trianglarna och är lika när det gäller likheten mellan trianglar vid 2 lika vinklar, varifrån och $\Delta ABH$ $\Delta BCH$ ${\frac {|AH|}{|BH|}}={\frac {|BH|}{|HC|}},~$ $|BH|^{2}=|AH|\cdot |HC|$ $|BH|={\sqrt {|AH|\cdot |HC|}}.$

I synnerhet om , och , då [21] . $|AH|=1$ $|HC|=x$ $|BH|={\sqrt {x}}$

Iterativ analytisk algoritm

Denna metod var känd redan i det antika Babylon . Det låter dig hitta det ungefärliga värdet av kvadratroten med vilken noggrannhet som helst,

Successiva approximationer beräknas med formeln: därefter ${\begin{cases}x_{0}=a\\x_{n+1}={\frac {1}{2}}\left(x_{n}+{\frac {a}{x_ {n}}}\right)\end{cases}}$ $\lim _{{n\to \infty }}x_{n}={\sqrt {a}}$

Denna metod konvergerar mycket snabbt. Om vi till exempel tar den initiala approximationen för får vi: ${\sqrt {5}}$ $x_{0}=2,$

x_{1}={\frac {9}{4}}=2{,}25;\ x_{2}={\frac {161}{72}}=2{,}23611\dots ; \ x_{3}={\frac {51841}{23184}}=2{,}2360679779\dots

I slutvärdet är alla givna siffror korrekta, förutom det sista.

Kolumn

Denna metod låter dig hitta det ungefärliga värdet av roten av ett reellt tal med vilken som helst förutbestämd noggrannhet. Nackdelarna med metoden inkluderar den ökande komplexiteten i beräkningen med en ökning av antalet hittade siffror.

För att manuellt extrahera roten används en notation som liknar kolumndelning . Numret vars rot vi letar efter skrivs ut. Till höger om den kommer vi gradvis att få siffrorna för den önskade roten. Låt roten av talet N extraheras med ett ändligt antal decimaler. Till att börja med, mentalt eller med etiketter, delar vi in talet N i grupper med två siffror till vänster och höger om decimalkomma. Om det behövs utfylls grupperna med nollor - heltalsdelen är vadderad till vänster, bråkdelen till höger. Så 31234.567 kan representeras som 03 12 34.56 70 . Till skillnad från delning utförs rivning i sådana grupper om 2 siffror.

Skriv ner siffran N (i exemplet - 69696 ) på ett papper.
Hitta , vars kvadrat är mindre än eller lika med gruppen av inledande siffror i talet N (den högsta gruppen är den längst till vänster, inte lika med noll), och vars kvadrat är större än gruppen av inledande siffror i talet. Skriv ner vad som finns till höger om N (detta är nästa siffra i den önskade roten). (I det första steget i exemplet , a ). $a$ $a+1$ $a$ $a^{2}=2^{2}=2\cdot 2=4<6$ $(a+1)^{2}=3^{2}=3\cdot 3=9>6$
Skriv en kvadrat under den högsta gruppen av siffror. Utför en subtraktion från den högsta gruppen av siffror N i den utskrivna kvadraten av talet och skriv resultatet av subtraktionen under dem. $a$ $a$
Till vänster om detta subtraktionsresultat, rita en vertikal linje och, till vänster om linjen, skriv ett tal lika med siffrorna i resultatet som redan hittats (vi skriver dem till höger om N ), multiplicerat med 20 . Låt oss ringa det här numret . (På det första steget i exemplet är detta nummer helt enkelt , på det andra, ). $b$ $b=2\cdot 20=40$ $b=26\cdot 20=520$
Demolera nästa grupp av siffror, det vill säga lägg till de nästa två siffrorna i talet N till höger om subtraktionsresultatet. Låt oss ringa numret som erhålls genom att kombinera resultatet av subtraktion och nästa grupp med två siffror. (I det första steget i exemplet är detta nummer , i det andra är det ). Om den första gruppen rivs efter decimalpunkten för talet N , måste du sätta en punkt till höger om de redan hittade siffrorna i den önskade roten. $c$ $c=296$ $c=2096$
Nu måste vi hitta något som är mindre än eller lika med , men större än . Skriv ner hittat till höger om N som nästa siffra i den önskade roten. Det är fullt möjligt att det blir lika med noll. Detta ändrar ingenting - vi skriver 0 till höger om de rotsiffror som redan finns. (I det första steget i exemplet är detta nummer 6 , eftersom , men ) Om antalet hittade siffror redan uppfyller den önskade noggrannheten, stoppar vi beräkningsprocessen. $a$ $(b+a)\cdot a$ $c$ $(b+(a+1))\cdot (a+1)$ $c$ $a$ $a$ $(40+6)\cdot 6=46\cdot 6=276<296$ $(40+7)\cdot 7=47\cdot 7=329>296$
Skriv numret under . Subtrahera en kolumn med tal från och skriv resultatet av subtraktionen under dem. Gå till steg 4. $(b+a)\cdot a$ $c$ $(b+a)\cdot a$ $c$

Visuell beskrivning av algoritmen:

Variationer och generaliseringar

Kvadratroten av definieras som en lösning till en ekvation och i princip kan den definieras inte bara för tal, utan även överallt där en sådan ekvation är vettig. I allmän algebra gäller följande formella definition: $a$ $x^{2}=a,$

Låt vara en groupoid och . Elementet kallas kvadratroten av if . $(G,\cdot )$ $a\i G$ $x\i G$ $\ a,$ $\x\cdot x=a$

Oftast betraktas sådana generaliseringar i algebraiska ringar .

Om ringen är en integritetsdomän kan det finnas antingen två eller ingen av kvadratrötterna av ett element som inte är noll. Faktum är att om det finns två rötter , då varifrån: , det vill säga på grund av frånvaron av nolldelare , . Mer generellt, när ringen har nolldelare eller är icke- kommutativ , kan det finnas hur många rötter som helst. $a, b,$ $a^{2}=b^{2},$ $(ab)(a+b)=0$ $a=\pm b$

I talteorin anses en ändlig restringmodulo : om jämförelsen har en lösning, kallas heltalet en kvadratisk rest (annars en kvadratisk icke-rest ). Lösningen av denna jämförelse är ganska lik att extrahera kvadratroten i ringen av rester [22] . $m$ $x^{2}\equiv a{\pmod {m))$ $a$

Rötterna för quaternions har mycket gemensamt med komplexa, men det finns också betydande egenskaper. Kvadratkvaternionroten har vanligtvis 2 värden, men om rotuttrycket är ett negativt reellt tal, så finns det oändligt många värden. Till exempel bildar kvadratrötterna av en tredimensionell sfär som definieras av formeln [23] : $-ett$

\{ai+bj+ck\mid a^{2}+b^{2}+c^{2}=1\}\,.

För ringen av kvadratmatriser är det bevisat att om matrisen är positiv definitiv , så existerar den positiva bestämda kvadratroten av matrisen och är unik [24] . För matriser av andra typer kan det finnas valfritt antal rötter (inklusive inga).

Kvadratrötter introduceras också för funktioner [25] , operatorer [26] och andra matematiska objekt.

Se även

Anteckningar

↑ Mathematical Encyclopedia (i 5 volymer), 1982 .
↑ 1 2 Elementär matematik, 1976 , sid. 49.
↑ 1 2 Korn G., Korn T. Handbook of Mathematics, 1970 , sid. 33.
↑ History of Mathematics, 1970-1972 , volym I, s. 42-46.
↑ Analys av YBC 7289 . ubc.ca. _ Hämtad 19 januari 2015. Arkiverad från originalet 12 mars 2020.
↑ History of Mathematics, 1970-1972 , volym I, S. 47.
↑ History of Mathematics, 1970-1972 , volym I, s. 169-171.
↑ Bashmakova I. G. Bildning av algebra (från de matematiska idéernas historia). - M . : Kunskap, 1979. - S. 23. - (Nytt i livet, vetenskapen, tekniken. Matematik, kybernetik, nr 9).
↑ Nikiforovsky V. A. Från historien om algebra under XVI-XVII-talen. - M. : Nauka, 1979. - S. 81. - 208 sid. — (Vetenskapens och teknikens historia).
↑ Matematiska tecken // Mathematical Encyclopedia . - M . : Soviet Encyclopedia , 1982. - T. 2.
↑ History of Mathematics, 1970-1972 , volym I, s. 296-298.
↑ History of Mathematics, 1970-1972 , Volym III, s. 56-59.
↑ History of Mathematics, 1970-1972 , Volym III, S. 62.
↑ Kolmogorov A. N., Yushkevich A. P. (red.). 1800-talets matematik. Matematisk logik, algebra, talteori, sannolikhetsteori. - M. : Nauka, 1978. - T. I. - S. 58-66.
↑ Liouvilles sats om approximation av algebraiska tal
↑ Khinchin, 1960 .
↑ Fikhtengolts, 4 .
↑ Cooke, 2008 .
↑ Fikhtengolts, 2 .
↑ Courant, Robbins, 2000 .
↑ Courant, Robbins, 2000 , sid. 148.
↑ Vinogradov I. M. Grunderna för talteorin . - M. - L. : GITTL, 1952. - S. 71. - 180 sid.
↑ Porteous, Ian R. Clifford Algebras och de klassiska grupperna. Cambridge, 1995, sid 60.
↑ Se till exempel: Gantmakher F. R. Theory of Matrices. Moskva: GITTL, 1953, s. 212-219, eller: V. Voevodin, V. Voevodin. Encyclopedia of Linear Algebra. Elektroniskt system LINEAL. SPb.: BHV-Petersburg, 2006.
↑ Se till exempel: Ershov L. V., Raikhmist R. B. Konstruktion av grafer för funktioner. M.: Upplysningen, 1984, eller: * Kaplan I. A. Praktiska klasser i högre matematik. - Kharkov: Publishing House of KhGU, 1966.
↑ Se till exempel: Hutson W., Pim J. Applications of functional analysis and operator theory. M.: Mir, 1983, eller: Halmosh P. Hilbert utrymme i problem. M.: Mir, 1970.

Litteratur

Voevodin VV Encyclopedia of linjär algebra. Elektroniskt system LINEAL. - St. Petersburg: BHV-Petersburg, 2006.
Ershov L. V., Raikhmist R. B. Konstruktion av grafer för funktioner. - Moskva: Education , 1984.
Zaitsev V. V., Ryzhkov V. V., Skanavi M. I. Elementär matematik. Upprepa kursen. - Tredje upplagan. — M .: Nauka , 1976. — 591 sid.
Matematikens historia, i tre volymer / Redigerad av A. P. Yushkevich . - M . : Nauka, 1970-1972.
Rot // Mathematical Encyclopedia (i 5 volymer) . - Moskva: Soviet Encyclopedia , 1982. - T. 3.
Korn G., Korn T. Handbok i matematik (för forskare och ingenjörer) . - 2:a uppl. - Moskva: Nauka , 1970. - 720 sid.
Courant R. , Robbins G. KAPITEL III Geometriska konstruktioner. Algebra av talfält // Vad är matematik? . — Moskva: MTsNMO , 2000.
Fikhtengol'ts G. M. Inledning, § 4 // [ Mat. analys vid EqWorld Kurs för differential- och integralkalkyl]. - T. 1.
Fikhtengolts G. M. 2 kap. 1 § // [ Mat. analys vid EqWorld Kurs för differential- och integralkalkyl]. - T. 1.
Halmosh P. Hilbert utrymme i problem. - Moskva: Mir , 1970.
Hutson W., Pim J. Tillämpningar av funktionsanalys och operatorteori. - Moskva: Mir , 1983.
Khinchin A. Ya. §§ 4, 10 // Fortsatt bråk . - Moskva: GIFML , 1960.
Cooke, Roger. Klassisk algebra : dess natur, ursprung och användningsområden . - John Wiley and Sons, 2008. - S. 59 . — ISBN 0-470-25952-3 .

Länkar

Algoritmer för att beräkna kvadratroten (engelska) . Hämtad 12 oktober 2006. Arkiverad från originalet 19 november 2010.
Solovyov Yu. Gammal algoritm . Hämtad 6 november 2006. Arkiverad från originalet 3 mars 2016. (obestämd)

Ordböcker och uppslagsverk	Stor dansk Britannica (online)