Kurva av andra ordningen

Kurva av andra ordningen - platsen för punkter i planet, vars rektangulära koordinater uppfyller formens ekvation

a_{11}x^{2}+2a_{12}xy+a_{22}y^{2}+2a_{13}x+2a_{23}y+a_{33}=0,

där åtminstone en av koefficienterna skiljer sig från noll. En andra ordningens kurva är alltså ett specialfall av en algebraisk kurva . $a_{11},~a_{12},~a_{22}$

Historik

Kurvor av andra ordningen studerades först av Menechmus , en elev av Eudoxus [1] [2] . Hans arbete var som följer: om du tar två korsande linjer och roterar dem runt bisektorn av vinkeln som bildas av dem, får du en konyta . Om vi skär denna yta med ett plan , då olika geometriska former erhålls i avsnittet, nämligen ellips , cirkel , parabel , hyperbel och flera degenererade figurer (se nedan).

Denna vetenskapliga kunskap fann dock tillämpning först på 1600-talet, när det blev känt att planeterna rör sig längs elliptiska banor, och en kanonprojektil flyger längs en parabolisk. Ännu senare blev det känt att om du ger kroppen den första rymdhastigheten , så kommer den att röra sig i en cirkel runt jorden, med en ökning av denna hastighet - längs en ellips , när den andra rymdhastigheten uppnås - längs en parabel , och med en hastighet större än den andra rymdhastigheten - längs en hyperbol .

Invarianter

Kurvans form beror på fyra invarianter :

invarianter under rotation och förskjutning av koordinatsystemet :
- $I_{3}={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{12}&a_{22}&a_{23}\\a_{13}&a_{23} &a_{33}\end{vmatrix}}$ (även kallad ) $\Delta$
- $I_{2}={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{12}&a_{22}\end{vmatrix}}=a_{11}a_{22}-a_{ 12}^{2}$ (även kallad ) $D$
- $I_{1}={\text{tr}}{\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{12}&a_{22}\end{pmatrix}}=a_{11} +a_{22}$ (även kallad ) $jag$
invariant med avseende på rotationen av koordinatsystemet (semi-invariant):
- $K={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{13}\\a_{13}&a_{33}\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23} \\a_{23}&a_{33}\end{vmatrix}}$ (även kallad ) $B$

Det ibland påträffade uttrycket "kurvainvariant" är felaktigt. Om vi multiplicerar ekvationen med ett icke-nolltal k får vi en ekvation som definierar samma kurva. I det här fallet kommer värdena på invarianterna att ändras. etc. ${\displaystyle \Delta '=\Delta k^{3},D'=Dk^{2))$

Klassificering av kurvor av andra ordningen med avseende på värdena för invarianter

Kurva	Ekvationen	Invarianter
Ellips	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$	$I_{2}\neq 0$	$I_{2}>0$	$I_{1}I_{3}<0$
Punkt (ett par imaginära skärande linjer)	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+y^{2}=0$			$I_{3}=0$
imaginär ellips	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=-1$			$I_{1}I_{3}>0$
Hyperbel	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$		$I_{2}<0$	$I_{3}\neq 0$
Ett par korsande linjer	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-y^{2}=0$		$I_{2}<0$	$I_{3}=0$
Parabel	$y^{2}=2px$	$I_{2}=0$		$I_{3}\neq 0$
Par parallella linjer	$x^{2}-d^{2}=0$			$I_{3}=0$	$K_{1}<0$
Hetero	$x^2=0$				$K_{1}=0$
Ett par imaginära parallella linjer	$x^{2}+d^{2}=0$				$K_{1}>0$

Icke degenererade kurvor

En kurva av andra ordningen kallas icke- degenererad om följande alternativ kan förekomma: $\Delta\ne0.$

En andra ordningens icke-degenererade kurva kallas central if $D\inte=0$
- ellips - tillhandahållen och ; $D>0$ $\Delta\cdot I<0$
  - ett specialfall av en ellips - en cirkel - förutsatt att eller $I^2=4D$ $a_{11}=a_{22}, a_{12}=0;$
- imaginär ellips (inte en enda riktig punkt) - tillhandahålls och $D>0$ $\Delta\cdot I>0;$
- hyperbol - tillhandahålls $D<0;$
En andra ordningens icke-degenererade kurva kallas icke-central if $D=0$
- parabel - föremål för $D=0.$

Degenererade kurvor

En andra ordningens kurva kallas degenererad om . Följande alternativ kan dyka upp: $\Delta=0$

verklig punkt i skärningspunkten mellan två imaginära linjer ( degenererad ellips ) - tillhandahålls $D>0;$
ett par verkliga skärande linjer (degenererad hyperbel ) - tillhandahålls $D<0;$
degenererad parabel - tillhandahålls $D=0:$
- ett par riktiga parallella linjer - under villkoret $B<0;$
- en riktig linje (två sammanslagna parallella linjer ) - tillhandahålls $B=0;$
- ett par imaginära parallella linjer (inte en enda verklig punkt) - tillhandahålls $B>0.$

Karakteristisk andragradsform och karakteristisk ekvation

Många viktiga egenskaper hos andra ordningens kurvor kan studeras med den karakteristiska kvadratiska formen som motsvarar kurvans ekvation

F_0(x,\,y) = a_{11}x^2 + 2a_{12}xy + a_{22}y^2.

Så till exempel visar sig en icke-degenererad kurva vara en verklig ellips , en imaginär ellips , en hyperbel eller en parabel , beroende på om det är en positiv bestämd, negativ bestämd, obestämd eller semidefinit kvadratisk form, som fastställs av rötterna till den karakteristiska ekvationen: $\left(\Delta\ne0\höger)$ $F_0(x,\,y)$

\begin{vmatrix} a_{11} - \lambda & a_{12} \\ a_{12} & a_{22} - \lambda \end{vmatrix} = 0

eller

\lambda^2 - I\lambda + D = 0.

Rötterna till denna ekvation är egenvärdena för den verkliga symmetriska matrisen

\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{12} & a_{22} \end{pmatrix}

och som en konsekvens är de alltid verkliga [3] .

Diametrar och mitten av en kurva av andra ordningen

Diametern på en kurva av andra ordningen är platsen för mittpunkterna för de parallella ackorden i denna kurva. Diametern som erhålls på detta sätt kallas konjugatet av dessa ackord eller deras riktning. Diametern konjugatet till ackorden som bildar en vinkel med den positiva riktningen för axeln Ox bestäms av ekvationen: $\theta$

$\left(a_{11}x + a_{12}y +a_{13}\right) \cos\theta + \left(a_{12}x + a_{22}y +a_{23}\right) \ sin\theta = 0.$

Om villkoret är uppfyllt, skärs alla diametrar på kurvan vid en punkt - mitten , och själva kurvan kallas central . Annars ( ) är alla diametrar på kurvan antingen parallella eller lika. $D\ne0,$ $D=0$

Centrumkoordinaterna bestäms av ekvationssystemet: $\left(x_0,\;y_0\right)$

$\begin{cases} a_{11}x_0 + a_{12}y_0 + a_{13} = 0 \\ a_{12}x_0 + a_{22}y_0 + a_{23} = 0 \end{cases}$

Att lösa detta system med avseende på och få: $x_{0}$ $y_0,$

$\begin{align} x_0 = - \frac{1}{D} \begin{vmatrix} a_{13} & a_{12} \\ a_{23} & a_{22} \end{vmatrix} = \frac{ a_{12}a_{23} - a_{13}a_{22}}{D} \\ y_0 = - \frac{1}{D} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{12} & a_{23} \end{vmatrix} = \frac{a_{13}a_{12} - a_{11}a_{23}}{D} \end{align}\;\;\; (D\ne0).$

Om kurvan är central, flyttar man origo till dess mittpunkt får ekvationen formen

$a_{11} \bar x^2 + 2a_{12} \bar x \bar y + a_{22} \bar y^2 + \frac{\Delta}{D} = 0,\;\;\;\ stapel x = x - x_0,\;\;\;\stapel y = y - y_0,$

var är koordinaterna i förhållande till det nya systemet. $\stapel x,\;\stapel y$

Huvudaxlar och hörn för en andra ordningens kurva

Huvudaxeln för en kurva av andra ordningen är dess diameter, vinkelrät mot ackorden som är konjugerade med den. Denna diameter är kurvans symmetriaxel. Varje central kurva har antingen två inbördes vinkelräta axlar, eller så är alla diametrar huvudaxlar. I det senare fallet är kurvan en cirkel. Icke-centrala kurvor har bara en huvudaxel. Skärningspunkterna för huvudaxeln med själva kurvan kallas dess hörn . $\left(D\ne0\höger)$ $\vänster(D=0\höger)$

Riktningen cosinus för normalerna till huvudaxlarna uppfyller ekvationerna

$\begin{cases} \left(a_{11} - \lambda\right) \cos \theta + a_{12} \sin \theta = 0 \\ a_{12} \cos \theta + \left(a_{22 } - \lambda\right) \sin \theta = 0 \end{fall},$

där är en icke-noll rot av den karakteristiska ekvationen. Riktningarna för huvudaxlarna och deras konjugerade ackord kallas för kurvans huvudriktningar . Vinkeln mellan Ox- axelns positiva riktning och var och en av de två huvudriktningarna ges av $\lambda$

$\operatörsnamn{tg}2\phi = \operatörsnamn{tg}2\theta = \frac{2a_{12}}{a_{11}-a_{22}}.$

Av alla typer av andra ordningens kurvor är det bara cirkeln som har obestämda huvudriktningar.

Ekvationer

Allmän ekvation i matrisform

Den allmänna ekvationen för kurvan kan skrivas i matrisform

{\begin{pmatrix}x&y&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{12}&a_{22}&a_{23}\\ a_{13}&a_{23}&a_{33}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix}}=0

eller

x^{T}Ax=0

Kanonisk form

Genom att införa ett nytt koordinatsystem kan man föra ekvationerna för andra ordningens kurvor till den kanoniska standardformen (se tabellen ovan). Parametrarna för de kanoniska ekvationerna uttrycks mycket enkelt i termer av invarianterna för kurvans ursprungliga ekvation och rötterna till den karakteristiska ekvationen (se avsnittet "Karakteristisk andragradsform och karakteristisk ekvation" ovan). $\Delta,\;D,\;I$ $\lambda_1 \geqslant \lambda_2$

Kommentar. När du byter till den kanoniska formen av en ekvation kan det vara nödvändigt att multiplicera ekvationen med ett tal som inte är noll. Därför kan de numeriska värdena för invarianterna i den kanoniska ekvationen skilja sig från värdena för invarianterna för den ursprungliga ekvationen. Tecken på och förblir oförändrade . $\Delta \cdot I\;$ $D$

För den centrala kurvan i den kanoniska formen är dess centrum vid ursprunget. $\left(x_0,\;y_0\right)$

Genom excentricitet

Den kanoniska ekvationen för en icke-degenererad kurva av andra ordningen kan reduceras till formen genom en lämplig transformation av ursprunget

$y^2=2px-(1-\varepsilon^2)x^2\ \ (p>0).$

I detta fall passerar kurvan genom det nya koordinatsystemets origo, och Ox- axeln är kurvans symmetriaxel. Denna ekvation uttrycker det faktum att en icke-degenererad kurva av andra ordningen är platsen för punkter vars avståndsförhållande ( excentricitet ) från en given punkt ( fokus ) och från en given rät linje ( directrix ) är konstant . Dessutom, för , är kurvan en cirkel, för , en ellips, för , en parabel och för , en hyperbel. $\varepsilon \geqslant 0$ $\varepsilon = 0$ $\varepsilon < 1$ $\varepsilon=1$ $\varepsilon > 1$

Ekvationen för riktningen för en kurva uttrycks av ekvationen och koordinaterna för fokus . riktningen är vinkelrät mot symmetriaxeln som passerar genom fokus och kurvans vertex ( brännaxel ). Avståndet mellan fokus och riktlinje är $x = - \frac{p}{\varepsilon \left( 1 + \varepsilon \right)},$ $x=\frac{p}{1+\varepsilon}, \;\; y=0.$ $\frac{p}{\varepsilon}.$

Om kurvan av den andra ordningen är central (ellips eller hyperbel), då den räta linjen

$x = \frac{p}{1 - \varepsilon^2} = a$

är symmetriaxeln och därför har kurvan två foci och två riktlinjer.

Parametern kallas focal parameter och är lika med halva längden av ackordet genom fokus och vinkelrätt mot fokalaxeln ( focal chord ). $sid$

Polära koordinater

Om vi tar fokus för en icke-degenererad kurva av andra ordningen som polen för det polära koordinatsystemet och dess symmetriaxel som polaxeln, så kommer kurvans ekvation att se ut i polära koordinater $\left(\rho,\phi\right)$ $\rho$ $\phi$

$\rho=\frac{p}{1 + \varepsilon \cos \phi}.$

En kurva definierad av dess fem punkter

En andra ordningens kurva bestäms helt av dess fem punkter om inte fyra av dem ligger på samma räta linje. Ekvation för en kurva som går genom punkter och $\left( x_1, y_1 \right),$ $\left( x_2, y_2 \right),$ $\left( x_3, y_3 \right),$ $\left( x_4, y_4 \right)$ $\left( x_5, y_5\right):$

$\begin{vmatrix} x^2 & xy & y^2 & x & y & 1 \\ x_1^2 & x_1y_1 & y_1^2 & x_1 & y_1 & 1 \\ x_2^2 & x_2y_2 & y_2^2 & x_2 & y_2 & 1 \\ x_3^2 & x_3y_3 & y_3^2 & x_3 & y_3 & 1 \\ x_4^2 & x_4y_4 & y_4^2 & x_4 & y_4 & 1 \\ x_5^2 & x_5y_5 & y_5^2 & x_5 & y_5 & 1 \end{vmatrix} = 0.$

En kurva som ges av fem punkter degenererar om och endast om tre av de givna punkterna ligger på samma räta linje.

Tangenter och normaler

Ekvationen för tangenten till kurvan av andra ordningen vid dess punkt har formen: $f(x,y)$ $\left(x_1, y_1\right)$

$\left(a_{11}x_1+a_{12}y_1+a_{13}\right) x + \left(a_{12}x_1+a_{22}y_1+a_{23}\right) y + \left (a_{13}x_{1}+a_{23}y_{1}+a_{33}\höger) = 0.$

Ekvationen för normalen till en andra ordningens kurva vid en punkt har formen $\left(x_1, y_1\right)$

${\frac {x-x_{{1}}}{a_{{11}}x_{{1}}+a_{{12}}y_{{1}}+a_{{13}}}}={ \frac {y-y_{{1}}}{a_{{12}}x_{{1}}+a_{{22}}y_{{1}}+a_{{23}}}}.$

Polar och polare

Ekvationen

\left(a_{11}x_1+a_{12}y_1+a_{13}\right) x + \left(a_{12}x_1+a_{22}y_1+a_{23}\right) y + \left (a_{13}x_{1}+a_{23}y_{1}+a_{33}\höger) = 0

förutom tangenten definierar en rät linje, kallad polär av en punkt med avseende på en kurva av andra ordningen, oavsett om denna punkt ligger på kurvan eller inte. Punkten kallas denna linjes pol . Polaren för en punkt i en kurva är dess tangent vid den punkten. $\left(x_1, y_1\right)$ $\left(x_1, y_1\right)$

Satser om poler och polarer:

Om en rät linje dragen genom polen skär polaren vid en punkt och en andra ordningens kurva vid punkter och sedan punkterna och harmoniskt separera segmentet , det vill säga villkoret $P,$ $Q,$ $R_{1}$ $R_2,$ $P$ $F$ $R_1R_2,$
$\frac{R_1P}{PR_2}=-\frac{R_1Q}{QR_2}.$
Om en punkt ligger på en viss linje, så passerar dess polar genom denna linjes pol. Om en linje passerar genom någon punkt, så ligger dess pol på den punktens polar.
Diametern på en kurva av andra ordningen är polar för den punkt i oändligheten genom vilken ackorden konjugerat till den passerar, och kurvans centrum är polen på linjen vid oändligheten.
Fokus för en kurva är mitten av en penna som har egenskapen att polen på någon av dess linjer tillhör linjen på denna penna vinkelrätt mot den. Regissören är fokuspolen.

Av dessa uttalanden, i synnerhet, följer att:

om två tangenter till kurvan kan dras genom en punkt, så passerar denna punkts polar genom tangentpunkterna;
tangenterna till kurvan vid ändarna av diametern är parallella med ackorden som är konjugerade till den;
skärningspunkten för tangenterna till kurvan vid ändarna av något av dess ackord som passerar genom fokus ligger på riktningen;
varje ackord som passerar genom fokus är vinkelrät mot linjen som dras genom dess fokus och skärningspunkten för tangenterna vid ändarna av ackordet.

Satser relaterade till kurvor av andra ordningen

Pascals sats : skärningspunkterna för motsatta sidor av en hexagon inskriven i en andra ordningens kurva ligger på samma linje .
Brianchons sats : Diagonaler som passerar genom motsatta hörn av en hexagon omskriven om en andra ordningens kurva skär vid en punkt .

Se även

Länkar

General Equation of a Second Order Curve Arkiverad 30 januari 2020 på Wayback Machine
Kurvor av andra ordningen
Kurvor av andra ordningen: hyperbel, parabel

Litteratur

Aleksandrov A.D., Netsvetaev N.Yu. Kapitel II (Kurvor av andra ordningen) // Geometri. - M . : Nauka, 1990. - S. 32-57.
Akopyan A.V., Zaslavsky A.A. Geometriska egenskaper hos kurvor av andra ordningen. - M. : MNTsMO, 2007.
Prasolov V.V., Tikhomirov V.M. Geometri. - M. : MNTsMO, 2007.
Korn G., Korn T. Kurvor av andra ordningen (koniska sektioner) // Handbok i matematik. - 4:e upplagan. - M . : Nauka, 1978. - S. 64-69.

Anteckningar

↑ Rosenfeld B. A. Apollonius från Perga Arkiverad 12 november 2015 på Wayback Machine . — M. : MTsNMO, 2004. — S. 32.
↑ John J. O'Connor och Edmund F. Robertson . Menaechmus (engelska) är en biografi på MacTutor- arkivet .
↑ Korn G., Korn T. 2.4-5. Karakteristisk andragradsform och karakteristisk ekvation // Handbok i matematik. - 4:e upplagan. - M . : Nauka, 1978. - S. 64.