Ellips

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 24 augusti 2022; kontroller kräver 5 redigeringar .

Ellips ( annan grekisk ἔλλειψις "utelämnande; brist, brist ( av excentricitet upp till 1)") - en stängd kurva på ett plan, som kan erhållas som skärningen av ett plan och en cirkulär cylinder eller som en ortogonal projektion av en cirkel på ett plan .

En cirkel är ett specialfall av en ellips. Tillsammans med hyperbeln och parabeln är ellipsen en konisk sektion och en quadric .

Definition

Ellips - lokus för punkterna M på det euklidiska planet , för vilka summan av avstånden till två givna punkter och (kallas foci ) är konstant och större än avståndet mellan brännpunkterna, dvs. $F_{1}$ $F_{2}$

|F_{1}M|+|F_{2}M|=2\cdot a

, dessutom

|F_{1}F_{2}|<2\cdot a.

Andra definitioner

En ellips kan också definieras som:

en figur som kan erhållas från en cirkel genom att tillämpa en affin transformation
ortogonal projektion av en cirkel på ett plan
skärningspunkten mellan ett plan och en cirkulär cylinder .

Relaterade definitioner

Segmentet AB som passerar genom ellipsens brännpunkter , vars ändar ligger på ellipsen, kallas denna ellips huvudaxel . Längden på huvudaxeln är 2 a i ovanstående ekvation.
Segmentet CD , vinkelrätt mot ellipsens huvudaxel, som går genom huvudaxelns centrala punkt, vars ändar ligger på ellipsen, kallas ellipsens mindre axel .
Skärningspunkten för ellipsens stora och mindre axlar kallas dess mittpunkt .
Segmenten som dras från mitten av ellipsen till hörnen på huvud- och biaxeln kallas för ellipsens stora halvaxel respektive ellipsens mindre halvaxel , och betecknas a och b .
Avstånden och från var och en av brännpunkterna till en given punkt på ellipsen kallas fokalradier vid den punkten. $r_{1}$ $r_{2}$
Avståndet kallas brännvidden . $c={\frac {|F_{1}F_{2}|}{2}}$
Kvantiteten kallas excentricitet . $e={\frac {c}{a}}={\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}$
Diametern på en ellips är ett godtyckligt ackord som passerar genom dess centrum. De konjugerade diametrarna för en ellips är ett par av dess diametrar som har följande egenskap: kordans mittpunkter parallella med den första diametern ligger på den andra diametern. I detta fall ligger kordans mittpunkter parallellt med den andra diametern också på den första diametern.
Ellipsens radie vid en given punkt är segmentet som förbinder mitten av ellipsen med punkten, såväl som dess längd, som beräknas med formeln , där är vinkeln mellan radien och halvhuvudaxeln. $r={\frac {ab}{\sqrt {b^{2}\cos ^{2}\varphi +a^{2}\sin ^{2}\varphi ))}={\frac {b}{ \sqrt {1-e^{2}\cos ^{2}\varphi }}}$ $\varphi$
Fokalparametern är halva längden av ackordet som passerar genom fokus och vinkelrätt mot ellipsens huvudaxel. $p={\frac {b^{2}}{a}}$
Förhållandet mellan längderna på de mindre och stora halvaxlarna kallas ellipskompressionsförhållandet eller ellipticity :. Värdet lika kallas ellipsens sammandragning . För en cirkel är kompressionsfaktorn lika med ett, kompressionen är noll. Kompressionsförhållandet och ellipsens excentricitet hänger samman med förhållandet $k={\frac {b}{a}}$ $(1-k)={\frac {ab}{a}},$ $k^{2}=1-e^{2}.$
För var och en av brännpunkterna finns det en rät linje, kallad direktrix , så att förhållandet mellan avståndet från en godtycklig punkt på ellipsen till dess fokus och avståndet från denna punkt till den givna linjen är lika med ellipsens excentricitet . Hela ellipsen ligger på samma sida av en sådan rak linje som fokus. Direktrixekvationerna för en ellips i kanonisk form skrivs som för foci respektive. Avståndet mellan fokus och riktlinje är . $x=\pm {\frac {p}{e\left(1-e^{2}\right)))$ $\left(\pm {\frac {pe}{1-e^{2}}},\,0\right)$ ${\frac {p}{e}}$

Relationer mellan element i en ellips

${\bold symbol {a}}$ - en stor halvaxel;
${\bold symbol {b))$ - mindre halvaxel;
${\bold symbol {c}}$ - brännvidd (halvt avstånd mellan brännpunkter);
${\bold symbol {p}}$ — Fokalparameter.
${\boldsymbol {r}}_{p}$ - perifokalt avstånd (minsta avståndet från fokus till en punkt på ellipsen);
${\boldsymbol {r}}_{a}$ - apofokusavstånd (maximalt avstånd från fokus till en punkt på ellipsen);

$a^{2}=b^{2}+c^{2};$

$e={\frac {c}{a}}={\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}\;\;\;(0 \leqslant e<1);$

$p={\frac {b^{2}}{a}}.$

	${\bold symbol {a}}$	${\bold symbol {b))$	${\bold symbol {c}}$	${\bold symbol {p}}$	${\displaystyle {\boldsymbol {r_{p))))$	${\displaystyle {\boldsymbol {r_{a))))$
${\bold symbol {a}}$ - stor halvaxel	${\bold symbol {a}}$	$a={\frac {b}{\sqrt {1-e^{2))))$	$a={\frac {c}{e}}$	${\displaystyle a={\frac {p}{1-e^{2))))$	$a={\frac {r_{p}}{1-e}}$	$a={\frac {r_{a}}{1+e}}$
${\bold symbol {b))$ - mindre axel	${\displaystyle b=a{\sqrt {1-e^{2))))$	${\bold symbol {b))$	$b={\frac {c~{\sqrt {1-e^{2)))){e}}$	$b={\frac {p}{\sqrt {1-e^{2))))$	${\displaystyle b=r_{p}{\sqrt {\frac {1+e}{1-e))))$	${\displaystyle b=r_{a}{\sqrt {\frac {1-e}{1+e))))$
${\bold symbol {c}}$ - brännvidd	$c=ae$	$c={\frac {be}{\sqrt {1-e^{2))))$	${\bold symbol {c}}$	${\displaystyle c={\frac {pe}{1-e^{2))))$	$c={\frac {r_{p}e}{1-e))$	$c={\frac {r_{a}e}{1+e}}$
${\bold symbol {p}}$ — fokal parameter	$p=a(1-e^{2})$	${\displaystyle p=b~{\sqrt {1-e^{2))))$	$p=c~{\frac {1-e^{2}}{e}}$	${\bold symbol {p}}$	$p=r_{p}(1+e)$	$p=r_{a}(1-e)$
${\boldsymbol {r}}_{p}$ - perifokalt avstånd	$r_{p}=a(1-e)$	${\displaystyle r_{p}=b~{\sqrt {\frac {1-e}{1+e))))$	$r_{p}=c~{\frac {1-e}{e))$	$r_{p}={\frac {p}{1+e))$	${\boldsymbol {r}}_{p}$	$r_{p}=r_{a}{\frac {1-e}{1+e))$
${\boldsymbol {r}}_{a}$ - apofokusavstånd	$r_{a}=a(1+e)$	${\displaystyle r_{a}=b~{\sqrt {\frac {1+e}{1-e))))$	$r_{a}=c~{\frac {1+e}{e))$	$r_{a}={\frac {p}{1-e))$	$r_{a}=r_{p}~{\frac {1+e}{1-e))$	${\boldsymbol {r}}_{a}$

Koordinatrepresentation

Ellips som en andra ordningens kurva

Ellipsen är en central icke-degenererad kurva av andra ordningen och uppfyller formens allmänna ekvation

a_{11}x^{2}+a_{22}y^{2}+2a_{12}xy+2a_{13}x+2a_{23}y+a_{33}=0

med invarianter och , där: $D>0$ $\Delta I<0$

\Delta ={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{12}&a_{22}&a_{23}\\a_{13}&a_{23}&a_{33}\ end{vmatrix}},

D={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{12}&a_{22}\end{vmatrix}}=a_{11}a_{22}-a_{12}^{2} ,

I=\operatörsnamn {tr} {\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{12}&a_{22}\end{pmatrix}}=a_{11}+a_{22} .

Relationer mellan invarianterna för andra ordningens kurva och halvaxlarna i ellipsen (giltigt endast om ellipsens centrum sammanfaller med ursprunget och ): $a_{{33}}=-1$

\Delta =-{\frac {1}{a^{2}}}{\frac {1}{b^{2}}},

D={\frac {1}{a^{2}}}{\frac {1}{b^{2}}},

I={\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}.

Förhållanden

Om vi skriver om den allmänna ekvationen som

AX^{2}+BXY+CY^{2}+DX+EY+F=0,

då är koordinaterna för ellipsens centrum:

h={\frac {BE-2CD}{4AC-B^{2}}},k={\frac {BD-2AE}{4AC-B^{2}}},

rotationsvinkeln bestäms av uttrycket

tg(2\Theta )={\frac {B}{AC}}.

Axlars vektorriktningar:

{\begin{pmatrix}B&(C-A+{\sqrt {(CA)^{2}+B^{2)))})\end{pmatrix)),{\begin{pmatrix}B&( CA -{\sqrt {(CA)^{2}+B^{2}}})\end{pmatrix}},

härifrån

\operatorname {tg} \Theta ={\frac {CA\pm {\sqrt {(CA)^{2}+B^{2)))){B)).

Längden på halvaxlarna bestäms av uttrycken

a={\sqrt {\frac {2F'({\sqrt {(AC)^{2}+B^{2))}+A+C)}{4AC-B^{2))} },

b={\sqrt {{\frac {2F'}{{\sqrt {(AC)^{2}+B^{2}}}+A+C}}.}}

Det omvända förhållandet - koefficienterna för den allmänna ekvationen från parametrarna för ellipsen - kan erhållas genom att ersätta uttrycket för att rotera koordinatsystemet med en vinkel Θ i den kanoniska ekvationen (se avsnittet nedan) och överföra det till punkten : $(x_{c},\,y_{c})$

{\frac {x'^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y'^{2}}{b^{2}}}=1,

x'=(x-x_{c})\cos \Theta +(y-y_{c})\sin \Theta ,

y'=-(x-x_{c})\sin \Theta +(y-y_{c})\cos \Theta .

Genom att ersätta och utöka parenteserna får vi följande uttryck för koefficienterna i den allmänna ekvationen:

A=a^{2}\sin ^{2}\Theta +b^{2}\cos ^{2}\Theta ,

B=2(b^{2}-a^{2})\sin \Theta \cos \Theta ,

C=a^{2}\cos ^{2}\Theta +b^{2}\sin ^{2}\Theta ,

D=-2Ax_{c}-By_{c},

E=-Bx_{c}-2Cy_{c},

F=Ax_{c}^{2}+Cy_{c}^{2}+Bx_{c}y_{c}-a^{2}b^{2}.

Om du bara anger vinkeln och lämnar mitten av ellipsen vid origo, då

D=0,

E=0,

F=-a^{2}b^{2}.

Det bör noteras att i ekvationen för den allmänna formen av en ellips som ges i det kartesiska koordinatsystemet definieras koefficienterna (eller, vad som är samma, ) upp till en godtycklig konstant faktor, det vill säga ovanstående notation och $A,B,C,D,E,F$ ${\displaystyle a_{11},2a_{12},a_{22},2a_{13},2a_{23},a_{33))$

AkX^{2}+BkXY+CkY^{2}+DkX+EkY+Fk=0,

var är likvärdiga. Det kan inte förväntas att uttrycket $k\neq 0,$

1/a^{2}+1/b^{2}=Ak+Ck

kommer att utföras för alla . $k$

Relationen mellan invarianten och halvaxlarna i allmänna termer är följande: $jag$

{\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}={\frac {A+C}{F\cdot (A\cdot h ^{2}+B\cdot h\cdot k+C\cdot k^{2}-1)))={\frac {I}{F')),

var är koefficienten när man flyttar origo för koordinater till mitten av ellipsen, när ekvationen reduceras till formen $F'=F\cdot (A\cdot h^{2}+B\cdot h\cdot k+C\cdot k^{2}-1)$ $F$

AX^{2}+BXY+CY^{2}+F'=0.

Andra invarianter finns i följande relationer:

-{\frac {\Delta }{F'^{3}}}={\frac {D}{F'^{2}}}={\frac {1}{a^{2}} }{\frac {1}{b^{2}}}.

Kanonisk ekvation

För vilken ellips som helst kan du hitta ett kartesiskt koordinatsystem så att ellipsen kommer att beskrivas med ekvationen:

{\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1.

Denna ekvation kallas ellipsens kanoniska ekvation. Den beskriver en ellips centrerad vid origo, vars axlar sammanfaller med koordinataxlarna [Komm. 1] .

Förhållanden

För visshetens skull antar vi att i detta fall är kvantiteterna och ellipsens stora respektive mindre halvaxlar. $0<b\leqslant a.$ $a$ $b$

Genom att känna till ellipsens halvaxlar kan vi beräkna:

dess brännvidd och excentricitet $\left|F_{1}F_{2}\right|=2{\sqrt {a^{2}-b^{2}}},\;\;\;e={\frac {\ sqrt {a^{2}-b^{2}}}{a}}<1,$
ellipsfokuskoordinater $\left(ae,\,0\right),\left(-ae,\,0\right).$

Ellipsen har två riktlinjer, vars ekvationer kan skrivas som

x={\frac {a}{e}},\;\;\;x=-{\frac {a}{e}}.

Fokalparametern (det vill säga halva längden av ackordet som passerar genom fokus och vinkelrätt mot ellipsens axel) är

p={\frac {b^{2}}{a}}.

Fokalradier, det vill säga avstånden från brännpunkterna till en godtycklig punkt på kurvan : $\vänster(x,\,y\höger)$

r_{1}=a+ex,\;\;\;r_{2}=a-ex.

Ekvation av diameter konjugerat till ackord med lutning : $k$

y=-{\frac {b^{2}}{a^{2}k}}x.

Ekvationen för en tangent till en ellips i en punkt är: $(x_{0},y_{0})$

{\frac {xx_{0}}{a^{2}}}+{\frac {yy_{0}}{b^{2}}}=1.

Tillståndet för tangens mellan linjen och ellipsen skrivs som relationen $y=mx+k$ ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$ $k^{2}=m^{2}a^{2}+b^{2}.$

Ekvationen för tangenter som passerar genom en punkt : $\left(x_1, y_1\right)$

{\frac {y-y_{1}}{x-x_{1}}}={\frac {-x_{1}y_{1}\pm {\sqrt {b^{2}x_{ 1}^{2}+a^{2}y_{1}^{2}-a^{2}b^{2}}}}{a^{2}-x_{1}^{2}} }.

Ekvationen för tangenter med en given lutning : $k$

y=kx\pm {\sqrt {k^{2}a^{2}+b^{2))},

tangentpunkter för en sådan linje i ellipsen (eller vad som är samma, punkterna på ellipsen där tangenten har en vinkel med tangenten lika med ): $k$

x=\mp {\frac {ka^{2}}{\sqrt {k^{2}a^{2}+b^{2}}}},y=\pm {\frac {b^{2 }}{\sqrt {k^{2}a^{2}+b^{2}}}}.

Normal ekvation vid en punkt $\left(x_{1},y_{1}\right):$

{\frac {y-y_{1}}{x-x_{1}}}={\frac {a^{2}y_{1}}{b^{2}x_{1}}}.

Ekvationer i parametrisk form

Den kanoniska ekvationen för en ellips kan parametriseras:

{\begin{cases}x=a\,\cos t\\y=b\,\sin t\end{cases}}\;\;\;0\leqslant t\leqslant 2\pi ,

var finns en parameter. $t$

Endast i fallet med en cirkel (det vill säga vid ) är parametern vinkeln mellan den positiva riktningen för x- axeln och radievektorn för den givna punkten. $a=b$ $t$

I polära koordinater

Om vi tar ellipsens fokus som polen och huvudaxeln som polaxeln, kommer dess ekvation i polära koordinater att se ut som $\left(\rho ,\varphi \right)$

\rho ={\frac {p}{1\pm e\cos \varphi )),

där e är excentriciteten och p är fokalparametern. Minustecknet motsvarar att placera polen med polära koordinater i vänster fokus och plustecknet i höger fokus.

Härledning av ekvationen

Låt r 1 och r 2 vara avstånden till en given punkt på ellipsen från första och andra brännpunkten. Låt även koordinatsystemets pol vara vid första fokus, och låt vinkeln mätas från riktningen till andra fokus. Sedan följer det av definitionen av en ellips att $\varphi$

r_{1}+r_{2}=2a

Härifrån . Å andra sidan från cosinussatsen ${\displaystyle r_{2}^{2}=\left(2a-r_{1}\right)^{2}=4a^{2}-4ar_{1}+r_{1}^{2))$

r_{2}^{2}=r_{1}^{2}+4c^{2}-4r_{1}c\cos \varphi .

Om vi eliminerar från de två sista ekvationerna får vi $r_{2}$

r_{1}={\frac {a^{2}-c^{2}}{ac\cos \varphi }}={\frac {a(1-c^{2}/a^{ 2})}{1-c/a\cos \varphi }}.

Med hänsyn till det och , får vi den nödvändiga ekvationen. $p=a(1-e^{2})$ $e=\frac{c}{a}$

Om vi tar mitten av ellipsen som polen och huvudaxeln som polaxeln, kommer dess ekvation i polära koordinater att se ut som $\left(\rho ,\varphi \right)$

\rho ={\frac {b}{\sqrt {1-e^{2}\cos ^{2}\varphi ))}={\frac {ab}{\sqrt {a^{2}\sin ^ {2}\varphi +b^{2}\cos ^{2}\varphi }}}.

Båglängden för en ellips

Längden på bågen av en platt linje bestäms av formeln:

l=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\ frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}\,dt.

Med hjälp av den parametriska representationen av ellipsen får vi följande uttryck:

l=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {a^{2}\sin ^{2}t+b^{2}\cos ^{2}t} }\,dt.

Efter ersättningen får uttrycket för båglängden den slutliga formen: $b^{2}=a^{2}\left(1-e^{2}\right)$

l=a\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {1-e^{2}\cos ^{2}t}}\,dt,\;\;\ ;e<1.

Den resulterande integralen tillhör familjen elliptiska integraler , som inte uttrycks i elementära funktioner, och reduceras till en elliptisk integral av det andra slaget . I synnerhet är omkretsen av ellipsen: $E\vänster(t,e\höger)$

l=4a\int \limits _{0}^{\pi /2}{\sqrt {1-e^{2}\cos ^{2}t}}\,dt=4aE(e),

var är den fullständiga elliptiska integralen av det andra slaget . $E\vänster(e\höger)$

Ungefärliga formler för omkretsen

$L\approx 4{\frac {\pi ab+(ab)^{2}}{a+b}}.$

Det maximala felet för denna formel för ellipsens excentricitet (förhållandet mellan axlarna ). Felet är alltid positivt. $\approx 0{,}63\ \%$ $\approx 0{,}988$ $\approx 1/6{,}5$

Cirka två gånger mindre fel i ett brett spektrum av excentriciteter ges av formeln : $L\approx 4\cdot \left(a^{x}+b^{x}\right)^{\left(1/x\right)}$ $x={\frac {\ln 2}{\ln {\frac {\pi }{2))))$ $\approx 0{,}36\ \%$ $\approx 0{,}980$ $\approx 1/5$

Betydligt bättre noggrannhet tillhandahålls av Ramanujan- formeln : $0{,}05<a/b<20$ $L\approx \pi \left[3(a+b)-{\sqrt {(3a+b)(a+3b)))\höger].$

Med ellipsens excentricitet (förhållandet mellan axlarna ) är felet . Felet är alltid negativt. $\approx 0{,}980$ $\approx 1/5$ $\approx 0{,}02\ \%$

Ramanujans andra formel visade sig vara ännu mer exakt: $L\approx \pi (a+b)\left[1+{\frac {3\left({\frac {ab}{a+b}}\right)^{2}}{10+{ \sqrt {4-3\left({\frac {ab}{a+b}}\right)^{2}}}}}\right].$

Exakta formler för omkretsen

James Ivory [1] och Friedrich Bessel [2] fick oberoende av varandra en formel för omkretsen av en ellips:

L=\pi (a+b)\left[1+\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left[{\frac {(2n-1)!!}{(2n -1)\cdot 2^{n}\cdot n!}}\left({\frac {ab}{a+b}}\right)^{n}\right]^{2}\right].

Alternativ formel

L={\frac {2\pi aN(1-e^{2})}{M({\sqrt {1-e^{2))})))),

var är det aritmetiskt-geometriska medelvärdet 1 och , och är det modifierade aritmetiskt-geometriska medelvärdet 1 och , som introducerades av S.F. Adlai i en tidning från 2012 [3] . $M(x)$ $x$ $N(x)$ $x$

Arean av en ellips och dess segment

Ellipsens area beräknas med formeln

S=\pi ab.

Arean av segmentet mellan bågen , konvex till vänster, och det vertikala ackordet som passerar genom punkterna och kan bestämmas med formeln [4] : $\vänster(x,\,y\höger)$ $\left(x,\,-y\right),$

S={\frac {\pi ab}{2}}-{\frac {b}{a}}\left(x\,{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}+a ^{2}\arcsin {\frac {x}{a}}\right).

Om ellipsen ges av ekvationen kan arean bestämmas med formeln $Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}=1$

S={\frac {2\pi }{\sqrt {4AC-B^{2))))

Andra egenskaper

Optisk
- Ljus från en källa som ligger vid en av brännpunkterna reflekteras i en ellips så att de reflekterade strålarna skär varandra vid det andra fokuset.
- Ljus från en källa som är utanför någon av brännpunkterna reflekteras i en ellips så att de reflekterade strålarna inte skär varandra vid något fokus.
Om och är brännpunkter för ellipsen, då för varje punkt X som hör till ellipsen, är vinkeln mellan tangenten vid denna punkt och linjen lika med vinkeln mellan denna tangent och linjen . $F_{1}$ $F_{2}$ $(F_{1}X)$ $(F_{2}X)$
En linje som dras genom mittpunkterna av segment avskurna av två parallella linjer som skär ellipsen kommer alltid att passera genom mitten av ellipsen. Detta gör det möjligt att bygga med en kompass och rätsida för att enkelt få ellipsens centrum, och senare axlarna, hörnen och brännpunkterna.
- Ekvivalent formulering: genom mittpunkterna av två parallella ackord i ellipsen passerar en viss diameter av ellipsen. I sin tur passerar valfri diameter av ellipsen alltid genom mitten av ellipsen.
Utvecklingen av en ellips är en astroid som sträcker sig längs den vertikala axeln.
Ellipsens skärningspunkter med axlarna är dess hörn .
Ellipsens excentricitet , det vill säga förhållandet kännetecknar ellipsens förlängning. Ju närmare excentriciteten är noll, desto mer liknar ellipsen en cirkel, och vice versa, ju närmare excentriciteten är enheten, desto mer långsträckt är den. $e={\frac {c}{a}}={\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}\;\;\;(0\leqslant e <1),$
- Om ellipsens excentricitet är noll (vilket är samma sak som att brännvidden är noll: ), så urartar ellipsen till en cirkel . $F_{1}F_{2}=0$
Extrema egenskaper [5]
- If är en konvex figur och är inskriven i en -gon med maximal area, alltså $F$ $T_{n}$ $F$ $n$ $S(T_{n})\geq S(F)\cdot {\frac {n}{2\cdot \pi }}{\sin(2\cdot \pi /n)},$

där anger arean av figuren .

S(F)

F

Dessutom uppnås jämlikhet om och endast om den begränsas av en ellips. $F$

Bland alla konvexa slutna kurvor som avgränsar ett givet område, ellipser och bara de har den maximala affina längden .

Om en godtycklig ellips är inskriven i triangeln ABC och har foci P och Q , då är relationen [6] sann för den:

{\frac {{\overline {PA}}\cdot {\overline {QA}}}({\overline {CA}}\cdot {\overline {AB}}}}+{\frac {{\overline {PB }}\cdot {\overline {QB}}}{{\overline {AB}}\cdot {\overline {BC}}}}+{\frac ({\overline {PC}}\cdot {\overline {QC }} ))}{{\overline {BC}}\cdot {\overline {CA}}}}=1.

Om en stege (ett oändligt tunt linjesegment) lutar mot en vertikal vägg med ett horisontellt golv och ena änden av stegen glider längs väggen (vidrör den hela tiden) och den andra änden av stegen glider längs golvet ( hela tiden genom att röra vid den), kommer varje fast punkt på stegen (inte vid dess ändar) att röra sig längs bågen av någon ellips. Denna egenskap förblir sann om vi tar en punkt inte inne i stegsegmentet, utan på dess tänkbara fortsättning. Den sista egenskapen används i -ellipsografin som beskrivs ovan .

En tangent som går genom en punkt som hör till en ellips har följande ekvation: $(x_{0},y_{0})$

{\frac {xx_{0}}{a^{2}}}+{\frac {yy_{0}}{b^{2}}}=1.

Bygga en ellips

Verktygen för att rita en ellips är:

trammel
två nålar instuckna i ellipsens foci och förbundna med en tråd av längden 2 a , som dras med en penna. Metoden uppfanns av James Maxwell vid 14 års ålder och visade sig, när han tillfrågades av sin far till Royal Society of Edinburgh, vara tidigare okänd [7] .

Med hjälp av en kompass eller kompass och rätsida kan du konstruera valfritt antal punkter som hör till en ellips, men inte hela ellipsen.

Ellipser associerade med en triangel

Brokars ellips - en ellips med foci vid Brocards punkter
Ellipse Mandart
Ellips Steiner

Se även

Kommentarer

↑ Om det på höger sida finns en enhet med ett minustecken, då den resulterande ekvationen ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=-1$ beskriver en imaginär ellips, den har inga punkter på det verkliga planet.

Anteckningar

↑ Ivory J. En ny serie för rättelse av ellipsen // Transactions of the Royal Society of Edinburgh. - 1798. - Vol. 4 . - S. 177-190 . - doi : 10.1017/s0080456800030817 .
↑ Bessel FW Über die Berechnung der geographischen Längen und Breiten aus geodätischen Vermesssungen (tyska) // Astron. Nachr. . - 1825. - Bd. 4 . - S. 241-254 . - doi : 10.1002/asna.18260041601 . - . På engelska översatt: Bessel FW Beräkningen av longitud och latitud från geodetiska mätningar (1825 ) // Astron. Nachr. . - 2010. - Vol. 331 . - s. 852-861 . - doi : 10.1002/asna.201011352 . - arXiv : 0908.1824 .
↑ Adlaj S. En vältalig formel för omkretsen av en ellips // Meddelanden om AMS . - 2012. - Vol. 76 , iss. 8 . - P. 1094-1099 . - doi : 10.1090/noti879 .
↑ Korn, 1978 , sid. 68.
↑ Feyesh Toth L. Kapitel II, §§ 4, 6 // Arrangemang på planet, på sfären och i rymden . - M. : Fizmatgiz, 1958. - 364 sid. (ryska)
↑ Allaire PR, Zhou J., Yao H. Bevisar en ellipsidentitet från 1800-talet // Mathematical Gazette. - 2012. - Vol. 96 , nr. 535 . - S. 161-165 .
↑ Kartsev V.P. Maxwell. - M .: Young Guard, 1974. (Serie "Life of Remarkable People"). s. 26-28.

Litteratur

Korn G., Korn T. Egenskaper för cirklar, ellipser, hyperbler och paraboler // Handbok i matematik. - 4:e upplagan. - M . : Nauka, 1978. - S. 70-73.
Selivanov D. F. Ellipse // Encyclopedic Dictionary of Brockhaus and Efron : i 86 volymer (82 volymer och ytterligare 4). - St Petersburg. 1890-1907.
A.V. Akopyan, A.A. Zaslavsky Geometriska egenskaper hos kurvor av andra ordningen, - M.: MTSNMO , 2007. - 136 sid.
I. Bronstein . Ellipse // Kvant , nr 9, 1970.
A. I. Markushevich. Anmärkningsvärda kurvor // " Populära föreläsningar om matematik ", nummer 4.

Länkar

S. Sykora, Approximations of Ellipse perimeters and of the Complete Elliptic Integral E(x). Genomgång av kända formler
Grand P. Michon . Perimeter of an Ellipse (Final Answers) (engelska) , 2000-2005. — 20.00
Video: Hur man ritar en ellips

Ordböcker och uppslagsverk	Stor katalanska Stor norsk Great Soviet (1 upplaga) Britannica (online)
I bibliografiska kataloger	BNF : 11981967h GND : 4194779-4 J9U : 987007540845005171 LCCN : sh85042604

Kurvor

Definitioner

Förvandlad

Icke plan

Platt
algebraisk

Koniska sektioner

3:e ordningen ( Cubic )

Elliptisk	Elliptisk kurva Jacobi elliptiska funktioner Elliptisk integral Elliptiska funktioner
Övrig	Verziera Agnesi Kartesiskt ark Maclaurin trisektor Chirnhaus Ophiurida Strofoid Halvkubisk parabel Treudd Cissoid av Diocles

4:e ordningen

Lemniskater

Approximation

Spline
- B-spline
- Kubisk
- monospline
- Glättning
- Perfekt
- Hermite
beziers

Cykloidal

Övrig

Krokig gård

Platt
transcendental

Spiraler	Archimedov Odla Galileen Hyperbolisk "trollstav" gyllene klotoid logaritmisk sinus-
Cykloidal	trochoid Cykloid Epitrochoid Epicykloid Hypotrochoid Hypocykloid Kvasitrochoid "Reste sig" quadrifolium Snabb nedstigning (brachistochrone, cykloidbåge)
Övrig	Quadratrix cochleoid jaga traktor trochoid kedjelinje inverterad välvd konstant bredd sinusformad Ribokura Super formel Superellips Reuleaux triangel polygon Lissajous siffror

fraktal

Enkel	Gilbert Gosper drakekurva Koch Avgift Minkowski Peano Sierpinsky
topologiska	Sierpinski servett Sierpinski matta Svamp Menger cirkulär fraktal Apollonius matta

Koniska sektioner
Huvudsorter	Ellips Hyperbel Parabel
Degenererad	Punkt Hetero Ett par raka linjer
Ett specialfall av en ellips	Cirkel
Geometrisk konstruktion	konisk sektion Dandelin bollar Steiners design
se även	Konisk konstant
Matematik • Geometri