Lognormalfördelning

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 23 maj 2021; kontroller kräver 2 redigeringar .

lognormal
μ=0Sannolikhetstäthet
μ=0distributionsfunktion
Beteckning	$\ln N(\mu ,\sigma ^{2})$ , $LN(\mu ,\sigma ^{2})$
alternativ	$\sigma >0$ $-\infty <\mu <\infty$
Bärare	$x\in (0;+\infty )$
Sannolikhetstäthet	$\exp \left(-\left.\left[{\frac {\ln(x)-\mu }{\sigma }}\right]^{2}\right/2\right)\left/\left( x\sigma {\sqrt {2\pi }}\right)\right.$
distributionsfunktion	${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\mathrm {erf} \left[{\frac {\ln(x)-\mu }{\sigma {\ sqrt {2}}}}\right]$
Förväntat värde	$e^{{\mu +\sigma ^{2}/2}}$
Median	$e^{{\mu))$
Mode	$e^{{\mu -\sigma ^{2}}}$
Dispersion	$(e^{{\sigma ^{2}}}\!\!-1)e^{{2\mu +\sigma ^{2}}}$
Asymmetrikoefficient	$(e^{{\sigma ^{2))}\!\!+2){\sqrt {e^{{\sigma ^{2))}\!\!-1))$
Kurtos koefficient	$e^{{4\sigma ^{2}}}\!\!+2e^{{3\sigma ^{2}}}\!\!+3e^{{2\sigma ^{2}}}\ !\!-6$
Differentialentropi	${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\ln(2\pi \sigma ^{2})+\mu$
Genererande funktion av moment	$\operatörsnamn {E}[X^{s}]=e^{{s\mu +{\tfrac {1}{2}}s^{2}\sigma ^{2}}}.$
karakteristisk funktion	$\sum _{{n=0}}^{{\infty }}{\frac {(it)^{n}}{n!)}}e^{{n\mu +n^{2}\sigma ^ {2}/2}}$

Den lognormala fördelningen i sannolikhetsteorin är en tvåparameterfamilj av absolut kontinuerliga fördelningar . Om en slumpvariabel har en lognormalfördelning, har dess logaritm en normalfördelning .

Definition

Låt fördelningen av en slumpvariabel ges av sannolikhetstätheten som har formen: $X$

f X ( x ) = ett x σ 2 π e − ( ln ⁡ x − μ ) 2 / 2 σ 2 , {\displaystyle f_{X}(x)={\frac {1}{x\sigma {\sqrt {2\pi ))))e^{-(\ln x-\mu )^{2}/2 \sigma ^{2}},}

f_{X}(x)={\frac {1}{x\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{{-(\ln x-\mu )^{2}/ 2\sigma ^{2}}},

var . Då säger vi att den har en log-normalfördelning med parametrar och . Skriv: . $x>0,\;\sigma >0,\;\mu \i {\mathbb {R))$ $X$ $\mu$ $\sigma$ $X\sim {\mathrm {LogN}}(\mu ,\sigma ^{2})\$

Moments

Formeln för det e momentet av en lognormal slumpvariabel är: $k$ $X$

{\mathbb {E}}\left[X^{k}\right]=e^{{k\mu +{\frac {k^{2}\sigma ^{2}}{2}}}}, \;k\in {\mathbb {N}),

varifrån särskilt:

{\mathbb {E}}[X]=e^{{\mu +{\sigma ^{2} \över 2}}}

{\mathrm {D}}[X]=\left(e^{{\sigma ^{2}}}-1\right)e^{{2\mu +\sigma ^{2}}}

Eventuella icke-centrala moment i en n-dimensionell lognormalfördelning kan beräknas med en enkel formel:

\alpha _{{n}}=e^{{(\mu ,n)+{\frac {1}{2}}(n,\Sigma n)))

, där och är parametrarna för den multivariata ledfördelningen. är en vektor vars komponenter definierar ögonblickets ordning. (Till exempel, i det tvådimensionella fallet, - det andra icke-centrala momentet för den första komponenten, - blandat andra moment). Parenteser betecknar skalär produkt.

\mu

\Sigma

n

n=(2,0)

n=(1,1)

Egenskaper för lognormalfördelningen

Om är oberoende lognormala slumpvariabler sådana att , så är deras produkt också lognormal: $X_{1},\ldots ,X_{n}$ $X_{i}\sim {\mathrm {LogN}}(\mu ,\sigma _{i}^{2})$ $Y=\prod \limits _{{i=1}}^{n}X_{i}\sim {\mathrm {LogN}}\left(n\mu ,\sum \limits _{{i=1}} ^{n}\sigma _{i}^{2}\right)$ .

Relation med andra distributioner

Om , då . $X\sim {\mathrm {LogN}}(\mu ,\sigma ^{2})\$ $Y=\ln(X)\sim {\mathrm {N}}(\mu ,\sigma ^{2})\$

Omvänt, om , då . $Y\sim {\mathrm {N}}(\mu ,\sigma ^{2})\$ $X=\exp(Y)\sim {\mathrm {LogN}}(\mu ,\sigma ^{2})\$

Simulering av lognormala slumpvariabler

Normalt används en koppling med normalfördelning för modellering. Därför räcker det att generera en normalfördelad slumpvariabel, till exempel med hjälp av Box-Muller-transformen , och beräkna dess exponent.

Variationer generalisering

Lognormalfördelningen är ett specialfall av den så kallade kaptensfördelningen. .

Applikationer

Lognormalfördelningen beskriver på ett tillfredsställande sätt fördelningen av partikelfrekvenser över deras storlekar vid slumpmässig fragmentering, till exempel hagel i hagel etc. Det finns dock undantag, till exempel har storleken på asteroider i solsystemet en logaritmisk fördelning .

Litteratur

Crow, Edwin L. & Shimizu, Kunio (Editors) (1988), Lognormal Distributions, Theory and Applications , vol. 88, Statistics: Textbooks and Monographs, New York: Marcel Dekker, Inc., sid. xvi+387, ISBN 0-8247-7803-0
Aitchison, J. och Brown, J.A.C. (1957) The Lognormal Distribution , Cambridge University Press .
Limpert, E; Stahel, W; Abbt, M. Lognormalfördelningar över vetenskaperna: nycklar och ledtrådar // BioScience : journal. - 2001. - Vol. 51 , nr. 5 . - s. 341-352 . - doi : 10.1641/0006-3568(2001)051[0341:LNDATS]2.0.CO;2 .
Eric W. Weisstein et al. Logga normalfördelning på MathWorld . Elektroniskt dokument, hämtat 26 oktober 2006.
Holgate, P. The lognormal characteristic function (neopr.) // Communications in Statistics - Theory and Methods. - 1989. - T. 18 , nr 12 . - S. 4539-4548 . - doi : 10.1080/03610928908830173 .
Brooks, Robert; Corson, John; Donal, WalesPrissättningen av indexoptioner när alla underliggande tillgångar följer en lognormal spridning // Framsteg inom framtids- och alternativforskning : tidskrift. - 1994. - Vol. 7 .

Ordböcker och uppslagsverk	stor kines Stor ryss
I bibliografiska kataloger	GND : 4221613-8 J9U : 987007536256605171 LCCN : sh85078134

Sannolikhetsfördelningar
Diskret	Bernoulli Binom Geometrisk hypergeometrisk Logaritmisk Negativ binomial Poisson Diskret uniform Multinomial
Absolut kontinuerligt	Beta Weibulla Gamma- hyperexponentiell Gompertz Kolmogorov Cauchy Laplace lognormal Normal (Gaussian) Logistisk Nakagami Pareto Pearson halvcirkelformig kontinuerlig uniform Ris Rayleigh Studerande Tracey - Vidoma Fiskare Chi-kvadrat Exponentiell Varians-gamma Multivariat normal kopula