Derivat (matematik)

Derivatan  är ett grundläggande matematiskt begrepp som används i olika varianter (generaliseringar) inom många grenar av matematiken. Det är den grundläggande konstruktionen av differentialkalkyl , som tillåter många varianter av generaliseringar som används i kalkyl , differentialtopologi och geometri och algebra .

Det gemensamma mellan olika variationer och generaliseringar är att mappningens derivata karaktäriserar graden av förändring i bilden av mappningen med en (oändligt) liten förändring i argumentationen. Beroende på de matematiska strukturerna som övervägs specificeras innehållet i detta koncept.

Ett 20-tal generaliseringar av begreppet derivata är kända endast för fallet med topologiska linjära rum. [ett]

Derivata av en funktion av en variabel

Grundläggande definition

Derivatan av en funktion vid en punkt definieras som gränsen för förhållandet mellan ökningen av funktionen och ökningen av argumentet eftersom ökningen av argumentet tenderar till noll:

, var .

Grafiskt är detta lutningen för tangenten vid en punkt till kurvan som representerar funktionen .

För tillräckligt små förändringar i argumentationen gäller jämlikheten . I det allmänna fallet är det denna form av definition som ligger till grund för att generalisera begreppet derivat.

Ensidiga derivator

Ensidiga derivator definieras också, där ensidig ( vänsterhänt och högerhänt ) limit används istället för motsvarande limit. Den högra derivatan eller derivatan till höger betecknas med symbolerna . Den vänstra derivatan eller derivatan till vänster betecknas med symbolerna . En vanlig derivata existerar om och endast om det finns lika ensidiga derivator (deras storlek är lika med derivatan).

Derivater av högre ordning

Eftersom derivatan av en funktion av en variabel också är en viss funktion av en variabel, kan vi betrakta derivatan av derivatan - den andra derivatan och i allmänhet derivatan av vilken ordning som helst (något naturligt tal).

Derivator av funktioner av flera variabler

Partiella derivator

När det gäller funktioner av flera variabler: för det första bestäms de så kallade partiella derivatorna  - derivator med avseende på en av variablerna, förutsatt att värdena för de andra variablerna är fasta:

Gradient

Den faktiska derivatan (med hänsyn till förändringar i vektorn av variabler som helhet, det vill säga alla variabler) när det gäller funktioner av flera variabler är den så kallade gradienten av funktionen - en vektor vars komponenter är partiella derivator:

I analogi med fallet med en variabel, för små förändringar i vektorn av variabler , gäller följande likhet:

Riktningsderivata

När det gäller funktioner av flera variabler kan man definiera en riktningsderivata , det vill säga att anta att variablerna ändras i en given riktning. Derivatan av en funktion med avseende på vektorriktningen definieras enligt följande:

Om riktningen sammanfaller med riktningen för någon koordinataxel, så är derivatan längs denna riktning i själva verket den motsvarande partiella derivatan. Det kan visas att riktningsderivatan är lika med punktprodukten av gradientvektorn och den normaliserade riktningsvektorn (det vill säga en riktningsvektor av enhetslängd, som kan erhållas från vilken riktningsvektor som helst genom att dividera med dess längd):

Derivater av högre ordning

I analogi med fallet med funktioner av en variabel kan man betrakta partiella derivator av en godtycklig ordning. Dessutom kan du i det här fallet använda både samma variabel flera gånger och flera variabler samtidigt:

, var

Analogen till den andra derivatan i fallet med en funktion av flera variabler är matrisen av andra partiella derivator - den hessiska matrisen , som är derivatan av en vektorvärderad funktion (se nedan) - gradienten för en skalär funktion. Elementen i denna matris är andraderivatorna .

Total derivata

I många fall blir det nödvändigt att utvärdera beroendet av en funktion av en förändring i en given variabel i en situation där andra variabler förändras på ett visst sätt beroende på , det vill säga en förändring i denna variabel påverkar värdet av funktionen både direkt (vilket uttrycks av en partiell derivata) och indirekt genom en förändring av andra variabler . Det totala inflytandet uttrycks i termer av den totala derivatan :

I det allmänna fallet kan man överväga banan för oberoende variabler i den parametriska formen , där  är någon parameter (i fysiken är detta oftast tid). Sedan kan vi överväga den totala derivatan med avseende på denna parameter:

I det här fallet kan en av variablerna fungera som en parameter .

Lagrangederivatan tar hänsyn till förändringar på grund av tidsberoende och rörelse genom rymden längs ett vektorfält.

En uppsättning funktioner av flera variabler

En uppsättning funktioner av flera variabler kan tolkas som en vektorvärderad funktion: . Derivatan av en sådan funktion är den så kallade Jacobi-matrisen , vars rader är gradienterna för funktionerna som utgör mängden , det vill säga elementet i den -th raden och -th kolumnen är lika med den partiella derivatan av funktionen med avseende på variabeln :

I analogi med skalära funktioner, för små förändringar i vektorn av argument , är likheten sann:

Ett specialfall av derivatan av en vektorvärderad funktion är derivatan av gradienten av någon skalär funktion , eftersom gradienten faktiskt är en vektor av flera partiella derivatfunktioner. Denna derivata, som noterats ovan, är i huvudsak andraderivatan av en skalär funktion och är en matris av partiella derivator av den andra ordningen av denna funktion - den hessiska matrisen ( ) eller den hessiska (den hessiska kallas vanligtvis för determinanten för den hessiska matris).

Derivater av mappningar av godtyckliga linjära utrymmen

Preliminär generalisering

En skalär funktion av flera variabler betraktades formellt ovan som en funktion av en vektor vars komponenter är oberoende variabler. I det allmänna fallet bör man överväga skalära (numeriska) funktioner på godtyckliga vektorrum av någon dimension. Sedan kan i varje fast underlag en sådan mappning betraktas som en funktion av flera variabler. Således kan alla begrepp som betraktas ovan tolkas som koordinatdefinitioner av derivator för en fast bas av ett godtyckligt utrymme (försett med en topologisk struktur tillräcklig för dessa ändamål).

På liknande sätt betraktades också värdena för en uppsättning funktioner formellt som komponenter i någon vektor, och denna uppsättning funktioner behandlades (formellt) som en mappning från en vektor till en annan. I det allmänna fallet bör man överväga en kartläggning mellan godtyckliga vektorrum och av olika dimensioner och natur (försedda med den nödvändiga topologiska strukturen). Om vi ​​fixar baser i båda utrymmena, är denna mappning analog med uppsättningen funktioner för flera variabler som betraktas ovan. Sålunda tolkas alla motsvarande definitioner i det allmänna fallet som koordinatdefinitionen av derivator under fasta baser av motsvarande utrymmen.

Denna tolkning innebär samtidigt att trots att den koordinerade representationen av derivat beror på basen (de ändras när de övergår från en bas till en annan), bör begreppen derivat i sig inte bero på valet av baser. Därför krävs generellt sett mer generella definitioner av derivat som inte är direkt relaterade till valet av underlag och deras samordnade representation. Dessutom är dessa definitioner generaliserade till fallet med utrymmen med oändlig dimension, som används till exempel i funktionsanalys och variationskalkyl.

Gateau-derivat

Den ganska allmänna föreställningen om en derivata beaktas i funktionsanalys , där begreppet en riktningsderivata generaliseras till godtyckliga lokalt konvexa topologiska vektorrum . Den motsvarande derivatan brukar kallas för Gateaux-derivatan eller den svaga derivatan. Definitionen av Gateaux-derivatan är i huvudsak densamma som riktningsderivatan för fallet med en funktion av flera variabler:

Fréchet derivat

I fallet med Banach-mellanslag definieras Fréchet-derivatan eller den starka derivatan . Fréchet-derivatan av en mappning är en sådan linjär operator för vilken följande likhet gäller:

,

Detta innebär att för tillräckligt små (enligt utrymmets norm ) förändringar i argumentet, konvergerar ändringen (enligt normen för utrymmet Y) till , vilket formellt kan skrivas som en likhet:

d F ( x ) = F " ( x ) d x {\displaystyle dF(x)=F'(x)dx}

Om denna derivata existerar, så sammanfaller den med Gateaux-derivatan. För finita dimensionella utrymmen i koordinatrepresentationen är den jakobianska matrisen, och om , då är gradienten för skalärfunktionen.

Variationsderivata

I variationskalkylen , där integralfunktioner betraktas på det funktionsutrymme, där skalärprodukten introduceras (i form av en integral av ett funktionspar), är begreppet variationsderivata , även kallad funktionell derivata , infördes . Variationsderivatan av en funktionell  är en funktion (allmänt sett en generaliserad funktion ) för vilken, med en liten variation av funktionen , följande likhet gäller:

δ F = F ( f + δ f ) − F ( f ) = ( δ F / δ f , δ f ) = ∫ δ F ( f ( x ) ) δ f δ f ( x ) d x {\displaystyle \delta F=F(f+\delta f)-F(f)=(\delta F/\delta f,\delta f)=\int {\frac {\delta F(f(x))} {\delta f}}\delta f(x)dx}

Det kan visas att variationsderivatet i huvudsak är Fréchet-derivatet.

Derivata med avseende på mått

I måttteorin generaliserar Radon-Nikodim-derivatan det jakobiska som används för att variera variabler till mått. Det uttrycker en åtgärd i termer av en annan åtgärd (under vissa förutsättningar).

Derivatan tillåter också generaliseringar till distributionsutrymmet , genom att använda integrering av delar i lämpligt välarrangerat underutrymme.

Differentialoperatorer i finita dimensionella utrymmen

1. Divergens (divergens) av vektorvärderade funktioner ( vektorfält ) på ett ändligt dimensionellt utrymme , ger ett mått på hur stark "källan" eller "sänkan" är vid denna punkt. Det kan användas för att beräkna flödet med hjälp av divergenssatsen . Vid koordinatrepresentation (i kartesiska koordinater) är divergensen

2. Rotorn för vektorfält i tredimensionell rymd mäter "rotationen" av vektorfältet vid denna punkt. I koordinatrepresentation (i kartesiska koordinater) är:

( F  är ett vektorfält med kartesiska komponenter och  är orter av kartesiska koordinater)

3. Laplacian  är divergensen (divergensen) av gradienten för en skalär funktion (skalärt fält) på ett ändligt dimensionellt utrymme. Betecknas ofta som eller som . I koordinatrepresentation (i kartesiska koordinater) är:

4. D'Alembertian  - definieras på samma sätt som Laplacian, men med Minkowskis rymdmetrik istället för den euklidiska rymdmetriken . Anses i fysiken för fyrdimensionell rumtid. I koordinatrepresentation (i kartesiska koordinater) är:

Derivater i differentiell topologi, geometri och tensoranalys

Tangentvektor och tangentmappning

I differentiell topologi , för jämna skalära funktioner på ett jämnt grenrör (nedan - bara ett grenrör och bara en funktion), introduceras konceptet med en tangentvektor vid en punkt . Dessa funktioner bildar en algebra under punktvisa operationer addition och multiplikation och multiplikation med ett tal. En tangentvektor definieras som en linjär funktionell på algebra av sådana funktioner som uppfyller Leibniz-regeln . För grenrör som är delmängder av kommer denna tangentvektor att vara analog med den riktade derivatan vid punkten som definieras ovan.

En linjär operator på algebra av funktioner som uppfyller Leibniz-regeln är faktiskt en härledning på algebra av dessa funktioner och bestämmer faktiskt derivatan av skalära funktioner. Sådana linjära operatorer på algebra av skalära funktioner bildar ett vektorfält på grenröret. Detta vektorfält kan också definieras som en mappning som tilldelar varje punkt i grenröret en tangentvektor till den punkten.

Mängden av alla tangentvektorer till en given punkt i grenröret bildar ett tangentrum till en given punkt .

För jämna avbildningar av grenrör av godtyckliga dimensioner  är en differential vid en punkt  en linjär operator , som för alla tangentvektorer består i att differentiera en funktion för en godtycklig numerisk funktion f på ett grenrör N .

I koordinatrepresentation är differentialen en jakobiansk matris . Baser i tangentrum definieras som partiella derivator av numeriska funktioner av koordinatrepresentationen av punkten p.

Unionen av alla tangentrum (betraktade som disjunkta mängder) för alla punkter i grenröret kallas grenrörets tangentbunt (den har dimension 2n, eftersom en tangentbunt i huvudsak är en uppsättning par - en punkt och en tangentvektor till Det). Närmare bestämt är en tangentbunt en avbildning av utrymmet TM till ett grenrör M. En tangentavbildning ( eng. pushforward ) är en generalisering av det jakobiska konceptet och verkar på tangentbuntarna av grenrör: . Tangentvisningsargumenten är en punkt och en vektor . För en fast punkt är mappningen ovanstående differential vid en punkt - en linjär mappning från tangentrum till tangentrum .  

Ett vektorfält på ett grenrör är en avbildning av grenröret M på TM, det vill säga en som tilldelar varje punkt i grenröret en tangentvektor till denna punkt. Vektorfältet kan betraktas som en sektion av en tangentbunt - en avbildning av M till TM. Vektorfält kan också betraktas som en härledning av en algebra av funktioner, som mappar varje funktion av algebra till en annan funktion av samma algebra. Detta är en linjär mappning som uppfyller Leibniz-regeln.

För Riemannska grenrör definieras gradienten för en skalär funktion f som en tangentrymdsvektor så att för vilken tangentvektor X som helst är differentialen för funktionen lika med den skalära produkten . I koordinatrepresentationen är detta faltningen av rymdmetriken av funktionens partiella derivator:

Lögnderivata

Lie-derivatan  är förändringshastigheten för ett tensorfält (särskilt ett skalärt eller vektorfält) i riktningen för ett givet vektorfält. I fallet med ett skalärt fält sammanfaller Lie-derivatan med riktningsderivatan . För vektorfält är Lie-derivatan lika med den så kallade Lie-parentesen . Detta är ett exempel på tillämpningen av Lie-parentesen (vektorfält bildar en Lie-algebra på diffeomorfismgruppen i ett grenrör). Detta är 0:e ordningens derivata i algebra.

Externa och interna derivator

den yttre algebra av differentialformer över ett jämnt grenrör är den yttre derivatan  en unik linjär mappning som uppfyller ordinalversionen av Leibniz lag och är noll i kvadrat. Detta är 1:a ordningens derivata på den yttre algebra.

Den interna derivatan  är "-1"-derivatan av ordningen på den yttre algebra av former. Tillsammans bildar den yttre derivatan, Lie-derivatan och den inre derivatan en Lie-superalgebra .

Kovariantderivata

I differentialgeometri (och den resulterande tensoranalysen ), med hjälp av en kovariant derivata, tas derivator i vektorfältens riktningar längs kurvor eller generellt i ett krökt koordinatsystem. Detta utökar den riktade derivatan av skalära funktioner till sektioner av vektorbuntar eller principalbuntar . I Riemannsk geometri tillåter förekomsten av en metrik en att göra ett kanoniskt val av en torsionsfri kovariantderivata känd som Levi-Civita-kopplingen .

För skalära funktioner är den kovarianta derivatan densamma som derivatan med avseende på vektorfältets riktning. Den kovarianta derivatan av ett vektorfält med avseende på ett vektorfält kan formellt definieras som en avbildning som är F-linjär i (dvs i summa och multiplikation med en skalär funktion), additivitet i och standard Leibniz-regeln för produkten av ett skalärt fält och ett vektorfält . I det allmänna fallet med tensorfält krävs Leibniz-regeln för deras tensorprodukt.

I fallet med ett vektorfält kan den kovarianta derivatan i koordinatrepresentation skrivas som:

,

var  är den vanliga partiella derivatan med avseende på koordinaten , och  är Christoffel-symbolerna .

I fallet med kartesiska koordinater är Christoffel-symbolerna noll, så den kovarianta derivatan är lika med den vanliga derivatan.

Den yttre kovariansderivatan utökar den yttre derivatan till vektorvärderade former.

Derivat i andra grenar av matematiken

Derivat i komplex analys

I komplex analys (analys av funktioner av komplexa variabler) är de centrala studieobjekten holomorfa funktioner , som är komplext värderade funktioner på planet för komplexa tal och uppfyller den motsvarande utökade definitionen av differentiabilitet.

Schwartz-derivatan beskriver hur en komplex funktion approximeras av en linjär-fraktionell mappning , på ett liknande sätt som hur den vanliga derivatan beskriver hur en funktion approximeras av en linjär mappning.

Derivater i algebra och algebraisk geometri

En härledning i allmän algebra är en linjär avbildning på en ring eller algebra som uppfyller Leibniz lag ( produktregeln ). De studeras i en ren algebraisk miljö i Galois differentialteori , men förekommer också i många andra områden där de ofta används med mindre rigorösa algebraiska definitioner av derivator.

I algebraisk Kahler-geometri tillåter differentialen att definitionen av den yttre derivatan utvidgas till godtyckliga algebraiska varianter , istället för bara släta varianter .

Andra generaliseringar

Det är fullt möjligt att kombinera två eller flera olika koncept för förlängning eller abstraktion av en enkel derivata. Till exempel studerar Finslers geometri utrymmen som lokalt ser ut som Banach-utrymmen . På så sätt är det möjligt att skapa en derivata med vissa egenskaper hos den funktionella derivatan och den kovarianta derivatan .

Inom området kvantgrupper  är -derivatan -deformationen av den vanliga derivatan av en funktion.

Bråkderivator

Förutom de e derivatorna av vilket naturligt tal som helst , med hjälp av olika metoder, är det möjligt att introducera derivator i bråkpotenser, och på så sätt erhålla de så kallade bråkderivaterna . Derivater av negativa order kommer att motsvara integration, vilket är där termen differintegral kommer ifrån . Studiet av olika möjliga definitioner och notation av derivat av icke-naturliga ordningar är känd som bråkräkning .

Behöver definition

Se även

Anteckningar

  1. Frölicher, 1970 , sid. 131.

Litteratur