Gitter (geometri)

Ett gitter är en uppsättning euklidiska rymdvektorer som bildar en diskret grupp genom addition. $\mathbb {R} ^{n}$

Relaterade begrepp

Ett linjärt oberoende system av vektorer som genererar ett gitter kallas dess bas . Två uppsättningar vektorer genererar samma dimensionella gitter om och endast om matriserna och , som består av kolumnvektorerna för koordinaterna för vektorerna för dessa uppsättningar, är anslutna genom högermultiplikation med den unimodulära matrisen : , . Därför är det möjligt att associera gitter med maximal rang i dimensionsrymden med cosets [1] . $n$ $B_1$ $B_{2}$ $B_{1}=B_{2}U$ $U\in \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {Z} )$ $n$ $\mathrm {GL} _{n}(\mathbb {R} )/\mathrm {GL} _{n}(\mathbb {Z} )$

Determinanten för ett gitter är determinanten för en matris som består av koordinaterna för vektorerna som genererar det. Det är lika med volymen av dess fundamentala region , som är en parallellepiped , och kallas också gittrets kovolym.

Normen för en vektor i teorin om gitter i det euklidiska rymden kallas vanligtvis inte längden på vektorn, utan dess kvadrat . $v$ $\|v\|^{2}$

Rutnätet heter: $\Gamma \subset \mathbb{R} ^{n}$

Heltal om skalärprodukten av två av dess vektorer är ett heltal:

\forall u,v\in \Gamma \quad \langle u,v\rangle \in \mathbb{Z } .

Även om normen för någon av dess vektorer är jämn:

\forall v\in \Gamma \quad \langle v,v\rangle \in 2\mathbb {Z} .

Unimodulär om dess fundamentala parallellepiped har volym 1.

En vektor som inte är noll i ett gitter kallas primitiv om den inte är kolinjär med någon kortare vektor som inte är noll i detta gitter.

Den primitiva vektorn av gittret, med avseende på reflektion längs vilken gittret är invariant, kallas gittrets rot . Uppsättningen av gitterrötter bildar ett rotsystem . Varje gitter som genereras av dess rötter liknar det gitter som genereras av vektorer med normerna 1 eller 2. Ett sådant gitter kallas rotgitter [2] .

Dualen av ett gitter till ett gitter är ett gitter som betecknas med eller och definieras som $\Gamma$ $\Gamma ^{*}$ $\Gamma ^{\vee }$

\Gamma ^{*}=\{u\mid \forall v\in \Gamma \quad \langle u,v\rangle \in \mathbb {Z} \}.

Ett gitter kallas självdual om det sammanfaller med sin dual till sig själv.

Ett subgitter är en undergrupp av ett gitter.

Man kan definiera ett objekt analogt med ett gitter i ett affint utrymme - ett affint gitter; är omloppsbanan för en punkt i det affina rummet under inverkan av skiftningar på gittervektorerna.

Inom fysiken kallas gitter i tredimensionellt rum, klassificerade enligt deras symmetri, Bravais-gitter , det dubbla gittret är det ömsesidiga gittret , den grundläggande parallellepipeden är den (primitiva) enhetscellen .

Cayley-grafen för ett gitter kallas också ett (oändligt) gitter .

Egenskaper

Om gittret är heltal, då . $\Gamma$ $\Gamma \subset \Gamma ^{*}$
Samvolymerna för gittret och dess dubbla i produkten ger 1.
Ett helt unimodulärt gitter är automatiskt självdubbelt.
Även självdubbla gitter existerar endast i utrymmen med dimensioner som är delbara med åtta.
Isometrigruppen i ett gitter är alltid ändlig.

Exempel

Heltalsgitter , i synnerhet kvadratiskt gitter
Hexagonalt galler
Galler E8
Lich Grid

Klasser av isometri och likhet

Gitter, liksom andra geometriska föremål, anses ofta upp till rörelser (isometrier in i sig själva) av det omslutande euklidiska rummet - rotationer runt ursprunget och reflektioner med avseende på plan som passerar genom det. En sådan transformation verkar på en matris som består av koordinaterna för basen av gittret, som en multiplikation till vänster med en ortogonal matris . Därför kan isometriklasserna av gitter - ekvivalensklasserna av gitter med avseende på isometrier - associeras med tvåsidiga närliggande klasser av gruppen inverterbara matriser : [3] . $\mathrm {O} _{n}(\mathbb {R} )\backslash \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {R} )/\mathrm {GL} _{n}(\mathbb {Z} )$

Också, i vissa problem anses gitter upp till likhet ; sådana transformationer verkar på en matris som multiplikation med element (mängder av reella tal som inte är noll). Likhetsklasser av gitter motsvarar närliggande klasser [3] . $\mathbb {R} ^{*}$ $\mathbb {R} ^{*}\mathrm {O} _{n}(\mathbb {R} )\backslash \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {R} )/\mathrm { GL} _{n}(\mathbb {Z} )$

Bilinjära och kvadratiska former

En närbesläktad, " talteoretisk " definition av ett gitter är en abstrakt fri abelisk grupp av finit rang (det vill säga isomorf ) med en positiv-definitiv symmetrisk bilinjär form på den; istället för en bilinjär form kan man ange en kvadratisk . För att denna definition ska vara likvärdig med den "geometriska" definitionen av gitter (mer exakt deras isometriklasser) som ges ovan måste man beakta kvadratiska former upp till en viss ekvivalensrelation. $\mathbb{Z } ^{n}$

Om ett gitter och dess bas anges, är matrisen för motsvarande kvadratiska form grammatrisen för denna bas. En positiv bestämd kvadratisk form som en funktionell på kan ges som , (då är matrisen för den kvadratiska formen ), och den förändras inte om vektorn utsätts för en ortogonal transformation, så positiva bestämda kvadratiska former är i en-till -en korrespondens med cosets . Om vi betraktar ekvivalenta former vars matriser och är anslutna genom en unimodulär matris som , så visar sig ekvivalensklasserna av kvadratiska former vara i en-till-en-överensstämmelse med cosets - och därmed med isometriklasserna av gitter [3] . $\mathbb {R} ^{n}$ ${\displaystyle v\mapsto \|Av\|^{2))$ $A\in \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {R} )$ $Q=A^{\mathrm {T} }A$ $Av$ $\mathrm {O} _{n}(\mathbb {R} )\backslash \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {R} )$ $F_1$ $F_{2}$ $U$ ${\displaystyle U^{\mathrm {T} }Q_{1}U=Q_{2))$ $\mathrm {O} _{n}(\mathbb {R} )\backslash \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {R} )/\mathrm {GL} _{n}(\mathbb {Z} )$

På det komplexa planet

I det tvådimensionella fallet kan man identifiera det omgivande euklidiska rummet med det komplexa planet och gittervektorerna med komplexa tal. Om den positivt orienterade basen av gittret representeras av ett par komplexa tal , kan man genom en likhetstransformation övergå till ett gitter med en bas , varefter förändringen av basen i gittret med bevarande av orientering kommer att motsvara en linjär-fraktionell transformation av det övre halvplanet - ett element i den modulära gruppen . $(\omega _{1},\omega _{2})$ $(1,\omega _{2}/\omega _{1})$

Applikationer

Olika geometriska problem är förknippade med gitter, såsom tät packning av lika sfärer . Även koder för felkorrigerande kodning är baserade på gitter . Många problem inom gitterteorin ligger bakom gitterkryptografin .

Generaliseringar

Om vi associerar med en fri Abelisk grupp en bilinjär form som inte är positiv bestämd, då blir resultatet ett gitter i ett pseudo-euklidiskt utrymme .
Ett gitter med maximal rang i har en fundamental domän av ändlig volym. I teorin om Lie-grupper och några andra områden är ett gitter i en grupp en diskret undergrupp, varvid volymen av gruppens kvotutrymme är ändlig, vilket generaliserar denna egenskap. $\mathbb {R} ^{n}$ $G$ $G$
Ur en mer allmän algebraisk synvinkel är ett gitter en fri modul inbäddad i ett vektorutrymme över ett nummerfält som finns i . Man kan generalisera detta koncept genom att överväga en godtycklig ändligt genererad torsionsfri modul över en integrerad ring , inbäddad i ett vektorrum över ett fält av kvotienter för [4] . $\mathbb {Z}$ $\mathbb {R}$ $R$ $R$

Anteckningar

↑ Martinet, 2003 , sid. 3.
↑ Martinet, 2003 , sid. 131-135.
↑ 1 2 3 Martinet, 2003 , sid. 20-22.
↑ Reiner, I. Maximala beställningar . - Oxford University Press , 2003. - Vol. 28. - S. 44. - (London Mathematical Society Monographs. New Series). — ISBN 0-19-852673-3 .

Litteratur

J. Conway, N. Sloan. Packningar av kulor, galler och grupper. — M.: Mir, 1990.
Jacques Martinet. Perfekt gitter i euklidiska utrymmen. - Springer, 2003. - Erratum . - ISBN 978-3-642-07921-4 . - doi : 10.1007/978-3-662-05167-2 .