Rombisk mosaik

Rombisk mosaik
Sorts Laves mosaik
Coxeter diagram CDel node.pngCDel 3.pngCDel nod f1.pngCDel 6.pngCDel node.png
CDel nod h1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 6.pngCDel nod f1.png
Fasett diamanter 60°–120°
Ansiktskonfiguration V3.6.3.6
Symmetrigrupp p6m, [6,3], *632
p3m1, [3 [3] ], *333
Rotationsgrupp p6, [6,3] + , (632)
p3, [3 [3] ] + , (333)
dubbel trehexagonal mosaik
Egenskaper kanttransitiv
ansiktstransitiv

Rombisk plattsättning [1] , tippblock [2] , reversibla kuber eller kubiskt gitter  - en plattsättning av identiska romber med en vinkel på 60° på det euklidiska planet . Varje romb har två 60° och två 120° vinklar . Sådana romber kallas ibland för diamanter . Uppsättningar om tre romber är i kontakt med hörn med en vinkel på 120°, och uppsättningar om sex är i kontakt med hörn med en vinkel på 60°.

Egenskaper

En rombisk plattsättning kan ses som en uppdelad hexagonal plattsättning , där varje hexagon är uppdelad i tre romber som har en gemensam vertex i mitten av hexagonen. Denna uppdelning representerar en vanlig ansluten plattsättning . Det kan också ses som en uppdelning av fyra hexagonala plattsättningar, där hexagonerna är indelade i 12 romber.

Diagonalerna för en romb är relaterade till 1:√3. Den rombiska plattsättningen är den dubbla av den trihexagonala plattsättningen eller kagomegittret . Som den dubbla plattsättningen av den enhetliga plattsättningen är den en av elva möjliga Laves plattsättningar , och dess vertexkonfiguration betecknas som [3.6.3.6] [4] .

Plattläggningen är också en av 56 möjliga isoedriska plattsättningar med fyrhörningar [5] och en av 8 plattsättningar av det plan där valfri kant ligger på plattsättningens symmetriaxel [6] .

Det är möjligt att bädda in en rombisk plattsättning i en delmängd av ett tredimensionellt heltalsgitter på ett sådant sätt att två hörn är intill varandra om och endast om motsvarande punkter i gittret är enhetsavstånd från varandra. Mer strikt, när antalet kanter i den kortaste vägen mellan två hörn av mosaiken är lika med avståndet för stadsblock mellan motsvarande rutnätspunkter. Således kan den rombiska plattsättningen ses som ett exempel på en oändlig enhetsdistansgraf och en partiell kub [7] .

Applikation i konst

Den rombiska plattsättningen kan tolkas som en isometrisk projektion av en uppsättning kuber på två olika sätt, som representerar vändbara figurer associerade med Necker-kuben . Detta fenomen är känt som "reversibla kuber"-illusionen [8] .

I träsnitten Metamorphoses I , Metamorphoses II och Metamorphoses III , använder Escher denna tolkning av mosaiken som ett sätt att transformera från tvådimensionella till tredimensionella former [9] . I sitt andra verk, The Cycle (1938), leker Escher med den inre motsättningen mellan tvådimensionaliteten och tredimensionaliteten i denna mosaik – ritningen visar byggnader som har stora kubiska block som arkitektoniska element och en uteplats på toppen, stenlagd med en rombisk mosaik. Människofigurerna som stiger ned från gården nerför kuberna blir stiliserade och platta [10] . Dessa verk använder bara en 3D-tolkning av mosaiken, men i Convex and Concave experimenterar Escher med reversibla figurer och inkluderar en bild av reversibla kuber på en flagga [11] .

Den rombiska mosaiken används även till parkett [12] och som golv- eller väggplattor, ibland med en förändring i formen på romberna [13] Det rombiska mönstret finns på ett gammalt mosaikgolv i grekiskan Delos [14] och på ett italienskt golv från 1000-talet [15] , även om plattorna i Sienas katedralmosaik är av en senare produktion [16] . Det quiltade materialet har varit känt sedan 1850-talet som ett "tumbling block"-mönster, vilket uttrycker den visuella dissonans som orsakas av den tvådimensionella tredimensionella tolkningen [2] [15] [17] . Detta mönster har många andra namn, som den himmelska stegen och Pandoras ask [17] . Man tror att detta mönster användes som en signal på tunnelbanan  - när slavarna såg honom hängd från staketet samlade de ihop sina tillhörigheter och gömde sig [18] . Dessa dekorativa mönster kan använda diamanter i olika färger, men vanligtvis används tre nyanser, ljusare diamanter med horisontella långa diagonaler och mörkare i de andra två riktningarna, vilket förstärker deras tredimensionella effekt. Det finns en känd närvaro av rombiska och trihexagonala mosaiker i engelsk heraldik  - på arméns vapenskölde Geal / e [19] .

Topologiskt ekvivalenta plattsättningar

Rombiska mosaiker görs ibland med en mindre grad av symmetri. Till exempel följande två alternativ. Ibland kallas dessa varianter kubiska mosaiker för illusionen av tredimensionella staplade kuber sedda i en vinkel.

Andra applikationer

En rombisk plattsättning kan ses som ett resultat av en överlagring av två olika hexagonala plattsättningar, förskjutna så att spetsarna på en plattsättning är i mitten av sexkanterna i den andra plattsättningen. I den här formen kan en rombisk plattsättning användas för att skapa en cellulär blockautomat , där kakelrombussarna är automatcellerna, och sexkanterna av två plattsättningar fungerar som block i alternerande automatsteg. I det här sammanhanget kallas maskinen för "Q*bert-fältet", efter tv-spelet Q*bert , där spelplanen ser ut som en pyramid av kuber. Q*bert-fältet kan användas för att stödja ett universellt system genom att simulera en biljarddator [20] .

I fysik för kondenserad materia är en rombisk plattsättning känd som ett kubiskt gitter eller dubbla kagomegitter . Det är en av flera repeterande strukturer som har använts för att studera Ising-modellen och kopplade system av spinninteraktioner i diatomiska kristaller [21] och har även studerats i perkolationsteori [22] .

Symmetri

Den rombiska plattsättningen har *632 symmetrier, men topparna kan färgas i alternerande färger, vilket resulterar i *333 symmetrier.

Bild
(2 färger)
(3 färger)
Symmetri p6m, [6,3], (*632) p3m1, [3 [3] ], (*333)
coxeter CDel node.pngCDel 6.pngCDel nod f1.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel 3.pngCDel 3.pngCDel nod f1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel nod f1.pngCDel 3.pngCDel 3.png=CDel nod h1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel nod f1.png

Relaterade polyedrar och plattsättningar

Den rombiska plattsättningen är den dubbla av den trihexagonala plattsättningen och tillhör därför uppsättningen av homogena dubbla plattsättningar. Det är också en del av en sekvens av rombiska polyedrar och plattsättningar med Coxetersymmetrigruppen [n,3], som börjar med en kub, som kan ses som en rombisk hexaeder, med rutor som fungerar som romber. Det n -te elementet i denna sekvens har ansiktskonfigurationen V3.n.3.n.

Symmetrier för dubbla dubbla kvasiregelbundna plattsättningar: V(3.n) 2
Sfärisk euklidisk Hyperbolisk
*n32 *332 *432 *532 *632 *732 *832... *∞32
Mosaik
Konf. V(3.3) 2 V(3.4) 2 V(3,5) 2 V(3.6) 2 V(3,7) 2 V(3,8) 2 V(3.∞) 2

Rombisk plattsättning är ett av många sätt att kakla ett plan med romber. Andra inkluderar

platt version av fyrkantig parkett (med parallell överföring) mosaik som används i Miura-ori stela vikningsschemat (omväxlande parallella översättningar och reflektioner) Penrose plattsättning , som använder två typer av romber med spetsiga vinklar 36° och 72° periodiskt , samt andra aperiodiska plattsättningar

Intill dem finns sfinxmosaiken , som likt en rombisk mosaik är baserad på en sexkantig mosaik .

Se även

Anteckningar

  1. ↑ Conway, Burgiel, Goodman-Strass, 2008 , sid. 288.
  2. ↑ 12 Smith, 2002 .
  3. ↑ Guy, Woodrow, 1996 , sid. 79.
  4. ↑ Grünbaum, Shephard, 1987 .
  5. ↑ Grünbaum och Shephard 1987 , sid. 477, Fig. 9.1.2, Mosaik P 4 -42.
  6. ↑ Kirby, Umble, 2011 , sid. 283–289.
  7. ↑ Deza, Grishukhin, Shtogrin, 2004 , sid. 150.
  8. ↑ Warren, 1919 , sid. 262.
  9. ↑ Kaplan, 2008 , sid. 39–46.
  10. ↑ Escher, 2001 , sid. 29–30.
  11. ↑ Demaj, 2003 , sid. 130–141.
  12. ↑ Schleining, O'Rourke, 2003 , sid. 58.
  13. ↑ Tessellation Tango Arkiverad 30 december 2019 på Wayback Machine , The Mathematical Tourist, Drexel University, hämtad 2012-05-23.
  14. ↑ Dunbabin, 1999 , sid. 32.
  15. ↑ 1 2 Tatem, 2010 , sid. 115.
  16. ↑ Wallis, 1902 , sid. xxv.
  17. ↑ 12 Fowler , 2008 .
  18. ↑ Tobin, Dobard, 2000 , sid. 81.
  19. ↑ Aux armes: symbolism Arkiverad 4 mars 2016 på Wayback Machine , Symbolism in arms, Pleiade, hämtad 2013-04-17.
  20. ↑ Q*Bert-kvarteret Arkiverad 4 juni 2012 på Wayback Machine , Tim Tyler.
  21. ↑ Fisher, 1959 , sid. 969–981.
  22. ↑ Yonezawa, Sakamoto & Hori, 1989 , sid. 636–649.

Litteratur

Ytterligare läsning

 geometriska mosaiker
Periodisk
Aperiodisk
Övrig
Genom vertexkonfiguration
_
Sfärisk
Korrekt
halvkorrekt
_
Hyperbolisk
_
  • 3 2 .4.3.5
  • 3 2 .4.3.6
  • 3 2 .4.3.7
  • 3 2 .4.3.8
  • 3 2 .4.3.∞
  • 3 2 .5.3.5
  • 3 2 .5.3.6
  • 3 2 .6.3.6
  • 3 2 .6.3.8
  • 3 2 .7.3.7
  • 3 2 .8.3.8
  • 3 3 .4.3.4
  • 3 2 .∞.3.∞
  • 3 4 .7
  • 3 4 .8
  • 3 4 .∞
  • 3 5 .4
  • 3 7
  • 3 8
  • 3∞ _
  • (3.4) 3
  • (3.4) 4
  • 3.4.6 2.4 _
  • 3.4.7.4
  • 3.4.8.4
  • 3.4.∞.4
  • 3.6.4.6
  • (3.7) 2
  • (3.8) 2
  • 3,14 2
  • 3,16 2
  • (3.∞) 2
  • 3.∞ 2
  • 4 2 .5.4
  • 4 2 .6.4
  • 4 2 .7.4
  • 4 2 .8.4
  • 4 2 .∞.4
  • 4 5
  • 4 6
  • 4 7
  • 4 8
  • 4∞ _
  • (4.5) 2
  • (4.6) 2
  • 4.6.12
  • 4.6.14
  • V4.6.14
  • 4.6.16
  • V4.6.16
  • 4.6.∞
  • (4.7) 2
  • (4.8) 2
  • 4.8.10
  • V4.8.10
  • 4.8.12
  • 4.8.14
  • 4.8.16
  • 4.8.∞
  • 4.10 2
  • 4.10.12
  • 4.12 2
  • 4.12.16
  • 4,14 2
  • 4,16 2
  • 4.∞ 2
  • (4.∞) 2
  • 5 4
  • 5 5
  • 5 6
  • 5∞ _
  • 5.4.6.4
  • (5.6) 2
  • 5,8 2
  • 5.10 2
  • 5.12 2
  • (5.∞) 2
  • 6 4
  • 6 5
  • 6 6
  • 6 8
  • 6.4.8.4
  • (6.8) 2
  • 6,8 2
  • 6.10 2
  • 6.12 2
  • 6,16 2
  • 7 3
  • 74 _
  • 7 7
  • 7,6 2
  • 7,8 2
  • 7.14 2
  • 8 3
  • 8 4
  • 8 6
  • 8 8
  • 8 12
  • 8,6 2
  • 8.16 2
  • ∞ 3
  • ∞ 4
  • ∞ 5
  • ∞∞ _
  • ∞.6 2
  • ∞.8 2