Koordinatsystem

Ett koordinatsystem är en uppsättning definitioner som implementerar koordinatmetoden , det vill säga ett sätt att bestämma positionen och rörelsen för en punkt eller kropp med hjälp av siffror eller andra symboler. Den uppsättning siffror som bestämmer positionen för en viss punkt kallas koordinaterna för denna punkt.

I matematik är koordinater en uppsättning siffror som är associerade med punkter i ett grenrör i någon karta över en viss atlas .

I elementär geometri är koordinater kvantiteter som bestämmer positionen för en punkt på ett plan och i rymden. På ett plan bestäms positionen för en punkt oftast av avstånden från två räta linjer (koordinataxlar) som skär varandra i en punkt (ursprunget) i rät vinkel; en av koordinaterna kallas ordinatan och den andra kallas abskissan . I rymden, enligt Descartes-systemet , bestäms positionen för en punkt av avstånden från tre koordinatplan som skär varandra i en punkt i rät vinkel mot varandra, eller av sfäriska koordinater , där ursprunget för koordinaterna är i mitten av sfär.

I geografi väljs koordinater som ett ( ungefärligt ) sfäriskt koordinatsystem - latitud , longitud och höjd över en känd gemensam nivå (som havet). Se geografiska koordinater .

Inom astronomi är himmelskoordinater ett ordnat par av vinkelstorheter (till exempel rätt uppstigning och deklination ), som bestämmer positionen för armaturerna och hjälppunkterna på himmelsfären. Inom astronomi används olika system av himmelska koordinater. Var och en av dem är i huvudsak ett sfäriskt koordinatsystem (utan en radiell koordinat) med ett lämpligt valt grundplan och ursprung. Beroende på valet av grundplanet kallas det himmelska koordinatsystemet horisontellt (horisontplan), ekvatorialt (ekvatorialplan), ekliptikum (ekliptiskt plan) eller galaktiskt (galaktiskt plan).

Det vanligaste använda koordinatsystemet är det rektangulära koordinatsystemet (även känt som det kartesiska koordinatsystemet ).

Koordinater på planet och i rymden kan matas in på ett oändligt antal olika sätt. När du löser ett visst matematiskt eller fysiskt problem med hjälp av koordinatmetoden kan du använda olika koordinatsystem och välja det där problemet löses lättare eller bekvämare i det här specifika fallet. En välkänd generalisering av koordinatsystemet är referensramar och referenssystem .

Grundläggande system

Detta avsnitt ger förklaringar till de vanligaste koordinatsystemen i elementär matematik.

Kartesiska koordinater

Placeringen av punkten P på planet bestäms av kartesiska koordinater med hjälp av ett par siffror $(x,y):$

$x$ är avståndet från punkten P till y -axeln , med hänsyn tagen till tecknet
$y$ är avståndet från punkten P till x -axeln , med hänsyn tagen till tecknet

Tre koordinater behövs i rymden $(x,y,z):$

$x$ är avståndet från punkten P till planet yz
$y$ är avståndet från punkten P till planet xz
$z$ är avståndet från punkten P till xy- planet

Polära koordinater

I det polära koordinatsystemet som tillämpas på planet, bestäms positionen för punkten P av dess avstånd till origo r = |OP| och vinkeln φ för dess radievektor mot axeln Ox .

I rymden används generaliseringar av polära koordinater - cylindriska och sfäriska koordinatsystem.

Cylindriska koordinater

Cylindriska koordinater är en tredimensionell analog av polära koordinater, där punkten P representeras av en ordnad trippel i termer av ett kartesiskt koordinatsystem, $(r,\varphi,z).$

$0\leqslant {r}$ ( radie ) är avståndet från z - axeln till punkt P ,
$0\leqslant \varphi <360^{\circ }$ ( azimut eller longitud) - vinkeln mellan den positiva ("plus") delen av x -axeln och segmentet ritat från polen till punkten P och projicerat på xy- planet .
$z$ (höjd) är lika med den kartesiska z -koordinaten för punkten P .

Notera: i litteraturen, för den första (radial) koordinaten, används ibland beteckningen ρ , för den andra (vinkel eller azimut) - beteckningen θ , för den tredje koordinaten - beteckningen h .

Polära koordinater har en nackdel: värdet på φ är inte definierat vid r = 0 .

Cylindriska koordinater är användbara för att studera system som är symmetriska kring någon axel. Till exempel har en lång cylinder med radien R i kartesiska koordinater (med z -axeln sammanfallande med cylinderns axel) en ekvation medan det i cylindriska koordinater ser mycket enklare ut eftersom r = R . $x^{2}+y^{2}=R^{2},$

Sfäriska koordinater

Sfäriska koordinater är en tredimensionell analog av polära.

I ett sfäriskt koordinatsystem definieras platsen för en punkt P av tre komponenter: I termer av ett kartesiskt koordinatsystem, $(\rho ,\varphi ,\theta ).$

$0\leqslant\rho$ (radie) är avståndet från punkt P till polen,
$0\leqslant \varphi \leqslant 360^{\circ }$ (azimut eller longitud) - vinkeln mellan den positiva ("plus") halvaxeln x och projektionen av segmentet ritat från polen till punkten P på xy- planet .
$0\leqslant \theta \leqslant 180^{\circ }$ (latitud eller polarvinkel) - vinkeln mellan den positiva ("plus") halvaxeln z och segmentet ritat från polen till punkten P.

Notera: I litteraturen betecknas ibland azimuten med θ , och den polära vinkeln med φ . Ibland används r istället för ρ för den radiella koordinaten . Dessutom kan vinkelområdet för azimuten väljas som (−180°, +180°] istället för området [0°, +360°). Slutligen kan den polära vinkeln mätas inte från den positiva riktningen av z- axeln , utan från xy- planet ; i detta fall ligger den i området [−90°, +90°] och inte i området [0°, 180°]. Ibland väljs koordinatordningen i trippeln annorlunda än den som beskrivs; till exempel kan polära och azimutvinklar bytas.

Det sfäriska koordinatsystemet har också en nackdel: φ och θ är inte definierade om ρ = 0; vinkeln φ är inte heller definierad för gränsvärdena θ = 0 och θ = 180° (eller för θ = ±90°, om lämpligt område för denna vinkel accepteras).

För att konstruera en punkt P enligt dess sfäriska koordinater är det nödvändigt att avsätta ett segment lika med ρ från polen längs den positiva halvaxeln z , rotera den med en vinkel θ runt y -axeln i riktning mot den positiva halvaxel x , och rotera den sedan med en vinkel θ runt z -axeln i riktning mot den positiva halvaxeln y .

Sfäriska koordinater är användbara för att studera system som är symmetriska kring en punkt. Så, ekvationen för en sfär med radie R i kartesiska koordinater med origo i mitten av sfären ser ut som medan det i sfäriska koordinater blir mycket enklare: $x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2},$ $\rho=R.$

Andra vanliga koordinatsystem

Affint (sned) koordinatsystem är ett rätlinjigt koordinatsystem i affint utrymme . På planet ges av ursprungspunkten O och två ordnade icke- kollinjära vektorer , som representerar en affin bas. I detta fall är koordinataxlarna räta linjer som går genom utgångspunkten parallellt med basvektorerna, vilka i sin tur bestämmer axlarnas positiva riktning. I det tredimensionella rummet , respektive, ges ett affint koordinatsystem av en trippel av linjärt oberoende vektorer och en ursprungspunkt. För att bestämma koordinaterna för någon punkt M , beräknas expansionskoefficienterna för vektorn OM i termer av basvektorerna [1] .

Barycentriska koordinater introducerades för första gången 1827 av A. Möbius , som löste frågan om tyngdpunkten för massor som ligger i en triangels hörn . De är affina invarianta, de är ett specialfall av generella homogena koordinater . En punkt med barycentriska koordinater är belägen i det n - dimensionella vektorrummet E n , medan de egentliga koordinaterna hänvisar till ett fixerat system av punkter som inte ligger i det ( n − 1)-dimensionella delrummet. Barycentriska koordinater används också i algebraisk topologi i förhållande till simplexens punkter [2] .

Bangulära koordinater är ett specialfall av bicentriska koordinater, ett koordinatsystem på ett plan, givet av två fasta punkter C 1 och C 2 , genom vilka en rät linje dras, som fungerar som abskissaxeln. Positionen för någon punkt P som inte ligger på denna linje bestäms av vinklarna PC 1 C 2 och PC 2 C 1 .

Bipolära koordinater [3] kännetecknas av att i detta fall fungerar två familjer av cirklar med polerna A och B , samt en familj av cirklar vinkelräta mot dem, som koordinatlinjer på planet. Omvandlingen av bipolära koordinater till kartesiska rektangulära koordinater utförs med hjälp av speciella formler. Bipolära koordinater i rymden kallas bisfäriska; i detta fall är koordinatytorna sfärer , ytor som bildas genom rotation av cirkelbågar, såväl som halvplan som passerar genom axeln O z [4] .

Bicentriska koordinater - vilket koordinatsystem som helst som är baserat på två fasta punkter och inom vilket positionen för någon annan punkt bestäms, som regel, av graden av dess avlägsnande eller, i allmänhet, av positionen i förhållande till dessa två huvudpunkter. System av detta slag kan vara mycket användbara inom vissa områden av vetenskaplig forskning [5] [6] .

Bicylindriska koordinater - ett koordinatsystem som bildas om det bipolära koordinatsystemet på O xy-planet överförs parallellt längs O z- axeln. Koordinatytorna i detta fall är en familj av par av cirkulära cylindrar vars axlar är parallella, en familj av cirkulära cylindrar vinkelräta mot dem och ett plan. Specialformler används också för att omvandla bicylindriska koordinater till kartesiska rektangulära koordinater för tredimensionellt utrymme [7] .

Dipolära koordinater är ett tredimensionellt krökt ortogonalt koordinatsystem baserat på en punkt (central) dipol, mer exakt, på dess koordinattransformationsinvarianter. En av invarianterna är ekvipotentialytan , som fungerar som koordinatytan; en annan invariant är vektorfältets kraftlinjer , som är vinkelräta mot de ekvipotentiella ytorna. Omvandlingen av sfäriska eller kartesiska koordinater till dipolära utförs med hjälp av speciella formler.

Koniska koordinater är ett tredimensionellt ortogonalt koordinatsystem som består av koncentriska sfärer, som beskrivs av sin radie , och två familjer av vinkelräta koner , belägna längs x- och z -axlarna [8] .

Rindlers koordinater används främst inom ramen för relativitetsteorin och beskriver den del av platt rum-tid , som vanligtvis kallas Minkowski-rummet . I den speciella relativitetsteorin är en likformigt accelererande partikel i hyperbolisk rörelse , och för varje sådan partikel i Rindler-koordinater kan en sådan referenspunkt väljas i förhållande till vilken den är i vila.

Paraboliska koordinater är ett tvådimensionellt ortogonalt koordinatsystem där koordinatlinjerna är en samling konfokala paraboler . En tredimensionell modifiering av paraboliska koordinater konstrueras genom att rotera ett tvådimensionellt system runtdessa parabolers symmetriaxel . Paraboliska koordinater har också en rad potentiella praktiska tillämpningar: i synnerhet kan de användas i relation till Stark-effekten . Paraboliska koordinater är förbundna med en viss relation med rektangulära kartesiska [9] .

Projektiva koordinater finns, enligt namnet, i det projektiva rummet P n ( K ) och representerar en en-till-en-överensstämmelse mellan dess element och klasser av ändliga delmängder av element i kroppen K , kännetecknad av egenskaperna ekvivalens och ordning. . För att bestämma de projektiva koordinaterna för projektiva delrum räcker det att bestämma motsvarande koordinater för punkter i det projektiva rummet. I det allmänna fallet, med avseende på någon grund, introduceras projektiva koordinater med rent projektiva medel [10] .

Ett toroidalt koordinatsystem är ett tredimensionellt ortogonalt koordinatsystem som erhålls genom att rotera ett tvådimensionellt bipolärt koordinatsystem runt en axel som separerar dess två foci. Det bipolära systemets foci förvandlas till en ring med radie a liggande på xy- planet för det toroidformade koordinatsystemet, medan z- axeln blir systemets rotationsaxel. Fokalringen kallas också ibland för bascirkeln [11] .

Trilinjära koordinater är ett av exemplen på homogena koordinater och är baserade på en given triangel, så positionen för en punkt bestäms i förhållande till sidorna av denna triangel - främst av graden av avstånd från dem, även om andra variationer är möjliga. Trilinjära koordinater kan relativt enkelt omvandlas till barycentriska; dessutom är de också konverterbara till tvådimensionella rektangulära koordinater, för vilka motsvarande formler används [12] .

Cylindriska paraboliska koordinater är ett tredimensionellt ortogonalt koordinatsystem som erhålls som ett resultat av en rumslig transformation av ett tvådimensionellt paraboliskt koordinatsystem. Koordinatytorna är respektive konfokala parabolcylindrar. Cylindriska paraboliska koordinater är förbundna genom ett visst förhållande med rektangulära, och kan tillämpas inom ett antal områden av vetenskaplig forskning [13] .

Ellipsoidala koordinater är elliptiska koordinater i rymden. I det här fallet är koordinatytorna ellipsoider , enarkshyperboloider, såväl som tvåarkshyperboloider, vars centra är belägna vid ursprunget . Systemet är ortogonalt. Varje trippel av tal, som är ellipsoidala koordinater, motsvarar åtta punkter som ärsymmetriska till varandra med avseende på O xyz- systemets plan [14] .

Övergång från ett koordinatsystem till ett annat

Kartesiska och polära

x=r\,\cos \varphi ,

y=r\,\sin \varphi ,

r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}},

\varphi =\operatörsnamn {arctg}{\frac {y}{x}}+\pi u_{0}(-x)\,\operatörsnamn {sgn}y,

där u 0 är Heaviside-funktionen med och sgn är signumfunktionen . Här används funktionerna u 0 och sgn som "logiska" omkopplare, liknande i betydelsen "om .. då" (om ... annat) operatorerna i programmeringsspråk. Vissa programmeringsspråk har en speciell funktion atan2 ( y , x ) som returnerar korrekt φ i den nödvändiga kvadranten definierad av x- och y -koordinaterna . $u_{0}(0)=0,$

Kartesisk och cylindrisk

x=r\,\cos \varphi ,

y=r\,\sin \varphi ,

z=z.\quad

r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}},

\varphi =\operatörsnamn {arctg}{\frac {y}{x}}+\pi u_{0}(-x)\,\operatörsnamn {sgn}y,

z=z.\quad

{\begin{pmatrix}dx\\dy\\dz\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r\cos \varphi &-r\sin \varphi &0\\r\sin \varphi &r \cos \varphi &0\\0&0&1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}dr\\d\varphi \\dz\end{pmatrix}},

{\begin{pmatrix}dr\\d\varphi \\dz\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {x}({\sqrt {x^{2}+y^{2} }}}}&{\frac {y}{{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}&0\\{\frac {-y}{{\sqrt {x^{2 }+y^{2}}}}}&{\frac {x}{{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}dx\\dy\\dz\end{pmatrix}}.

Kartesiska och sfäriska

{x}=\rho \,\sin \theta \,\cos \varphi ,\quad

{y}=\rho \,\sin \theta \,\sin \varphi ,\quad

{z}=\rho \,\cos \theta ;\quad

{\rho }={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}},

{\theta }=\arccos {\frac {z}{\rho }}=\operatörsnamn {arctg}{\frac ({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}{z}} ,

{\varphi }=\operatörsnamn {arctg}{\frac {y}{x}}+\pi \,u_{0}(-x)\,\operatörsnamn {sgn}y.

{\begin{pmatrix}dx\\dy\\dz\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\sin \theta \cos \varphi &\rho \cos \theta \cos \varphi &-\rho \ sin \theta \sin \varphi \\\sin \theta \sin \varphi &\rho \cos \theta \sin \varphi &\rho \sin \theta \cos \varphi \\\cos \theta &-\rho \ sin \theta &0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}d\rho \\d\theta \\d\varphi \end{pmatrix}},

{\begin{pmatrix}d\rho \\d\theta \\d\varphi \end{pmatrix))={\begin{pmatrix}x/\rho &y/\rho &z/\rho \\{\frac { xz}{\rho ^{2}{\sqrt {x^{2}+y^{2))))}&{\frac {yz}{\rho ^{2}{\sqrt {x^{2 }+y^{2}}}}}&{\frac {-(x^{2}+y^{2})}{\rho ^{2}{\sqrt {x^{2}+y^ {2}}}}}\\{\frac {-y}{x^{2}+y^{2}}}&{\frac {x}{x^{2}+y^{2}} }&0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}dx\\dy\\dz\end{pmatrix}}.

Cylindrisk och sfärisk

{r}=\rho \,\sin \theta ,

{\varphi }=\varphi ,\quad

{z}=\rho \,\cos \theta ;

{\rho }={\sqrt {r^{2}+z^{2}}},

{\theta }=\operatörsnamn {arctg}{\frac {z}{r}}+\pi \,u_{0}(-r)\,\operatörsnamn {sgn}z,

{\varphi }=\varphi .\quad

{\begin{pmatrix}dr\\d\varphi \\dh\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\sin \theta &\rho \cos \theta &0\\0&0&1\\\cos \theta & -\rho \sin \theta &0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}d\rho \\d\theta \\d\varphi \end{pmatrix}},

{\begin{pmatrix}d\rho \\d\theta \\d\varphi \end{pmatrix))={\begin{pmatrix}{\frac {r}{{\sqrt {r^{2}+z ^{2)))))&0&{\frac {z}{{\sqrt {r^{2}+z^{2))))}\\{\frac {-z}{r^{2} +z^{2}}}&0&{\frac {r}{r^{2}+z^{2}}}\\0&1&0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}dr\\d \varphi\\dz\end{pmatrix}}.

Geografiskt koordinatsystem

Det geografiska koordinatsystemet ger möjlighet att identifiera vilken punkt som helst på jordklotet genom en uppsättning alfanumeriska beteckningar. Som regel tilldelas koordinater på ett sådant sätt att en av pekarna indikerar den vertikala positionen och den andra, eller en kombination av andra, den horisontella positionen . Den traditionella uppsättningen av geografiska koordinater är latitud , longitud och höjd [15] . Det geografiska koordinatsystemet som använder de tre listade markörerna är ortogonalt.

Latituden för en punkt på jordens yta definieras som vinkeln mellan ekvatorialplanet och den räta linjen som passerar genom denna punkt som en normal till ytan av basellipsoiden, ungefär som sammanfaller till formen med jorden. Denna räta linje passerar vanligtvis inom några kilometer från jordens centrum, förutom i två fall: polerna och ekvatorn (i vilket fall den går direkt genom mitten). Linjer som förbinder punkter på samma latitud kallas paralleller . 0° latitud motsvarar ekvatorns plan, jordens nordpol motsvarar 90° nordlig latitud, sydpolen respektive 90° sydlig latitud. I sin tur definieras longituden för en punkt på jordens yta som vinkeln i östlig eller västlig riktning från huvudmeridianen till en annan meridian som passerar genom denna punkt. Meridianer som förbinder punkter av samma longitud är halvellipser som konvergerar vid polerna. Noll är meridianen som passerar genom Royal Observatory i Greenwich , nära London . När det gäller höjden mäts den från geoidens villkorliga yta , som är en abstrakt rumslig representation av jordklotet.

Se även

Galileiska koordinater
Gaussiska koordinater
Normala koordinater
Riemannska koordinater
Ursprung , koordinataxel , ort
Lokal standard för vila (ursprunget till koordinaterna i astronomi)
Huvudortodromt koordinatsystem
Dimension av utrymme
Affina transformationer

Anteckningar

↑ Parkhomenko A. S. Affint koordinatsystem. — Matematisk uppslagsverk. - M . : Soviet Encyclopedia, 1977-1985.
↑ Sklyarenko E. G. Barycentriska koordinater. — Matematisk uppslagsverk. - M . : Soviet Encyclopedia, 1977-1985.
↑ Weisstein, Eric W. Bipolära koordinater på Wolfram MathWorld- webbplatsen .
↑ Dolgachev I.V., Pskovskikh V.A. Bipolära koordinater. — Matematisk uppslagsverk. - M . : Soviet Encyclopedia, 1977-1985.
↑ R. Price, The Periodic Standing Wave Approximation: Anpassade koordinater och spektrala metoder. . Hämtad 11 maj 2013. Arkiverad från originalet 4 mars 2016. (obestämd)
↑ Den periodiska stående vågapproximationen: olinjära skalära fält, anpassade koordinater och den egenspektrala metoden. . Hämtad 11 maj 2013. Arkiverad från originalet 2 april 2019. (obestämd)
↑ Sokolov D. D. Bicylindriska koordinater. — Matematisk uppslagsverk. - M . : Soviet Encyclopedia, 1977-1985.
↑ MathWorld-beskrivning av koniska koordinater . Hämtad 11 maj 2013. Arkiverad från originalet 6 oktober 2013. (obestämd)
↑ MathWorld beskrivning av paraboliska koordinater . Hämtad 11 maj 2013. Arkiverad från originalet 2 juni 2013. (obestämd)
↑ Voitsekhovsky M. I. Projektiva koordinater. — Matematisk uppslagsverk. - M . : Soviet Encyclopedia, 1977-1985.
↑ MathWorld beskrivning av toroidformade koordinater . Hämtad 11 maj 2013. Arkiverad från originalet 20 maj 2021. (obestämd)
↑ Weisstein, Eric W. Trilinear Coordinates på Wolfram MathWorld- webbplatsen .
↑ MathWorld-beskrivning av paraboliska cylindriska koordinater . Hämtad 11 maj 2013. Arkiverad från originalet 11 november 2020. (obestämd)
↑ Sokolov D. D. Ellipsoidala koordinater. — Matematisk uppslagsverk. - M . : Soviet Encyclopedia, 1977-1985.
↑ En guide till koordineringssystem i Storbritannien Arkiverad 22 april 2008. v1.7 oktober 2007

Litteratur

Gel'fand I. M., Glagoleva E. G., Kirillov A. A. Metod för koordinater. (otillgänglig länk) Femte upplagan, stereotyp. Serie: Fysik- och matematikskolans bibliotek. Matte. Nummer 1. M.: Nauka, 1973.
Delaunay N. B. Coordinates, in mathematics // Encyclopedic Dictionary of Brockhaus and Efron : i 86 volymer (82 volymer och 4 ytterligare). - St Petersburg. 1890-1907.

Länkar

Valfri lektion i matematik på ämnet: "Olika koordinatsystem"