Hurwitzs automorfismteorem

Hurwitzs automorfismteorem begränsar ordningen för automorfismgruppen - orientering  -bevarande av konforma avbildningar - av  en kompakt Riemann-yta av släktet g > 1, och anger att antalet sådana automorfismer inte kan överstiga 84( g − 1). Gruppen för vilken maximinivån uppnås kallas Hurwitz-gruppen och motsvarande Riemann-yta kallas Hurwitz- ytan . Eftersom kompakta Riemann-ytor är synonyma med icke-singular komplexa projektiva algebraiska kurvor , kan en Hurwitz-yta också kallas en Hurwitz-kurva [1] . Satsen är uppkallad efterAdolf Hurwitz , som bevisade det 1893 [2] .

Hurwitz-gränsen gäller även för algebraiska kurvor över fält med karakteristik 0 och över fält med positiv egenskap p > 0 för grupper vars ordning är coprime till p , men kanske inte håller över fält med karakteristik p > 0 om p delar ordningen för gruppen . Till exempel har en dubbel täckning av den projektiva linjen , som förgrenar sig på alla punkter över ett enkelt fält, genus , men ordningsgruppen agerar på det .

Tolkning i termer av hyperbolicitet

Ett av de grundläggande teman för differentialgeometri  är trikotomi mellan Riemannska grenrör av positiv, noll och negativ krökning K . Detta finns i många situationer och på olika nivåer. I samband med Riemann ytor X , enligt Riemann uniformering teorem, ses denna trikotomi som en skillnad mellan ytor av olika topologier:

• X  är en sfär , en kompakt Riemann-yta av släktet noll med K > 0;
• X  är en platt torus eller elliptisk kurva , Riemann-yta av släkte 1 med K = 0;
• X  är en hyperbolisk yta av släktet > 1 och K < 0.

Medan ytan X i det första fallet tillåter oändligt många konforma automorfismer (i själva verket är den konforma automorfismgruppen en Lie-grupp av dimension tre för sfären och dimension ett för torus), tillåter en hyperbolisk Riemann-yta endast en diskret uppsättning automorfismer . Hurwitzs teorem säger att i själva verket är ännu mer sant - det ger en gräns för ordningen för automorfismgruppen som en funktion av släktet och beskriver Riemann-ytor för vilka denna gräns är exakt.

Idén om beviset och konstruktionen av Hurwitz-ytor

Genom uniformiseringssatsen täcks varje hyperbolisk yta X , det vill säga en sådan yta för vilken den Gaussiska krökningen är lika med minus en vid någon punkt, av ett hyperboliskt plan . En konform kartläggning av en yta motsvarar orienteringsbevarande automorfismer i det hyperboliska planet. Enligt Gauss-Bonnet-satsen är ytan lika med

För att göra automorfismgruppen G på X så stor som möjligt måste vi göra området för dess grundläggande domän D så litet som möjligt för denna åtgärd. Om den fundamentala domänen är en triangel med vertexvinklar och , vilket ger en sida vid sida av det hyperboliska planet, kommer p , q och r att vara heltal större än ett, och arean är

Låt oss ställa oss frågan för vilka naturliga tal uttrycket

strikt positiv och så liten som möjligt. Detta minimivärde är 1/42 och

ger en unik (upp till en permutation) trippel av sådana tal. Det betyder att ordern | G | automorfism grupp begränsas av värdet

Men mer noggranna beräkningar visar att denna uppskattning halveras, eftersom gruppen G kan innehålla orienteringsomkastande transformationer. För orienteringsbevarande konforma automorfismer kommer gränsen att vara .

Byggnad

För att få ett exempel på en Hurwitz-grupp börjar vi med en (2,3,7)-plattsättning av det hyperboliska planet. Dess fulla symmetrigrupp är den fullständiga triangelgruppen (2,3,7) som bildas av reflektioner kring sidorna av en grundläggande triangel med vinklar , och . Eftersom reflektionen vänder på triangeln och ändrar orientering kan vi para ihop trianglarna och få en orienteringsbevarande plattsättningspolygon. Hurwitz-ytan erhålls genom att "stänga" en del av denna oändliga beläggning av det hyperboliska planet till en Riemann-yta av släktet g . Detta kommer att kräva exakt brickorna (bestående av två trianglar).

De följande två vanliga plattsättningarna har önskad symmetrigrupp. Rotationsgruppen motsvarar rotationer runt en kant, vertex och yta, medan den fullständiga symmetrigruppen också kan inkludera reflektioner. Observera att polygonerna i plattsättningen inte är fundamentala områden - triangeln (2,3,7) förfinar båda dessa plattsättningar och är inte regelbundna.

Wythoffs konstruktioner möjliggör ytterligare enhetliga plattsättningar , vilket ger åtta enhetliga plattsättningar , inklusive de två som visas här. De är alla erhållna från Hurwitz-ytor och ger en plattsättning av ytor (triangulering, plattsättning av heptagoner, etc.).

Av övervägandena ovan kan vi dra slutsatsen att Hurwitz-gruppen G kännetecknas av egenskapen att den är en finit faktorgrupp av en grupp med två generatorer a och b och tre relationer

sålunda är G en finit grupp genererad av två element av ordning två och tre vars produkt har ordning sju. Mer exakt kan vilken Hurwitz-yta som helst, det vill säga en hyperbolisk yta på vilken den maximala ordningen för automorfismgruppen för ytor av ett givet släkte uppnås, erhållas genom den beskrivna konstruktionen. Detta är den sista delen av Hurwitz-satsen.

Exempel på Hurwitz-grupper och ytor

Den minsta Hurwitz-gruppen är den projektiva speciallinjära gruppen PSL(2,7) med ordningen 168, och motsvarande kurva är Klein-kvartiken . Denna grupp är också isomorf till PSL(3,2) .

Följande kurva är en McBeath-kurva med automorfismgrupp PSL(2,8) av ordningen 504. Det finns många enkla ändliga grupper som är Hurwitz-grupper, till exempel är alla utom 64 alternerande grupper Hurwitz-grupper. Den största icke-Hurwitz-gruppen har grad 167. A 15 är den minsta alternerande gruppen, som är en Hurwitz-grupp.

De flesta projektiva speciella linjära grupper av stor rang är Hurwitz-grupper [4] . Det finns färre Hurwitz-grupper bland sådana grupper av små led. Betecknar p modulo 7 med exponent , PSL(2, q ) är en Hurwitz-grupp om och endast om antingen q =7 eller . Dessutom är PSL(3, q ) en Hurwitz-grupp endast för q = 2, PSL(4, q ) är inte en Hurwitz-grupp för någon q , och PSL(5, q ) är en Hurwitz-grupp endast om eller [5] . På liknande sätt är många grupper av Lie-typ Hurwitz. Finita klassiska grupper av hög rang är Hurwitz-grupper [6] . Exceptionella Lie-grupper av typ G2 och Ree-grupper av typ 2G2 är nästan alltid Hurwitz-grupper [7] . Andra familjer av exceptionella och vridna Lie-grupper av låg rang, som Malle visar, är Hurwitz-grupper [8] .

Det finns 12 sporadiska grupper som kan bildas som Hurwitz- grupper - Janko-grupperna J 1 , J 2 och J 4 , Fischer-grupperna Fi 22 och Fi' 24 , Rudvalis- gruppen , Held grupp , Thompson sporadisk grupp , Harada grupp -Norton , den tredje gruppen av Conway Co 3 , gruppen av Lyons och "monster" [9] .

Maximala ordningar av automorfismgrupper av Riemann-ytor

Den maximala ordningen för en finit grupp som verkar på en Riemann-yta av släktet g ges enligt följande

Se även

• Triangelgrupp (2,3,7)

Anteckningar

1. ↑ Tekniskt sett är kategorin kompakta Riemann-ytor och orienteringsbevarande konforma avbildningar likvärdig med kategorin icke-singulära komplexa projektiva algebraiska kurvor och algebraiska morfismer.
2. ↑ Hurwitz, 1893 .
3. ↑ ( Richter ) Notera att varje yta av en polyeder består av flera ytor med plattor - två triangulära ytor utgör en fyrkantig yta, och så vidare, som i den här förklarande ritningen Arkiverad 3 mars 2016 på Wayback Machine .
4. ↑ Lucchini, Tamburini, Wilson, 2000 .
5. ↑ Tamburini, Vsemirnov, 2006 .
6. ↑ Lucchini, Tamburini, 1999 .
7. ↑ Malle, 1990 .
8. ↑ Malle, 1995 .
9. ↑ Wilson, 2001 .

Litteratur

• Hurwitz A. Über algebraische Gebilde mit Eindeutigen Transformationen in sich // Mathematische Annalen . - 1893. - T. 41 , nr. 3 . - S. 403-442 . - doi : 10.1007/BF01443420 .
• Lucchini A., Tamburini MC Klassiska grupper av stor rang som Hurwitz-grupper // Journal of Algebra. - 1999. - T. 219 , nummer. 2 . - S. 531-546 . — ISSN 0021-8693 . doi : 10.1006 / jabr.1999.7911 .
• Lucchini A., Tamburini MC, Wilson JS Hurwitz grupper av stor rang // Journal of the London Mathematical Society. andra serien. - 2000. - T. 61 , nr. 1 . - S. 81-92 . — ISSN 0024-6107 . - doi : 10.1112/S0024610799008467 .
• gunter köpcentrum. Hurwitz-grupper och G2(q)  // Canadian Mathematical Bulletin . - 1990. - T. 33 , nr. 3 . - S. 349-357 . — ISSN 0008-4395 .
• gunter köpcentrum. Små rankade exceptionella Hurwitz-grupper // Grupper av Lie-typ och deras geometrier (Como, 1993). - Cambridge University Press , 1995. - V. 207. - S. 173-183. — (London Math. Soc. Lecture Note Ser.).
• Tamburini MC, Vsemirnov M. Irreducible (2,3,7)-undergrupper av PGL(n,F) för n ≤ 7 // Journal of Algebra. - 2006. - T. 300 , nr. 1 . - S. 339-362 . — ISSN 0021-8693 . - doi : 10.1016/j.jalgebra.2006.02.030 .
• Wilson RA The Monster är en Hurwitz-grupp // Journal of Group Theory. - 2001. - T. 4 , nr. 4 . - S. 367-374 . - doi : 10.1515/jgth.2001.027 .
• David A. Richter. Hur man gör Mathieu Group M 24 .