Cyklisk grupp

En cyklisk grupp är en grupp som kan genereras av ett enda element a , det vill säga alla dess element är potenser av a (eller, med hjälp av additiv terminologi, kan representeras som na , där n är ett heltal ). Matematisk notation: . $(G,\cdot )$ $G=\langle a\rangle$

Trots sitt namn behöver en grupp inte bokstavligen representera en "cykel". Det kan hända att alla grader är olika. Den sålunda genererade gruppen kallas den oändliga cykliska gruppen och är isomorf till gruppen av heltal genom addition $g^{n}$ $(\mathbb {Z} ,+).$

Egenskaper

Alla cykliska grupper är abelska .
Varje ändlig cyklisk grupp är isomorf till gruppen = med addition modulo n (den betecknas också med ), och varje oändlig grupp är isomorf till , gruppen av heltal modulo n. $\mathbb {Z} _{n}$ $\{0,1,\dots ,n-1\}$ $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ $\mathbb {Z}$
- Speciellt för varje naturligt tal n finns det en unik (upp till isomorfism) cyklisk grupp av ordningen n .
Varje undergrupp i en cyklisk grupp är cyklisk.
En cyklisk grupp av ordningen n har exakt φ( n ) generatorer, där φ är Eulerfunktionen .
Om p är primtal är vilken grupp som helst av ordningen p cyklisk och unik upp till isomorfism (detta följer av Lagranges sats ).
En direkt produkt av två cykliska ordningsgrupper och är cyklisk om och endast om n och m är coprime. $n$ $m$
- Till exempel isomorft till , men inte isomorft till . $\mathbb {Z} _{12}$ $\mathbb {Z} _{3}\times \mathbb {Z} _{4}$ $\mathbb {Z} _{6}\times \mathbb {Z} _{2}$
Den grundläggande satsen om ändligt genererade Abelska grupper säger att varje ändligt genererad Abelisk grupp sönderfaller unikt till en direkt produkt av primära cykliska grupper. Den primära gruppen kan vara en cyklisk grupp , där p är ett primtal, eller . $\mathbb {Z} _{p^{n}}$ $\mathbb {Z}$
Den multiplikativa gruppen för ett ändligt fält är cyklisk (den genereras av ett element i fältet av högsta ordningen).
Endomorfismen i en grupp är isomorf till ringen . Under denna isomorfism motsvarar talet r en endomorfism som tilldelar ett element summan av r av dess instanser. En sådan kartläggning skulle vara en bijektion om och endast om r är relativt primtal till n , så att automorfismgruppen är isomorf . $\mathbb {Z} _{n}$ $\mathbb {Z} _{n}$ $\mathbb {Z} _{n}$ $\mathbb {Z} _{n}$ $\mathbb {Z} _{n}^{\times }$

Exempel

Gruppen av rötter av maktens enhet n genom multiplikation.
Galoisgruppen för varje finit förlängning av ett finit fält är finit och cyklisk; omvänt, givet ett ändligt fält F och en ändlig cyklisk grupp G , finns det en finit förlängning F vars Galois-grupp är G.

Bevis

Uttalande . Varje undergrupp i en cyklisk grupp är cyklisk.

Bevis . Låt vara en cyklisk grupp och vara en undergrupp till gruppen . Om en grupp är trivial (består av ett element) så är den också cyklisk. Om är en trivial undergrupp (består av identitetselementet eller sammanfaller med hela gruppen G), så är den cyklisk. I det följande , under bevisets gång, kommer vi att anta det och inte är triviala. $G$ $H$ $G$ $G$ $H=G$ $H$ $H$ $H$ $G$ $H$

Låta vara ett genererande element i gruppen , och vara det minsta positiva heltal så att . Påstående: $g$ $G$ $n$ $g^{n}\i H$ $H=\langle g^{n}\rangle$

\langle g^{n}\rangle \subseteq H

{\forall a\in \langle g^{n}\rangle }\ {\exists z\in \mathbb {Z} }\mid {a=(g^{n})^{z))

g^{n}\in H\Rightarrow (g^{n})^{z}\in H\Rightarrow a\in H

Därför, .

\langle g^{n}\rangle \subseteq H

H\subseteq \langle g^{n}\rangle

Låt .

h\in H

h\in H\Rightarrow h\in G\Rightarrow \exists x\in {\mathbb {Z} }\mid h=g^{x}

. Enligt divisionsalgoritmen

\exists q,r\in {\mathbb {Z} }\mid 0\leq r\leq n-1\land x=qn+r

h=g^{x}=g^{qn+r}=g^{qn}g^{r}=(g^{n})^{q}g^{r}\Rightarrow g^{r} =h(g^{n})^{-q}

h,g^{n}\i H\Högerpil g^{r}\i H

. Baserat på hur vi valde och det faktum att , drar vi slutsatsen att .

n

0\leq r\leq n-1

r=0

r=0\högerpil h=(g^{n})^{q}g^{0}=(g^{n})^{q}\in \langle g^{n}\rangle

. Därför, .

H\subseteq \langle g^{n}\rangle

Litteratur

Vinberg E. B. Algebrakurs. — M.: Factorial Press, 2001.
Hamermesh M. Gruppteori och dess tillämpning på fysiska problem. — M.: Mir, 1966.

Gruppteori
Grundläggande koncept	Undergrupp Normal undergrupp Faktorgrupp Arbete direkt halvdirekt fri
Algebraiska egenskaper	kommutativ grupp Cyklisk grupp beställd grupp Förvandla grupp Lösbar grupp Schreiers Lemma Lagranges sats Sylows satser Klassificering av enkla ändliga grupper
ändliga grupper	Finit cyklisk grupp C n Symmetrisk grupp S n Dihedral grupp D n Alternerande grupp A n Klein Quadruple Group Mathieu-grupper M11 _ M12 _ M22 _ M23 _ M24 _ Conway grupper Co 1 Co2 _ Co3 _ Janko grupper J1 _ J2 _ J3 _ J4 _ Fisher grupper F22 _ F 23 F24 _ Monster (M)
Topologiska grupper	Lögngrupper Ortogonal grupp O(n) Special ortogonal grupp SO(n) Enhetsgrupp U(n) Särskild enhetlig grupp SU(n) Sympletisk grupp Sp(n) Exceptionellt enkelt Lorentz grupp Poincaré-gruppen
Algoritmer på grupper	Schreier - Sims Todd - Coxeter Fouriertransform