Kopula

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 15 juli 2020; kontroller kräver 2 redigeringar .

Copula ( lat. copula "anslutning, kärv") är en multidimensionell distributionsfunktion definierad på en dimensionell enhetskub , så att var och en av dess marginalfördelningar är enhetliga på intervallet . $n$ $[0,\;1]^{n}$ $[0,\;1]$

Sklars sats

Sklars teorem är följande: för en godtycklig tvådimensionell fördelningsfunktion med endimensionella marginalfördelningsfunktioner och det finns en kopula sådan att $H(x,\;y)$ $F(x)=H(x,\;\infty )$ $G(y)=H(\infty ,\;y)$

H(x,\;y)=C(F(x),\;G(y)),

där vi identifierar en distribution med dess distributionsfunktion. Kopulan innehåller all information om karaktären av sambandet mellan två slumpvariabler som inte finns i marginalfördelningar, men innehåller inte information om marginalfördelningar. Som ett resultat separeras information om marginalerna och information om beroendet mellan dem av en kopula från varandra. $C$

Några egenskaper hos copula är:

C(u,\;0)=C(0,\;v)=0,

C(u,\;1)=u;\quad C(1,\;v)=v.

Fréchet-Hoefding gränsar för copula

Minsta kopula är den nedre gränsen för alla kopula, bara i det tvådimensionella fallet motsvarar det en strikt negativ korrelation mellan slumpvariabler:

W(x,\;y)=\max(0,\;x+y-1).

Maximal copula är den övre gränsen för alla copulas, motsvarar en strikt positiv korrelation mellan slumpvariabler:

M(x,\;y)=\min(x,\;y).

Archimedean copulas

En speciell enkel form av kopula:

C(x,\;y)=\Psi ^{{-1}}(\Psi (x)+\Psi (y)),

där kallas en generatorfunktion . Sådana kopler kallas Archimedean . Varje generatorfunktion som uppfyller följande egenskaper fungerar som grunden för en riktig kopula: $\psi$

\Psi (1)=0;\quad \lim _{{x\to 0}}\Psi (x)=\infty ;\quad \Psi '(x)<0;\quad \Psi ''(x) >0.

En produktkopula , även kallad en oberoende kopula , är en kopula som inte har några beroenden mellan variabler, dess densitetsfunktion är alltid lika med en.

\Psi (x)=-\ln(x);\quad C(x,\;y)=xy.

Claytons kopula:

\Psi (x)=x^{\theta }-1;\quad \theta \leqslant 0;\quad C(x,\;y)=(x^{\theta }+y^{\theta }-1 )^{{1/\theta }}.

För i Claytons copula är de slumpmässiga variablerna statistiskt oberoende . $\theta=0$

Generatorfunktionsmetoden kan utökas för att skapa flerdimensionella copulor genom att helt enkelt lägga till variabler.

Empirisk kopula

När man analyserar data med en okänd fördelning är det möjligt att bygga en "empirisk kopula" genom faltning på ett sådant sätt att marginalfördelningarna är enhetliga. Matematiskt kan detta skrivas som:

C_{n}\left({\frac {i}{n)),{\frac {j}{n}}\right)={\frac {1}{n}}\cdot

Antalet par så att

(x,y)

x\leq x_{{(i)}}{\text{ och }}y\leq y_{{(j)}}\,,1\leq i\leq n,1\leq j\leq n

där x ( i ) representerar den i :e ordningens statistik av x .

Gaussisk kopula

Gaussiska copulas används ofta i finanssektorn. För det n-dimensionella fallet kan kopulan representeras som [1] [2] :

C\left[G_{1}(u_{1}),...,G_{n}(u_{n})\right]=\Phi _{n}\left[\Phi ^{- 1}(G_{1}(u_{1})),...,\Phi ^{-1}(G_{n}(u_{n})),\rho _{\Phi }\right]

var:

$G_{i}(u_{i})$ — Privata distributioner.
${\displaystyle \Phi _{n))$ — n-dimensionell lednormalfördelning med en positiv halvdefinitiv korrelationsmatris av dimension ; ${\displaystyle \rho _{\Phi ))$ $n\ gånger n$
$\Phi ^{-1}$ är den omvända funktionen av den Gaussiska fördelningen.

Applikationer

Copula-beroendemodellering används i stor utsträckning vid finansiell riskbedömning och försäkringsanalys, till exempel vid prissättning av säkerställda skuldförbindelser (CDO) [3] . Dessutom har copulas även tillämpats på andra försäkringsuppgifter som ett flexibelt verktyg.

Se även

Oberoende (sannolikhetsteori)

Anteckningar

↑ Meissner, Gunter. 4.3.1 Gaussisk kopula // Korrelationsriskmodellering och hantering : en tillämpad guide inklusive Basel III-korrelationsramverket . - Wiley, 2014. - P. 76. - ISBN 111879690X .
↑ Blagoveshchensky Yu. N. Huvudelementen i teorin om kopula // Tillämpad ekonometri. - 2012. - Nr 2 (26) . - S. 113-130 .
↑ Meneguzzo, David (2003), Copula sensitivity in collateralized debt obligations and basket default swaps , Journal of Futures Markets vol. 24 (1): 37–70 , DOI 10.1002/fut.10110

Litteratur

Blagoveshchensky Yu. N. Huvudelementen i teorin om kopula // Applied Econometrics, nr 2 (26), 2012. P. 113—130.
Clayton David G. En modell för association i bivariata livstabeller och dess tillämpning i epidemiologiska studier av familjär tendens vid kronisk sjukdomsincidens. - Biometrika . - 1978. - 65. - s. 141-151. JSTOR (prenumeration)
Frees, EW, Valdez, EA Förstå relationer med Copulas. — North American Actuarial Journal. - 1998. - 2. - s. 1-25.
Nelsen Roger B. An Introduction to Copulas. - Springer , 1999. - 236 sid. — ISBN 0-387-98623-5 .
Rachev S., Menn C., Fabozzi F. Fat-tailed and Skewed Asset Return Distributions. - Wiley, 2005. - 369 sid. — ISBN 0-471-71886-6 .
Sklar A. Fonctions de répartition à n dimensions et leures marges. - Publications de l'Institut de Statistique de L'Université de Paris. - 1959. - 8. - s. 229-231.

Länkar

Weisstein, Eric W. Sklar's Theorem (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .
Exempel på att generera copulor i Matlab

Sannolikhetsfördelningar
Diskret	Bernoulli Binom Geometrisk hypergeometrisk Logaritmisk Negativ binomial Poisson Diskret uniform Multinomial
Absolut kontinuerligt	Beta Weibulla Gamma- hyperexponentiell Gompertz Kolmogorov Cauchy Laplace lognormal Normal (Gaussian) Logistisk Nakagami Pareto Pearson halvcirkelformig kontinuerlig uniform Ris Rayleigh Studerande Tracey - Vidoma Fiskare Chi-kvadrat Exponentiell Varians-gamma Multivariat normal kopula