Division (matematik)

Division

Beteckning	obelus
Motsatt	multiplikation
Mediafiler på Wikimedia Commons

Division ( operationen av division ) är inversen av multiplikation . Division indikeras med kolon , obelus , snedstreck eller skrivet som bråk . $:$ $\div$ $/$

För naturliga tal betyder division att hitta vilket tal (kvoten) som måste tas så många (divisor) gånger för att få den givna (dividenden).

Med andra ord är detta att hitta det maximala antalet upprepningar av att subtrahera en divisor från en utdelning; eller hitta ett sådant största värde som kan dras av från utdelningen så många gånger som anges i divisorn.

Tänk till exempel att dividera med : $fjorton$ $3$

Hur många gånger ingår i ? $3$ $fjorton$

Genom att upprepa operationen att subtrahera från , finner vi att den är innesluten av fyra gånger, och det finns fortfarande ett nummer "återstående" . $3$ $fjorton$ $3$ $fjorton$ $2$

I det här fallet kallas talet delbart , talet är divisorn , talet är den (ofullständiga) kvoten och talet är resten (från division) . $fjorton$ $3$ $fyra$ $2$

Hela kvoten , förhållandet eller förhållandet av tal kallas ett sådant tal att . I fallet där och kan deras totala kvot skrivas som ett bråktal eller ett decimaltal . $a$ $b$ $c$ $a=b\cdot c$ $a=14$ $b=3$ ${\frac {14}{3}}$ $4,(6)$

De fullständiga och ofullständiga deltalen och sammanfaller om och endast om det är jämnt delbart ( är delbart ) med . Motsvarande egenskap hos ett givet talpar kallas delbarhet . $a$ $b$ $a$ $b$

Formulär och terminologi

Division skrivs med ett av " delningstecken " - " " mellan argument, denna form av notation kallas infix notation . I detta sammanhang är divisionstecknet en binär operator . Delningstecknet har inget speciellt namn, till exempel tilläggstecknet, som kallas "plus". $\div ,~/,~:$

Det äldsta tecknet som används verkar vara snedstrecket (/). Den användes först av den engelske matematikern William Oughtred i hans Clavis Mathematicae 1631.
Den tyske matematikern Leibniz föredrog kolontecknet (:) Han använde denna symbol i sitt verk Acta eruditorum från 1684. Före Leibniz användes detta tecken av engelsmannen Johnson 1633 i sin bok, men som bråktecken, och inte division i snäv mening.
Johann Rahn introducerade obelus (÷) tecknet som ett divisionsmärke, det förekom i hans Teutsche Algebra från 1659. Rahns tecken kallas ofta för det "engelska divisionsmärket".

I ryskspråkiga läroböcker i matematik används främst kolon (:). Snedstrecket (/) används i datornotation. Resultatet skrivs med likhetstecknet " ", till exempel: $=$

a:b=c

;

6:3=2

("sex dividerat med tre är lika med två");

65:5=13

("sextiofem dividerat med fem är lika med tretton").

Egenskaper

Delningsoperationen på numeriska uppsättningar har följande huvudegenskaper: $\mathbb {N} ,\mathbb {Z} ,\mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,\mathbb {C}$

Uppdelningen är inte permuterbar (inte kommutativ) - från en förändring av platserna för argumenten ändras kvoten:

a:b\neq b:a;

Division är inte associativ - när divisionen av tre eller fler siffror utförs sekventiellt är sekvensen av operationer viktig, resultatet kommer att förändras:

(a:b):c\neq a:(b:c);

Division är rättdistributiv, detta är konsistensegenskapen för två binära operationer definierade på samma uppsättning, även känd som den distribuerande lagen [1] :

Distributivitet :

(a+b):x=(a:x)+(b:x),~x\neq 0;

När det gäller division har mängden ett enda neutralt element till höger (nummer ), division med ett (eller ett neutralt element) ger ett tal lika med originalet: $A$ $ett$

Neutralt element till höger:

x:1=x;

När det gäller division finns det bara ett reciprokt element i mängden, erhållet genom att dividera ett med ett tal, vilket ger ett tal som är inversen till originalet: $A$

Omvänt element :

1:x={\frac {1}{x}}=x^{-1},~x\neq 0;

När det gäller division finns det ett enda nollelement till vänster i mängden - ett tal dividerat med valfritt tal ger noll: $A$ $0$

Nollelement till vänster:

0:x=0,\quad \exists 0\in A,~x\neq 0;

Enligt reglerna för vanlig aritmetik är division med noll (nollelement) inte definierad; $0$

Division med noll :

x:0=\infty ,\quad \exists 0\in A,~x\neq 0;

Division med det motsatta elementet ger minus ett:

x:(-x)=-1,\quad \exists !-x\in A,~x\neq 0.

Resultatet av division är inte alltid säkert för uppsättningar av naturliga tal och heltal , för att få ett naturligt eller heltal som ett resultat av division måste utdelningen vara en multipel av divisorn. Det är omöjligt att få ett delresultat inom dessa siffror. I det här fallet talar vi om division med en rest . Det vill säga att division på dessa uppsättningar är en partiell binär operation . $\mathbb {N}$ $\mathbb {Z}$

Divisionsoperationen, definierad på mängder (i fält ) av rationella , reella och komplexa tal , ger ett tal (privat) som hör till samma mängd, därför är mängderna stängda med avseende på divisionsoperationen (vid punkt 0 finns en diskontinuitet av det andra slaget - därför är ringarna av rationella, reella och komplexa tal öppna med avseende på division). ${\mathbb {Q}}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$ $\mathbb {Q_{-0}} ,\mathbb {R_{-0}} ,\mathbb {C_{-0}}$

I matematiska uttryck har divisionsoperationen företräde framför additions- och subtraktionsoperationerna, det vill säga den utförs före dem.

Utföra en division

Division är en subtraktionshyperoperator och reducerar till sekventiell subtraktion. :

$a:b=\operatörsnamn {hyper-2} (a,b)=\operatörsnamn {hyper} (a,-2,b)=a^{(-2)}b=c.$

$a{^{(-2)}}b=a:b=a\underbrace {-bb-\dots -b} _{c}.$

där: är en sekvens av subtraktionsoperationer utförda en gång. $-bb-\dots -b$ $c$

I en praktisk lösning på problemet med att dividera två tal är det nödvändigt att reducera det till en sekvens av enklare operationer: subtraktion , jämförelse , överföring etc. För detta har olika divisionsmetoder utvecklats, till exempel för tal, bråkdelar , vektorer, etc. I ryskspråkiga läroböcker i matematik används algoritmen för närvarande kolumnindelningar . I detta fall bör delning betraktas som ett förfarande (i motsats till en operation).

Ett diagram som illustrerar platserna för att skriva utdelning, divisor, kvot, rest och mellanliggande beräkningar vid division med en kolumn:

Det framgår av diagrammet ovan att den önskade kvoten (eller ofullständig kvot när man dividerar med en rest) kommer att skrivas under divisorn under den horisontella linjen. Och mellanliggande beräkningar kommer att utföras under utdelningen, och du måste ta hand om tillgängligheten av utrymme på sidan i förväg. I det här fallet bör man vägledas av regeln: ju större skillnaden är i antalet tecken i posterna för utdelning och divisor, desto mer utrymme krävs.

En ungefärlig algoritm för proceduren för att dividera naturliga tal med en kolumn

Som du kan se är proceduren ganska komplicerad, den består av ett relativt stort antal steg, och när man delar stora tal kan det ta lång tid. Denna procedur är tillämplig på uppdelningen av naturliga tal och heltal (med förbehåll för tecken). För andra tal används mer komplexa algoritmer.

Aritmetiska operationer på siffror i alla positionsnummersystem utförs enligt samma regler som i decimalsystemet , eftersom de alla är baserade på reglerna för att utföra operationer på motsvarande polynom [2] . I det här fallet måste du använda subtraktionstabellen som motsvarar den givna basen i talsystemet. $P$

Ett exempel på att dividera naturliga tal i binära , decimala och hexadecimala talsystem:

110010│ 101 │ 0 — 0 50800│ 25 │ 0 — 0 CD530│ A8 │ 0 — 0 101 │1010 │ -101 — 1 50 │ 0 — 0 CD530│ A8 │ 0 — 0 101 │1010 │ -101 — 1 50 │ 2032 — 5 — 3 1F8 │ -1F8 — 3 101 80 │ -100 — 4 5D3 │ -2A0 — 4 101 75 │ ... — ... 540 │ -348 — 5 00 50 930 │ 9 -30 │ 9 -3F 498 — 7 0.0.0.│ -540 - 8 │ -5E8 - 9 │ -690 - A │ -738 - B │ -7E0 - C │ -888 - D │ -930 - E

Dela siffror

Naturliga tal

Låt oss använda definitionen av naturliga tal som ekvivalensklasser av finita mängder . Låt oss beteckna ekvivalensklasserna för finita mängder som genereras av bijektioner med hjälp av parentes: . Då definieras den matematiska operationen "division" enligt följande: $\mathbb {N}$ $C,A,B,R$ $[C],[A],[B],[R]$

$\quad [C]=[A]:[B]=[\högerpil (A/B)]\quad \&\quad [R]$ - uppdelning i lika delar (att hitta antalet element i varje delmängd av partitionen), privata nummer och antalet element i varje delmängd av partitionen anropas; $a$ $b$
$\quad [C]=[A]:[B]=[A/(\högerpil B)]\quad \&\quad [R]$ - division efter innehåll (hitta antalet delmängder av partitionen), privata nummer och antalet (antal) delmängder av partitionen anropas; $a$ $b$

där: är en partition av en ändlig mängd i lika många parvis disjunkta delmängder så att: $A/B$

$B_{\alpha }=B_{\beta },$ $\quad \bigcup \limits _{\alpha \in C}B_{\alpha }+R=A,$ $\quad \bigcap _{\alpha ,\beta \in C}(B_{\alpha },B_{\beta },R)=\{\emptyset \},$ för eventuella koefficienter som $\alpha ,\beta \in C$ $\alpha \not =\beta ;$

$R$ är resten (uppsättningen av återstående element), , $\{\emptyset \}\leqslant R<B$

$\höger pil$ — nolloperation "elementval".

I händelse av att ett naturligt tal inte är delbart med ett annat utan en rest, talar vi om division med en rest . Följande begränsning åläggs resten (så att den är korrekt, det vill säga unikt bestämd): , , $0\leqslant r<|b|$ $a=b\cdot c+r$

där: - utdelning, - divisor, - kvot, - återstod. $a$ $b$ $c$ $r$

Denna operation på klasser introduceras korrekt, det vill säga den beror inte på valet av klasselement och sammanfaller med den induktiva definitionen.

Den aritmetiska operationen "division" är partiell för mängden naturliga tal , (för semiring av naturliga tal). $\mathbb {N}$

Förhållandet mellan divisionen av naturliga tal och uppdelningen av ändliga mängder i klasser gör det möjligt att motivera valet av divisionsåtgärden när man löser problem, till exempel av följande typ:

"12 pennor delades lika upp i 3 lådor. Hur många pennor finns i varje låda? Problemet betraktar en uppsättning med 12 element. Denna uppsättning är uppdelad i 3 lika stora delmängder. Det krävs att man känner till antalet element i varje sådan delmängd. Detta kan hittas genom att dividera - 12 karat. : 3 st. Efter att ha beräknat värdet på detta uttryck får vi svaret på frågan om problemet - det finns 4 pennor i varje ruta.
”12 pennor ska placeras i lådor, 3 pennor i varje. Hur många lådor behöver du? Problemet betraktar en uppsättning av 12 element som är uppdelad i delmängder, som var och en har 3 element, det krävs för att ta reda på antalet sådana delmängder. Det kan hittas genom att dividera - 12 karat. : 3 ct. Efter att ha beräknat värdet på detta uttryck får vi svaret på frågan om problemet - 4 rutor behövs.

För att dela naturliga tal i positionsbeteckningssystemet för tal används divisionsalgoritmen av en kolumn.

Heltalsdivision _

Uppdelningen av godtyckliga heltal skiljer sig inte nämnvärt från divisionen av naturliga tal - det räcker att dela upp sina moduler och ta hänsyn till teckenregeln .

Uppdelning av heltal med en rest är dock inte unikt definierad. I ett fall, (såväl som utan en rest), betraktas modulerna först och som ett resultat får resten samma tecken som divisor eller utdelning (till exempel med en rest (-1)); i ett annat fall är begreppet resten direkt generaliserat och begränsningarna är lånade från de naturliga talen: $-7/(-3)=2$

-7\equiv 2{\pmod 3}

För att eliminera tvetydigheten antas en överenskommelse: resten av uppdelningen är alltid icke-negativ.

Division av rationella tal

Stängningen av uppsättningen av heltal genom operationen av division leder till dess expansion till uppsättningen av rationella tal. Detta leder till att resultatet av att dividera ett heltal med ett annat alltid är ett rationellt tal . Dessutom stöder de resulterande siffrorna (rationella) redan fullt ut divisionsoperationen (är stängda med avseende på den).

Regeln för att dividera vanliga bråk: ${\frac {a}{b)):{\frac {c}{d}}={\frac {a\cdot d}{b\cdot c}}={\frac {ad}{bc}}$

Division av reella tal

Uppsättningen av reella tal är ett kontinuerligt ordnat fält , betecknat med . Uppsättningen av reella tal kan inte räknas, dess makt kallas kontinuumets kraft . Aritmetiska operationer på reella tal representerade av oändliga decimalbråk definieras som en kontinuerlig fortsättning [3] av motsvarande operationer på rationella tal. $\mathbb {R}$

Givet två reella tal som kan representeras som oändliga decimaler :

\alpha =\pm a_{0},a_{1}a_{2}\ldots a_{n}\ldots =\{a_{n}\},

\beta =\pm b_{0},b_{1}b_{2}\ldots b_{n}\ldots =\{b_{n}\},

definieras av de grundläggande sekvenserna av rationella tal (som uppfyller Cauchy-villkoret ), betecknade som: och , sedan kallas deras privata nummer numret som definieras av de partiella sekvenserna och : $\alpha =[a_{n}]$ $\beta =[b_{n}]$ $\gamma =[c_{n}]$ $\{en}\}$ $\{b_{n}\}$

\gamma =\alpha :\beta {\overset {\text{def}}{=}}[a_{n}]:[b_{n}]=[a_{n}/b_{n}]

reellt tal , uppfyller följande villkor: $\gamma =\alpha :\beta$

\forall a',a'',b',b''\in \mathbb {Q} ;~~~~(a'\leqslant \alpha \leqslant a'')\land (b'\leqslant \beta \leqslant b'')\Rightarrow (a':b'\leqslant \alpha /\beta \leqslant a'':b'')\Rightarrow (a':b'\leqslant \gamma \leqslant a'' :b'').

Således är kvoten av två reella tal ett sådant reellt tal som finns mellan alla detaljer i formen å ena sidan och alla detaljer i formen å andra sidan [4] . Dedekind-sektionen gör det möjligt att unikt bestämma resultatet av divisionen. $\alfa$ $\beta$ $\gamma$ $a':b'$ $a'':b''$

I praktiken, för att dela två tal och , är det nödvändigt att ersätta dem med den erforderliga noggrannheten med ungefärliga rationella tal och . För det ungefärliga värdet av privata nummer, ta det privata av de angivna rationella talen . Samtidigt spelar det ingen roll från vilken sida (med brist eller överskott) de tagna rationella talen approximerar och . Indelningen görs enligt divisionen med en kolumnalgoritm. $\alfa$ $\beta$ $a$ $b$ $\alpha :\beta$ $a:b$ $\alfa$ $\beta$

Det absoluta felet för ett partiellt ungefärligt tal: , det absoluta felet för ett tal tas lika med halva sista enheten av siffran i detta tal. $\Delta \left({\frac {a}{b}}\right)={\frac {|b|\cdot \Delta a+|a|\cdot \Delta b}{b^{2}} }$

Det relativa felet för kvoten är lika med summan av de relativa felen för argumenten: . Det erhållna resultatet avrundas uppåt till den första korrekta signifikanta siffran, den signifikanta siffran i det ungefärliga talet är korrekt om talets absoluta fel inte överstiger halva enheten av siffran som motsvarar denna siffra. $\delta \left({\frac {a}{b}}\right)=\delta a+\delta b$

Ett exempel på division , upp till 3:e decimalen: $\gamma =\pi :e$

Vi avrundar dessa siffror till 4:e decimal (för att förbättra beräkningarnas noggrannhet);
Vi får: ; $\pi \approx 3,1416,\ e\approx 2,7183$
Vi delar med en kolumn :; $\gamma =\pi :e\approx 3.1416:2.7183\approx 1.1557$
Avrundning uppåt till 3:e decimal: . $\gamma \approx 1,156$

Schema

På uppsättningen av par av reella tal har divisionsfunktionens omfång grafiskt formen av en hyperbolisk paraboloid - en yta av andra ordningen [5] . $\mathbb {R} ^{2}$ $c=a:b~$

Eftersom , då för dessa uppsättningar kommer intervallet för divisionsfunktionen att tillhöra denna yta. $\mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R}$

Division av komplexa tal

Uppsättningen av komplexa tal med aritmetiska operationer är ett fält och betecknas vanligtvis med symbolen . $\mathbb {C}$

Algebraisk form

Kvoten av två komplexa tal i algebraisk notation är ett komplext tal lika med:

z=c+fi={\frac {z_{1}}{z_{2}}}={\frac {a+di}{b+ei}}={\frac {ab+de}{ b^{2}+e^{2}}}+{\frac {db-ae}{b^{2}+e^{2}}}i,

där: — komplexa tal , — imaginär enhet ; . ${\displaystyle z,z_{1},z_{2))$ $a,b,c,d,e,f\in \mathbb {R}$ $i$ $z_{2}\neq 0,~~~b+ei\neq 0$

I praktiken hittas kvoten av komplexa tal genom att multiplicera utdelningen och divisorn med det komplexa konjugatet av divisorn:

$z=c+fi={\frac {z_{1}}{z_{2}}}={\frac {a+di}{b+ei}}={\frac {(a+di) (b-ei)}{(b+ei)(b-ei)}}={\frac {ab+de}{b^{2}+e^{2}}}+{\frac {db-ae }{b^{2}+e^{2}}}i,$ $~~z_{2}\neq 0,~~~b+ei\neq 0;$

divisorn blir ett reellt tal, och två komplexa tal multipliceras i täljaren, sedan divideras det resulterande bråket term för term. Resultatet definieras för alla $b+ei\neq 0=0+0i$

Trigonometrisk form

För att dela två komplexa tal i trigonometrisk notation, måste du dividera modulen för utdelningen med modulen för divisorn och subtrahera divisorargumentet från utdelningsargumentet:

$z=c+fi={\frac {z_{1}}{z_{2}}}={\frac {a+di}{b+ei}}={\frac {r_{1}( \cos \varphi _{1}+i\sin \varphi _{1})}{r_{2}(\cos \varphi _{2}+i\sin \varphi _{2})))={\ frac {r_{1}}{r_{2}}}(\cos(\varphi _{1}-\varphi _{2})+i\sin(\varphi _{1}-\varphi _{2} ),$

där: - modul och argument för ett komplext tal; . ${\displaystyle r_{n}=|z_{n}|=|x+yi|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}};~~~\varphi _{n}=\ operatörsnamn {Arg} (z_{n})=\operatörsnamn {arctg} {\biggl (}{\frac {x}{y}}{\biggr )))$ $z_{2}\neq 0,~~~r_{2}\neq 0$

Det vill säga, modulen för kvoten av två komplexa tal är lika med kvoten för modulerna, och argumentet är skillnaden mellan argumenten för utdelningen och divisorn.

Den exponentiella (exponentiella) formen

Att dividera ett komplext tal i exponentiell form med ett komplext tal reduceras till att rotera vektorn som motsvarar talet med en vinkel och ändra dess längd med en faktor. För privata komplexa tal i exponentiell form är likheten sann: $z_{1}=a+di=r_{1}e^{i\varphi _{1}}$ $z_{2}=b+ei=r_{2}e^{i\varphi _{2))$ $z_{1}$ $\operatorname {Arg} (z_{2})$ $|z_{2}|$

$z=c+fi={\frac {z_{1}}{z_{2}}}={\frac {a+di}{b+ei}}={\frac {r_{1}e ^{i\varphi _{1}}}{r_{2}e^{i\varphi _{2}}}}={\frac {r_{1}}{r_{2}}}e^{i (\varphi _{1}-\varphi _{2})};$

där: - nummer e ; . $e=2{,}718281828\dots$ $z_{2}\neq 0,~~~r_{2}\neq 0$

Exponentiell notation

I exponentiell notation skrivs siffror som , där är mantissan , är numrets kännetecken , är talsystemets bas, . För att dela två tal som är skrivna i exponentiell form är det nödvändigt att separera mantissan och egenskaperna: ${\displaystyle a=\pm x\cdot P^{\pm n))$ $x$ $P^{n}$ $P$ $n\in \mathbb{Z }$ $(a\cdot P^{n}):(b\cdot P^{k})=(a:b)\cdot (P^{n}:P^{k})={\frac { a}{b}}\cdot P^{nk}.$

Till exempel:

(6{,}34\cdot 10^{4}):~(2{,}16\cdot 10^{-2})=(6{,}34:~2{,}16)\ cdot (10^{4}:10^{-2})\approx 2{,}935\cdot 10^{(4-(-2))}\approx 2{,}94\cdot 10^{4+ 2}\approx 2{,}94\cdot 10^{6}.

Uppdelning av fysiska storheter

Måttenheten för en fysisk storhet har ett specifikt namn ( dimension ): för längd (L) - meter (m), för tid (T) - sekund (s), för massa (M) - gram (g) och så på. Därför är resultatet av att mäta en viss kvantitet inte bara ett tal, utan ett tal med namnet [6] . Namnet är ett självständigt objekt som lika deltar i delningsverksamheten. När man utför en divisionsoperation på fysiska storheter delas både de numeriska komponenterna själva och deras namn.

Förutom dimensionella fysiska storheter finns det dimensionslösa (kvantitativa) kvantiteter som formellt är element i den numeriska axeln , det vill säga tal som inte är bundna till vissa fysiska fenomen (mätt med "bitar", "tider" etc.). När man dividerar tal som representerar fysiska storheter med en dimensionslös kvantitet, ändras det delbara talet i storlek och behåller måttenheten. Till exempel, om du tar 15 naglar och lägger dem i 3 lådor, får vi som ett resultat av uppdelningen 5 spikar i varje låda:

15~{\text{gw):3=5~{\text{gw)).

Uppdelningen av heterogena fysikaliska storheter bör betraktas som att hitta en ny fysisk storhet som skiljer sig fundamentalt från de kvantiteter som vi delar. Om det är fysiskt möjligt att skapa en sådan kvot, till exempel när man hittar arbete, hastighet eller andra kvantiteter, bildar denna kvantitet en uppsättning som skiljer sig från de initiala. I detta fall tilldelas sammansättningen av dessa storheter en ny beteckning (ny term ), till exempel: densitet , acceleration , effekt , etc. [7] .

Om du till exempel delar längden med tiden som motsvarar en fysisk process, får du ett namngivet tal (fysisk kvantitet) som motsvarar samma fysiska process, som kallas "hastighet" och mäts i "meter per sekund": $L=8~{\text{m}}~$ $T=2~{\text{s)),~$ $V=4~{\text{m/s)).$

V=L:T=8~{\text{m}}:2~{\text{s}}=4~~{\text{(m : s)))=4~{\text{ Fröken}}.

När man beskriver fysikaliska processer med matematiska medel spelar en viktig roll av begreppet homogenitet, vilket till exempel innebär att "1 kg mjöl" och "1 kg koppar" tillhör olika mängder {mjöl} och {koppar} , respektive och kan inte direkt separeras. Begreppet homogenitet antyder också att delbara kvantiteter hör till en fysisk process. Det är oacceptabelt att dela till exempel hastigheten på en häst med tiden för en hund.

Division i algebra

I motsats till de enklaste aritmetiska fallen, på godtyckliga mängder och strukturer, kan division inte bara vara odefinierad, utan också ha en mångfald av resultat.

Vanligtvis i algebra introduceras division genom begreppet identitet och inversa element. Om identitetselementet introduceras unikt (vanligtvis axiomatiskt eller per definition), kan det omvända elementet ofta vara antingen vänster ( ) eller höger ( ). Dessa två omvända element kan eller kanske inte existerar separat, lika eller inte lika med varandra. $x^{{-1}}*x=e$ $x*x^{{-1}}=e$

Till exempel bestäms förhållandet mellan matriser genom den inversa matrisen, medan det även för kvadratiska matriser kan vara:

B^{{-1}}\cdot A\neq A\cdot B^{{-1}}

Förhållandet mellan tensorer är i allmänhet inte definierat.

Division av polynom

I allmänna termer upprepar det idéerna om att dividera naturliga tal, eftersom ett naturligt tal inte är något annat än värdena för ett polynom, där koefficienterna är siffror, och basen för talsystemet är istället för en variabel:

5334_{8}=5\cdot 8^{3}+3\cdot 8^{2}+3\cdot 8^{1}+4\cdot 8^{0}=\left.(5x^{3} +3x^{2}+3x+4)\höger|_{{x=8}}

Följande definieras därför på liknande sätt: kvot, divisor, utdelning och återstod (med den enda skillnaden att begränsningen åläggs graden av återstoden). Därför är division med en kolumn också tillämplig på divisionen av polynom .

Skillnaden ligger i det faktum att vid division av polynom ligger huvudvikten på utdelningsgraderna och divisorn och inte på koefficienterna. Därför brukar man anta att kvoten och divisorn (och därmed resten) definieras upp till en konstant faktor.

Division med noll

Genom definitionen av talmängder definieras inte division med talet 0 . Kvoten för att dividera något annat tal än noll med noll finns inte, eftersom i detta fall inget tal kan uppfylla definitionen av en kvot [8] . För att bestämma denna situation antas det att resultatet av denna operation anses vara "oändligt stort" eller "lika med oändlighet " (positivt eller negativt, beroende på operandernas tecken). Ur geometrisk synvinkel utförs en affin förlängning av tallinjen . Det vill säga att den vanliga sekvensen av reella tal är "komprimerad" så att det är möjligt att arbeta med gränserna för denna sekvens. Två abstrakta oändligt stora kvantiteter introduceras som (villkorliga) gränser . Ur allmän topologis synvinkel utförs en tvåpunktskomprimering av tallinjen genom att lägga till två idealiserade punkter (oändligheter med motsatt tecken). Skriva: $\mathbb {N} ,\mathbb {Z} ,\mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,\mathbb {C}$ $+\infty ,-\infty$

a:0=\pm \infty

, var

a\neq 0.

Om vi gör en projektiv förlängning av uppsättningen av reella tal genom att introducera en idealiserad punkt som förbinder båda ändarna av den reella linjen, då ur den allmänna topologins synvinkel kommer en enpunktskomprimering av den reella linjen att utföras av lägga till osignerad oändlighet. Låt oss komplettera den resulterande uppsättningen siffror med ett nytt element , som ett resultat får vi , på grundval av detta byggs en algebraisk struktur som kallas " Wheel " (Wheel) [9] . Termen togs på grund av likheten med den topologiska bilden av den projektiva förlängningen av den reella linjen och punkten 0/0. De ändringar som gjorts gör detta algebraiska system till en monoid både genom additionsoperationen (med noll som ett neutralt element) och genom multiplikationsoperationen (med enhet som ett neutralt element). Detta är en typ av algebra där division alltid definieras. I synnerhet är division med noll vettigt. $\infty ~$ $\perp =0/0$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{\perp }^{\infty }=\mathbb {R} \cup \{\infty ,\perp \))$ ${\mathfrak {W}}=\langle \mathbb {R} _{\perp }^{\infty },0,1,+,\cdot ,/\rangle ~$

Det finns andra algebraiska system med division med noll. Till exempel "gemensamma ängar" (gemensamma ängar) [10] . De är lite enklare, eftersom de inte utökar utrymmet genom att introducera nya element. Målet uppnås som i hjul, genom att omvandla operationerna för addition och multiplikation, samt förkastandet av binär division.

Se även

Anteckningar

↑ Så dessa egenskaper kallas i läroböcker för elementära betyg
↑ Nummersystem, 2006 , sid. 3.
↑ Eftersom den linjära ordningsrelationen redan har införts på mängden reella tal, kan vi definiera topologin för den reella linjen: som öppna mängder tar vi alla möjliga unionsintervaller av formen $\{x:\alpha <x<\beta \}$
↑ Ilyin, 1985 , sid. 46.
↑ Ekvationen kan lätt reduceras genom att ändra variabler till ekvationen för en hyperbolisk paraboloid . $z={\frac {x}{y))$ ${\frac {z^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=2x$
↑ Volinskaya N. I. Integrerad lektion i fysik och matematik, Mätning av fysiska kvantiteter och deras enheter, skola 7, Brest . brestschool7.iatp.by. Hämtad 18 april 2016. Arkiverad från originalet 7 augusti 2016. (obestämd)
↑ Makarov Vladimir Petrovich. Om "dimensionen" av fysiska storheter . lithology.ru, Lithology.RF. Hämtad 18 april 2016. Arkiverad från originalet 6 maj 2016. (obestämd)
↑ M. Ya. Vygodsky Handbook of elementary mathematics.
↑ Jesper Carlström. Wheels-On Division av Zero. - Stockholm: Matematiska institutionen Stockholms universitet, 2001. - 48 sid.
↑ Jan A. Bergstra och Alban Ponse. Division av noll i Common Meadows . - Nederländerna: Sektionsteori för datavetenskap Informatikinstitutet, Naturvetenskapliga fakulteten Universitetet i Amsterdam, 2014. - 16 sid. Arkiverad 26 mars 2018 på Wayback Machine

Litteratur

Ilyin V.A. etc. Matematisk analys. Inledande kurs. (neopr.) . - Moscow State University, 1985. - T. 1. - 662 sid.
Nummersystem . - Vologda: GOU SPO "Vologda Engineering College", 2006. - S. 3. - 16 sid.

Ordböcker och uppslagsverk	Stor norsk Brockhaus och Efron Britannica (online)
I bibliografiska kataloger	GND : 4150319-3 J9U : 987007557947605171 LCCN : sh85038610 NDL : 00575006 NKC : ph896353