Gyllene snittet

Irrationella tal ζ (3) - ρ - √ 2 - √ 3 - √ 5 - ln 2 - φ,Φ - ψ - α,δ - e - e π och π
Notation	Uppskattning av antalet Φ
Decimal	1,6180339887498948482...
Binär	1,1001111000110111011…
Hexadecimal	1.9E3779B97F4A7C15F39…
Sexagesimal	ett; 37 04 55 20 29 39 …
Rationella approximationer	3/2 ; _ _ 5/3 ; _ _ 8/5 ; _ _ 13/8 ; _ _ 21/13 ; _ _ 34/21 ; _ _ 55/34 ; _ _ 89/55 ; _ _ … $F_{{n+1}}/F_{n}$ , var är Fibonacci-talen (listade i ordning efter ökande noggrannhet) $F_{n}$
Fortsatt bråkdel	$1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+\ddotter )))))))))))$

1,6180339887 4989484820 4586834365 6381177203 0917980576 2862135448 6227052604 6281890244 9707207204 1893911374 8475408807 5386891752 1266338622 2353693179 3180060766 7263544333 8908659593 9582905638 3226613199 2829026788 0675208766 8925017116 9620703222 1043216269 5486262963 1361443814 9758701220 3408058879 5445474924 6185695364 8644492410 4432077134 4947049565 8467885098 7433944221 2544877066 4780915884 6074998871 2400765217 0575179788 3416625624 9407589069 7040002812 1042762177 1117778053 1531714101 1704666599 1466979873 1761356006 7087480710 1317952368 9427521948 4353056783 0022878569 9782977834 7845878228 9110976250 0302696156 1700250464 3382437764 8610283831 2683303724 2926752631 1653392473 1671112115 8818638513 3162038400 5222165791 2866752946 5490681131 7159934323 5973494985 0904094762 1322298101 7261070596 1164562990 9816290555 2085247903 5240602017 2799747175 3427775927 7862561943 2082750513 1218156285 5122248093 9471234145 1702237358 0577278616 0086883829 5230459264 78780178 89 9219902707 7690389532 1968198615 1437803149 9741106926 0886742962 2675756052 3172777520 3356213

De första tusen tecknen i värdet Φ [1] .

Det gyllene snittet ( gyllene proportionen , annars: division i det extrema och genomsnittliga förhållandet , harmonisk division ) är det bästa, unika förhållandet mellan delar och helhet, där delarnas förhållande till varandra och varje del till helheten är lika . Sådana relationer observeras i naturen, i vetenskapen och konsten. Olika system och metoder för proportionering i arkitektur är baserade på de "gyllene segmenten". Förhållandet mellan två kvantiteter och , där det större värdet relaterar till det mindre på samma sätt som summan av dessa kvantiteter till det större, det vill säga: är universellt. Därav namnet som först dök upp under renässansen , särskilt i avhandlingen om franciskanermunken, matematikern Luca Pacioli Divine Proportion ( Latin De Divina Proportione (1509), men mönstret för sådana relationer var känt mycket tidigare: i det antika Mesopotamien, Egypten och antikens Grekland. $a$ $b$ ${\frac {a}{b}}={\frac {a+b}{a}}.$

Historiskt sett, i antik grekisk matematik , var det gyllene snittet uppdelningen av ett segment med en punkt i två delar så att den större delen är relaterad till den mindre, eftersom hela segmentet är relaterad till den större : . Detta koncept har utvidgats till godtyckliga kvantiteter. $AB$ $C$ ${\frac {BC}{AC}}={\frac {AB}{BC}}$

En siffra som är lika med förhållandet betecknas vanligtvis med en grekisk stor bokstav ( phi ), för att hedra den antika grekiska skulptören och arkitekten Phidias [2] , mer sällan med en grekisk bokstav ( tau ). $a/b$ $\Phi$ $\tau$

Från den ursprungliga likheten (till exempel ta a / b för den okända variabeln x och lösa den resulterande ekvationen ), är det inte svårt att få fram att talet $x=1+{\tfrac {1}{x}}$ $\Longleftrightarrow$ $x^{2}-x-1=0$

\Phi ={\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}.

Den reciproka av en siffra, betecknad med en liten bokstav [2] , $\varphi$

\varphi ={\frac {1}{\Phi }}={\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}\approx 0,61803

Därav följer det

\varphi = \Phi-1

Numret kallas också för gyllene tal . $\Phi$

Av praktiska skäl är de begränsade till ett ungefärligt värde på = 1,618 eller = 1,62. I ett avrundat procentuellt värde är det gyllene snittet uppdelningen av värdet i förhållande till 62% och 38%. $\Phi$ $\Phi$

Det gyllene snittet har många anmärkningsvärda egenskaper (till exempel Φ 2 = Φ + 1), men dessutom tillskrivs det många fiktiva egenskaper [3] [4] [5] .

Historik

I den antika litteraturen som har kommit ner till oss återfinns uppdelningen av segmentet i extremt och genomsnittligt förhållande ( ἄκρος καὶ μέσος λόγος ) först i Euklids element (ca 300 f.Kr.), där det används för att konstruera en vanlig femkant [6] .

Luca Pacioli , en samtida och vän till Leonardo da Vinci , såg i denna proportion den "gudomliga essensen", som uttrycker treenigheten av Gud Fadern, Sonen och den Helige Ande [7] .

Det är inte känt exakt vem och när exakt myntade termen "gyllene snitt". Trots det faktum att vissa auktoritativa författare tillskriver utseendet av denna term till Leonardo da Vinci på 1400-talet [8] eller tillskriver utseendet av denna term till 1500-talet [9] , finns den tidigaste användningen av denna term hos Martin Ohm år 1835, nämligen i en fotnot till den andra upplagan av sin bok Pure Elementary Mathematics [10] , där Ohm skriver att detta avsnitt ofta kallas det gyllene snittet ( tyska goldener Schnitt ). Det följer av texten i denna anteckning att Ohm inte myntade termen själv [11] [12] , även om vissa författare hävdar något annat [13] . Men baserat på det faktum att Ohm inte längre använde termen i den första upplagan av sin bok [14] drar Roger Hertz-Fischler slutsatsen att denna term kan ha förekommit under det första kvartalet av 1800-talet [15] . Mario Livio tror att den blev populär i muntlig tradition runt 1830. [16] Det var i alla fall efter Ohm som termen blev utbredd i den tyska matematiska litteraturen [17] .

Matematiska egenskaper

$\Phi$ är ett irrationellt algebraiskt tal , en positiv lösning av andragradsekvationen , från vilken i synnerhet relationerna följer: $x^{2}-x-1=0$ $\Phi^2- \Phi= 1,$ $\Phi\cdot (\Phi - 1) = 1.$
$\Phi$ representerade i termer av trigonometriska funktioner (se " Trigonometriska konstanter "):
- $\Phi = 2 \cos \frac{\pi}5 = 2 \cos 36^\circ.$
- $\Phi = 2 \sin (3\pi/10) = 2 \sin 54^\circ.$

Om vinkeln mellan diagonalen och den mindre sidan av rektangeln, som är relaterad till den större sidan som 1: 2, delas på mitten, kommer formeln för tangenten för en halv vinkel att vara förhållandet

\frac 1\Phi = \varphi = \operatörsnamn{tg} \left ( \frac {\operatörsnamn{arctg}(2)}{2} \right ) = \frac {2}{1+\sqrt{1+2 ^2}} = \frac {2}{1+\sqrt5} = \frac {\sqrt5-1}{2}.

$\Phi$ representeras som en oändlig kedja av kvadratrötter: $\Phi ={\sqrt {1+{\sqrt {1+{\sqrt {1+{\sqrt {1+\dots )))))))))))~.$
$\Phi$ representeras som en oändlig fortsatt bråkdel $\Phi = 1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1+\dots}}},$

vars lämpliga bråk är förhållandena mellan på varandra följande Fibonacci-tal . På det här sättet,

{\frac {F_{n+1}}{F_{n}}}

$\Phi = \lim_{n\to\infty} \frac{F_{n+1}}{F_n}.$
Måttet på irrationalitet är 2. $\Phi$

Genom att skära av en kvadrat från en rektangel byggd med det gyllene snittet får vi en ny, reducerad rektangel med samma bildförhållande som den ursprungliga rektangeln . $\Phi = a/b$ $\Phi = (a+b)/a$
Om vi fortsätter att skära av rutorna moturs får vi, enligt figuren, koordinaterna för gränspunkten . Dessutom kommer denna punkt att ligga i skärningspunkten mellan diagonalerna för den första och andra rektangeln. $(a+b){\frac {1}{1-\varphi ^{4}}},\;a{\frac {1-\varphi ^{4}-\varphi ^{5}}{ 1-\varphi ^{4}}}$

I en vanlig femuddig stjärna delas varje segment av ett annat segment som skär det, i det gyllene snittet. I figuren ovan är förhållandena mellan det röda segmentet och grönt, grönt till blått och blått till magenta lika . Dessutom är förhållandet mellan det röda segmentet och avståndet mellan alla intilliggande hörn av stjärnan, vilket är lika med det gröna segmentet, också lika med . $\Phi$ $\Phi$

Geometrisk konstruktion. Det gyllene snittet av ett segment kan konstrueras på följande sätt: en vinkelrät mot ritas vid en punkt, ett segment lika med hälften läggs på det , ett segment lika med läggs på segmentet och slutligen läggs ett segment lika med på segmentet. segmentet . Sedan $AB$ $B$ $AB$ $före Kristus$ $AB$ $AC$ $CD$ $före Kristus$ $AB$ $AE$ $AD$

\Phi=\frac{|AB|}{|AE|}=\frac{|AE|}{|BE|}.

Ett annat sätt att konstruera ett segment lika i längd som numret på det gyllene snittet är att rita en kvadrat ABCD med sida 1, varefter en av sidorna, till exempel sidan AD , halveras med punkten E , så att AE = DE = 1/2, längre från punkt B eller C till punkt E rita hypotenusan för triangeln ABE eller DCE . Enligt Pythagoras sats . Rita sedan en båge centrerad i punkt E från punkt B eller punkt C till den räta linjen där sidan AD ligger och skärningspunkten där kommer att kallas H. Sidorna BE , CE och EH är lika med radierna för en cirkel. Eftersom AN \ u003d AE + EH , då blir längdsegmentet AN resultatet . Dessutom, eftersom DH = EH – ED , kommer segmentet DH att ha längd [18] . $BE=CE={\tfrac {\sqrt {5}}{2}}$ $\Phi$ $\varphi$

Förhållandet mellan diagonalen för en vanlig femhörning och en sida är lika med det gyllene snittet.
Värdena för bråkdelen av siffror och i alla talsystem kommer att vara lika [ 19] . $\Phi$ $\frac1\Phi$ $\Phi^2$
$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n^{2}{\binom {2n}{n}}}}= 2\ln ^{2}\varphi ,$

var är den binomiala koefficienten , medan

{\tbinom {2n}{n))

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}{\binom {2n}{n))))={\frac {\pi ^{2 }}{arton}}

Gyllene snitt i fysik, geometri, kemi

Det gyllene numret förekommer i olika problem, inklusive fysik. Till exempel har den oändliga elektriska kretsen som visas i figuren ett totalt motstånd (mellan de två vänstra ändarna) Ф r .

Det finns oscillerande system vars fysiska egenskaper ( frekvensförhållanden , amplituder , etc.) är proportionella mot det gyllene snittet. Det enklaste exemplet är ett system med två kulor kopplade i serie med fjädrar med samma styvhet (se figur). [20] .

Mer komplexa exempel på mekaniska vibrationer och deras generaliseringar diskuteras i denna[ förtydliga ] samma bok, i kapitlet "Generaliseringar av ett enkelt problem inom mekanik". Boken ger många exempel på manifestationen och tillämpningen av det gyllene snittet inom olika vetenskapsområden - himmelsmekanik , fysik , geofysik , biofysik , fysikalisk kemi , biologi , fysiologi .

Det gyllene snittet är nära besläktat med femte ordningens symmetri , vars mest kända tredimensionella representanter är dodekaedern och icosahedronen . Man kan säga att varhelst dodekaedern, ikosaedern eller deras derivat förekommer i strukturen, kommer det gyllene snittet också att synas i beskrivningen. Till exempel i rumsliga grupperingar från Bor: V-12, V-50, V-78, V-84, V-90, ..., V-1708, som har ikosaedrisk symmetri [21] . En vattenmolekyl , där divergensvinkeln för H-O-bindningar är 104,7 0 , det vill säga nära 108 grader (vinkeln i en vanlig pentagon ), kan kombineras till plana och tredimensionella strukturer med femte ordningens symmetri. Således hittades H + (H 2 0) 21 i en förtärnad plasma , som är en H 3 0 + -jon omgiven av 20 vattenmolekyler belägna vid hörn av dodekaedern [22] . På 1980 -talet erhölls klatratföreningar innehållande ett kalciumhexaaqua-komplex omgivet av 20 vattenmolekyler belägna vid hörn av en dodekaeder [23] . Det finns också klatratmodeller av vatten, där vanligt vatten delvis består av vattenmolekyler sammankopplade i strukturer med femte ordningens symmetri. Sådana strukturer kan bestå av 20, 57, 912 vattenmolekyler [24] .

Det gyllene snittet och harmonin i konsten

Några av påståendena i beviset på hypotesen om kunskap om reglerna för det gyllene snittet av de gamla:

Proportionerna av Keopspyramiden , tempel, basreliefer , hushållsartiklar och dekorationer från Tutankhamons grav indikerar att de egyptiska hantverkarna använde förhållandena i det gyllene snittet när de skapades.
Enligt Le Corbusier , i reliefen från farao Seti I :s tempel i Abydos och i reliefen som föreställer farao Ramses , motsvarar figurernas proportioner det gyllene snittet. Fasaden på det antika grekiska templet i Parthenon har också gyllene proportioner. Kompasserna från den antika romerska staden Pompeji ( museet i Neapel) innehåller också proportionerna av den gyllene indelningen etc. Det visade sig att de flesta människor inte uppfattar det gyllene snittet som optimalt och anser att dess proportioner är "för långsträckta" .
Det bör noteras att andelen i sig snarare är ett referensvärde, en matris, från vilka avvikelser hos biologiska arter kan orsakas av anpassning till miljön under livets gång. Ett exempel på sådana "avvikelser" är havsflundran .

Exempel på medveten användning

Från och med Leonardo da Vinci använde många konstnärer medvetet "gyllene snitt"-proportioner. Den ryske arkitekten I. V. Zholtovsky använde det gyllene snittet i sina projekt [25] . Johann Sebastian Bach använde i sin tredelade uppfinning E-dur nr 6 BWV 792 en tvådelad form där förhållandet mellan delarnas storlek motsvarar proportionerna i det gyllene snittet. 1:a satsen - 17 takter, 2:a satsen - 24 takter .

Moderna exempel på tillämpningen av det gyllene snittet är Penrose-plattorna och proportionerna av Togos nationella flagga .

Det gyllene snittet i biologi och medicin

Levande system har också egenskaper som är karakteristiska för det "gyllene snittet". Till exempel: kroppsproportioner, spiralstrukturer eller parametrar för biorytmer [26] osv.

Se även

Anteckningar

↑ Taget från ett exempel på ett datorberäkningsresultat (1996) med mycket fler siffror än 1000 Gyllene snittet 1000 siffror Arkiverad 6 mars 2015 på Wayback Machine
↑ 1 2 Savin A. Antalet Phidias - det gyllene snittet (ryska) // "Kvant": Populärvetenskaplig fysik- och matematiktidskrift (publicerad sedan januari 1970). - 1997. - Nr 6 .
↑ Radzyukevich A.V. En vacker saga om det "gyllene snittet"
↑ Mario Livio, The Golden Ratio: The Story of Phi, The World's Most Astonishing Number
↑ Devlins vinkel, myten som inte kommer att försvinna
↑ Livio, Mario. Det gyllene snittet: Berättelsen om Phi, världens mest häpnadsväckande nummer . — Första handelspocket. - New York City: Broadway Books , 2003. - ISBN 978-0-7679-0816-0 .
↑ V. Lavrus , Gyllene snittet
↑ Francois Lasserre. Matematikens födelse på Platons tid . - American Research Council, 1964-01-01. — 200 s. — S. 76.
↑ Boyer, Carl B.. A History of Mathematics (obestämd). - Andra upplagan. —John Wiley & Sons, Inc. , 1991. - P. 50. -ISBN 0-471-54397-7.
↑ Martin Ohm. Die reine Elementar-Mathematik . - 2:a uppl. - Jonas Verlags-buchhandlung, 1835. - S. 194. - 454 sid.
↑ Herz-Fischler, 2013 , sid. 168.
↑ Livio, 2008 , sid. 6-7.
↑ Vasilenko S. L. Tecken-symbol för det gyllene snittet // Academy of Trinitarianism. - M. 2011-02-05. - Nr El nr 77-6567, publ. 16335 .
↑ Martin Ohm. Die reine Elementar-Mathematik . - 1:a uppl. - Berlin, 1826. - 492 sid. — S. 188.
↑ Herz-Fischler, 2013 , sid. 169.
↑ Livio, 2008 , sid. 7.
↑ Herz-Fischler, 2013 , sid. 169-170.
↑ Tony Crilly. Matematiska idéer du verkligen behöver veta . — Phantom Press. — 209 sid. — ISBN 9785864716700 .
↑ Nummersystem . (obestämd)
↑ Kovalev A.N. På jakt efter den femte ordningen. - 2017. - 374 sid. - ISBN 978-5-4485-3753-0 .
↑ Modern Crystallography / ed. Vainshtein B. K .. - V.2. — M .: Mir, 1979.
↑ Holland PM Casteiman AW En modell för bildning och stabilisering av chorqed vatten cluthrates // J. Chem. Phys .. - 1980. - T. 72 , nr 1 (11) . - S. 5984 .
↑ Elektromagnetiska fält i biosfären. - Samling av handlingarna från konferensen, V.2. - M. , 1984. - S. 22.
↑ Zenin S.V. Vattnets strukturerade tillstånd som grund för att hantera beteendet och säkerheten i levande system. — Avhandling av Dr. biol. Vetenskaper. - M. , 1999.
↑ The Golden Reserve of Architecture Arkiverad 29 januari 2009 på Wayback Machine
↑ Tsvetkov, V.D. Hjärta, gyllene snittet och symmetri. - Pushchino: PNTs RAN, 1997. - 170 sid.

Litteratur

Arakelyan G. B. Matematik och det gyllene snittets historia. — M.: Logos, 2014, 404 sid. - ISBN 978-5-98704-663-0 .
Bendukidze A. D. Gyllene avsnittet " Quantum " nr 8, 1973
Vasyutinskiy N.A. Det gyllene snittet. - M .: Young Guard , 1990. - 238 [2] c. - ( Eureka ).
Vlasov V. G. The Golden Section, or Divine Proportion // Vlasov V. G. New Encyclopedic Dictionary of Fine Arts: I 10 volymer - V.3. - St Petersburg: Azbuka-Klassika, 2005. - S.725-732.
Vlasov V. G. Tekniker för rymdharmonisering i klassisk arkitektur // Vlasov V. G. Rysslands konst i Eurasiens rymd. - T.3. Klassisk konsthistoria och den "ryska världen". - St Petersburg: Dmitry Bulanin, 2012. - S. 156-192.
Mazel, L.A. Erfarenhet av studiet av det gyllene snittet i musikaliska konstruktioner i ljuset av den allmänna formanalysen // Musikalisk utbildning. - 1930. - Nr 2. - S. 24-33.
Sabaneev LL Etuder av Chopin i ljuset av lagen om det gyllene snittet. Erfarenhet av positiv motivering av formlagarna // Art. - 1925. - N:o 2. - S. 132-145; 1927. - Nr 2-3. - S. 32-56.
Shmigevsky N.V. Formel för perfektion // Kunskapsland. - 2010. - Nr 4. - P.2-7.
Mario Livio. The Golden Ratio: The Story of PHI, the World's Most Astonishing Number . - Krona / arketyp, 2008. - 303 sid. — ISBN 9780307485526 . Ryska översättning till

Mario Livio . φ - Guds nummer. Det gyllene snittet är universums formel . — Liter, 2015-04-17. — 481 sid. — ISBN 9785457762732 .

Roger Herz-Fischler. En matematisk historia av det gyllene numret . - Courier Corporation, 2013. - 228 sid. — ISBN 9780486152325 .

Länkar

V. S. Belnin , "Ägde Platon koden för det gyllene snittet? Mytanalys»
AV Radzyukevich , Om den vetenskapliga studien av proportioner i arkitektur och konst .
A. V. Radzyukevich , Kritisk analys av Adolf Zeising, grundaren av hypotesen "gyllene snitt".
Shevelev I. Sh., Marutaev M. A., Shmelev I. P. Det gyllene snittet: Tre synpunkter på harmonins natur. - M .: Stroyizdat, 1990-343 s., ill.
Artikel om det gyllene snittet i bildkonsten , Gyllene snittet i bildkonsten
JJ O'Connor, E.F. Robertson. gyllene snittet . MacTutor History of Mathematics arkiv . School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews, Skottland. (obestämd)
Fibonacci-funktion i Wolfram alpha

Ordböcker och uppslagsverk

I bibliografiska kataloger
BNE : XX537288 BNF : 11932633k GND : 4021529-5 J9U : 987007533649305171 LCCN : sh85055763 NDL : 00568792 NKC : ph327607

Siffror med egennamn

Matematiska konstanter

Algebraisk

Transcendental ,
förmodligen transcendental

Tusen grader

Gamla ryska siffror

Övriga tiopotenser

tolv makter

Annan helhet

Andra nummer

imaginär enhet

Irrationella siffror
Apéry konstant ( ζ(3) ) Erdős-Borwein konstant ( E ) Feigenbaums konstanter Sofomorisk dröm Primtalskonstant (ρ) Plastnummer (ρ) Logaritm av två (ln 2) 12:e roten av 2 ( 12 √ 2 ) Kvadratroten ur 2 ( √ 2 ) Kvadratroten ur 3 ( √ 3 ) Kvadratroten ur 5 ( √5 ) Gyllene snittet (φ) Supergyllene snitt (ψ) Silversektion ( δS ) e π Gelfond konstant ( e π ) Gelfond-Schneider konstant ( 2 √ 2 ) Invers Fibonacci-konstant (ψ)
transcendentala Trigonometrisk

gyllene snittet
"Gyllene" figurer	gyllene rektangel gyllene triangeln gyllene romb gyllene ellips Kepler triangel gyllene hörnet gyllene spiral gyllene gnomon
Andra avsnitt	Super gyllene snitt silversektion brons sektion
Övrig	Fibonacci-siffror Tredjeregel gyllene snittmetoden Det gyllene snittet i pentagrammet