Liksom andra konster använder arkitekturen matematik . Även om vi bortser från behovet av detta för att rita en byggnad, kan arkitekter inte klara sig utan kunskap om geometri när de ska bestämma en strukturs rumsliga form. Sedan Pythagoreanismens tid (VI-talet f.Kr.), för att skapa arkitektoniska former, var det nödvändigt att följa reglerna för harmoni , det vill säga utformningen av byggnader och det omgivande landskapet skedde enligt matematiska och estetiska principer, tillsammans med religiösa. . Element som liknar matematiska objekt används i byggnadsbeklädnad, till exempel stenläggning . Matematiska beräkningar behövs också för att uppnå miljömål, som att minimera vindhastigheten nära basen av höga byggnader.
I det forntida Egypten , antikens Grekland , Indien och den islamiska världen designades strukturer inklusive pyramider , tempel , moskéer , palats och mausoleer med specifika proportioner av religiösa skäl [3] [4] . I islamisk arkitektur användes geometriska former och geometriska mosaikornament för att kläda byggnader, både inuti och utanför [5] [6] . Vissa hinduiska palats har fraktalliknande strukturer där delen är som helheten, som representerar oändligheten i hinduisk kosmologi [2] [7] . I kinesisk arkitektur är tulou ( Fujian-provinsen ) runda strukturer för kollektivt skydd. Under 2000-talet började matematiska ornament åter användas för att möta offentliga byggnader [8] [9] [10] [11] .
I renässansens arkitektur spelade symmetri och proportioner en viktig roll och betonades av den tidens arkitekter. Detta kan ses i verk av Leon Battista Alberti , Sebastiano Serlio och Andrea Palladio , som alla var influerade av Vitruvius avhandling Tio böcker om arkitektur . I slutet av 1800-talet initierade Vladimir Shukhov i Ryssland och Antonio Gaudí i Spanien användningen av hyperboloidkonstruktioner [12] [13] [14] . Till exempel, när han designade Sagrada Familia , använde Gaudi hyperboliska paraboloider , mosaiker , bågar med en omvänd kontaktledningskontur , katenoider , helikoider och styrda ytor [12] [13] [14] . På 1900-talet använde arkitektonisk modernism och dekonstruktivism i stor utsträckning geometriska former för att uppnå planerade visuella effekter [15] [16] . Konceptet "minsta yta" användes i utformningen av kupolen på Denver International Airport i form av bergstoppar eller tält. Richard Buckminster Fuller banade väg för användningen av förstärkta tunnväggiga skal kända som geodetiska kupoler [17] .
Arkitekterna Michael Oswald och Kim Williams, när de analyserade förhållandet mellan arkitektur och matematik , noterade att de två områdena i allmänhet anses vara löst relaterade, eftersom arkitektur hänvisar till den praktiska konstruktionen av byggnader, medan matematik är ren teori, studerande av siffror och annat abstrakt. föremål [ 18] . Men, som de hävdar, är dessa två områden starkt sammankopplade, och de har varit sammankopplade sedan antiken . I det antika Rom beskrev Vitruvius arkitekten som någon som kunde tillräckligt många andra discipliner, främst geometri , för att låta honom kontrollera skickliga hantverkare inom andra områden som murare och snickare [19] . Detsamma gäller medeltiden , då utexaminerade från högre institutioner undervisades i aritmetik , geometri och estetik samt grundläggande kurser i grammatik, logik och retorik ( trivium ) i eleganta klassrum gjorda av byggare som övervakade många av arbetarna. Byggare på toppen av sitt yrke fick titeln arkitekt eller ingenjör. Under renässansen blev quadrivium av aritmetik, geometri, musik och astronomi ett extra program som människor från renässansen , som Leon Battista Alberti , skulle känna till . På samma sätt, i England , var Sir Christopher Wren , idag känd som arkitekt, ursprungligen en berömd astronom [20] .
William och Ostwald, med tanke på det sena samspelet mellan matematik och arkitektur sedan 1500, identifierade enligt den tyske sociologen Theodor Adornos tillvägagångssätt tre trender inom arkitekturen, nämligen revolutionära , erbjuda helt nya idéer, reaktionära , motstå innovation och konstnärer som återupplivar traditioner faktiskt går baklänges [21] . Det har hävdats att arkitekter undvek användningen av matematik för inspiration under en återuppvaknande av tradition. Detta kan förklara varför under återupplivandet av traditioner, såsom nygotiken i 1800-talets England, arkitektur hade liten koppling till matematik. De märkte också att i rörelser som italiensk manerism från omkring 1520 till 1580, eller barock- och palladiantiden på 1600-talet, ägnades lite uppmärksamhet åt matematik. Däremot kastade de revolutionära rörelserna under de första åren av 1900-talet, som futurism och konstruktivism , aktivt bort gamla idéer, använde matematik och ledde till modernism inom arkitekturen. I slutet av 1900-talet togs fraktalgeometri snabbt upp av arkitekter, liksom icke- periodiska tesselleringar , vilket gjorde det möjligt att skapa intressanta och attraktiva byggnadsbeklädnader [8] .
Arkitekter använder matematik av flera skäl, även om man lämnar åt sidan behovet av att använda matematik i byggnadsdesign [22] . Först använder de geometri för att definiera en byggnads rumsliga form [23] . För det andra använder de matematik för att utforma former som anses vara vackra eller harmoniska [24] . Sedan pytagoreanismens tid med sin religiösa sifferfilosofi [ 25] har arkitekterna i antikens Grekland , antikens Rom , den islamiska världen och den italienska renässansen valt byggnadsmiljöns proportioner - byggnader och deras omgivningar - enligt estetiska och religiösa principer [26] [27] [28] [5] . För det tredje kan de använda matematiska föremål som tesseller för att dekorera byggnader [29] [30] . För det fjärde kan de använda matematik i form av datorsimuleringar för att uppnå miljömål, som att minimera virvelströmmar när de går runt basen av höga byggnader [1] .
Den inflytelserika antika romerske arkitekten Vitruvius hävdade att planeringen av en byggnad, såsom ett tempel , beror på två kvaliteter: proportion och symmetri . Proportioner är ansvariga för det harmoniska förhållandet mellan varje del av byggnaden och alla andra. Symmetri som förstås av Vitruvius betyder något som ligger närmare modularitet än spegelsymmetri , eftersom det hänvisar till sammansättningen av (modulära) delar till en enda struktur. Basilikan i Fano använder förhållanden av små heltal, i synnerhet triangulära tal (1, 3, 6, 10, …) som proportioner av strukturen av (vitruvianska) moduler [a] . Sålunda är basilikans bredd relaterad till längden som 1:2, skeppen runt den har samma höjd som bredden, 1:1, tjockleken på kolonnerna är fem fot och höjden är femtio fot, 1 :10 [26] .
Vitruvius namngav tre egenskaper som krävs för arkitektur i sin avhandling Tio böcker om arkitektur (1400-talet f.Kr.) - styrka, praktisk och tilltalande utseende. Dessa egenskaper kan användas som kategorier för att klassificera de sätt på vilka matematik används i arkitektur. Styrka omfattar användningen av matematik för att säkerställa byggnaders stabilitet, eftersom matematiska verktyg används för att designa och stödja strukturer, till exempel för att säkerställa stabilitet och kvalitetsmodellering. Praktiskhet uppnås delvis genom effektiv tillämpning av matematik, motivering och analys av rumsliga och andra relationer i design. En trevlig utsikt är ett attribut för byggnaden, som är förkroppsligandet av matematiska relationer i byggnaden. Det inkluderar estetik, sensuella och intellektuella egenskaper [32] .
PantheonDet oskadda Pantheon i Rom illustrerar den klassiska strukturen av romerska byggnader, proportioner och dekorationer. Huvudstrukturen är en kupol, vars högsta punkt lämnades öppen som en rund oculus som lät ljus passera igenom. Pantheon från fasaden är utrustad med en pelargång med en triangulär fronton. Höjden på oculus och diametern på den inre cirkeln (43,3 meter) matchar så att den inre delen passar helt in i kuben [33] . Dessa dimensioner blir mer förståeliga om du uppmärksammar listan över antika romerska enheter (kupolen har en diameter på 150 romerska fot [b] ). Oculus är 30 romerska fot i diameter och dörröppningen är 40 romerska fot hög . Pantheon är fortfarande världens största oarmerade betongvalv [35] .
RevivalDen första renässansavhandlingen om arkitektur var Leon Battista Albertis (1450) avhandling Om konsten att bygga (Om konsten att bygga). Avhandlingen publicerades 1485 och var den första tryckta boken om arkitektur. Den baserades delvis på Vitruvius tio böcker om arkitektur och pythagoras aritmetik. Alberti börjar med en kub och härleder proportioner från den. Således ger diagonalerna på en yta ett förhållande på 1:√2, och diametern på en sfär omskriven runt en kub har förhållandet 1:√3 [36] [37] . Alberto beskriver också Filippo Brunelleschis upptäckt av linjärt perspektiv , utvecklat för att planera byggnader som ser ganska proportionella ut när de ses från ett bekvämt avstånd [5] .
Nästa viktiga text var Sebastian Serlios bok Regole generali d'architettura ( Basic Rules of Architecture ). Den första volymen av boken publicerades i Venedig 1537. Volymen från 1545 (bok 1 och 2) täcker geometri och perspektiv . De två metoderna för att konstruera Serlios perspektiv var felaktiga, men detta stoppade inte den utbredda användningen av boken [39] .
År 1570 publicerade Andrea Palladio den auktoritativa I quattro libri dell'architettura (fyra böcker om arkitektur) i Venedig . Dessa böcker spreds brett och främjade idéerna från den italienska renässansen i Europa , med hjälp av anhängare av idéerna, såsom den engelske diplomaten Henry Wotton, som publicerade avhandlingen Elements of Architecture 1624 [40] . Proportionerna för varje rum i herrgården beräknades med enkla matematiska förhållanden som 3:4 och 4:5, och de olika rummen i huset var relaterade till dessa förhållanden. Tidiga arkitekter använde dessa formler för att balansera fasadens symmetri . Palladios projekt var dock som regel fyrkantiga herrgårdar [41] . Palladio tillät ett antal relationer i Quattro libri , med angivande av [42] [43] :
Det finns sju typer av rum, de vackraste och välproportionerade. De är runda, även om de är sällsynta, fyrkantiga, eller så är deras längd lika med diagonalen på kvadraten på bredden, en tredjedel breda, en halv bred och två tredjedelar breda och två breda. [c]
År 1615 publicerade Vincenzo Scamozzi L'Idea dell'Architettura Universale (Idén om en universell arkitektur) [44] . Han försökte korrelera planeringen av städer och byggnader med idéerna från Vitruvius , pytagoreerna och de nyare idéerna från Palladio [45] .
ArtonhundrataletHyperboloida strukturer började användas från slutet av 1800-talet av Vladimir Shukhov för master, fyrar och kyltorn. Trots den ekonomiska användningen av material i produktionen är Shukhovs design ganska hållbara. Shukhovs första hyperboloida torn presenterades på en utställning i Nizjnij Novgorod 1896 [46] [47] [48] .
Tjugonde århundradetRörelsen under det tidiga 1900-talets " arkitektoniska modernism ", som har sitt ursprung i rysk [d] konstruktivism [49] , använde euklidisk geometri. I rörelsen av De Stijl Society of Artists ses det horisontella och det vertikala som en del av universum. Arkitektoniska former består av att placera dessa två riktningar tillsammans med hjälp av takplan, väggplan och balkonger som antingen överlappar eller skär varandra, som i Schröderhuset , byggt 1924 av Gerrit Rietveld [50] .
Modernistiska arkitekter var fria att använda kurvor såväl som plan. Londons tunnelbanestation vid Charles Holdens Grove 1933 har en rund biljetthall i tegel med ett platt betonggolv . 1938 lånade Bauhaus -konstnären Laszlo Moholy-Nagy Raoul Heinrich Fransés sju biotekniska element : kristall, sfär , kon , plan , (kubiskt) band, (cylindrisk) stång och spiral som grundläggande byggstenar. arkitektoniska block inspirerade av naturen [52] [53] .
Le Corbusier föreslog en antropometrisk skala av proportioner i modulorarkitektur , ett system av proportioner baserat på en persons höjd [54] . Kyrkan Notre-Dame-du-Haut ( Le Corbusier , 1955) använder fria kurvor som inte beskrivs av matematiska formler [e] . Konstruktionen har bara stora skalor - det finns ingen hierarki av mindre skalor, och därför inga fraktala dimensioner. Detsamma gäller för andra berömda byggnader från 1900-talet, som Sydney Opera House , Denver International Airport och Guggenheim Museum Bilbao [15] .
Åsikterna om 2000-talets arkitektur De 90 ledande arkitekterna som deltog i 2010 års World Architecture Survey är extremt delade. Guggenheimmuseet i Bilbao av Frank Gehry anses vara det bästa .
Denver International Airports terminalbyggnad, byggd 1995, har ett tygtak som stöds i ett minimalt yttillstånd (dvs dess medelkrökning är noll) av stålkablar. Byggnaden påminner om de snöiga topparna i Colorado och tipitälten från de infödda folken i USA (ofta felaktigt kallade wigwams) [56] .
Arkitekten Richard Buckminster Fuller blev känd för att bygga starka , tunnväggiga strukturer , mer kända som geodetiska kupoler. Biosphere Dome i Montreal är 61 meter hög och 76 meter i diameter [17] .
Operahuset i Sydney har ett tak som består av skyhöga vita valv, som påminner om ett fartygs segel. För att göra det möjligt att bygga från standardkomponenter är valv uppbyggda av triangulära sektioner av ett sfäriskt skal med samma radie. Detta krävde att samma krökning bibehölls i vilken riktning som helst [57] .
Dekonstruktivismens sena 1900- talsrörelse skapar en medveten röra som Nikos Salingaros i sin bok A Theory of Architecture kallar slumpmässiga former [58] med hög komplexitet [59] . Skräp skapas av icke-parallella väggar, överlagrade galler och komplexa tvådimensionella ytor, som i Walt Disney Concert Hall (arkitekten Frank Gehry ) och Guggenheim-museet i Bilbao [60] [61] . Fram till 1900-talet var studenter vid arkitektoniska institut skyldiga att studera grunderna i matematik. Salingaros hävdar att den första "grovt förenklade, politiskt motiverade" modernismen och senare "antivetenskapliga" dekonstruktivismen effektivt skilde arkitektur från matematik. Han är övertygad om att detta "avskaffande av matematiska värden" är ödesdigert, eftersom den "allestädes närvarande estetiken" av icke-matematisk arkitektur leder människor "till avvisande av matematisk information i stadens miljö." Han menar att detta har en negativ effekt på samhället [15] .
New Materiality — Walter Gropius Bauhaus , Dessau , 1925
Cylinder - Londons tunnelbanestation vid Arnos Grove Charles Holden , 1933
Geodesic Dome - Biosphere in Montreal av Richard Buckminster Fuller , 1967
Uniform Curvature - Sydney Opera House , 1973
Dekonstruktivism - Walt Disney Concert Hall , Los Angeles, 2003
Pyramiderna i det antika Egypten var begravningar byggda med avsiktligt valda proportioner, men med exakt vad - är fortfarande inte klart. Den främre vinkeln är cirka 51°85' och förhållandet mellan den sneda höjden och mitten av basen är 1,619, vilket är 1% mindre än det gyllene snittet . Om detta var beräkningsmetoden skulle den följa användningen av Keplers triangel (vinkel 51°49') [62] [63] . Det är dock mer troligt att pyramidens lutning valdes på basis av triangeln 3-4-5 (vinkel 53°8'), känd från Ahmes papyrus (1650-1550 f.Kr.), eller från en triangel vars basförhållande till hypotenusan är 1:4/π (vinkel 51°50') [64] .
Ofta anges användningen av triangeln 3-4-5 för att konstruera räta vinklar, till exempel för att planera pyramidens bas, och den underförstådda kunskapen om Pythagoras sats [3] . Detta föreslogs först av historikern Moritz Benedikt Kantor 1882 [3] . Det är känt att räta vinklar byggdes i det antika Egypten exakt [3] och dåtidens lantmätare använde rep med knutar för att mäta [3] . Till och med Plutarchus skrev i uppsatsen Om Isis och Osiris (cirka 100 e.Kr.) att egyptierna beundrade triangeln 3-4-5 [3] . Berlinpapyrusen från Mellersta kungariket (före 1700 f.Kr.) säger att "en kvadrat med en area på 100 har samma area som två mindre rutor. Sidan på den ena är lika med ½ + ¼ av sidan på den andra” [4] . Matematisk historiker Roger L. Cook anmärkte, "det är svårt att föreställa sig att någon är intresserad av sådana saker och inte känner till Pythagoras sats" [3] . Cook märkte dock att ingen egyptisk text före 300 f.Kr. nämner att använda satsen för att hitta sidorna i en triangel och det finns ett enklare sätt att konstruera en rät vinkel. Cooke drar slutsatsen att Cantors förslag förblir tveksamt - han föreslog att de forntida egyptierna kan ha känt till Pythagoras sats, men "det finns inga bevis för att de använde det för att konstruera räta vinklar" [3] .
Forntida IndienVetenskapen om Vastu shastra , arkitekturen och stadsplaneringsreglerna i det forntida Indien , använde en symmetrisk ritning som kallas en mandala . Komplexa beräkningar användes för att bestämma dimensionerna på byggnader och deras komponenter. Planeringen involverade integrationen av arkitektur med naturen, separata delar av strukturen och uråldriga föreställningar med hjälp av geometriska ornament ( yantras ), symmetri och placering längs riktningar [65] [66] . Men tidiga byggare kan ha snubblat på matematiska proportioner av en slump. Matematikern Georges Ifrach noterade att enkla "trick" med ett rep och en påle kunde användas för att markera ut geometriska föremål som ellipser och räta vinklar [5] [67] .
Matematiken för fraktaler användes för att få byggnader att ha en universell dragningskraft, eftersom de gav betraktaren en känsla av skala från vilket avstånd som helst. Till exempel i de höga gopuramerna i hinduiska tempel, såsom Virupaksha-templet i Hampi , byggt på 1600-talet, och Kandarya Mahadeva-templet i Khajuraho-gruppen av tempel , där delarna och helheten har samma egenskaper med en fraktal dimension som sträcker sig från 1,7 upp till 1,8. En grupp av mindre torn ( shikhara ) runt ett högre centralt torn som representerar det heliga berget Kailash , gudomen Shivas boning , avbildad som en oändlig upprepning av den hinduiska kosmologins universum [2] [7] .
Meenakshi-templet i staden Madurai är ett stort komplex med många gravar och gator som strålar koncentriskt från templet enligt Shastras . De fyra portarna är höga torn ( gopurams ) med en upprepad fraktalliknande struktur. Områdena runt varje helgedom är rektangulära och omgivna av höga stenmurar [68] .
Antikens GreklandPythagoras (569-475 f.Kr.) och hans anhängare, pytagoreerna, trodde att "allt är ett tal". De observerade harmonin som produceras av ljud med små heltalsfrekvensförhållanden och hävdade att byggnader också borde planeras med samma förhållanden. Det grekiska ordet symmetri betydde harmonin mellan arkitektoniska former med avseende på exakta förhållanden mellan storlekar från små detaljer till hela byggnaden [5] .
Parthenon är 69,5 meter lång, 30,9 meter bred och 13,7 meter hög till takfoten. Detta ger ett förhållande mellan bredd och längd på 4:9 och samma förhållande mellan höjd och bredd. Lägger vi ihop allt får vi höjd: bredd: längd = 16:36:81, 4 2 :6 2 :9 2 . En 4:9 rektangel kan konstrueras som tre på varandra följande rektanglar med ett bildförhållande på 3:4. Hälften av varje rektangel visar sig då vara den välbekanta 3:4:5 rätvinkliga triangeln, vilket gjorde det möjligt att kontrollera vinklar och sidor med ett lämpligt knutet rep. På liknande sätt har det inre området ( naos ) en proportion på 4:9 (21,44 meter bred och 48,3 meter lång). Förhållandet mellan diametern på de yttre kolonnerna (1,905 meter) och avståndet mellan deras centra (4,293 meter) är också 4:9 [5] .
Parthenon anses av författare som John Julius Narwich vara "det mest perfekta doriska templet som någonsin byggts" [69] . Templets utarbetade arkitektoniska detaljer inkluderar "den fina överensstämmelsen mellan stylobatens krökning , den jämna variationen i cellväggarnas tjocklek och entasisen av stobbarna " [69] . Entasis är en subtil minskning av kolonnernas diameter. Stylobaten är plattformen som pelarna står på. Liksom andra klassiska grekiska tempel [70] har plattformen en lätt parabolisk krökning (utbuktning) för att dränera regnvatten och stärka byggnaden i händelse av en jordbävning. På grund av detta skulle pelarna falla utåt, men i verkligheten lutar de något inåt, så att om de förlängs uppåt kommer de att mötas en mil ovanför byggnaden. Eftersom de alla är lika höga reflekteras krökningen av stylobatens ytterkant i arkitraven och taket ovanför den: "allt följer regeln att bygga längs subtila kurvor" [71] .
Det gyllene snittet har varit känt sedan 300 f.Kr., då Euklid beskrev metoden för geometrisk konstruktion [72] . Han hävdade att det gyllene snittet användes både i planeringen av Parthenon och andra antika grekiska byggnader, och i skulpturer, målningar och vaser [73] . Nyare författare som Nikos Salingaros tvivlar dock på dessa påståenden [74] . Experiment av datavetare George Markowski lyckades inte hitta något samband med den gyllene rektangeln [62] .
Islamisk arkitekturDen islamiska konsthistorikern Antonio Fernandez-Puertas föreslog att Alhambras arkitektoniska och parkensemble , liksom Córdoba-katedralmoskén i Córdoba [75] , designades med den spansk-muslimska foten (eller kodo , cirka 0,62 meter). På slottets lejongård är proportionerna radikala . Gården är en rektangel med sidorna 1 och √2 och har enligt Pythagoras sats en diagonal √3. Serien fortsätter med √4 (ger ett förhållande på 1:2), √5, och så vidare. Dekorativa mönster har liknande proportioner, √2 bildar kvadrater inom cirklar och åttakantiga stjärnor, √3 bildar hexagonala stjärnor. Det finns inga bevis för användningen av det gyllene snittet i utformningen av Alhambra [27] [76] . The Lion's Courtyard är omgiven av Hall of the Two Sisters och Hall of the Abenserrachs. Från mitten av dessa två salar och de fyra inre hörnen av lejongården kan en regelbunden sexkant [77] dras .
Selimiye-moskén i staden Edirne , Turkiet byggdes av Mimar Sinan på ett sådant sätt att mihrab kan ses från vilken punkt som helst inuti byggnaden. Det mycket stora inre utrymmet är format som en oktagon som bildas av 8 enorma pelare och täcks av en rund kupol 31,25 meter i diameter och 43 meter hög. Oktagonen är formad inuti en fyrkant med fyra halvkupoler och fyra exceptionellt höga (83 meter) minareter. Byggnadens plan ser ut som en cirkel inuti en oktagon inuti en kvadrat [78] .
Mughal arkitekturMughal arkitektur , som sett i den övergivna kejserliga staden Fatehpur Sikri och Taj Mahal- komplexet , har ett distinkt matematiskt arrangemang och en stark estetik baserad på symmetri och harmoni [28] [79] .
Taj Mahal är ett exempel på mongolisk arkitektur, som både representerar paradiset [80] och visar med sin storlek, symmetri och dyra dekoration den mongoliska kejsaren Shah Jahans makt . Det vita marmormausoleet , dekorerat med florentinska mosaiker , huvudporten, ensemblen av byggnader, domstolar och gångvägar bildar en enda hierarkisk design. Byggnader, inklusive en moské , gjord av röd sandsten i väster och en nästan identisk byggnad, Jawab, i öster, tjänar till att stödja komplexets bilaterala symmetri. Charbakh (trädgård i fyra delar) har fyra delar, som symboliserar paradisets fyra floder, som speglar mausoleet i vattnet. Varje del är uppdelad i 16 parterrer [81] .
Taj Mahal- komplexet ritades på ett rutnät uppdelat i mindre rutnät. Bredden på komplexet är 374 mongoliska yards eller zir [f] . Huvuddelen är tre kvadrater på 374 yards. De var uppdelade på platser med basarer och karavanserier i moduler på 17 zir. Trädgården och terrasserna är uppdelade i moduler om 23 zirs, 368 zirs breda (16 x 23). Mausoleet, moskén och pensionatet är ritade på ett rutnät av 7 zir. Koch och Barro märkte att om en oktagon som används upprepade gånger i ett komplex har sidor på 7 enheter, då har den en bredd på 17 enheter [g] , vilket kan hjälpa till att förklara valet av förhållanden i komplexet [82] .
Kristen arkitekturHagia Sofia i staden Bysans (nuvarande Istanbul ), byggd 537 (och återuppbyggd två gånger), var i tusen år [h] den största katedralen. Han stimulerade byggandet av många senare byggnader, inklusive Sultanahmet-moskén och andra moskéer i staden. Bysantinsk arkitektur inkluderar en veranda som toppas av en rund kupol och två halvkupoler med samma diameter (31 meter), med fem mindre halvkupoler som bildar en absid och fyra runda hörn av en rymlig rektangulär interiör [83] . Detta tolkades av medeltida arkitekter som en representation av det jordiska under (fyrkantig bas) och de heliga himlen ovan (en sfärisk kupol riktad uppåt) [84] . Kejsar Justinianus I använde två geometrar, Isidore av Miletus och Anthemius av Thrallos , som arkitekter. Isidore av Miletus samlade Arkimedes verk om stereometri , vilket hade ett stort inflytande på honom [5] [85] .
Betydelsen av vattendopet i kristendomen återspeglades i baptisteriets arkitektur . Den äldsta, Lateran-dopkyrkan i Rom, byggd 440 [86] , satte trenden för åttkantiga baptister. Fonten inuti dessa strukturer var ofta åttakantig, även om den största italienska dopkapellet i Pisa , byggd mellan 1152 och 1363, är rund med en åttakantig tank. Dopkapellet har en höjd av 54,86 meter med en diameter på 34,13 meter (förhållande 8:5) [87] . Ambrosius av Milano skrev att tankarna och baptisterna hade en åttakantig form, "eftersom på den åttonde dagen [i] var det en himmelsfärd" [88] [89] . Aurelius Augustinus beskriver på liknande sätt åtta dagar som "en evighet ... helgad genom Kristi uppståndelse " [89] [90] . Det åttkantiga baptisteriet San Giovanni, Florens , byggt mellan 1059 och 1128, är en av de äldsta byggnaderna i staden och ett av de sista exemplen på den antika traditionen. Baptisteriet hade ett djupgående inflytande på florentinska arkitekter, och de stora arkitekterna från eran, inklusive Francesco Talenti , Alberti och Filippo Brunelleschi , använde det som en modell för klassisk arkitektur .
Siffran fem användes "entusiastiskt" [92] i kyrkan St. John Nepomuk (1721) i staden Zelena gora nära Zdar nad Sazavou i Tjeckien, designad av Jan Blaža Santini-Aichl . Långhuset har formen av en cirkel, omgivet av fem par av kolonner och fem ovala kupoler med spetsiga absider . Kyrkan har fem portar, fem kapell , fem altare och fem stjärnor. Legenden hävdar att när Johannes av Nepomuk blev martyrdöd, dök fem stjärnor upp över hans huvud [92] [93] . Den femfaldiga arkitekturen kan också symbolisera Kristi fem sår och de fem bokstäverna "Tacui" (latin: "Jag håller tyst" [om biktstolens hemligheter ]) [94] .
Antonio Gaudí använde ett brett utbud av geometriska strukturer i Sagrada Familia , Barcelona , grundad 1882 (och inte färdigställd 2015). De inkluderar hyperboliska paraboloider och revolutionshyperboloider , [14] tesseller, bågar med en kontur av en bakåtriktad kontaktledning , catenoids , helicoider och härskade ytor . Geometrivariationer kombineras på olika sätt runt om i kyrkan . Till exempel, på Fasaden av Kristi Passion av Sagrada Familia, monterade Gaudi sten "grenar" i form av hyperboliska paraboloider som rör vid hörnen utan konvergens till en punkt. Som kontrast har pelargången hyperboliska paraboloida ytor som smidigt förbinder andra strukturer för att bilda frånkopplade ytor. Gaudí använde naturliga mönster , som är matematiska i sig, med kolonner som liknar träd och överliggare gjorda av basalt , naturligt delade (när den smälta lavan svalnar) i sexkantiga kolonner [12] [13] [14] .
Cathedral of the Assumption of Saint Mary i San Francisco 1971 har ett gaveltak som består av åtta segment av hyperboliska paraboloider, arrangerade så att de nedre horisontella delarna av taket är kvadratiska och de övre delarna är korsar . Den kvadratiska byggnaden har en sidolängd på 77,7 meter och en höjd på 57,9 meter [95] . The Cathedral of Brazil av Oscar Niemeyer (1970) använder hyperboloidstrukturen på ett annat sätt. Katedralen är byggd av 16 identiska betongbalkar, som var och en väger 90 ton, arrangerade i en cirkel för att bilda en rotationshyperboloid. Vita strålar skapar en form som händer som ber till himlen [96] [97] [98] [99] .
Vissa medeltida kyrkor i Skandinavien är runda , inklusive fyra kyrkor på den danska ön Bornholm . En av de äldsta, Esterlarkyrkan från 1160 har ett runt långhus runt de massiva stenpelarna som omger byggnaden, genomborrade av valv och dekorerade med fresker. Den cirkulära strukturen har tre våningar. Kyrkan var utan tvekan befäst, och övervåningen fungerade som försvar [100] [101]
Skeppsvalv i Hagia Sofia , Istanbul, 562
Det åttkantiga dopkapellet i San Giovanni , Florens, färdigställdes 1128
Femfaldig symmetri: Church of St. John Nepomuk av arkitekten Jan Santini i Zelena Gora, 1721
Fasad av Kristi Passion Sagrada Familia- arkitekten Antonio Gaudí , Barcelona , grundad 1882
Brasiliens katedral av arkitekten Oscar Niemeyer , 1970
Cathedral of the Assumption of St. Mary, San Francisco , 1971
Centralpelare i Österlar rundkyrka i Bornholm , Danmark
Islamiska byggnader är ofta dekorerade med geometriska ornament , som vanligtvis använder matematiska mosaiker som bildas av keramiska plattor ( girih , zellige ), som kan vara enkla eller dekorerade med ränder [5] . Islamisk design använder symmetriska figurer som stjärnor med sex, åtta eller multiplar av åtta vinklar. Några av dem är baserade på Salomos sigill, en åttakantig stjärna gjord av två kvadrater som roteras 45 grader i förhållande till varandra [6] . Islamisk design använder många av de 17 möjliga tapetgrupperna . 1944 visade Edith Müller att 11 grupper av tapeter användes i utsmyckningen av Alhambra- ensemblen , och 1986 hävdade Branko Grünbaum att han hade hittat 13 grupper av tapeter i Alhambra, samtidigt som han insisterade på att de återstående 4 grupperna inte fanns någonstans i Alhambra. Islamiska ornament [6] .
I slutet av 1900-talet började nya matematiska konstruktioner, såsom fraktal geometri och aperiodiska tesselleringar, användas av arkitekter för byggnadsbeklädnad [8] . 1913 proklamerade den modernistiske arkitekten Adolf Loz i sin huvudartikel : "Ornament är ett brott" [9] , vilket påverkade det arkitektoniska tänkandet fram till slutet av 1900-talet. Under 2000-talet började arkitekter använda ornament igen , men 2000-talets ornament är väldigt annorlunda. Konserthuset och konferenscentret 2011 Henning Larsen i Reykjavik ser ut som en vägg av kristaller och är gjord av stora glasblock [9] . Ravensbourne College London, färdigställd 2010, är täckt av 28 000 anodiserade aluminiumplattor i rött, vitt och brunt, som knyter runt fönster i olika storlekar. Omslaget använder tre typer av brickor - en liksidig triangel och två oregelbundna femhörningar [10] [11] [j] . Biblioteket i Kanazawa (arkitekterna Kazumi Kudo och Hiroshi Horiba från Coelacanth K&H Architects) har ett dekorativt galler gjort av små runda glasblock insatta i platta betongväggar [9] .
Ravensbourne College , London, 2010
Bibliotek i Kanazawa , Japan, 2011
Soumaya Art Museum , Mexico City, 2011
Arkitekturen av befästningar utvecklades från medeltida befästningar , som hade höga stenmurar, till ett lågt, symmetriskt bastionsystem som kan motstå artillerield , mellan mitten av 1400- och mitten av 1800-talet. Stjärnformens geometri dikterades av behovet av att förhindra döda zoner där det anfallande infanteriet kunde ta skydd från den försvarande sidans eld. Sidorna på de utskjutande punkterna bildade en vinkel för att täcka hela ytan med eld och tillät korseld (från båda sidor) från varje utskjutande punkt. Välkända arkitekter som utvecklat ett sådant skydd är Michelangelo , Baldassare Peruzzi , Vincenzo Scamozzi och Sebastien Le Pretre de Vauban [102] [103] .
Arkitekturhistorikern Siegfried Giedion sa att befästningar i form av stjärnor hade idealstäderrenässansensett avgörande inflytande på utformningen [104] .
Plan över 1600-talets befästning av staden Coevorden
Palmanova , Italien , venetiansk stad med ett bastionsystem av befästningar . 1600-talet
Neuf-Briesach Alsace , en av Vaubans befästningar
I kinesisk arkitektur som går tillbaka till 1500-talet är tulou i Fujian-provinsen cirkulära offentliga skyddsstrukturer, vanligtvis med solida väggar och en enda järnklädd trädörr. Väggarna är också täckta med tak, som är något lutande mot ytter- och insidan, bildande en ring. Mitten av ringen är en öppen stenlagd innergård, ofta med en mur som omger befästa gallerier upp till fem våningar höga [105] .
Arkitekter kan också välja formen på en byggnad av miljöskäl [92] . Till exempel är Mary Axe- byggnaden av Foster and Partners , London, känd som "The Gherkin" för sin gurkliknande form, en revolutionskropp . Byggnaden är designad med hjälp av ett datorstödt designsystem . Byggnadens geometri valdes inte bara av estetiska skäl, utan också för att minimera luftvirvlar vid byggnadens bas. I motsats till den till synes böjda ytan är alla glasrutor som bildar ytan plana förutom linsen högst upp i byggnaden. De flesta av panelerna är fyrkantiga eftersom detta gör att glas kan skäras med mindre spill [1] .
Den traditionella yakhchal (isgropen) i Persien fungerar som en evaporativ kylare . Ovanför ytan är strukturen kupolformad, men har underjordisk förvaring för is och ibland mat. Det underjordiska utrymmet och den tjocka, värmebeständiga konstruktionen isolerar utrymmet året runt. Det inre utrymmet kyldes ofta av vindfångare . Is fanns tillgänglig på sommaren för att tillaga den kalla desserten faloude [106] .
Förklaringar
Frode Rönning,. Islamiska mönster och symmetrigrupper. — University of Exeter, 2009.
| Visualisering av teknisk information | |
|---|---|
| Områden |
|
| Bildtyper _ |
|
| Personligheter |
|
| Närliggande områden |
|