Den fullständiga linjära gruppen (ibland används termen allmän linjär grupp ) hänvisar till två olika (men närbesläktade) begrepp.
Den fullständiga linjära gruppen av ett vektorrum V är gruppen av inverterbara linjära operatorer av formen C : V → V [1] . Gruppoperationens roll spelas av den vanliga sammansättningen av linjära operatörer.
Betecknas vanligtvis GL( V ) .
Den fullständiga linjära gruppen av ordning n är gruppen av inverterbara matriser av ordning n (det vill säga kvadratiska matriser med n rader och n kolumner) [2] . Gruppoperationens roll spelas av den vanliga matrismultiplikationen.
Betecknas vanligtvis GL( n ) [3] . Om det krävs att uttryckligen ange till vilket fält (eller, i ett mer allmänt fall, kommutativ ring med enhet) K matriselementen ska tillhöra, skriv då: GL( n , K ) [4] eller GL n ( K ) .
Så, om matriser över reella tal beaktas, betecknas den fullständiga linjära gruppen av ordning n med GL( n , R ) , och om över komplexa tal , då GL( n , C ) .
Båda dessa begrepp är i själva verket nära besläktade. För det första kan en kvadratisk matris av ordningen n ses som en linjär operator som verkar på ett aritmetiskt vektorrum Kn (det vill säga rymden av n -dimensionella kolumner med element från K ) . Därför GL( n , R ) = GL( Rn ) och GL( n , C ) = GL ( Cn ) .
För det andra tillåter införandet av en bas i ett n -dimensionellt vektorrum V över ett fält av skalärer K en-till-en-överensstämmelse mellan en linjär operator C : V → V med dess matris , en kvadratisk matris av ordningen n från komponenterna av operatören C på denna grund. I det här fallet kommer den inverterbara operatorn att motsvara en icke-singular matris , och vi får en en-till-en-överensstämmelse mellan grupperna GL( V ) och GL( n , K ) (denna överensstämmelse är faktiskt en isomorfism av dessa grupper).
Om V är ett vektorrum över ett fält av skalärer K , då är den fullständiga linjära gruppen av rymden V gruppen av alla automorfismer i rymden V . Gruppen GL( V ) och dess undergrupper kallas linjära grupper .
I den generella linjära gruppen GL( n , K ) kan man peka ut en undergrupp SL( n , K ) bestående av alla matriser med determinant lika med 1. Detta är en speciell linjär grupp av ordningen n , betecknad med SL( n , K ). ) .
Andra viktiga undergrupper i gruppen GL( n , K ) :
Gruppen GL( n , K ) och dess undergrupper kallas ofta för matrisgrupper (observera att de också kan kallas linjära grupper , men gruppen GL( V ) är linjär, men inte matris).
I synnerhet är undergrupperna i gruppen GL( n , R ) den speciella linjära gruppen SL( n , R ) , den ortogonala gruppen O( n ) , den speciella ortogonala gruppen SO( n ) osv.
Undergrupperna i gruppen GL( n , C ) är den speciella linjära gruppen SL( n , C ) , den enhetliga gruppen U( n ) , den speciella enhetsgruppen SU( n ) av ordningen n osv.
De fullständiga linjära grupperna GL( n , R ) och GL( n , C ) (liksom deras huvudsakliga undergrupper listade i de två föregående styckena) är [5] Lie-grupper . Dessa grupper är viktiga i grupprepresentationsteori ; de uppstår också i studiet av olika typer av symmetrier .
Observera också att för n = 1 reduceras gruppen GL( n , K ) faktiskt till gruppen ( K * , •) av skalärer som inte är noll i fältet K (båda grupperna är kanoniskt isomorfa) och är därför abelisk (kommutativ). För n större än 1 är grupperna GL( n , K ) inte abelska.
| Gruppteori | |
|---|---|
| Grundläggande koncept | |
| Algebraiska egenskaper | |
| ändliga grupper |
|
| Topologiska grupper | |
| Algoritmer på grupper | |