Kolumnutrymme

Kolumnutrymmet (även bild , intervall ) för en matris är den linjära enveloppen (uppsättningen av alla möjliga linjära kombinationer ) av dess kolumnvektorer . Kolumnutrymmet för en matris är också bilden eller området för dess motsvarande mappning . $A$

Låt vara något fält . Kolumnutrymmet i en storleksmatris med komponenter från är ett linjärt delrum av koordinatutrymmet . Dimensionen på kolumnutrymmet kallas matrisens rangordning och överstiger inte [1] . Konceptet definieras också för matriser definierade över en ring . $\mathbb {F}$ $m\ gånger n$ $\mathbb {F}$ ${\displaystyle \mathbb {F} ^{m))$ $\min(m,n)$ $\mathbb {K}$

Radutrymmet definieras på liknande sätt.

Den här artikeln behandlar matriser över reella tal , det vill säga mellanrummen i rader och kolumner är delrum till respektive [2] . $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb{R} ^{m}$

Översikt

Låt vara en matris av storlek . Sedan sker följande påståenden om dess rang , var och är dess kolumn- respektive radutrymmen: $A$ $m\ gånger n$ $\operatörsnamn{rank}A$ $\operatorname {rowsp} A$ $\operatorname {colsp} A$

$\operatorname {rank} A=\dim \operatorname {rowsp} A=\dim \operatörsnamn {colsp} A$ [3] ,
$\operatörsnamn{rank}A$ är lika med antalet referenselement i valfri stegform , $A$
$\operatörsnamn{rank}A$ är lika med det största antalet linjärt oberoende rader eller kolumner i matrisen [4] . $A$

Matrisens kolumnutrymme sammanfaller med uppsättningen linjära kombinationer av kolumner . Det vill säga om , då , där är den linjära spännvidden av . $A$ $A$ $A=[a_{1},\dots ,a_{n}]$ $\operatorname {colsp} A=\operatörsnamn {span} \{a_{1},\dots ,a_{n}\}$ $\operatorname {span} S$ $S$

Verkan av en matris på någon vektor kan representeras som en linjär kombination av kolumner med koefficienter som motsvarar koordinaterna . Så det ligger alltid i . Således, om vi betraktar en matris som en linjär mappning från till , kommer matrisens kolumnutrymme att motsvara bilden av denna mappning. $A$ $x$ $A$ $x$ $Yxa$ $\operatorname {colsp} A$ $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb{R} ^{m}$

Begreppet kolumnutrymme kan generaliseras till matriser definierade över fältet av komplexa tal , eller mer allmänt över ett godtyckligt fält . $\mathbb {C}$ $\mathbb {F}$

Exempel

Dana matriser : $J$

J={\begin{bmatrix}2&4&1&3&2\\-1&-2&1&0&5\\1&6&2&2&2\\3&6&2&5&1\end{bmatrix))

Hennes rader:

$r_{1}=[2,4,1,3,2]$ ,
$r_{2}=[-1,-2,1,0,5]$ ,
$r_{3}=[1,6,2,2,2]$ ,
$r_{4}=[3,6,2,5,1]$ .

Därför är matrisens radutrymme ett delrum av , givet som . Detta utrymme är fyrdimensionellt på grund av att dessa fyra rader är linjärt oberoende . Dessutom, i det här fallet, är alla rader ortogonala mot vektorn , varifrån vi kan dra slutsatsen att utrymmet av rader består av alla vektorer som är ortogonala mot vektorn . $J$ $\mathbb {R} ^{5}$ $\operatorname {span} \{r_{1},r_{2},r_{3},r_{4}\}$ $n=[6,-1,4,-4,0]$ $\mathbb {R} ^{5}$ $n$

Kolumnutrymme

Definition

Låta vara något fält av skalärer över vilket ges en matris av storlek med kolumner . En linjär kombination av dessa vektorer är vilken vektor som helst av formen: $\mathbb {K}$ $A$ $m\ gånger n$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\dots ,\mathbf {v} _{n))$

c_{1}\mathbf {v} _{1}+c_{2}\mathbf {v} _{2}+\cdots +c_{n}\mathbf {v} _{n},

Var finns skalärer. Uppsättningen av alla möjliga kombinationer kallas kolumnutrymmet . Det vill säga, kolumnutrymmet är vektorernas linjära spann . ${\displaystyle c_{1},c_{2},\dots ,c_{n))$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{n))$ $A$ $A$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\dots ,\mathbf {v} _{n))$

Vilken linjär kombination av matriskolumner som helst kan skrivas som matrismultiplikation med någon kolumnvektor: $A$ $A$

{\begin{array}{rcl}A{\begin{bmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{n}\end{bmatrix}}&=&{\begin{bmatrix}a_{ 11}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&\cdots &a_{mn}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}c_{1}\\ \vdots \\c_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c_{1}a_{11}+&\cdots &+c_{n}a_{1n}\\\vdots &\vdots &\vdots \\c_{1}a_{m1}+&\cdots &+c_{n}a_{mn}\end{bmatrix}}=c_{1}{\begin{bmatrix}a_{11}\\ \vdots \\a_{m1}\end{bmatrix}}+\cdots +c_{n}{\begin{bmatrix}a_{1n}\\\vdots \\a_{mn}\end{bmatrix}}\\ &=&c_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +c_{n}\mathbf {v} _{n}\end{array}}

Kolumnutrymmet består alltså av alla möjliga produkter , där , vilket är samma som bilden (eller intervallet ) av motsvarande mappning . $A$ $Yxa$ ${\displaystyle x\in \mathbb {K} ^{n))$

Exempel Om , då dess kolumner är och .

A={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\2&0\end{bmatrix}}

{\displaystyle v_{1}=[1,0,2]^{T))

{\displaystyle v_{2}=[0,1,0]^{T))

En linjär kombination och är vilken vektor som helst som har följande form:

v_{1}

v_{2}

c_{1}{\begin{bmatrix}1\\0\\2\end{bmatrix}}+c_{2}{\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}} ={\begin{bmatrix}c_{1}\\c_{2}\\2c_{1}\end{bmatrix}}\,

Uppsättningen av alla sådana vektorer bildar ett kolumnutrymme . I det här fallet är kolumnutrymmet exakt den uppsättning vektorer som uppfyller ekvationen .

A

{\displaystyle [x,y,z]\in \mathbb {R} ^{3))

z=2x

I det kartesiska koordinatsystemet motsvarar denna uppsättning ett visst plan som passerar genom ursprunget i det tredimensionella rummet .

Grund

Kolumnerna i en matris genererar ett kolumnutrymme, men de kanske inte utgör en bas om kolumnerna inte är linjärt oberoende . Lyckligtvis ändrar inte elementära radtransformationer av en matris de linjära relationerna mellan kolumner. Detta gör det möjligt att hitta en grund i kolumnrymden med den Gaussiska metoden . $A$

Till exempel, givet följande matris:

A={\begin{bmatrix}1&3&1&4\\2&7&3&9\\1&5&3&1\\1&2&0&8\end{bmatrix}}{\text{.))

Kolumnerna i denna matris är inte linjärt oberoende , vilket innebär att basen utgör någon delmängd av kolumnerna. För att hitta den, låt oss ta den till en stegvis form längs linjerna : $A$

{\begin{bmatrix}1&3&1&4\\2&7&3&9\\1&5&3&1\\1&2&0&8\end{bmatrix}}\sim {\begin{bmatrix}1&3&1&4\\\0&1&1&1\\0&2&2&-1&-3&-1& end{bmatrix}}\sim {\begin{bmatrix}1&0&-2&1\\0&1&1&1\\0&0&0&-5\\0&0&0&5\end{bmatrix}}\sim {\begin{bmatrix}1&0&-2&0\\0&1&1&0&10&0 \\0&0&0&0\end{bmatrix}}

[5]

Den första, andra och fjärde kolumnen är linjärt oberoende, medan den tredje är en linjär kombination av de två första (mer exakt, ). Därför utgör den första, andra och fjärde kolumnen en bas i kolumnutrymmet: $v_{3}=-2v_{1}+v_{2}$

{\begin{bmatrix}1\\2\\1\\1\end{bmatrix)),\;\;{\begin{bmatrix}3\\7\\\5\\2\end{bmatrix ) )),\;\;{\begin{bmatrix}4\\9\\\1\\8\end{bmatrix}}{\text{.}}

Det är värt att notera att de oberoende kolumnerna är exakt de kolumner som innehåller de ledande elementen, vilket gör att vi kan minska problemet med att hitta en bas i uppsättningen kolumner till att föra matrisen till en stegvis form .

Algoritmen ovan kan användas för att hitta beroenden och hitta en bas i vilken uppsättning vektorer som helst. Att hitta basen för kolumnutrymmet är också likvärdigt med att hitta det för radutrymmet för den transponerade matrisen . I praktiken (som när man arbetar med stora matriser) används vanligtvis en singularvärdesuppdelning för att hitta grunden . $A$ $A^{T}$

Dimension

Dimensionen på kolumnutrymmet kallas matrisens rangordning . Rangen är lika med antalet ledande element i den stegvisa formen av matrisen, såväl som det största antalet av dess linjärt oberoende kolumner. Till exempel är rangordningen för matrisen ovan . $3$

Eftersom utrymmet för kolumner är bilden av motsvarande mappning , är matrisens rangordning lika med bildens dimension. Till exempel, för att visa den givna matrisen ovan, mappas den till något tredimensionellt delrum . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}\to \mathbb {R} ^{4))$ $\R^4$

Dimensionen på matriskärnan är lika med antalet kolumner som inte innehåller ledande element [6] . Rangen och dimensionen för matriskärnan med kolumner relateras av ekvationen: $A$ $n$

\operatörsnamn {rank} (A)+\dim \ker(A)=n.\,

Anslutning till konukleus

Kokärnan ( vänster annihilator ) i en matris är uppsättningen vektorer så att . Matrisens kokkärna sammanfaller med kärnan . Produkten på kan skrivas som skalära produkter av vektorer $A$ $\mathbf {x}$ ${\displaystyle \mathbf {x} ^{T}A=0^{T))$ $A$ $A^{T}$ $A^{T}$ $\mathbf {x}$

A^{T}\mathbf {x} ={\begin{bmatrix}\mathbf {v} _{1}\cdot \mathbf {x} \\\mathbf {v} _{2}\cdot \ mathbf {x} \\\vdots \\\mathbf {v} _{n}\cdot \mathbf {x} \end{bmatrix}},

Eftersom raderna är de transponerade kolumnerna i matrisen . Därför, om och endast om när är ortogonal mot alla kolumner i . $A^{T}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{k))$ $A$ $A^{T}\mathbf {x} =0$ $\mathbf {x}$ $A$

Det följer att kokkärnan (kärnan ) är ett ortogonalt komplement till kolumnutrymmet . $A$ $A^{T}$ $A$

För en matris över ringar

På liknande sätt kan kolumnutrymme (ibland kvalificerat som högerkolumnutrymme ) definieras för matriser över en ring som: $\mathbb {K}$

{\displaystyle \sum \limits _{k=1}^{n}\mathbf {v} _{k}c_{k))

Var . I detta fall ändras koordinatutrymmet till den högra fria modulen , som också ändrar ordningen i multiplikation med en skalär av en vektor med en skalär på ett sådant sätt att de skrivs i vektor-skalär ordning [7] . $c_{1},\dots ,c_{n}\in \mathbb {K}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{k))$ $c_{k}$

Se även

Euklidiskt utrymme

Anteckningar

↑ Linjär algebra är en mycket välstuderad matematisk disciplin med ett stort antal källor. Nästan allt material i denna artikel finns i Lay (2005 ), Meyer (2001 ) och Strang (2005 ).
↑ Anton (1987 , s. 179)
↑ Anton (1987 , s. 183)
↑ Beauregard & Fraleigh (1973 , s. 254)
↑ Ovanstående beräkningar använder Gauss-Jordan-metoden . Vart och ett av stegen som visas inkluderar flera elementära strängtransformationer.
↑ Kolumner utan inledande element representerar fria ekvationer i det motsvarande homogena systemet av linjära ekvationer .
↑ Detta är bara viktigt om inte kommutativt . I verkligheten är denna form inget annat än resultatet av att multiplicera en matris med en kolumn , där ordningen på faktorerna bevaras , till skillnad från formeln ovan. $\mathbb {K}$ $A\mathbf {c}$ $A$ $\mathbf {c} \in \mathbb {K} ^{n}$

Litteratur

Anton, Howard (1987), Elementary Linear Algebra (5:e upplagan), New York: Wiley , ISBN 0-471-84819-0
Axler, Sheldon Jay (1997), Linear Algebra Done Right (2:a upplagan), Springer-Verlag, ISBN 0-387-98259-0
Banerjee, Sudipto & Roy, Anindya (6 juni 2014), Linear Algebra and Matrix Analysis for Statistics (1:a upplagan), CRC Press, ISBN 978-1-42-009538-8
Beauregard, Raymond A. & Fraleigh, John B. (1973), A First Course In Linear Algebra: with Optional Introduction to Groups, Rings and Fields , Boston: Houghton Mifflin Company , ISBN 0-395-14017-X
Lay, David C. (22 augusti 2005), Linear Algebra and Its Applications (3:e upplagan), Addison Wesley, ISBN 978-0-321-28713-7
Leon, Steven J. (2006), Linear Algebra With Applications (7:e upplagan), Pearson Prentice Hall
Meyer, Carl D. (15 februari 2001), Matrix Analysis and Applied Linear Algebra , Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), ISBN 978-0-89871-454-8 , < http://www.matrixanalysis.com /DownloadChapters.html > Arkiverad 31 oktober 2009 på Wayback Machine
Poole, David (2006), Linear Algebra: A Modern Introduction (2nd ed.), Brooks/Cole, ISBN 0-534-99845-3
Strang, Gilbert (19 juli 2005), Linear Algebra and Its Applications (4:e upplagan), Brooks Cole, ISBN 978-0-03-010567-8

Länkar

Weisstein, Eric W. Row Space (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .
Weisstein, Eric W. Column Space (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .
Gilbert Strang , MIT linjär algebra Föreläsning om de fyra grundläggande delområdena på Google Video från MIT OpenCourseWare
Khan Academy video handledning
Föreläsning om spaltutrymme och nullspace av Gilbert Strang från MIT
Radutrymme och kolumnutrymme

Vektorer och matriser

Vektorer

Grundläggande koncept	Vektor i geometri Grund Ortogonal grund Vektorkoordinater Kolinearitet Ortogonalitet Linjärt beroende Kolumnutrymme
Typer av vektorer	Enhet vektor Axiell vektor isotrop vektor Vanligt Kolinearitet Noll vektor Radie vektor Egenvektor
Operationer på vektorer	Skalär produkt vektor produkt blandad produkt Pseudoskalär produkt Dubbelkorsprodukt
Utrymmestyper	vektor utrymme affint utrymme Euklidiskt utrymme Pseudo-euklidiskt utrymme Normerat utrymme Minkowski utrymme

matriser

Grundläggande koncept	Matrismultiplikation Transponerad matris Hermitisk konjugatmatris Symmetrisk matris invers matris Eget värde Karakteristiskt polynom för en matris
Specialmatriser	Identitetsmatris Noll matris Diagonal matris lambda matris
Matrisnedbrytningar	LU-nedbrytning Cholesky nedbrytning QR-sönderdelning LUP-nedbrytning singulärvärdesfaktorisering Spektral nedbrytning av en matris

Övrig