Kontinuerlig jämn fördelning

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 12 oktober 2020; kontroller kräver 5 redigeringar .

Kontinuerlig jämn fördelning
Sannolikhetstäthet
distributionsfunktion
Beteckning	${\mathcal {U}}(a,b)$
alternativ	$a,b\in (-\infty ,\infty )$ , — skiftfaktor , — skalfaktor $a$ $ba$
Bärare	$a\leqslant x\leqslant b$
Sannolikhetstäthet	${\begin{matrix}{\dfrac {1}{ba}}&a\leqslant x\leqslant b\\\\0&\ x<a\ ,\ x>b\end{matrix}}$
distributionsfunktion	${\begin{matrix}0&x<a\\{\dfrac {xa}{ba))&~~~~~a\leqslant x<b\\1&x\geqslant b\end{matris))$
Förväntat värde	${\frac {a+b}{2))$
Median	${\frac {a+b}{2))$
Mode	valfritt nummer från segmentet $[a,b]$
Dispersion	${\frac {(ba)^{2}}{12}}$
Asymmetrikoefficient	$0$
Kurtos koefficient	$-{\frac {6}{5}}$
Differentialentropi	$\ln(ba)$
Genererande funktion av moment	${\frac {e^{{tb}}-e^{{ta}}}{t(ba)))$
karakteristisk funktion	${\frac {e^{{itb}}-e^{{ita}}}{it(ba)))$

En kontinuerlig enhetlig fördelning i sannolikhetsteorin är fördelningen av en slumpmässig reell variabel som tar värden som tillhör ett visst intervall av ändlig längd, kännetecknad av att sannolikhetstätheten på detta intervall är nästan överallt konstant.

Definition

De säger att en slumpvariabel har en kontinuerlig enhetlig fördelning på segmentet , där , om dess densitet har formen: $[a,b]$ $a,b\in \mathbb{R}$ $f_{X}(x)$

f_{X}(x)=\left\{{\begin{matrix}{\dfrac {1}{ba)),&x\i [a,b]\\0,&x\inte \i [ a,b]\end{matris}}\right..

Skriv: . Ibland ändras densitetsvärdena vid gränspunkterna till andra, till exempel eller . Eftersom Lebesgue-integralen av täthet inte beror på beteendet hos den senare på uppsättningar av måtten noll, påverkar dessa variationer inte beräkningarna av de associerade sannolikhetsfördelningarna. $X\simU[a,b]$ $x=a$ $x=b$ $0$ ${\frac {1}{2(ba)))$

Distributionsfunktion

Genom att integrera densiteten definierad ovan får vi:

F_{X}(x)\equiv \mathbb {P} (X\leqslant x)=\left\{{\begin{matrix}0,&x<a\\{\dfrac {xa}{ba} },&a\leqslant x<b\\1,&x\geqslant b\end{matrix}}\right..

Eftersom den likformiga distributionstätheten är diskontinuerlig vid segmentets gränspunkter , är fördelningsfunktionen vid dessa punkter inte differentierbar. På andra punkter gäller standardjämlikheten: $[a,b]$

{\frac {d}{dx}}F_{X}(x)=f_{X}(x),\;\forall x\in \mathbb{R} \setminus \{a,b\}

Genererar funktion av moment

Genom enkel integration får vi momentens genererande funktion :

M_{X}(t)={\frac {e^{{tb}}-e^{{ta}}}{t(ba))))

varifrån vi finner alla intressanta ögonblick av den kontinuerliga enhetliga fördelningen:

{\mathbb {E}}\left[X\right]={\frac {a+b}{2}}

{\mathbb {E}}\left[X^{2}\right]={\frac {a^{2}+ab+b^{2}}{3}}

\operatörsnamn {D} \left[X\right]={\frac {(ba)^{2}}{12}}

Rent generellt,

{\mathbb {E}}\left[X^{n}\right]={\frac {1}{n+1}}\summa \limits _{{k=0}}^{n}{a^ {k}b^{{nk))}={\frac {b^{{n+1}}-a^{{n+1}}}{(ba)(n+1)}}

Standard enhetlig fördelning

Om och , det vill säga då en sådan kontinuerlig enhetlig fördelning kallas standard . $a=0$ $b=1$ $X\simU[0,1]$

Det finns ett elementärt uttalande:

Om en slumpmässig variabel och , då .

X\simU[0,1]

Y=a+(ba)X

Y\sim U[\min(a,b),\max(a,b)]

Sålunda, givet en slumpmässig provgenerator från en standard kontinuerlig enhetlig fördelning, är det lätt att konstruera en provgenerator för varje kontinuerlig enhetlig fördelning.

Om man dessutom har en sådan generator och känner till funktionen invers till fördelningsfunktionen för en slumpvariabel, kan man konstruera en sampelgenerator av vilken kontinuerlig fördelning som helst (inte nödvändigtvis enhetlig) med användning av den inversa transformationsmetoden . Därför kallas standard jämnt fördelade slumpvariabler ibland grundläggande slumpvariabler .

Det finns också partiella transformationer som gör det möjligt att erhålla slumpmässiga fördelningar av en annan typ utifrån en enhetlig fördelning. Så, till exempel, för att få en normalfördelning används Box-Muller-transformationen .

Se även

Sannolikhetsfördelningar
Diskret	Bernoulli Binom Geometrisk hypergeometrisk Logaritmisk Negativ binomial Poisson Diskret uniform Multinomial
Absolut kontinuerligt	Beta Weibulla Gamma- hyperexponentiell Gompertz Kolmogorov Cauchy Laplace lognormal Normal (Gaussian) Logistisk Nakagami Pareto Pearson halvcirkelformig kontinuerlig uniform Ris Rayleigh Studerande Tracey - Vidoma Fiskare Chi-kvadrat Exponentiell Varians-gamma Multivariat normal kopula