Conway grupper

Conway-grupperna är de tre sporadiska enkla grupperna Co 1 , Co 2 och Co 3 som introducerats av Conway tillsammans med den finita gruppen Co 0 [1] [2] associerad med dem .

Den största av Conway-grupperna, Co 0 , är automorfismgruppen i Leach-gittret . Denna grupp är i sin ordning $\lambda$

8 315 553 613 086 720 000

Det är ingen enkel grupp. Enkel grupp Co of order 1

4 157 776 806 543 360 000

definieras som faktorgruppen för gruppen Co 0 av dess centrum , som består av skalära matriser ±1.

Den skalära produkten på Leach-gittret definieras som 1/8 av summan av produkterna av motsvarande koordinater för de två multiplicerade vektorerna. Detta är ett heltal. Den kvadratiska normen för en vektor är lika med skalärprodukten av vektorn och sig själv, alltid ett jämnt heltal. Man talar ofta om typen av Leach gittervektor, som är lika med halva normen. Undergrupperna namnges ofta efter typen av motsvarande fixpunkter. Gittret har inga vektorer av typ 1.

Grupperna Co 2 (av storleksordningen 42.305.421.312.000 ) och Co 3 (av storleksordningen 495.766.656.000 ) består av automorfismer som bevarar typ 2-vektorer respektive typ 3-vektorer. Eftersom multiplikation med skalären −1 inte bevarar någon vektor som inte är noll, är dessa två grupper isomorfa till undergrupper av Co 1 . $\lambda$

Historik

Thomas Thompson [3] beskrev hur John Leach undersökte den täta packningen av sfärer i högdimensionella euklidiska utrymmen runt 1964 . En av Leachs upptäckter var ett gallerstapling i 24-dimensionell rymd, baserat på vad som kom att kallas Leach-gittret . Han bestämde sig för att ta reda på om gittrets symmetrigrupp innehöll intressanta enkla grupper, men kände att han behövde hjälp av någon mer kunnig inom gruppteori. Han sökte länge efter en sådan person, men matematiker var upptagna med sina egna uppgifter. John Conway gick med på att titta på uppgiften. John G. Thompson uppgav att han skulle delta i arbetet om Conway hittade ordningen på gruppen . Conway trodde att han skulle lägga månader eller år på problemet, men han fick resultatet på några dagar. $\lambda$

Witt [4] hävdade att han hade hittat Leach-gittret 1940 och antydde att han hade beräknat ordningen för dess automorfismgrupp Co 0 .

Monomial undergrupp N i gruppen Co 0

Conway började sin forskning om Co 0 med en undergrupp som han kallade N . Det är en holomorf den (utökade) binära Golay-koden , representerad som en uppsättning diagonala matriser c 1 eller −1 på diagonalen, det vill säga dess förlängning av Mathieu-gruppen M 24 (vars element är representeras som permutationsmatriser ). N = 212 : M24 .

Standardrepresentationen av den binära Golay-koden som används i den här artikeln arrangerar 24 koordinater så att 6 på varandra följande block om 4 (tetrader) bildar en sextett .

Matriser för Co 0 - gruppen är ortogonala . Det vill säga att de lämnar prickprodukten oförändrad. Den omvända matrisen är dess transponering . Co 0 innehåller inte matriser med determinant −1.

Lakningsgittret kan definieras som Z - modulen som genereras av uppsättningen av alla typ 2-vektorer som består av $\Lambda _{2}$

(4, 4, 0 22 ) (2 8 , 0 16 ) (−3, 1 23 )

och deras bilder under verkan av N . under påverkan av N sönderfaller den till 3 banor av storleken 1104, 97152 och 98304. Sedan . Conway misstänkte starkt att Co 0 var transitiv på , och dessutom upptäckte han en ny matris, varken monomial heltal. $\Lambda _{2}$ $|\Lambda _{2}|=196560=2^{4}\cdot 3^{3}\cdot 5\cdot 7\cdot 13$ $\Lambda _{2}$

Låt vara en 4×4-matris $\eta$

{\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&-1&-1&-1\\-1&1&-1&-1\\-1&-1&1&-1\\-1&-1&-1&1 \end{pmatrix}}

Låt nu vara en 6-blocksmatris med ett udda tal och [5] [6] . är en symmetrisk och ortogonal matris, och är därför en involution . Den permuterar vektorer mellan olika banor i gruppen N . $\zeta$ $\eta$ $-\eta$ $\zeta$

För att beräkna är det bäst att överväga en uppsättning vektorer av typ 4. Varje vektor av typ 4 är exakt en av 48 vektorer av typ 4 som är jämförbara med varandra modulo , som faller in i 24 ortogonala par . En uppsättning av 48 sådana vektorer kallas en ram . N har en standardram med 48 vektorer av formen (±8, 0 23 ) som en bana . Undergruppen som fixerar den givna ramen är konjugerad till N . Gruppen 212, som är isomorf till Golay -koden, fungerar som en teckenomkastning av ramvektorerna, medan M24 permuterar de 24 paren av ramen. Co 0 kan visas vara transitiv på . Conway multiplicerade gruppordningen N och antalet bildrutor, det senare är lika med förhållandet . Denna produkt är i ordningsföljd för alla undergrupper av Co 0 som strikt innehåller N . Därför är N en maximal undergrupp av gruppen Co 0 och innehåller Sylow 2-undergrupper av gruppen Co 0 . N är också en undergrupp Co 0 av alla matriser med heltalsposter. $|\mathrm {Co} _{0}|$ ${\displaystyle \Lambda _{4))$ $2\Lambda$ ${\displaystyle \{v,-v\))$ ${\displaystyle \Lambda _{4))$ $2^{12}|\mathrm {M} _{24}|$ $|\Lambda _{4}|/48=8252375=3^{6}\cdot 5^{3}\cdot 7\cdot 13$

Eftersom den inkluderar vektorer av formen (±8, 0 23 ) , består Co 0 av rationella matriser där alla nämnare delar 8. $\lambda$

Den minsta icke-triviala representationen av gruppen Co 0 över något fält är 24-dimensionell, härrörande från Leach-gittret, och det är exakt över fält med egenskaper som skiljer sig från 2.

Involutioner i Co 0

Varje involution i Co 0 kan visas vara konjugerad till ett element i Golay-koden. Co 0 har 4 konjugationsklasser av involutioner.

En permutationsmatris av formen 2 12 kan visas vara konjugerad till dodekader . Dess centraliserare [7] har formen 2 12 :M 12 och har konjugationer inuti den monomiala undergruppen. Vilken matris som helst i denna konjugatklass har spår 0.

En permutationsmatris av formen 2 8 1 8 kan visas vara konjugerad till en oktad . Den har spår 8. Den och dess motsats (spår −8) har en gemensam centraliserare av formen , en maximal undergrupp i Co 0 . $(2^{1+8}\times 2).\mathrm {O} _{8}^{+}(2)$

Subgittergrupper

Conway och Thompson fann att de fyra nyligen hittade sporadiska enkla grupperna som beskrivs i konferensdokumentet [8] är isomorfa till undergrupper eller faktorgrupper av undergrupper av Co 0 .

Conway själv använde notationen för punktstabilisatorer och delrum genom att prefixa den med en punkt. Undantagen var •0 och •1 , nu kända som Co 0 och Co 1 . För ett heltal , låt beteckna stabilisatorn för punkter av typ n (se ovan) i Leach-gittret. $\mathbf {n} \geqslant 2$ ${\boldsymbol {\cdot ))\mathbf {n}$

Conway introducerade sedan namn för planstabilisatorer definierade av trianglar med ursprunget som vertex. Låt •hkl vara den punktvisa stabilisatorn för en triangel med kanter (vertexskillnader) av typen h , k och l . I de enklaste fallen är Co 0 transitiv på punkter eller trianglar, och stabilisatorgrupper definieras fram till konjugation.

Conway identifierade •322 med McLaughlin-gruppen McL (order 898.128.000 ) och •332 med Higman-Sims-gruppen HS (order 44.352.000 ). Båda har nyligen upptäckts.

Nedan är en tabell [9] [10] över några grupper av subgitter:

namn	Ordning	Strukturera	Vertex exempel
•2	2 18 3 6 5 3 7 11 23	Co2 _	(−3, 1 23 )
•3	2 10 3 7 5 3 7 11 23	Co3 _	(5, 123 )
•fyra	2 18 3 2 5 7 11 23	2 11 :M 23	(8, 0 23 )
•222	2 15 3 6 5 7 11	PSU 6 (2) ≈ Fi 21	(4, −4, 0 22 ), (0, −4, 4, 0 21 )
•322	2 7 3 6 5 3 7 11	McL	(5, 1 23 ), (4, 4, 0 22 )
•332	2 9 3 2 5 3 7 11	HS	(5, 1 23 ), (4, −4, 0 22 )
•333	2 4 3 7 5 11	3 5 M 11	(5, 1 23 ), (0, 2 12 , 0 11 )
•422	2 17 3 2 5 7 11	2 10 :M 22	(8, 0 23 ), (4, 4, 0 22 )
•432	2 7 3 2 5 7 11 23	M23 _	(8, 0 23 ), (5, 1 23 )
•433	2 10 3 2 5 7	2 4 .A 8	(8, 0 23 ), (4, 2 7 , −2, 0 15 )
•442	2 12 3 2 5 7	2 1+8 .A 7	(8, 0 23 ), (6, −2 7 , 0 16 )
•443	2 7 3 2 5 7	M21 :2 ≈ PSL3 ( 4 ):2	(8, 0 23 ), (5, −3, −3, 1 21 )

Två andra sporadiska undergrupper

Två sporadiska undergrupper kan definieras som faktorgrupper av stabilisatorer av strukturer på Leach-gittret. Identifiering av R 24 med C 12 och med $\lambda$

\mathbf {Z} \left[e^{{\frac {2}{3}}\pi i}\right]^{12},

den resulterande automorfismgruppen (det vill säga gruppen av automorfismer i Leach-gittret som bevarar den komplexa strukturen ), när den divideras med sexelementgruppen av komplexa skalära matriser, ger Suzuki-gruppen Suz (av storleksordningen 448.345.497.600) ). Denna grupp upptäcktes 1968 av Michio Suzuki.

En liknande konstruktion ger Janko-gruppen J 2 (av storleksordningen 604 800 ) som en faktorgrupp av quaternion- automorfismer över skalärgruppen ±1. $\lambda$

De sju enkla grupperna som beskrivs ovan inkluderar vad Robert Griss kallade den andra generationen av den lyckliga familjen , som består av 20 sporadiska enkla grupper som finns i monstret . Några av de sju grupperna innehåller åtminstone några av de fem Mathieu-grupperna som utgör den första generationen .

Suzuki kedjeprodukter i grupper

Co 0 har 4 bisatser av element av ordning 3. I M 24 bildar ett element av formen 3 8 en gruppnormal i kopian S 3 som pendlar med en enkel undergrupp av ordning 168. Den direkta produkten i M 24 permuterar oktader av trion och permuterar de 14 matriserna i den monomiala undergruppen. I Co 0 utvidgas denna monomiala normalisator till en maximal undergrupp av formen , där 2.A 9 är en dubbel täckning av den alternerande gruppen A 9 [11] . ${\displaystyle \mathrm {PSL} (2,7)\ gånger \mathrm {S} _{3))$ ${\displaystyle 2^{4}\colon \mathrm {PSL} (2,7)\times \mathrm {S} _{3))$ ${\displaystyle 2.\mathrm {A} _{9}\times \mathrm {S} _{3))$

John Thompson påpekade att det skulle vara fruktbart att studera normaliserare av små grupper av formen 2.A n [12] . Vissa maximala undergrupper Co 0 hittas på detta sätt. Dessutom uppträder två sporadiska grupper i den resulterande kedjan.

Det finns en undergrupp , bara en av dess kedjor är inte maximal i Co 0 . Vidare finns det en undergrupp . Nästa kommer . Den enhetliga gruppen (ordning 6048 ) är associerad med automorfismgruppen i grafen med 36 vertex, förutse nästa undergrupp. Denna undergrupp är där Janko Group J2 förekommer . Grafen ovan expanderar till en Hall-Yanko-graf med 100 hörn. Därefter kommer gruppen G 2 (4), som är en exceptionell grupp av Lie-typ [13] [16] . ${\displaystyle 2.\mathrm {A} _{8}\times \mathrm {S} _{4))$ ${\displaystyle (2.\mathrm {A} _{7}\times \mathrm {PSL} _{2}(7))\kolon {2))$ $(2.\mathrm {A} _{6}\times \mathrm {SU} _{3}(3)):2$ $\mathrm {SU} _{3}(3)$ $(2.\mathrm {A} _{5}\circ \mathrm {2.HJ} ):2$ $(2.\mathrm {A} _{4}\circ 2.\mathrm {G} _{2}(4)):2$

Kedjan slutar med 6.Suz:2 (Suz= Sporadic Suzuki Group ), vilket, som nämnts ovan, bevarar den komplexa representationen av Leach-gittret.

Generaliserat monstruöst nonsens

Conway och Norton föreslog i en tidning från 1979 att det kunde finnas en motsvarighet till det monstruösa nonsenset för andra grupper också. Larisa Kuin och andra fann successivt att det är möjligt att konstruera förlängningar av många huvudmoduler (i den engelska litteraturen är termen Hauptmodul lånad från det tyska språket, bokstavligen - huvudmodulen) från enkla kombinationer av dimensioner av sporadiska grupper. För Conway-grupper är motsvarande McKay-Thompson-serier ={1, 0, 276, −2048 , 11 202 , −49 152 , …} ( A007246 ) och ={1, 0, 276, 2048 , 11 492 5 , , …} ( A097340 ), där den konstanta termen är a(0)=24 , $T_{2B}(\tau )$ $T_{4A}(\tau )$

{\begin{aligned}j_{4A}(\tau )&=T_{4A}(\tau )+24\\&=\left({\frac {\eta ^{2}(2\tau) )}{\eta (\tau )\,\eta (4\tau )}}\right)^{24}\\&=\left(\left({\frac {\eta (\tau)}{\ eta (4\tau )}}\right)^{4}+4^{2}\left({\frac {\eta (4\tau )}{\eta (\tau )))\right)^{ 4}\right)^{2}\\&={\frac {1}{q))+24+276q+2048q^{2}+11202q^{3}+49152q^{4}+\dots \end {Justerat}}

och är Dedekind eta-funktionen . $\eta (\tau )$

Anteckningar

↑ Conway, 1968 .
↑ Conway, 1969 .
↑ Thompson, 1983 .
↑ Witt, 1998 , sid. 329.
↑ Griess, 1998 , sid. 97.
↑ Thompson, 1983 , sid. 148–152.
↑ En matris centraliserare är den uppsättning matriser som pendlar med den ( Arnold 1999 ).
↑ Brauer, Sah, 1969 .
↑ Conway, Sloane, 1999 , sid. 291.
↑ Griess, 1998 , sid. 126.
↑ Wilson, 2009 , sid. 27.
↑ Conway, 1971 , sid. 242.
↑ Wilson, 2009 , sid. 219.
↑ Wilson, 2009 , sid. 9.
↑ Wilson, 2009 , sid. 82.
↑ Här betyder kolon en delad förlängning av en grupp ( halvdirekt produkt ) [14] , tecknet ◦ betyder centralprodukten av grupper — faktorgruppen för den direkta produkten av grupper efter dess centrum [15] .

Litteratur

Arnold VI Geometriska metoder i teorin för vanliga differentialekvationer. - Andra upplagan. - Izhevsk: MTSNMO, VKM NMU, 1999. - ISBN 5-89806-028-4 .
John Horton Conway . En perfekt grupp av ordning 8,315,553,613,086,720,000 och de sporadiska enkla grupperna // Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America . - 1968. - T. 61 , nr. 2 . — S. 398–400 . - doi : 10.1073/pnas.61.2.398 .
Teori om ändliga grupper: Ett symposium / Brauer R., Chih-han Sah. — W.A. Benjamin, Inc., New York-Amsterdam, 1969.
John Horton Conway . En grupp på 8 315 553 613 086 720 000 // The Bulletin of the London Mathematical Society. - 1969. - T. 1 . — s. 79–88 . — ISSN 0024-6093 . - doi : 10.1112/blms/1.1.79 .
John Horton Conway . Tre föreläsningar om exceptionella grupper // Finite simple groups / Powell MB, Higman G. - Boston, MA: Academic Press , 1971. - s. 215–247. — (Proceedings of an Instructional Conference organiserad av London Mathematical Society (ett NATO Advanced Study Institute), Oxford, september 1969.). - ISBN 978-0-12-563850-0 . Återtryckt iConway, Sloane (1999, 267–298)
John Horton Conway , Neil Sloane . Sfärförpackningar, gitter och grupper . — 3:a. - Berlin, New York: Springer-Verlag , 1999. - T. 290. - (Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften). - ISBN 978-0-387-98585-5 .
Thomas M. Från felkorrigerande koder via sfärförpackningar till enkla grupper . - Mathematical Association of America , 1983. - V. 21. - (Carus Mathematical Monographs). - ISBN 978-0-88385-023-7 .
John Horton Conway , Richard A. Parker, Simon P. Norton, Curtis RT, Robert A. Wilson. Atlas över ändliga grupper . - Oxford University Press , 1985. - ISBN 978-0-19-853199-9 .
Robert L. Griess Jr. Tolv sporadiska grupper. - Berlin, New York: Springer-Verlag , 1998. - (Springer Monographs in Mathematics). - ISBN 978-3-540-62778-4 .
Atlas of Finite Group Representations: Co 1 version 2
Atlas of Finite Group Representations: Co 1 Arkiverad 27 mars 2008 på Wayback Machine version 3
Robert A. Wilson. De maximala undergrupperna i Conways grupp Co₁ // Journal of Algebra. - 1983. - T. 85 , nr. 1 . — S. 144–165 . — ISSN 0021-8693 . - doi : 10.1016/0021-8693(83)90122-9 .
Robert A. Wilson. På de tre lokala undergrupperna i Conways grupp Co₁ // Journal of Algebra. - 1988. - T. 113 , nr. 1 . — S. 261–262 . — ISSN 0021-8693 . - doi : 10.1016/0021-8693(88)90192-5 .
Robert A. Wilson. De ändliga enkla grupperna. - Berlin, New York: Springer-Verlag , 2009. - (Graduate Texts in Mathematics 251). - ISBN 978-1-84800-987-5 . - doi : 10.1007/978-1-84800-988-2 .
Ernst Witt. Samlade papper. Gesammelte Abhandlungen. - Berlin, New York: Springer-Verlag , 1998. - ISBN 978-3-540-57061-5 .
RT Curtis, BT Fairburn. Symmetrisk representation av elementen i Conway Group •0 // Journal of Symbolic Computation. - 2009. - Utgåva. 44 . - S. 1044-1067 .

Gruppteori
Grundläggande koncept	Undergrupp Normal undergrupp Faktorgrupp Arbete direkt halvdirekt fri
Algebraiska egenskaper	kommutativ grupp Cyklisk grupp beställd grupp Förvandla grupp Lösbar grupp Schreiers Lemma Lagranges sats Sylows satser Klassificering av enkla ändliga grupper
ändliga grupper	Finit cyklisk grupp C n Symmetrisk grupp S n Dihedral grupp D n Alternerande grupp A n Klein Quadruple Group Mathieu-grupper M11 _ M12 _ M22 _ M23 _ M24 _ Conway grupper Co 1 Co2 _ Co3 _ Janko grupper J1 _ J2 _ J3 _ J4 _ Fisher grupper F22 _ F 23 F24 _ Monster (M)
Topologiska grupper	Lögngrupper Ortogonal grupp O(n) Special ortogonal grupp SO(n) Enhetsgrupp U(n) Särskild enhetlig grupp SU(n) Symplektisk grupp Sp(n) Exceptionellt enkelt Lorentz grupp Poincaré-gruppen
Algoritmer på grupper	Schreier - Sims Todd - Coxeter Fouriertransform