Root (matematik)

Den här artikeln handlar om rotextraktion . Se även Ekvationsrot och Polynomrot .

Roten av den e graden $n$ av ett tal definieras [1] som ett tal så att Här är ett naturligt tal , kallat exponenten av roten (eller graden av roten); det är vanligtvis större än eller lika med 2 eftersom fallet inte är av intresse. $a$ $b$ $b^{n}=a.$ $n$ $n=1$

Notation: Symbolen ( rottecken ) på höger sida kallas radikalen . Talet ( radikalt uttryck ) är oftast reellt eller komplext , men det finns även generaliseringar för andra matematiska objekt , såsom rester , matriser och operatorer , se #Variationer och generaliseringar nedan . $b={\sqrt[{n}]{a}},$ $a$

Exempel på reella tal:

Rötterna till 2:a graden av talet 9 är och båda dessa tal har samma kvadrater och är lika med 9 $+3$ $-3,$
${\sqrt[{3}]{\ 64}}=4,$ därför att $4^{3}=64.$
${\sqrt[{3}]{\frac {8}{27}}}={\frac {2}{3)),$ därför att $\left({\frac {2}{3}}\right)^{3}={\frac {8}{27}}.$

Som du kan se från det första exemplet kan en riktig jämn rot ha två värden (positiva och negativa), och detta gör det svårt att arbeta med sådana rötter, vilket inte tillåter att de används i aritmetiska beräkningar. För att säkerställa entydighet införs begreppet en aritmetisk rot (från ett icke-negativt reellt tal) vars värde alltid är icke-negativt, i det första exemplet detta tal. Dessutom antas en överenskommelse enl . till vilken tecknet för en jämn gradsrot från ett reellt tal alltid betecknar en aritmetisk rot [2] [3] : Om det krävs att man tar hänsyn till rotens tvetydighet placeras ett plus- eller minustecken framför radikal [2] ; till exempel, så här görs det i formeln för att lösa en andragradsekvation : $3.$ ${\sqrt[{2}]{9}}=3.$ $ax^{2}+bx+c=0$

x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}

Verkliga jämna rötter av negativa tal finns inte. Det är alltid möjligt att extrahera en rot av vilken grad som helst från ett komplext tal, men resultatet är tvetydigt definierat - den komplexa roten av ett tal som inte är noll har olika värden (se #Rötter av komplexa tal ). $n$ $n$

Rotextraktionsoperationen och algoritmerna för dess implementering dök upp i antiken i samband med de praktiska behoven av geometri och astronomi, se #Historia .

Definition och relaterade begrepp

Utöver ovanstående kan två ekvivalenta definitioner av roten [4] ges :

Den e roten $n$ av talet är lösningen till ekvationen (observera att det kan finnas flera eller inga lösningar). $a$ $x$ $x^n=a$
Roten av den e graden $n$ av talet är roten av polynomet , det vill säga värdet vid vilket det angivna polynomet är lika med noll. $a$ $x^{n}-a,$ $x$

Beräkningsoperationen kallas " att ta roten " av ett tal . Detta är en av de två operationerna som är inversa till exponentiering [5] , nämligen att hitta basen för graden från en känd exponent och resultatet av exponentieringen . Den andra inversa operationen, logaritm , hittar exponenten givet den kända basen och resultatet. ${\sqrt[{n}]{a))$ $n$ $a$ $b$ $n$ $a=b^{n}$

Rötter av andra och tredje graden används särskilt ofta och har därför speciella namn [5] .

Kvadratrot : I det här fallet utelämnas vanligtvis exponent 2, och termen "rot" utan att specificera graden antyder oftast kvadratroten. Geometriskt kan det tolkas som längden på sidan av en kvadrat vars area är lika med . ${\sqrt {a}).$ ${\sqrt {a}}$ $a$
Kubrot : Geometriskt är detta längden på kanten på en kub vars volym är . ${\sqrt[{3}]{a}}.$ ${\sqrt[{3}]{a))$ $a$

Rötter av reella tal

I det här avsnittet, överallt - ett naturligt tal, - reella tal. Roten av den e graden av ett reellt tal , beroende på paritet och tecken , kan ha från 0 till 2 reella värden. $n$ $a,b$ $n$ $a$ $n$ $a$

Allmänna egenskaper

En udda rot av ett positivt tal är ett positivt tal, unikt bestämt.

${\sqrt[{n}]{a}}=b$ , där är udda $a,b>0,$ $n$

Till exempel,

{\sqrt[{3}]{125}}=5,\ {\sqrt[{5}]{32}}=2,\ {\sqrt[{15}]{1}}=1

En udda rot av ett negativt tal är ett negativt tal som är unikt definierat.

${\sqrt[{n}]{a}}=b$ , där är udda $a,b<0,$ $n$

Till exempel,

{\sqrt[{3}]{-8}}=-2,\ {\sqrt[{5}]{-243}}=-3,\ {\sqrt[{7}]{-1}}= -ett

Roten till en jämn grad av ett positivt tal har två värden med motsatta tecken, men lika i absolut värde.

$\pm {\sqrt[{n}]{a}}=\pm b$ , var är jämnt $a,b>0,$ $n$

Till exempel,

\pm {\sqrt {4}}=\pm 2,\ \ \pm {\sqrt[{4}]{81}}=\pm 3,\ \ \pm {\sqrt[{10}] {1024}}=\pm 2

Roten till en jämn grad av ett negativt tal finns inte inom området reella tal , eftersom när man höjer ett reellt tal till en potens med en jämn exponent, blir resultatet ett icke-negativt tal. Nedan kommer det att visas hur man extraherar sådana rötter i ett bredare system - uppsättningen av komplexa tal (då kommer rotens värden att vara komplexa tal). $n$

${\sqrt[{n}]{a))$ existerar inte inom området reella tal , om - jämnt $a<0,$ $n$

Roten till en naturlig nollpotens är noll.

${\sqrt[{n}]{0}}=0$

Varning

Som nämnts ovan: "En jämn gradsrot av ett negativt tal finns inte i fältet för reella tal ". Dessutom finns en sådan rot i domänen av komplexa tal . Därför bör man alltid överväga i vilket numeriskt system (reella eller komplexa tal) vi extraherar roten.

Exempel. I sfären av reella tal existerar inte kvadratroten av . $-9$
Exempel. I sfären av komplexa tal är kvadratroten av är $-9$ $\pm 3i.$

Aritmetisk rot

Det har redan sagts ovan att rötterna till en jämn grad definieras, generellt sett, tvetydigt, och detta faktum skapar olägenheter när man använder dem. Därför infördes en praktiskt viktig begränsning av detta koncept [6] .

Den aritmetiska roten av den e graden $n$ av ett icke-negativt reellt tal är ett icke-negativt tal för vilket den aritmetiska roten betecknas med det radikala tecknet . $a$ $b$ $b^{n}=a.$

Således definieras den aritmetiska roten, i motsats till roten av en allmän form ( algebraisk ), endast för icke-negativa reella tal, och dess värde finns alltid, unikt [7] och icke-negativt. Till exempel har kvadratroten ur ett tal två värden: och , varav det första är aritmetiskt. $fyra$ $2$ $-2$

Algebraiska egenskaper

Formlerna nedan är korrekta, först och främst, för aritmetiska rötter oavsett grad (förutom i speciella fall). De är också giltiga för rötter av udda grad, som också har negativa radikala uttryck [8] .

Ömsesidig annullering av rot och grad: [9]
- för udda : , $n$ ${\sqrt[{n}]{a^{n))}=a$
- för jämnt : $n$ ${\color {blå}{\sqrt[{\color {svart}n}]{\color {svart}{a^{n))))}=|a|$
Om , då och $a<b$ ${\color {blå}{\sqrt[{\color {svart}n}]{\color {svart}{a))))<{\color {blå}{\sqrt[{\color {svart}n} ]{\färg {svart}{b))))$

Roten av produkten är lika med produkten av rötterna av faktorerna:

${\color {blå}{\sqrt[{\color {svart}n}]{\color {svart}{ab))))={\färg {blå}{\sqrt[{\color {svart}n} ]{\color {svart}{a)))){\color {blå}{\sqrt[{\color {svart}n}]{\color {svart}{b))))$

Likadant för division:

${\color {blå}{\sqrt[{\color {svart}n}]{\color {svart}{\frac {a}{b))))}={\frac {\color {blå}{\ sqrt[{\color {svart}n}]{\color {svart}{a)))){\color {blå}{\sqrt[{\color {svart}n}]{\color {svart}{b }}}}}},\;b\neq 0$

Följande likhet är definitionen av att höja till en bråkdel [10] :

$a^{m/n}={\color {blå}{\sqrt[{\color {svart}n}]{\color {svart}{a^{m))))}=\left({\color {blå}{\sqrt[{\color {svart}n}]{\färg {svart}{a))))\right)^{m}=\left(a^{1/n}\right)^ {m}$

Rotens värde kommer inte att ändras om dess index och graden av det radikala uttrycket divideras med samma tal (faktorn för exponenten och exponenten för det radikala uttrycket):

${\color {blå}{\sqrt[{\color {svart}nk}]{\color {svart}{a^{mk)))}}={\color {blå}{\sqrt[{\color { svart}n}]{\color {svart}{a^{m))))},\;n,k\in \mathbb {N} .$ Exempel: ${\color {blå}{\sqrt[{\color {svart}6}]{\color {svart}{64))))={\färg {blå}{\sqrt[{\färg {svart}{2 \cdot 3}}]{\color {svart}{4^{3}}}}}={\color {blå}{\sqrt {\color {svart}{4}}}}=2$
${\color {blå}{\sqrt[{\color {svart}n}]{\color {blå}{\sqrt[{\color {svart}k}]{\color {svart}{a)))) ))={\color {blå}{\sqrt[{\color {svart}nk}]{\color {svart}{a)))),\;n,k\in \mathbb {N}$

För rötter av udda grad indikerar vi ytterligare en egenskap:

${\sqrt[{n}]{-a}}=-{\sqrt[{n}]{a}}$

Extrahera en rot och höja till en bråkpotens

Exponentieringsoperationen introducerades ursprungligen som en förkortning för operationen att multiplicera naturliga tal: . Nästa steg var att definiera exponentiering till ett godtyckligt heltal, inklusive negativ, potens: $m^{n}={\color {Grå}\underbrace {\color {Svart}m\cdot m\cdot \dots \cdot m} _{\color {Svart}n))$ $m^{-n}={\frac {1}{m^{n))}.$

Operationen att extrahera en aritmetisk rot låter dig definiera höjningen av ett positivt tal till valfri rationell (bråk) potens [10] :

a^{\frac {m}{n}}={\color {blå}{\sqrt[{\color {svart}n}]{\color {svart}{a^{m))))},

a>0

I det här fallet kan täljaren för ett bråk ha ett tecken. Egenskaperna för den utökade operationen är i princip desamma som att höja till en heltalspotens. $m$ ${\frac {m}{n}}$

Denna definition innebär att extrahering av en rot och dess inversa exponentiering faktiskt kombineras till en algebraisk operation. Särskilt:

{\color {blå}{\sqrt[{\color {svart}n}]{\color {svart}{a))))=a^{\frac {1}{n))

Försök att höja negativa tal till en rationell styrka kan leda till fel, eftersom värdet på den algebraiska roten är tvetydig, och räckvidden för den aritmetiska roten är begränsad till icke-negativa tal. Ett exempel på ett möjligt fel:

-1=(-1)^{2\ \cdot \ {\frac {1}{2}}}=\left({(-1)^{2}}\right)^{\frac {1}{ 2))=1^{\frac {1}{2))={\color {blå}{\sqrt {\color {svart}1))}=1

Rotfunktion

Plots av rotfunktioner
Rotfunktioner och kraftfunktioner inverteras till dem med ett intervall $[0;\ 1]$
Rotfunktioner:
- aritmetik, jämna potenser 2, 4, 6
- vanliga, udda potenser 3, 5, 7

Om vi betraktar rotuttrycket som en variabel får vi rotfunktionen för den e graden: . Rotfunktionen tillhör kategorin algebraiska funktioner . Grafen för en rotfunktion passerar genom origo och punkt . $n$ $y={\sqrt[{n}]{x}}$ $(elva)$

Som nämnts ovan, för en jämn rot, för att säkerställa att funktionen är unik, måste roten vara aritmetisk, så att argumentet är icke-negativt. Rotfunktionen för en udda grad är enkelvärdig och existerar för alla reella värden av argumentet. $x$

Typ av rotfunktion	Domän	Värdeintervall	Övriga fastigheter
Jämn grad	$[0;\ +\infty )$	$[0;\ +\infty )$	Funktionen är konvex upp över hela definitionsdomänen
udda grad	$(-\infty ;+\infty )$	$(-\infty ;+\infty )$	Funktionen är udda

För vilken grad som helst är rotfunktionen strikt ökande, kontinuerlig överallt inom dess definitionsdomän. Ogränsat differentierbar överallt utom ursprunget, där derivatan går till oändligheten [11] [12] . Derivaten bestäms av formeln [13] :

{\frac {d}{dx}}{\sqrt[{n}]{x}}={\frac {1}{n{\sqrt[{n}]{x^{n-1}}}} }

. I synnerhet, .

{\frac {d}{dx}}{\sqrt {x}}={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}

Funktionen är oinskränkt integrerbar över hela definitionsdomänen. Den obestämda integralen söks med formeln:

\int {\sqrt[{n}]{x}}\;dx={\frac {\sqrt[{n}]{x^{n+1}}}{1+{\frac {1}{n }}}}+C

. I synnerhet, , där är en godtycklig konstant.

\int {\sqrt {x}}\;dx={\frac {2{\sqrt {x^{3}}}}{3}}+C

C

Obegränsad differentierbarhet och integrerbarhet för en funktion

Formeln för att hitta derivatan av den e ordningen $k$ [14] av funktionen : ${\sqrt[{n}]{x}}$

${\frac {d^{k}}{dx^{k}}}{\sqrt[{n}]{x}}=(-1)^{k}{\frac {\prod _{m=0 }^{k-1}(mn-1)}{{n^{k}}{\sqrt[{n}]{x^{kn-1}}}}}$
var $\ k,n\in \mathbb {N} ,\ x\neq 0$

Formeln för att hitta den e obestämda integralen [15] för funktionen : $k$ ${\sqrt[{n}]{x}}$

$\underbrace {\int \cdots \int } _{k}{\sqrt[{n}]{x}}\ \underbrace {dx\cdots dx} _{k}={\frac {{n^{k} }{\sqrt[{n}]{x^{kn+1)))){\prod _{m=1}^{k}(1+mn)))+C$
var $k,n\in \mathbb {N} ,\ C=konst$

De rätta delarna av formlerna är algebraiska uttryck som alltid finns, med naturliga . Därav vänstern också.

k

Gränskvoter

Här är några användbara gränser som innehåller rötter [16] .

\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{n}}=\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{\ln n}}=1

\lim _{n\to \infty }n\left({\sqrt[{n}]{x}}-1\right)=\lim _{n\to \infty }n\left(1-{\ frac {1}{\sqrt[{n}]{x}}}\right)=\ln x

\lim _{x\to 0}{\frac {{\sqrt[{n}]{(x+1)^{m}}}-1}{x}}={\frac {m}{n} }

\lim _{n\to \infty }\left({\frac {{\sqrt[{n}]{a}}+{\sqrt[{n}]{b}}}{2}}\right) ^{n}={\sqrt {ab}}

Praktisk beräkning av rötter

Funktionen att beräkna kvadrat- och kubrötter finns i många miniräknare; till exempel visar Windows - kalkylatorn motsvarande knappar i läget "Engineering" (vetenskapligt). Om det finns en exponentieringsnyckel på den elektroniska räknaren: för att extrahera roten från det aktuella talet måste du trycka på följande tangenter [17] . $y^{x},$

y^{x}

Hämta rotexponenten tryck på en knapp

1/x

tryck på en knapp

=

För manuell beräkning kan du använda den snabba konvergerande metoden som beskrivs i artikeln " Algoritm för att hitta roten till den n:e graden ". För potenser över tredje, kan den logaritmiska identiteten användas :

{\sqrt[{n}]{x}}=a^{\frac {\log _{a}(x)}{n}}=e^{\frac {\ln(x)}{ n}}

För att extrahera roten måste du hitta logaritmen för rotuttrycket, dividera med rotens styrka och hitta resultatets antilogaritm .

Rötter av komplexa tal

Ursprunget till begreppet ett komplext tal har historiskt sett associerats med önskan att "legalisera" kvadratrötterna av negativa tal. Som det gradvis blev tydligt har komplexa tal rika algebraiska och analytiska egenskaper; i synnerhet är det alltid möjligt att utvinna rötter från dem, även om det är tvetydigt. För rötter i en komplex domän används det radikala tecknet vanligtvis antingen inte eller betecknar inte rotfunktionen, utan mängden av alla rötter; i det senare fallet, för att undvika fel, får det radikala tecknet inte användas i aritmetiska operationer. Ett exempel på ett möjligt fel:

-1=({\sqrt {-1}})^{2}={\sqrt {(-1)^{2}}}={\sqrt {1}}=1

(vilket såklart inte är sant)

Felet uppstod eftersom den icke-aritmetiska kvadratroten är en funktion med flera värden och inte kan användas i aritmetik.

Sätt att hitta

Låt oss skriva ett komplext tal i trigonometrisk form : $z$

z=r\left(\cos {\varphi}+i\sin {\varphi}\right)

Sedan bestäms rötterna av den e graden av De Moivre-formeln (trigonometrisk form) [18] : $n$ $z$

{\sqrt[{n}]{z}}={\color {blå}{\sqrt[{\color {svart}n}]{\color {svart}{r}}}}\left(\cos { \frac {\varphi +2\pi k}{n}}+i\sin {\frac {\varphi +2\pi k}{n}}\right),\;k=0,1,\dots , n-1

eller i exponentiell form :

z=re^{i\varphi }

{\sqrt[{n}]{z}}={\color {blå}{\sqrt[{\color {svart}n}]{\color {svart}{r}}}}e^{\left( i{\frac {\varphi +2\pi k}{n}}\right)},\;k=0,1,\dots ,n-1

Notation

$z=x+iy,\ z\in \mathbb {C}$ (komplext tal), (reell del av ett komplext tal), (imaginär del av ett komplext tal), - imaginär enhet , (modul för ett komplext tal), (argument för ett komplext tal), - basen av den naturliga logaritmen .
$x=\operatörsnamn {Re} (z)\in \mathbb {R}$
$y=\operatörsnamn {Im} (z)\in \mathbb {R}$
$i$
$r=|z|={\color {blå}{\sqrt {\color {svart}{x^{2}+y^{2))))}$
$\varphi =\operatörsnamn {arg} z=\operatörsnamn {arctg} {\frac {y}{x))$
$e$

Potensroten av ett komplext tal som inte är noll har värden (detta är en konsekvens av algebras grundläggande sats ), och de är alla distinkta. Värdet på roten som erhålls med kallas ofta för principal . $n$ $n$ $k=0$

Eftersom modulen är densamma för alla värden av roten (den definieras som den aritmetiska roten av modulen för det ursprungliga komplexa talet), och endast dess argument ändras , är alla rotvärden placerade på det komplexa planet på en cirkel med radie centrerad vid origo. Rötterna delar denna cirkel i lika delar. $n$ ${\color {blå}{\sqrt[{\color {svart}n}]{\färg {svart}{r))))$ $n$

Exempel

Låt oss hitta . Eftersom vi enligt formeln får: ${\sqrt {-4}}$ $-4=4(\cos {\pi }+i\sin {\pi }),$

{\sqrt {-4}}=2\left(\cos {\frac {\pi +2\pi k}{2}}+i\sin {\frac {\pi +2\pi k}{2} }\höger),\;k=0,1

När vi får den första roten , när vi får den andra roten $k=0$ $2i$ $k=1$ $(-2i).$

Ett annat exempel: hitta . Låt oss representera det radikala uttrycket i trigonometrisk form: ${\sqrt[{4}]{-16}}$

-16=16\ (\cos(\pi +2k\pi )+i\sin(\pi +2k\pi ))

Enligt Moivre-formeln får vi:

z_{k}={\sqrt[{4}]{-16}}={\sqrt[{4}]{16}}\left(\cos {\frac {\pi +2k\pi }{4} }+i\sin {\frac {\pi +2k\pi }{4}}\right)

Som ett resultat har vi fyra rotvärden [19] :

z_{0}=2\left(\cos {\frac {\pi }{4))+i\sin {\frac {\pi}{4))\right)={\sqrt {2))\ ( 1+i)

z_{1}=2\left(\cos {\frac {3\pi }{4}}+i\sin {\frac {3\pi}{4}}\right)={\sqrt {2}} \ (-1+i)

z_{2}=2\left(\cos {\frac {5\pi }{4}}+i\sin {\frac {5\pi }{4}}\right)=-{\sqrt {2} }\ (1+i)

z_{3}=2\left(\cos {\frac {7\pi }{4}}+i\sin {\frac {7\pi}{4}}\right)={\sqrt {2}} \(1-i)

Du kan skriva det sammanfattande svaret som: ${\sqrt[{4}]{-16}}={\sqrt {2}}\ (\pm 1\pm i)$

Komplex rotfunktion och Riemann-yta

Betrakta den komplexa funktionen av roten till den e graden: Enligt vad som sägs ovan är denna funktion en funktion med flera värden (mer exakt, -värderad) och detta skapar olägenheter i dess studier och tillämpning. I komplex analys , istället för att överväga funktioner med flera värden på det komplexa planet , togs ett annat beslut: att betrakta funktionen som enkelvärdig, men definierad inte på planet, utan på ett mer komplext grenrör , som kallas Riemann yta [20] . $n$ $w={\sqrt[{n}]{z}}.$ $n$

Riemannyta för komplex kvadratrot
Riemannyta för 4:e gradens komplex rot

För en komplex rotfunktion av den e graden består dess Riemann-yta (se figurerna) av grenar ( ark ) anslutna på ett spiralformigt sätt, med det sista bladet kopplat till det första. Denna yta är kontinuerlig och enkelt sammankopplad . Ett av arken innehåller huvudvärdena för roten som erhålls som den analytiska fortsättningen av den verkliga roten från den positiva strålen på den verkliga axeln. $n$ $n$

För enkelhetens skull beskriver vi kvadratrotens komplexa funktion. Dess Riemann-yta består av två ark. Det första arket kan representeras som ett komplext plan med en positiv stråle av den verkliga axeln utskuren. Värdena för rotfunktionen på detta blad har halva argumentet , och så fyller de den övre delen av det komplexa värdeplanet. På snittet limmas det första arket till det andra, och funktionen fortsätter kontinuerligt genom snittet till det andra arket, där dess värden fyller den nedre delen av det komplexa värdeplanet. Den återstående fria början av det första arket och slutet av det andra limmas också ihop, varefter den resulterande funktionen på Riemannytan blir envärdig och överallt kontinuerlig [20] . $w$ $z$

Funktionens enda nolla (av första ordningen) erhålls vid . Singular punkter: och (grenpunkter av oändlig ordning) [20] . Begreppet förgreningspunkt innebär att en sluten kontur i närheten av noll oundvikligen innehåller en övergång från blad till blad. $z=0$ $z=0$ $z=\infty$

På grund av att den är helt enkelt ansluten, är Riemann-ytan av roten en universell täckning [21] för det komplexa planet utan en punkt . $0$

Variationer och generaliseringar

Den e roten av är en lösning på ekvationen , och i princip kan den definieras överallt där en sådan ekvation är vettig. Oftast betraktas sådana generaliseringar i algebraiska ringar . Generaliserade kvadratrötter är de bäst studerade. $n$ $a$ $x^n=a$

Om ringen är en integritetsdomän kan det finnas antingen två eller ingen av kvadratrötterna av ett element som inte är noll. Faktum är att om det finns två rötter , då varifrån: , det vill säga på grund av frånvaron av nolldelare , . Mer generellt, när ringen har nolldelare eller är icke- kommutativ , kan det finnas hur många rötter som helst. $a, b,$ $a^{2}=b^{2},$ $(ab)(a+b)=0$ $a=\pm b$

I talteorin anses en ändlig ring av rester modulo : om jämförelsen har en lösning, kallas heltalet en rest av grad n (annars en icke- rest av grad n ). Lösningen , om den finns, är den kompletta analogen till den n :te roten av ett heltal . De vanligaste fallen är [22] : $m$ $x^{n}\equiv a{\pmod {m))$ $a$ $x$ $a$

$n=2$ ( kvadratiska rester )
$n=3$ (kubikavdrag)
$n=4$ (biquadratiska rester)

Rötterna för quaternions har mycket gemensamt med komplexa, men det finns också betydande egenskaper. Kvadratkvaternionroten har vanligtvis 2 värden, men om rotuttrycket är ett negativt reellt tal, så finns det oändligt många värden. Till exempel bildar kvadratrötterna av en tredimensionell sfär som definieras av formeln [23] : $-ett$

\{ai+bj+ck\mid a^{2}+b^{2}+c^{2}=1\}\,.

För ringen av kvadratmatriser är det bevisat att om matrisen är positiv definitiv , så existerar den positiva bestämda kvadratroten av matrisen och är unik [24] . För matriser av andra typer kan det finnas valfritt antal rötter (inklusive inga).

Kvadratrötter introduceras också för funktioner [25] , operatorer [26] och andra matematiska objekt.

Historik

Utveckling av konceptet

De första problemen relaterade till att extrahera kvadratroten hittades i babyloniska matematikers verk (ingenting är känt om det forntida Egyptens prestationer i detta avseende). Bland sådana uppgifter [27] :

Tillämpning av Pythagoras sats för att hitta sidan av en rätvinklig triangel givet de andra två kända sidorna.
Hitta sidan på en kvadrat vars area är angiven.
Lösning av andragradsekvationer .

Babyloniska matematiker (II årtusende f.Kr.) utvecklade en speciell numerisk metod för att extrahera kvadratroten. Den initiala approximationen för beräknades utifrån det naturliga talet närmast roten (nedåt) . Representerar det radikala uttrycket i formen: , vi får: , sedan tillämpades en iterativ förfiningsprocess, motsvarande Newtons metod [28] : ${\sqrt {a}}$ $n$ $a=n^{2}+r$ $x_{0}=n+{\frac {r}{2n))$

x_{n+1}={\frac {1}{2}}~\left(x_{n}+{\frac {a}{x_{n}}}\right)\

Iterationerna i denna metod konvergerar mycket snabbt. För , till exempel, och vi får en sekvens av approximationer: ${\sqrt {5}}$ $a=5;\;n=2;\;r=1;\ x_{0}={\frac {9}{4))=2{,}25,$

x_{1}={\frac {161}{72}}=2{,}23611;\;x_{2}={\frac {51841}{23184}}=2{,}2360679779

I slutvärdet är alla siffror korrekta utom den sista.

Liknande problem och metoder finns i den forntida kinesiska " Matematik i nio böcker " [29] . De gamla grekerna gjorde en viktig upptäckt: - ett irrationellt tal . En detaljerad studie av Theaetetus från Aten (300-talet f.Kr.) visade att om roten av ett naturligt tal inte är helt extraherat, så är dess värde irrationellt [30] . ${\sqrt {2}}$

Grekerna formulerade problemet med att fördubbla kuben , vilket gick ut på att konstruera en kubrot med hjälp av en kompass och räta . Problemet visade sig vara olösligt. Numeriska algoritmer för att extrahera kubroten publicerades av Heron (i avhandlingen " Metric ", 1:a århundradet e.Kr.) och den indiske matematikern Aryabhata I (5:e århundradet) [31] .

Algoritmer för att extrahera rötter av vilken grad som helst från ett heltal, utvecklade av indiska och islamiska matematiker, förbättrades i det medeltida Europa. Nicholas Orem (XIV-talet) var den förste att tolka [32] roten till den th graden som exponentiering . $n$ ${\frac {1}{n}}$

Efter uppkomsten av Cardano-formeln (XVI-talet) började användningen av imaginära siffror i matematik , förstås som kvadratrötter av negativa tal [33] . Grunderna för att arbeta med komplexa tal utvecklades på 1500-talet av Rafael Bombelli , som också föreslog en originalmetod för att beräkna rötter (med hjälp av fortsatta bråk ). Upptäckten av Moivre-formeln (1707) visade att det alltid är möjligt att extrahera en rot av vilken grad som helst från ett komplext tal och inte leder till en ny typ av tal [34] .

Komplexa rötter av godtycklig grad studerades på djupet av Gauss i början av 1800-talet , även om de första resultaten beror på Euler [35] . En extremt viktig upptäckt ( Galois ) var beviset på det faktum att inte alla algebraiska tal (rötter till polynom) kan erhållas från naturliga tal med hjälp av fyra operationer av aritmetik och rotextraktion [36] .

Termens etymologi och symbolikens ursprung

Termen rot har en lång och komplicerad historia. De gamla grekerna förstod utvinningen av kvadratroten strikt geometriskt: som att hitta sidan av kvadraten efter dess kända area. Efter att ha översatts till sanskrit blev det grekiska ordet för "sida" " mula " (bas). Ordet " mula " hade också betydelsen av "rot", så när indiska siddhantas översattes till arabiska användes termen " jizr " (växtrot). Därefter fixades ordet " radix " , med liknande betydelse , i latinska översättningar från arabiska, och genom dem i rysk matematisk terminologi ("rot", "radikal") [37] .

Medeltida matematiker (till exempel Cardano ) betecknade kvadratroten [38] med symbolen R x , en förkortning för ordet "radix". Den moderna notationen användes först av den tyske matematikern Christoph Rudolf , från skolan för kossister (det vill säga algebraister), 1525 [39] . Denna symbol kommer från den stiliserade första bokstaven i samma ord " radix ". Linjen ovanför det radikala uttrycket saknades till en början; det introducerades senare av Descartes (1637) för ett annat syfte (istället för parenteser), och detta särdrag slogs snart samman med rotens tecken.

Exponenten dök upp i rottecknet tack vare Wallis och Newtons " Universal Arithmetic " (XVIII-talet) [40] .

Se även

Algoritm för att hitta roten till den n:e graden
Exponentiering
Roten ur
Rötter från enhet
kubikroten
Logaritm
Grundsats för algebra
Power funktion

Litteratur

Vygodsky M. Ya. Handbok i elementär matematik . - ed. 25:e. - M .: Nauka, 1978. - ISBN 5-17-009554-6 .
Zaitsev V. V., Ryzhkov V. V., Skanavi M. I. Elementär matematik. Upprepa kursen. – Tredje upplagan, stereotypt. — M .: Nauka, 1976. — 591 sid.
Matematikens historia, i tre volymer / Redigerad av A. P. Yushkevich . - M . : Nauka, 1970-1972.
Korn G., Korn T. Handbok i matematik (för forskare och ingenjörer) . - 2:a uppl. — M .: Nauka, 1970. — 720 sid.
Mordkovich A. G. Algebra och början av analys. Lärobok för årskurs 10-11, del 1. - utg. 4:a. — M .: Mnemozina, 2003. — 376 sid.
Sveshnikov A. G., Tikhonov A. N. Teori om funktioner för en komplex variabel. — M .: Nauka, 1967. — 304 sid.
Fikhtengol'ts G. M. Kurs för differential- och integralkalkyl. - ed. 6:a. — M .: Nauka, 1966. — 680 sid.

Anteckningar

↑ Rot // Mathematical Encyclopedia (i 5 volymer) . - M . : Soviet Encyclopedia , 1982. - T. 3.
↑ 1 2 Elementär matematik, 1976 , sid. 49.
↑ Korn G., Korn T. Handbook of Mathematics, 1970 , sid. 33.
↑ Skanavi M. I. Elementär matematik. P. 1.11. S. 49.
↑ 1 2 Vygodsky M. Ya. Handbook of elementary mathematics, 1978 , sid. 64.
↑ Aritmetisk rot // Mathematical Encyclopedia (i 5 volymer) . - M . : Soviet Encyclopedia , 1982. - T. 1.
↑ Fikhtengolts G. M. Course of differential and integral calculus, 1966 , T. I, S. 35-36.
↑ Vygodsky M. Ya. Handbook of elementary mathematics, 1978 , sid. 141-143.
↑ Algebra och början av analys. Lärobok för årskurs 10-11, red. A. N. Kolmogorova. M.: Upplysningen, 2002, S. 209.
↑ 1 2 Vygodsky M. Ya. Handbook of elementary mathematics, 1978 , sid. 183.
↑ Fikhtengolts G. M. Course of differential and integral calculus, 1966 , T. I, S. 194, 198.
↑ Mordkovich A. G., 2003 , sid. 236-238.
↑ Fikhtengolts G. M. Course of differential and integral calculus, 1966 , T. I, S. 215.
↑ Fikhtengolts G. M. Course of differential and integral calculus, 1966 , T. I, S. 233, special case for . $\mu ={\frac {1}{n}}.$
↑ Inte att förväxla med flera integraler . Deras beteckningar är ganska lika, men den -th integralen är obestämd , medan -foldintegralen är bestämd . $k$ $k$
↑ Fikhtengolts G. M. Course of differential and integral calculus, 1966 , Volym I, s. 67, 131-132, 164, 166-167.
↑ Algebra. Årskurs 9 Lärobok för läroanstalter / Ed. S. A. Teljakovskij. - Ed. 18:e. - M . : Education, 2011. - S. 53. - ISBN 978-5-09-025168-6 .
↑ Korn G., Korn T. Handbook of Mathematics, 1970 , sid. 36-37.
↑ Zaitsev V.V., Ryzhkov V.V., Skanavi M.I. Elementary Mathematics. Upprepa kursen. - tredje upplagan, stereotyp. - M. : Nauka, 1976. - S. 68. - 591 sid.
↑ 1 2 3 Sveshnikov A. G., Tikhonov A. N. Theory of functions of a complex variabel, 1967 , sid. 96-99, 28-29.
↑ Boltjanskij V. G. , Efremovich V. A. Visuell topologi . - M . : Nauka, 1982. - S. 112. - (Quantum Library, nummer 21).
↑ Vinogradov I. M. Grunderna för talteorin . - M. - L. : GITTL, 1952. - S. 71. - 180 sid.
↑ Porteous, Ian R. Clifford Algebras och de klassiska grupperna. Cambridge, 1995, sid 60.
↑ Se till exempel: Gantmakher F. R. Theory of Matrices. Moskva: GITTL, 1953, s. 212-219, eller: V. Voevodin, V. Voevodin. Encyclopedia of Linear Algebra. Elektroniskt system LINEAL. SPb.: BHV-Petersburg, 2006.
↑ Se till exempel: Ershov L. V., Raikhmist R. B. Konstruktion av grafer för funktioner. M .: Education, 1984, eller: Kaplan I. A. Praktiska klasser i högre matematik. Kharkov: Publishing House of KhGU, 1966.
↑ Se till exempel: Hutson W., Pim J. Applications of functional analysis and operator theory. M.: Mir, 1983, eller: Halmosh P. Hilbert utrymme i problem. M.: Mir, 1970.
↑ History of Mathematics, 1970-1972 , volym I, s. 42-46.
↑ History of Mathematics, 1970-1972 , volym I, S. 47.
↑ History of Mathematics, 1970-1972 , volym I, s. 169-171.
↑ Bashmakova I. G. Bildning av algebra (från de matematiska idéernas historia). - M . : Kunskap, 1979. - S. 23. - (Nytt i livet, vetenskapen, tekniken. Matematik, kybernetik, nr 9).
↑ Abhishek Parakh. Ariabhatas rotextraktionsmetoder // Indian Journal of History of Science. - 2007. - Utgåva. 42.2 . - S. 149-161 . Arkiverad från originalet den 9 juni 2010.
↑ History of Mathematics, 1970-1972 , volym I, s. 275-276.
↑ History of Mathematics, 1970-1972 , volym I, s. 296-298.
↑ History of Mathematics, 1970-1972 , Volym III, s. 56-59.
↑ History of Mathematics, 1970-1972 , Volym III, S. 62.
↑ Kolmogorov A. N., Yushkevich A. P. (red.). 1800-talets matematik. Matematisk logik, algebra, talteori, sannolikhetsteori. - M. : Nauka, 1978. - T. I. - S. 58-66.
↑ History of Mathematics, 1970-1972 , volym I, s. 185.
↑ Nikiforovsky V. A. Från historien om algebra under XVI-XVII-talen. - M. : Nauka, 1979. - S. 81. - 208 sid. — (Vetenskapens och teknikens historia).
↑ Matematiska tecken // Mathematical Encyclopedia . - M . : Soviet Encyclopedia , 1982. - T. 2.
↑ Alexandrova N. V. Historia om matematiska termer, begrepp, notation: Ordbok-referensbok, ed. 3:a . - St Petersburg. : LKI, 2008. - S. 82 . — 248 sid. - ISBN 978-5-382-00839-4 .