Klein-Gordons ekvation

Klein-Gordon-ekvationen (ibland Klein-Gordon-Fock , Klein-Fock [1] [2] , Schrödinger-Gordon [3] ) är en relativistisk version av Schrödinger-ekvationen :

\partial _{x}^{2}\psi +\partial _{y}^{2}\psi +\partial _{z}^{2}\psi -{1 \over c^{2 }}\partial _{t}^{2}\psi -{m^{2}c^{2} \over \hbar ^{2}}\psi =0

eller (med hjälp av enheter, där , är d'Alembert-operatören ): $\hbar=c=1$ $\fyrkant\$

(\square \ -m^{2})\psi =0

Används för att beskriva snabbrörliga partiklar som har en massa (vilomassa). Strikt tillämplig på beskrivningen av skalära massiva fält (som Higgsfältet ). Kan generaliseras till partiklar med heltals- och halvheltalsspinn [4] . Bland annat är det tydligt att ekvationen är en generalisering av vågekvationen , lämplig för att beskriva masslösa skalära och vektorfält.

Mekaniska system (verkliga eller imaginära) som beskrivs av Klein-Gordon-Fock-ekvationen kan vara enkla modifieringar av system som beskrivs av vågekvationen, till exempel:

i det endimensionella fallet är det en sträckt tung tråd som ligger (limmad) på ett elastiskt (Hooke) foder.
en makroskopiskt isotropisk kristall, vars varje atom , förutom att binda till angränsande atomer, också är i en kvadratisk potential väl fixerad i rymden.
det är mer realistiskt, om vi talar om verkliga kristaller, att överväga de tvärgående vibrationernas lägen, där till exempel närliggande atomlager vibrerar i motfas: sådana lägen (i den linjära approximationen) kommer att lyda den tvådimensionella Klein- Gordon-Focks ekvation i koordinater som ligger i skiktens plan.

En ekvation där den sista ("massa") termen har ett tecken som är motsatt den vanliga beskriver en tachyon i teoretisk fysik . Denna version av ekvationen tillåter också en enkel mekanisk implementering.

Klein-Gordon-Fock-ekvationen för en fri partikel (som ges ovan) har en enkel lösning i form av sinusformade plana vågor .

Om de rumsliga derivatorna ställs in på noll (vilket inom kvantmekaniken motsvarar partikelns nollmomentum), har vi för den vanliga Klein-Gordon-Fock-ekvationen en harmonisk oscillator med frekvens , som motsvarar en viloenergi som inte är noll bestäms av massan av partikeln. Tachyonversionen av ekvationen i det här fallet är instabil, och dess lösning inkluderar, i det allmänna fallet, en oändligt ökande exponent. $\pm mc^{2}/\hbar$ $m$

Historik

Ekvationen, uppkallad efter Oskar Klein och Walter Gordon , skrevs ursprungligen av Erwin Schrödinger innan han skrev den icke-relativistiska ekvationen som nu bär hans namn. Han övergav det (utan att publicera det) eftersom han inte kunde inkludera elektronens spinn i denna ekvation. Schrödinger gjorde en förenkling av ekvationen och hittade "sin" ekvation.

1926 , kort efter publiceringen av Schrödinger-ekvationen , skrev Fock [5] [6] en artikel om dess generalisering till fallet med magnetfält, där krafterna berodde på hastigheten, och härledde självständigt denna ekvation. Både Klein [7] (hans verk dök upp något tidigare, men gick ur tryck efter att Focks artikel accepterats för publicering) och Fock använde Kaluza-Klein-metoden . Fock introducerade också en mätteori för vågekvationen.

Gordons papper (tidigt 1926) ägnades åt Compton-effekten [8] .

Slutsats

(Här används enheter, där ). $\hbar=c=1$

Schrödinger-ekvationen för en fri partikel skrivs så här:

{\frac {{\hat {\mathbf {p} }}^{2}}{2m}}\psi =i\partial _{t}\psi

var är momentumoperatorn ; Operatören kommer, i motsats till Hamiltonian, helt enkelt kallas energioperatören. ${\hat {{\mathbf {p}}}}=-i{\mathbf {\nabla }}$ ${\hat {E}}=i\partial _{t}$

Schrödinger-ekvationen är inte relativistiskt samvariant, det vill säga den stämmer inte överens med den speciella relativitetsteorin (SRT).

Vi använder den relativistiska spridningen (kopplande energi och momentum) relation (från SRT ):

p^{2}+m^{2}=E^{2}

Genom att helt enkelt byta ut den kvantmekaniska momentumoperatorn och energioperatorn [9] får vi:

((-i\mathbf {\nabla} )^{2}+m^{2})\psi =i^{2}\partial _{t}^{2}\psi

som kan skrivas i kovariant form enligt följande:

(\square \ -m^{2})\psi =0

var är d'Alembert-operatören . $\square \ =\nabla ^{2}-\partial _{t}^{2}$

Lösning av Klein-Gordon-Fock-ekvationen för en fri partikel

Sök efter en lösning på Klein-Gordon-Focks ekvation för en fri partikel

\mathbf {\nabla } ^{2}\psi -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}} }\psi ={\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\psi

kan, som för alla linjära differentialekvationer med konstanta koefficienter, i form av en superposition (det vill säga vilken, finit eller oändlig linjär kombination som helst) av plana vågor:

{\displaystyle \psi (\mathbf {r} ,\;t)=e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)))

genom att ersätta varje sådan våg i ekvationen får vi villkoret på och : ${\mathbf k}$ $\omega$

-k^{2}+{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}={\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{ 2}}}

En plan våg, som du lätt kan se, beskriver ett rent tillstånd med en viss energi och rörelsemängd (det vill säga det är en egenfunktion av motsvarande operatorer). Energin och momentumet (det vill säga egenvärdena för dessa operatorer), baserat på detta, kan helt enkelt beräknas för det, som i fallet med en icke-relativistisk partikel:

\langle \mathbf {p} \rangle =\langle \psi |{\hat {\mathbf {p} }}|\psi \rangle =\langle \psi |-i\hbar \mathbf {\nabla } |\psi \rangle =\hbar \mathbf {k}

\langle E\rangle =\langle \psi |{\hat {E))|\psi \rangle =\langle \psi |i\hbar {\frac {\partial }{\partial t))|\ psi \rangle =\hbar \omega

Det hittade förhållandet och sedan (igen) ger ekvationen för sambandet mellan energin och rörelsemängden hos en relativistisk partikel med massa som inte är noll, känd från klassikerna: $k$ $\omega$

{\displaystyle \langle E^{2}\rangle =m^{2}c^{4}+\langle \mathbf {p} ^{2}\rangle c^{2))

Dessutom är det tydligt att förhållandet för medelvärden kommer att vara uppfyllt inte bara för tillstånd med en viss energi och momentum, utan också för vilken som helst av deras superpositioner, det vill säga för varje lösning av Klein-Gordon-Fock-ekvationen ( vilket i synnerhet säkerställer att detta förhållande också uppfylls i klassisk gräns).

För masslösa partiklar kan vi lägga in den sista ekvationen. Då får vi för masslösa partiklar dispersionslagen (det är också förhållandet mellan energi och rörelsemängd) i formen: $m=0$

{\displaystyle \langle E^{2}\rangle =\langle \mathbf {p} ^{2}\rangle c^{2))

Med hjälp av grupphastighetsformeln är det inte svårt att få de vanliga relativistiska formlerna för förhållandet mellan rörelsemängd och energi med hastighet; i princip kan samma resultat uppnås helt enkelt genom att beräkna kommutatorn för Hamiltonian med koordinaten; men i fallet med Klein–Gordon–Fock-ekvationen, stöter vi på svårigheter att skriva Hamiltonian explicit [10] (endast Hamiltonianens kvadrat är uppenbar). ${\mathbf {v}}_{{gr}}=\partial \omega /\partial {\mathbf {k}}\$

Anteckningar

↑ Demkov Yu. N. Utveckling av teorin om elektron-atomkollisioner vid Leningrad University Arkivexemplar av 17 maj 2014 vid Wayback Machine .
↑ Faddeev L. D. Nytt liv med fullständig integrerbarhet // Phys. - 2013. - Volym 183. - Nr 5. - S. 490.
↑ G. Wentzel Introduktion till kvantteorin för vågfält. - M., L.: OGIZ, 1947. - S. 32
↑ se Bogolyubov N. N., Shirkov D. V. Introduktion till teorin om kvantiserade fält. - § 4, 6.
↑ Vladimir Fock Arkiverad 2 januari 2015 på Wayback Machine // Zeitschrift für Physik 38 (1926) 242.
↑ Vladimir Fock // Zeitschrift fur Physik 39 (1926) 226.
↑ Klein O. Quantentheorie und fünfdimensionale Relativitätstheorie Arkiverad 14 oktober 2017 på Wayback Machine // Zeitschrift für Physik 37:895-906. — 1926.
↑ Gordon W. Der Comptoneffekt nach der Schrödingerschen Theorie Arkiverad 10 juni 2017 på Wayback Machine (The Compton effect in Schrödinger theory) // Zeitschrift für Physik. — v. 40.-iss. 1.-s. 117-133 (1926). - DOI 10.1007/BF01390840 .
↑ Man kan helt enkelt ta roten till operatorn inom parentes på vänster sida av ekvationen $((-i\mathbf {\nabla} )^{2}+m^{2})\psi =i^{2}\partial _{t}^{2}\psi$ , det vill säga att hitta Hamiltonian på detta sätt; då skulle den första derivatan med avseende på tid förbli på höger sida, och analogin med Schrödinger-ekvationen skulle vara ännu mer omedelbar och direkt. Det hävdas dock att för fallet med ett skalärt (eller vektor) fält är det omöjligt att göra detta på ett sådant sätt att den resulterande Hamiltonian är lokal. För fallet med en bispinor lyckades Dirac alltså få en lokal (och till och med med derivator av endast första ordningens) Hamiltonian, och fick därigenom den så kallade Dirac-ekvationen (vilka alla lösningar i Minkowski-rummet för övrigt också är lösningar av Klein-Gordon-ekvationen, men inte vice versa; och i krökt rymd blir skillnaden mellan ekvationerna tydlig). $\psi$ $\psi$
↑ se not 2.

Se även

Länkar

Linjär Klein-Gordon-ekvation på EqWorld: The World of Mathematical Equations.
Icke-linjär Klein-Gordon-ekvation på EqWorld: The World of Mathematical Equations.

Matematisk fysik

Typer av ekvationer

Gränsförhållanden

Ekvationer av matematisk fysik

Diffusion och konvektion	Värmeekvationen Diffusionsekvation Mason-Weavers ekvation
Hydrodynamik	Överföringsekvation Navier-Stokes ekvationer Eulers ekvation Gromeka-Lamb ekvation Vortex ekvation Burgers ekvation grunt vatten ekvationer Korteweg-de Vries ekvation
Elektromagnetism	Maxwells ekvationer Helmholtz ekvation Landau-Lifshitz ekvation Avskärmad Poisson-ekvation
Kvantmekanik	Schrödinger ekvation Heisenbergs ekvation Rarita-Schwingers ekvation Hartrees ekvation Dirac ekvation Klein-Gordons ekvation
Allmänna modeller	Kontinuitetsekvation vågekvationen Fokker-Plancks ekvation Poissons ekvation

Lösningsmetoder

Metoder för att lösa differentialekvationer

Rutnätsmetoder

Finita elementmetoder	Finita elementmetod Galerkin metod Diskontinuerlig Galerkin-metod Flerskalig finita elementmetod Multigrid-metod
Andra metoder	Ändlig skillnadsmetod Metod med ändlig volym Godunovs metod Gränselementmetod

Icke-grid-metoder

Studie av ekvationer

Relaterade ämnen