F₄ (matematik)

I matematik är F 4 namnet på en av de fem (kompakta eller komplexa) speciella enkla Lie-grupperna , samt dess Lie-algebra . F 4 har rang 4 och dimension 52. Gruppen F 4 är helt enkelt sammankopplad, och dess yttre automorfismgrupp är trivial. Den enklaste exakta linjära representationen av gruppen F 4 , liksom dess Lie-algebra, är 26-dimensionell och irreducerbar. ${\mathfrak {f}}_{4}$

Den kompakta reella formen av den (komplexa) gruppen F 4 är isometrigruppen i det 16-dimensionella Riemannska grenröret känd som "oktonionprojektivplanet " , OP2 . Detta kan visas med en allmän teknik som använder den konstruktion som kallas den magiska kvadraten , utvecklad av G. Freudenthal och J. Tits .

Det finns 3 riktiga Lie-grupper med algebra : kompakt, delad och tredje. ${\mathfrak {f}}_{4}$

Lie-algebra F 4 kan erhållas genom att till den 36-dimensionella Lie-algebra lägga till 16 generatorer som transformerar som spinorer , liknande hur det görs i konstruktionen av E 8 . ${\mathfrak {so}}(9)$

Algebra

Rotvektorer F 4

(\pm 1,\pm 1,0,0)

(\pm 1.0,\pm 1.0)

(\pm 1,0,0,\pm 1)

(0,\pm 1,\pm 1,0)

(0,\pm 1,0,\pm 1)

(0,0,\pm 1,\pm 1)

(\pm 1,0,0,0)

(0,\pm 1,0,0)

(0,0,\pm 1,0)

(0,0,0,\pm 1)

\left(\pm {\frac {1}{2)),\pm {\frac {1}{2)),\pm {\frac {1}{2)),\pm {\frac {1}{2}}\right)

och enkla positiva rotvektorer

(0,1,-1,0)

(0,0,1,-1)

(0,0,0,1)

\left({\frac {1}{2)),-{\frac {1}{2)),-{\frac {1}{2)),-{\frac {1}{2 }}\höger)

Weyl / Coxeter-gruppen

För denna grupp är detta symmetrigruppen för hyperoktaedern .

Cartan matris

{\begin{pmatrix}2&-1&0&0\\-1&2&-2&0\\0&-1&2&-1\\0&0&-1&2\end{pmatrix}}

Symmetrigitter F 4

Ett 4-dimensionellt kroppscentrerat kubiskt gitter har F 4 som en punktsymmetrigrupp. Denna förening av två hyperkubiska gitter, vars punkter ligger i mitten av den andras hyperkuber, bildar en ring som kallas Hurwitz quaternion ring . De 24 Hurwitz-kvarternionerna med norm 1 bildar en hyperoktaeder .

Källor

John Baez , The Octonions , Avsnitt 4.2: F 4 , Bull. amer. Matematik. soc. 39 (2002), 145-205 . Online HTML-version (eng.) (Åtkomstdatum: 26 december 2009)

Exceptionella enkla Lie-grupper
G2 F4 E6 E7 E₈

Gruppteori
Grundläggande koncept	Undergrupp Normal undergrupp Faktorgrupp Arbete direkt halvdirekt fri
Algebraiska egenskaper	kommutativ grupp Cyklisk grupp beställd grupp Förvandla grupp Lösbar grupp Schreiers Lemma Lagranges sats Sylows satser Klassificering av enkla ändliga grupper
ändliga grupper	Finit cyklisk grupp C n Symmetrisk grupp S n Dihedral grupp D n Alternerande grupp A n Klein Quadruple Group Mathieu-grupper M11 _ M12 _ M22 _ M23 _ M24 _ Conway grupper Co 1 Co2 _ Co3 _ Janko grupper J1 _ J2 _ J3 _ J4 _ Fisher grupper F22 _ F 23 F24 _ Monster (M)
Topologiska grupper	Lögngrupper Ortogonal grupp O(n) Special ortogonal grupp SO(n) Enhetsgrupp U(n) Särskild enhetlig grupp SU(n) Sympletisk grupp Sp(n) Exceptionellt enkelt Lorentz grupp Poincaré-gruppen
Algoritmer på grupper	Schreier - Sims Todd - Coxeter Fouriertransform