Affint utrymme

Ett affint utrymme är ett matematiskt objekt (rymd) som generaliserar vissa egenskaper hos euklidisk geometri . Till skillnad från ett vektorrum fungerar ett affint utrymme på inte ett, utan två typer av objekt: "vektorer" och "punkter".

Definition

Det affina utrymmet som är associerat med ett vektorrum över ett fält är en uppsättning med en fri transitiv verkan av en additiv grupp (om fältet inte är explicit specificerat, antas det att detta är fältet för reella tal ). $V$ $\mathbb {K}$ $A$ $V$ $\mathbb {K}$

Kommentar

Den här definitionen betyder [1] att operationen att lägga till rymdelement (kallade punkter i ett affint rum) med vektorer från ett rum (vilket kallas rymden av fria vektorer för ett affint rum ) definieras, vilket uppfyller följande axiom: $A$ $V$ $A$

$(M+v)+w=M+(v+w)\in A$ för alla och alla ; $M\in A$ $v,w\in V$
$M+0=M$ för alla ; $M\in A$
för två punkter finns det en unik vektor (betecknad med eller ) med egenskapen . $M,N\in A$ $v\in V$ $\overrightarrow {MN}$ $\overrightarrow {NM}$ $N=M+v$

Verkningssättet på betecknas således med . $v\in V$ $M\in A$ $M+v$

Affint underutrymme

Ett affint delrum av ett affint rum är en delmängd som är en förskjutning av något linjärt delrum , det vill säga någon gång . Uppsättningen definierar unikt, medan den endast definieras upp till ett skift av en vektor från . Dimensionen definieras som dimensionen för delutrymmet . $A$ $A'\subset A$ $V'\subset V$ $A'=x+V'$ $x\i A$ $A'$ $V'$ $x$ $V'$ $A'$ $V'$

Om och , sedan om och bara om och . $A_{1}=v_{1}+V'$ $A_{2}=v_{2}+V'$ $A_{1}=A_{2}$ $v_{1}-v_{2}\in V'$

Skärningen mellan affina delrum är antingen ett affint delrum eller tomt. Om den inte är tom, så uppfyller dess dimension förhållandet

\dim(A_{1}\cap A_{2})\geq \dim A_{1}+\dim A_{2}-\dim A

Ett affint delrum som ett delrum av kodimension 1 motsvarar kallas ett hyperplan .

Affina delrum i ett linjärt rum (försedda med en standard affin struktur, verkan på sig själv genom addition) övervägs ofta. De kallas ibland linjära grenrör [2] [3] .

Ett sådant affint delrum är ett linjärt delrum om och endast om det innehåller 0.

Relaterade definitioner

Det är möjligt att betrakta [4] godtyckliga linjära kombinationer av punkter i ett affint utrymme. Men resultatet är vettigt i följande två fall:

kombinationen är en barycentrisk kombination (det vill säga summan av dess koefficienter är 1), och då blir det en punkt från ; $A$
kombination är en balanserad kombination (det vill säga summan av dess koefficienter är 0), och då blir det en vektor från . $V$

I analogi med begreppet linjärt oberoende av vektorer introduceras begreppet affint oberoende av punkter i ett affint utrymme. Nämligen: punkter kallas [5] affint beroende om någon av dem, låt oss säga, kan representeras som en barycentrisk kombination av andra punkter. Annars sägs dessa punkter vara affint oberoende . $P_{0},P_{1},\ldots ,P_{n}$ $P_0$

Villkoret för affint oberoende av punkter kan ges en annan form: påståendet är sant att punkterna i ett affint utrymme är affint oberoende om och endast om det inte finns någon icke-trivial balanserad kombination av dessa punkter lika med nollvektorn [6] .

Dimensionen av ett affint utrymme är [7] per definition av dimensionen för motsvarande utrymme av fria vektorer. I detta fall visar sig antalet punkter i den maximala affint oberoende uppsättningen av punkter i ett affint utrymme vara en större än utrymmets dimension.

Vilken som helst av de maximalt affint oberoende uppsättningarna av punkter i ett affint utrymme kan behandlas som en punktbas (genom att numrera om dessa punkter på ett eller annat sätt).

Vilken punkt som helst i rymden kan representeras som en barycentrisk kombination av punkter som ingår i en punktbas; koefficienterna för denna kombination kallas [8] barycentriska koordinater för den betraktade punkten.

Variationer och generaliseringar

Ett affint mellanrum över en delningsring definieras på liknande sätt .

Anteckningar

↑ Kostrikin, Manin, 1986 , sid. 193.
↑ Ulyanov A.P. Algebra och planets geometri och rymden för fysikstudenter Arkivexemplar daterad 22 september 2018 vid Wayback Machine -föreläsningar för förstaårsstudenter vid NSU:s fysikfakultet.
↑ Dieudonné J. Linjär algebra och elementär geometri. Översatt från franska av G. V. Dorofeev. — M.: Nauka, 1972. — 335 sid.
↑ Kostrikin, Manin, 1986 , sid. 198.
↑ Boltyansky, 1973 , sid. 138.
↑ Alexandrov P. S. , Pasynkov V. A. Introduktion till dimensionsteorin. — M .: Nauka, 1973. — 576 sid. — C. 193.
↑ Boltyansky, 1973 , sid. 135.
↑ Kostrikin, Manin, 1986 , sid. 199.

Litteratur

Beklemishev DV Analytisk geometri och linjär algebra. - M . : Högre skola, 1998. - 320 sid.
Boltyansky VG Optimal kontroll av diskreta system. — M .: Nauka, 1973. — 446 sid.
Kostrikin A. I. , Manin Yu. I. Linjär algebra och geometri. - M. : Nauka, 1986. - 304 sid.
Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Linjär algebra och geometri. - M. : Fizmatlit, 2009. - 511 sid.

Vektorer och matriser

Vektorer

Grundläggande koncept	Vektor i geometri Grund Ortogonal grund Vektorkoordinater Kolinearitet Ortogonalitet Linjärt beroende Kolumnutrymme
Typer av vektorer	Enhet vektor Axiell vektor isotrop vektor Vanligt Kolinearitet Noll vektor Radie vektor Egenvektor
Operationer på vektorer	Skalär produkt vektor produkt blandad produkt Pseudoskalär produkt Dubbelkorsprodukt
Utrymmestyper	vektor utrymme affint utrymme Euklidiskt utrymme Pseudo-euklidiskt utrymme Normerat utrymme Minkowski utrymme

matriser

Grundläggande koncept	Matrismultiplikation Transponerad matris Hermitisk konjugatmatris Symmetrisk matris invers matris Eget värde Karakteristiskt polynom för en matris
Specialmatriser	Identitetsmatris Noll matris Diagonal matris lambda matris
Matrisnedbrytningar	LU-nedbrytning Cholesky nedbrytning QR-sönderdelning LUP-nedbrytning singulärvärdesfaktorisering Spektral nedbrytning av en matris

Övrig

Dimension av utrymme
Utrymmen efter dimension	Nolldimensionell en-dimensionell 2D 3D fyrdimensionell femdimensionell Sexdimensionell Sjudimensionell oktal Niodimensionell n-dimensionell Negativ dimension
Polytoper och figurer	Simplex hyperkub tesserakt Hyperrektangel (ortotop) Semihyperkub Cross-polytope hypersfär
Typer av utrymmen	ändligt dimensionellt utrymme Euklidiskt utrymme affint utrymme projektivt utrymme Gratis modul Grenrör Dimension av en algebraisk variabel rum-tid
Andra dimensionella koncept	Krull dimension Lebesgue dimension Induktiv dimension Bråkdimension ( Minkowski dimension , Hausdorff dimension ) fraktal dimension Grader av frihet
Matte