Åtgärd (fysisk mängd)

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 16 oktober 2020; kontroller kräver 9 redigeringar .

Handling
$S=\int L(q,\;{\dot {q)],\;t)~\mathrm {d} t$
Dimensionera	L2MT -1 _ _
Enheter
SI	J s _
GHS	erg s _
Anteckningar
skalär

Handling i fysiken är en skalär fysisk storhet , som är ett mått på rörelsen i ett fysiskt system . Åtgärden är en matematisk funktion som tar det fysiska systemets bana som argument och returnerar ett reellt tal som ett resultat .

Handling är en av de grundläggande fysiska storheterna, som ingår i den moderna formuleringen av de flesta av de grundläggande fysikaliska teorierna i alla grundläggande sektioner av fysiken, samtidigt som den har stor betydelse i teoretisk fysik . Det kan vara av mindre betydelse i relativt mer tillämpade områden, även om det ofta används där också. Det används lika i kvant, och i klassisk, och i relativistisk fysik .

Inom klassisk mekanik postulerar principen om minsta verkan att ett fysiskt system alltid följer banan med minst verkan.

Inom kvantmekaniken , i formuleringen av teorin i termer av banintegraler , följer ett fysiskt system samtidigt alla möjliga banor, och amplituden för sannolikheten att följa en viss bana bestäms av denna banas verkan. Om den karakteristiska åtgärden är mycket större än Plancks konstant , då är amplituden för den klassiska banan med minst verkan dominant - kvantmekaniken blir alltså klassisk.

Handlingen har den fysiska dimensionen energi · tid = momentum · distans , vilket sammanfaller med dimensionen momentum . Enligt den fysiska innebörden är åtgärden fasen av kvantets " sannolikhetsvåg ", mer exakt är den proportionell mot denna fas (på grund av en annan dimension i traditionella system av fysiska enheter (inklusive SI )): - med en konstant dimensionskoefficient - Plancks konstant . $S = \hbar\varphi$

Om en handling är skriven för något system bestämmer detta i princip både dess klassiska beteende (det vill säga systemets beteende i den klassiska approximationen) och dess kvantbeteende. Den första är genom principen om stationär (minst) handling, den andra är genom Feynman-vägintegralen. Samtidigt är själva handlingen skriven på samma sätt, i samma form, för både det klassiska och kvantfallet, vilket gör det till ett mycket bekvämt verktyg (för kvantisering genom Feynman-integralen behöver du i princip bara känna till handlingen som definieras för vanliga klassiska banor, det vill säga skriven på samma sätt som för den klassiska tillämpningen).

Terminologi

Historiskt sett har terminologin fluktuerat ganska mycket, men det är numera brukligt att kalla kvantitetsåtgärden

S=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}L(q,\;{\dot {q)),\;t)\,dt

eller

S=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}{\bigg (}\summa _{i}p_{i}{\dot {q}}_{i}- H(q,\;p,\;t){\bigg )}\,dt,

var:

$t$ - tid,
${\displaystyle q=\{q_{1},\;q_{2},\;\ldots ,\;q_{N}\))$ är den kompletta uppsättningen koordinater som kännetecknar det dynamiska systemet (dess konfigurationsutrymme ),
${\dot {q}}=\{{\dot {q}}_{1},\;{\dot {q}}_{2},\;\ldots ,\;{\dot { q}}_{N}\}$ är en uppsättning hastigheter ( tidsderivator), $q$
$L$ - Lagrangefunktion , beroende på koordinater, hastigheter, och ibland till och med explicit på tid, i klassisk mekanik sammanfallande med skillnaden mellan kinetiska och potentiella energier; $N$ $N$
$H$ är Hamilton-funktionen , som är systemets totala energi, uttryckt i termer av koordinater, deras konjugerade momenta, och ibland även explicit i termer av tid. $N$ $N$

Båda kvantiteterna sammanfaller i princip, men uttrycks olika - den första i enlighet med den lagrangska formalismen , den andra i enlighet med den Hamiltonska . $S$

En förkortad åtgärd kallas

S_{0}=\int \limits _{A}^{B}\sum _{i}p_{i}\,dq_{i}=\int \limits _{t_{1}}^{ t_{2}}\summa _{i}p_{i}{\dot {q}}_{i}\,dt=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}{\ vec {p}}\cdot {\vec {v}}\,dt,

där notationen sammanfaller med den som används ovan, och uttrycket i den sista integralen är skalärprodukten av rörelsemängds- och hastighetsvektorerna, som i fallet med en enskild partikel kan betraktas i vanlig Newtonsk mening.

I det här avsnittet menar vi generellt generaliserade koordinater ( som inte nödvändigtvis sammanfaller med kartesiska koordinater), generaliserade hastigheter som motsvarar dessa koordinater och momenta kanoniskt konjugerar till dessa koordinater. I ett särskilt fall kan de väljas i form av kartesiska koordinater, då (i mekaniken) är motsvarande impulser de vanliga komponenterna i vektorimpulserna för systemets materialpunkter. $q_{i},\ {\dot {q}}_{i}$ $pi}$

För distribuerade system (till exempel för fält eller elastiska kontinuum ) kan åtgärden vanligtvis skrivas som:

S=\int {\mathcal {L}}(q,\;{\dot {q)),\;x,\;t)\,dVdt

eller

S=\int {\bigg (}\sum _{i}p_{i}{\dot {q}}_{i}-{\mathcal {H}}(q,\;p,\; x,\;t){\bigg )}\,dVdt,

var

${\mathcal {L)],\ {\mathcal {H))$ är densiteterna för Lagrange- och Hamilton-funktionerna, respektive,
$x$ - en punkt i rymden som upptas av ett medium eller fält (ofta - vanligt tredimensionellt utrymme ),
$dV$ är volymelementet i detta utrymme,
$q_{i},\ p_{i}$ är värdena för generaliserade koordinater (till exempel förskjutningar av ett elastiskt medium eller, för ett fält, en fältvariabel, som till exempel elektromagnetisk potential) och generaliserade impulser för en given punkt i ett distribuerat system (medium eller fält). $x$

Integration utförs både i rum och tid. Det totala antalet koordinater och impulser som beskriver systemet, som vi ser, är oändligt i detta fall, eftersom deras antal är ändligt för endast en och själva mängden är oändlig. $q_{i},\ p_{i}$ $x$ $x$

Allmän översikt

Ur en modern synvinkel har handlingen betydelsen av vågfunktionens fas (dock uttrycks den traditionellt - för ett mer direkt samband med klassisk mekanik - i andra enheter, och specifikt , där - handling, - fas in radianer och - Plancks universella konstant ). $S = \hbar\varphi$ $S$ $\varphi$ $\hbar$

Klassisk fysik (mekanik och fältteori) är en högfrekvent och kortvågsapproximation av kvantfysiken, när vågfaserna är mycket stora ( ), vilket innebär att under de givna (”klassiska”) experimentella förhållandena (karakteristiska dimensioner, karakteristiska momenta och karakteristiska energier för problemet under övervägande), kommer kvantkorrigeringar till den klassiska teorin att vara ganska små (i praktiken är de oftast så små att de inte är experimentellt detekterbara). I det här fallet är kvantproblemet som helhet avsevärt förenklat och går över i det klassiska, och man kan använda principen om minsta åtgärd och/eller Hamilton-Jacobis ekvation , där åtgärden fortsätter att spela en nyckelroll. $S/\hbar \gg 1$

Inom kvantfysiken, å andra sidan, när man löser samma problem utan villkor , spelar handlingen en särskilt stor roll i formalismen hos Feynman-vägintegralen. Dessutom är några av resultaten av den klassiska fältteorin ganska direkt överförda i en viss mening till kvantfallet, och eftersom handlingen är ett av de enklaste objekten, manipulationer med den (och framför allt själva skrivningen av handling för ett givet dynamiskt system - ett fält, en partikel, interagerande fält eller partiklar eller andra objekt) är ofta ett av de mest effektiva verktygen för att formulera kvantteorin för olika fält, även om det inte involverar att skriva och arbeta med vägintegral uttryckligen. $S/\hbar \gg 1$

Historik

Maupertuis i verk 1740 (?) , 1741 - 1746 formulerade först principen om minsta verkan för mekanik och föreslog att detta är en universell naturlag, som tolkar optik ( Fermats princip ) i termer av verkan (han använde det som nu brukar kallas förkortad verkan ). Maupertuis var benägen till teologisk tolkning av denna princip, som enligt hans åsikt vittnade om en viss fulländning av världen skapad av Gud.

Till och med under Maupertuis liv stöddes och utvecklades dessa verk av Euler , som också utvecklade variationskalkylen , vilket gjorde det möjligt att mest effektivt inse fördelarna med principen.

Lagrange utvecklade sedan , i Mécanique analytique, publicerad 1788 , tillämpningen av principen om minsta verkan inom mekanik, med hjälp av variationskalkylen och införde generaliserade koordinater. Han introducerade också 1795 metoden med obestämda multiplikatorer , vilket gör det möjligt att avsevärt förbättra användningen av principen om minsta åtgärd i problem med begränsningar .

Åtgärden för en snabbrörlig ("relativistisk") partikel korrigerades (jämfört med den gamla Newtonsk-Lagrangianska versionen, vars omfattning är rörelser som är långsamma jämfört med ljusets hastighet ) i början av 1900-talet, för första gången detta gjordes explicit, tydligen av Planck 1907 [1] , även i detta sammanhang kan Minkowskis ( 1907 ) och Born ( 1909 ) [2] verk nämnas . För en fripunktspartikel tog den formen av ett intervall (längd - riktig tid - i Minkowski rum-tid ) längs världslinjen (rymd-tidsbana) för en partikel med motsatt tecken, och ersatte det vanliga Newtonska uttrycket i snabbt partikelmekanik. Därför leder principen om minsta verkan för relativistiska partiklar till högsta möjliga riktiga tid längs banan.

1915 Hilbert , med hjälp av den variationsmässiga metoden med avseende på Einstein- Hilbert -handlingen, fick de korrekta ekvationerna av gravitationsfältet i den allmänna relativitetsteorin . I det här fallet, kanske för första gången, användes fördelen med enkelheten i tillvägagångssättet i sådan fullständighet, utgående från att skriva en skalär (invariant) handling från allmänna överväganden (vars explicita form inte är känd i förväg), och sedan erhålla rörelseekvationerna för fältet (fältekvationer) genom att variera denna funktionella .

I början av 1900-talet använde Planck , Bohr , Sommerfeld , Schwarzschild och andra handlingen (oftast en förkortad handling) för att tidigt formulera kvantteori, som ur modern synvinkel är en sorts semiklassisk approximation , vilket visade sig bl.a. vara ganska väl lämpad att beskriva sådana nyckelproblem som den harmoniska oscillatorn och en atom med cirkulära och elliptiska elektronbanor (åtminstone i det enklaste fallet väteatomen). Kvantiseringsregeln, som användes flitigt i detta skede i utvecklingen av kvantteorin, reducerades till kvantiseringen av en förkortad verkan på slutna banor i enlighet med villkoret

\oint \sum p_{i}\,dq_{i}=n\hbar

eller (i kartesiska koordinater för en partikel): .

\oint {\vec p}\cdot {\vec {dr}}=n\hbar

Louis de Broglie ( 1923-1924 ) använde denna formalism för att formulera sina uttalanden om vågnaturen hos elektronen och materiella partiklar i allmänhet.

En betydande roll för att underbygga den moderna formen av kvantmekanik (i betydelsen av att klargöra dess förhållande till den klassiska) spelades av Hamilton-Jacobis ekvation , som handlar om handlingen som en funktion av koordinater och tid , som redan har en form nära formen av kvantmekanikens grundläggande ekvation - Schrödinger-ekvationen - och som ligger vid detta är i huvudsak dess klassiska gräns.

Feynman utvecklade vägintegrationsmetoden inom kvantmekaniken ( 1938 ), som omformulerade kvantmekaniken på ett sådant sätt att den organiskt använde den klassiska handlingsfunktionen, och skillnaden mellan den fullständiga kvantbeskrivningen och den klassiska reducerades till behovet av att summera kvantitet över alla tänkbara banor (och inte bara en klassisk bana eller nära den). Denna formalism är en av de mest populära inom modern teoretisk högenergifysik, och hittar tillämpningar (tillsammans med tekniken för Feynman-diagram) inom andra områden av fysiken, såväl som i ren matematik. Därefter ( 1949 ) utvecklade Feynman metoden för Feynman-diagram , nära besläktad med vägintegration, även om den kan omformuleras utan att uttryckligen använda denna metod, som blev en av de viktigaste inom kvantfältteorin och gav ett av sätten att övervinna svårigheter med kvantelektrodynamik , som i Som ett resultat har det blivit en av de mest exakta fysikaliska teorierna och en standardmodell för konstruktion av andra kvantfältsteorier. $e^{{iS}}$

Sedan andra hälften av 1900-talet har ett antal generaliseringar av verkan för en punktpartikel uppfunnits, till exempel inom strängteorin - Nambu-Goto-aktionen(aktionsområde) och Polyakov-aktionen.

Sammanfattningsvis bör det sägas att i moderna abstrakta områden av teoretisk fysik är handling ett av huvudverktygen för att formulera en konkret teori redan från inledningsskedet. Till exempel är ett av de mycket vanliga sätten att formulera en ny teori att man för det studerade systemet först och främst försöker skriva en handling, vilket begränsar de möjliga alternativen genom att införa symmetrivillkor, och ofta också genom överväganden om enkelhet.

Action i klassisk mekanik

Handling i klassisk mekanik skrivs i två former, i slutändan likvärdiga:

Lagrangian:

S=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}L(q,\;{\dot {q)),\;t)\,dt

eller Hamiltonian:

S=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}{\bigg (}\summa _{i}p_{i}{\dot {q}}_{i}- H(q,\;p,\;t){\bigg )}\,dt.

(för en förkortad åtgärd, se stycket "Terminologi" ovan ).

Trots motsvarigheten i slutändan har de lagrangska och hamiltonska notationsformerna för handlingen olika tekniska och ideologiska fördelar. Var och en av dem kan betraktas som grunden för att konstruera (baserat på principen om minsta, eller stationära, handling ), respektive , Lagrangian och Hamiltonian form av mekanik. Nämligen genom att direkt variera den första åtgärden för var och en oberoende av de andra, eller, på motsvarande sätt, genom att skriva Euler-Lagrange-ekvationerna för denna funktionella , för den andra formen - variera oberoende för var och en och (genom att skriva ner Hamilton-ekvationerna ) är lätt att erhålla rörelseekvationerna i lagrangiska respektive hamiltonska former. I det speciella fallet att använda kartesiska koordinater kommer dessa att vara Newtonska rörelseekvationer. $\delta q_{i}$ $\delta q_{i}$ $\delta p_{i}$

Genom att härleda rörelseekvationerna med ett lämpligt val av koordinater (i allmänhet inte kartesiska) och använda metoden för obestämda Lagrange-multiplikatorer , är det lätt att i en bekväm form få rörelseekvationerna för system med begränsningar , ibland exklusive begränsningen reaktioner från dem (vilket avsevärt kan förenkla ekvationerna).

Det bör noteras att begreppet handling, trots all sin grundläggande betydelse, inte omfattar vissa fall av makroskopisk mekanik; till exempel tillåter det inte en att skriva en handling i närvaro av godtyckliga dissipativa krafter , och följaktligen tillåter den inte en att använda principen om minsta handling för att beskriva dem.

En klassisk handling ur modern synvinkel är en kvantitet som är proportionell mot fasen av kvantvågfunktionen för motsvarande partikel eller system (i själva verket är detta fasen, endast mätt i andra enheter; dock är proportionalitetskoefficienten inom klassisk mekanik är okänd - detta är i huvudsak en kvantmängd; ur klassisk mekaniks synvinkel är det bara viktigt att den är mycket liten). Samma klassiska mekanik är kortvågsgränsen för kvant och kan erhållas från den genom övergång . $\hbar /S\högerpil 0$

Åtgärd för distribuerade system

För mekaniskt distribuerade system (till exempel för elastiska kontinuum) kan åtgärden vanligtvis skrivas på följande sätt:

S=\int {\mathcal {L}}(q,\;{\dot {q)),\;x,\;t)\,dVdt

eller

S=\int {\bigg (}\sum _{i}p_{i}{\dot {q}}_{i}-{\mathcal {H}}(q,\;p,\; x,\;t){\bigg )}\,dVdt,

var är volymelementet, tredimensionellt när det gäller att beskriva fält i tredimensionellt rum, är tätheterna för Lagrange-funktionen och Hamilton-funktionen, och är fältvariablerna (till exempel potentialer), motsvarande hastigheter och kanoniskt konjugera momenta. Varje sådan fältvariabel, hastighet och rörelsemängd, är en funktion av "rumsliga" variabler och tid, och representerar således en oändlig dimensionell (med hänsyn till den fysiska idén om en möjlig atomär diskretisering av ett distribuerat system - bara ett mycket flerdimensionellt) vektor. Valet av en separat koordinat kommer ner till expansion på någon grund (detta kan till exempel vara en bas av deltafunktioner, som i huvudsak reducerar allt till gränsen för ett diskret problem, men kanske Fouriertransformen används ännu mer ofta på grund av dess bekvämlighet ). $dV$ ${\mathcal {L)],\ {\mathcal {H))$ $q,\ {\dot {q))$ $sid$ ${\dot q}=\partial q/\partial t$ $q=q(x,\;y,\;z,\;t),\ {\dot {q))={\dot {q))(x,\;y,\;z,\ ;t),\ p=p(x,\;y,\;z,\;t)$ $q_{i}\in \mathbb{R}$ $q$

För icke-mekaniskt distribuerade system är en sådan notation möjlig på basis av en analogi med mekaniska. I synnerhet fungerar en liknande metod för grundläggande fält, som formellt sett också passar in på definitionen av distribuerade system (även om detta också bara kan betraktas som en analogi, är frågan om ett eller annat val här i huvudsak terminologisk). Grundläggande fysiska fält behandlas i detalj i ett separat avsnitt, även om vanliga distribuerade system, i synnerhet mekaniska, ger generellt tillräckligt bra modeller för att hjälpa till att förstå konstruktionen av dynamiken i dessa fält och i synnerhet frågor relaterade till handling.

Exempel :

För en homogen isotropisk kontinuerlig linjär (lyder Hookes lag; i verkligheten innebär detta nästan alltid begränsningen av modellens tillämpbarhet på fall av små deformationer) elastiskt medium som fyller tredimensionellt utrymme eller dess region, i det enklaste fallet, handlingen kan skrivas som

S=\int \left({\rho \over 2}({\dot {u)))^{2}-{E \over 2}(\nabla u)^{2}\right)\ ,dxdydzdt,

där är mediets densitet, är elasticitetsmodulen, är det elastiska mediets avvikelse vid en given punkt vid ett givet ögonblick från den villkorade jämviktspositionen, är en distribuerad generaliserad koordinat (i detta problem är det en tre -dimensionell vektor, men det är under de formulerade förhållandena som var och en av dess komponenter kan betraktas separat) , är förändringshastigheten med tiden - den fördelade hastigheten är naturligtvis också en funktion av . här är gradientoperatorn, som här kan anses tillämpad separat på varje komponent , när man sedan lägger till kvadraterna av de tre komponenterna.

\rho =\mathrm {const}

E=\mathrm {const}

u=u(x,\;y,\;z,\;t)

{\dot u}

u

x,\ y,\ z,\ t

\nabla

u

Variationen av denna funktion ger rörelseekvationen i form av en vanlig vågekvation oberoende för varje komponent , det vill säga för .

u

u

{\displaystyle u_{x},\ u_{y},\ u_{z))

Den skriftliga handlingen kan lätt användas för ett inhomogent medium, det vill säga för icke-konstant och , och det kan också direkt generaliseras till anisotropa medier med tensor . I alla dessa fall kommer mediets rörelseekvation redan att skilja sig märkbart från den vanliga vågekvationen, men kan erhållas nästan lika enkelt genom att variera denna åtgärd.

\rho

E

E

Handling i klassisk fältteori

Action i klassisk fältteori används för att härleda fältekvationer (både fria och med källor) från principen om stationär (minst) verkan (genom att variera i fältvariabler). Det används också för att erhålla rörelseekvationerna för partiklar när de interagerar med ett givet fält, även genom principen om stationär (minsta) verkan, men genom att variera koordinaterna (och i Hamilton-versionen även momenta) för partiklarna.

Själva typen av aktion för ett fält (tillämpad både i klassisk och kvantbemärkelse) är i allmänhet mycket lik typen av aktion för distribuerade system (i synnerhet för mekaniskt distribuerade system, såsom en sträng, ett membran, etc.). ). Detta tillåter oss att ibland upprätta en direkt, ibland villkorad, analogi mellan det ena och det andra fallet, även om båda i detaljer kan skilja sig markant (så att en direkt mekanisk analogi inte alltid är möjlig, och ibland visar det sig helt enkelt inte vara alltför lätt att bygga och använda).

Oftast (när det gäller linjära fält eller studera dem i en linjär approximation) har handlingen en ganska enkel form och delas upp i tre termer:

{\displaystyle S=S_{f}+S_{\mathrm {int} }+S_{s))

var är "det fria fältets verkan" - som är avgörande för att studera fältets beteende utan dess interaktion med "ämnet" (andra fält), är interaktionstermen från vilken "ämnets" verkan (andra fält ) ) på det givna fältet härleds, är åtgärden för de fria "ämnena" (andra fält), som bestämmer deras beteende i frånvaro av detta fält, i synnerhet sådana egenskaper hos "ämnet" som dess tröghet. Formen av den andra termen definierar i fältekvationerna termerna som representerar dess källa(r) och bestämmer verkan av det givna fältet på "ämnet" (andra fält), till exempel rörelseekvationerna för en laddad partikel i en givet fält (mer specifikt krafterna som verkar på det) härleds från och . $S_{f}$ ${\displaystyle S_{\mathrm {int} ))$ $S_{s}$ ${\displaystyle S_{\mathrm {int} ))$ $S_{s}$

Men för väsentligen icke-linjära fält misslyckas en sådan uppdelning i tre separata termer generellt sett (och även när man isolerar den linjära approximationen återstår ofta vissa typer av problem, även om det i sig ofta är meningsfullt och möjligt). Till exempel, i den allmänna relativitetsteorin (och andra metriska gravitationsteorier ) faller gravitationsfältet in i termen som relaterar till "substans" (och icke-gravitationsfält) i form av ett mått som ingår i volymelementet och i kovarianta derivat. Detta faktum säkerställer växelverkan mellan gravitation och "substans" utan att kräva en separat term (fallet med den så kallade minimala kopplingen ), och det gör också gravitationsfältets ekvation väsentligen olinjär. Ett annat exempel (om än relaterat till kvantfältteori, men har också analogier i klassisk sådan): kvantelektrodynamik - dess linjära approximation när den beräknas enligt störningsteori i slingdiagram leder till oändliga meningslösa resultat förknippade med den faktiska omöjligheten att särskilja blott (bar, icke-interagerande) fält av en laddad partikel och ett elektromagnetiskt fält. Sättet att lösa detta problem var renormaliseringsprogrammet, som återställer Lagrangian av verkliga (samverkande) fält. ${\displaystyle S_{\mathrm {int} ))$

Skalärt fält

Bland de grundläggande fysiska fälten är skalära fält , även om de är närvarande i teorin, än så länge deras existens är till stor del hypotetisk till sin natur, och egenskaperna är därför ganska dåligt kända. Detta är dock det enklaste fallet; Dessutom är, förutom fundamentala fält, sådana makroskopiska fält av intresse, som t.ex. gastrycksfältet i akustiken, som vid små (och jämna) jämviktsavvikelser i viss mening kan vara direkt liknas vid ett abstrakt skalärt fält.

Den enklaste typen av åtgärd för ett skalärt fält som leder till en linjär fältekvation är formen: $\varphi$

S=S_{f}+S_{\mathrm {int} }+S_{s}=\int {\frac {1}{\alpha }}\left({\frac {1}{c^{ 2}}}(\partial _{t}\varphi )^{2}-(\nabla \varphi )^{2}-m^{2}\varphi ^{2}\right)\,dVdt+S_{ \mathrm {int} }+S_{s},

(skriven i den form som motsvarar fältet i det tredimensionella rummet; här antas - "kraftkonstant", - fortplantningshastigheten för fältvågor , som för fundamentala fält vanligtvis - för att inte bryta mot relativitetsprincipen - antas att vara lika med ljusets hastighet, - tredimensionell gradient, - fältmassa ( för masslösa fält), är ett element med tredimensionell volym). Som du kan se är det Lorentz invariant, och det är mycket lätt att skriva om det i fyrdimensionell notation, där detta är ännu mer uppenbart. $\alfa$ $c$ $\varphi$ $\nabla$ $m$ $\varphi$ $m=0$ $dV$ $S_{f}$

När den varieras i (för ett fritt fält, det vill säga för ), ger denna åtgärd Klein-Gordon-ekvationen , och när - vågekvationen . Fallet ger en variant av Klein-Gordon-ekvationen för ett skalärt tachyonfält , som också kan användas i teorin (detta är ett fält med instabil jämvikt i oändligt utrymme eller utan att ställa randvillkor som leder till stabilitet). $\varphi$ $S_{\mathrm {int} }=S_{s}=0$ $m=0$ $m^{2}<0$ $\varphi=0$

Vi kommer inte att specificera interaktionstermen här, eftersom vi inte här betraktar något särskilt skalärt fält och dess interaktion med något annat. Observera dock att om vi inte vill bryta mot relativitetsprincipen måste denna term också vara Lorentz-invariant (liksom ). Till exempel, för att interagera med ett annat skalärt fält , kan denna term vara antingen eller eller deras summa, etc.). ${\displaystyle S_{\mathrm {int} ))$ $S_{f},\ S_{s}$ $u$ $\mathrm {const} \cdot \int \varphi u\,dVdt$ $\mathrm {const} '\cdot \int (\partial _{i}\varphi )(\partial ^{i}u)\,d^{4}x$

Elektromagnetiskt fält

Standardåtgärden för ett elektromagnetiskt fält skrivs som

S=S_{f}+S_{\mathrm {int} }+S_{s},

var

S_{f}=-{\frac {1}{2\alpha }}\int F_{ij}F^{ij}\,dxdydzdt={\frac {1}{\alpha }}\int ( E^{2}-H^{2})\,dxdydzdt

— åtgärd för ett fritt fält ( här — elektromagnetisk fälttensor, — en konstant beroende på systemet av enheter som används, summering enligt Einstein -regeln avses ),

F_{{ij}}

\alfa

i,\ j

Interaktionstermen kan skrivas på olika sätt:

S_{\mathrm {int} }=-\int A_{i}j^{i}\,dxdydzdt

eller

S_{int}=-\int qA_{i}u^{i}\,d\tau =-{\frac {1}{c))\int qA_{i}\,dx^{i} =\int (-q\varphi +q{\vec {A}}\cdot {\vec {v}}/c)\,dt,

(den första formen är bekväm för att härleda fältekvation(er) (med källor), och den andra för att härleda rörelseekvationen för en laddad partikel; här är den elektromagnetiska potentialen , är partikelladdningen, är 4-hastigheten , är den korrekta tidsskillnaden (intervall dividerat med ) , och - elektrisk och tredimensionell vektorpotential, - tredimensionell hastighet, - ljushastighet och - fyrdimensionella rum-tidskoordinater; för flera partiklar, flera termer av denna formulär bör tas - en för varje), $A_{i}$ $q$ $u^{i}$ $d\tau$ $c$ $\varphi$ ${\vec A}$ ${\vec {v}}$ $c$ $dx^{i}=(dx^{0},\;dx^{1},\;dx^{2},\;dx^{3})=(c\,dt,\;dx ,\;dy,\;dz)$

S_{s}

- en verkan för "substans" (fria partiklar), som tillsammans med används för att härleda rörelseekvationerna för laddade partiklar. För snabba ("relativistiska") partiklar (se nedan) bör man ta (försumma snurrandet) åtgärden

{\displaystyle S_{\mathrm {int} ))

S_{s}=-\int mc^{2}\,d\tau =-\int mc^{2}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}\ ,dt,

var är massan (vilomassa) av partikeln, är ljusets hastighet, är den korrekta tidsskillnaden (för flera partiklar måste man ta summan av flera termer av denna typ). $m$ $c$ $d\tau$

Om partiklarnas rörelse är långsam jämfört med ljusets hastighet och den newtonska approximationen är tillräcklig, kan vi vidta motsvarande ungefärliga åtgärd, vilket är vanligt för klassisk mekanik:

S_{s}=\int {\frac {mv^{2}}{2}}\,dt.

Det enklaste sättet att få Maxwells ekvationer är i formuläret

\partial _{i}F^{{ik}}=\alpha j^{k},

variera ovanstående åtgärd på och använda definitionen av . $A_{i}$ $F_{{ij}}=\partial _{i}A_{j}-\partial _{j}A_{i}$

Om vi varierar med får vi rörelseekvationerna, som ser enklast ut i fyrdimensionell form: $x^i$

dp^{i}/d\tau =m\,du^{i}/d\tau =qF_{j}^{i}u^{j},

där den högra sidan sammanfaller med den vanliga Lorentz-kraften , som också kan skrivas (och, om så önskas, erhållas explicit) i en tredimensionell form; det vill säga i tredimensionell form kommer rörelseekvationen att vara:

{\frac {d\mathbf {p} }{dt))=q\mathbf {E} +q\ \mathbf {v} \times \mathbf {B} .

Relativistisk handling

Verkan för det elektromagnetiska fältet (både dess term för det fria fältet och termen som beskriver interaktionen med strömmar) är Lorentz invariant från allra första början (mer exakt är det en 4- skalär ). Detsamma kan sägas om verkan för alla grundläggande fält som är kända i moderna teorier (för att tala lite mer exakt, i allmänt accepterade teorier som har klarat experimentell verifiering).

Men den klassiska (Newtonska) mekanikens verkan, oavsett i vilken form den är skriven, Hamiltonsk eller Lagrangian, har inte egenskapen Lorentz-invarians. Historiskt sett, vid ett visst tillfälle (på gränsen till 1800- och 1900-talen), blev det nödvändigt att bringa mekaniken i linje med relativitetsprincipen och därför göra den Lorentz-kovarians. Det enklaste sättet att göra detta är att skriva för en partikel ("materialpunkt") en sådan handling som skulle vara Lorentz-invariant, och sedan, med hjälp av den vanliga variationsproceduren, erhålla från den en rörelseekvation som redan kommer att vara Lorentz- kovariant (ungefär för långsamma rörelser måste sådan mekanik sammanfalla med den newtonska, eftersom den har testats väl för låga hastigheter).

Den enklaste åtgärden för en fri partikel som kan föreslås, baserat på Minkowskis geometri, är en kvantitet som, upp till en konstant faktor, sammanfaller med längden på världslinjen för en given partikel (och dimensionella överväganden kommer att bestämma koefficienten ):

S=-\int mc^{2}\,d\tau =-\int mc\,ds=-mc^{2}\int u^{i}u_{i}\,d\tau = -mc^{2}\int {\sqrt {1-v^{2}/c^{2))}\,dt,

var är massan (vilomassa), är den rätta tiden mätt längs partikelns världslinje, är elementet i intervallet längs den, är 4-hastigheten, är den tredimensionella hastigheten, är tiden ("koordinat" tid”, tiden för laboratoriets referensram). $m$ $\tau$ $ds$ $u^{i}$ $v$ $t$

När vi expanderar i storleksordningar (i fallet när den är tillräckligt liten, mycket mindre än enhet), får vi lätt den icke-relativistiska verkan av klassisk mekanik: ${\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}$ $v^{2}/c^{2}$

S=-mc^{2}\int {\sqrt {1-v^{2}/c^{2))}\,dt\approx \int \left(-mc^{2}+{ \frac {mv^{2}}{2}}\right)\,dt=\mathrm {const} \cdot (t_{2}-t_{1})+\int {\frac {mv^{2} }{2}}\,dt=\mathrm {const} \cdot (t_{2}-t_{1})+S_{\mathrm {newtonsk} },

där den första termen kan förkastas, eftersom den inte ger något bidrag till rörelseekvationerna (med undantag av bidraget till gravitationsfältets ekvationer, där dess inflytande inte försvinner ens i denna approximation; här är vi talar om rörelseekvationerna för själva partikeln, för vilken handlingen är skriven, och gravitation i Einsteinsk mening inte beaktas). Om du vill kan du också behålla termerna för nästa order i expansionen , som ger relativistiska korrigeringar för fallet med låga hastigheter (istället för att använda den exakta relativistiska åtgärden och de exakta rörelseekvationerna, om detta på något sätt är lämpligt) . $v^{2}/c^{2}$

Handling i gravitationsteorin

För den newtonska gravitationsteorin skulle handlingen kunna skrivas som var är "materias" verkan, som man säger i gravitationsteorierna - det vill säga allt utom gravitationen, och - en tredimensionell gradient av gravitationspotentialen (som betyder den oändliga utbredningshastigheten för gravitationsinteraktionen). Detta värde är uppenbarligen inte Lorentz-invariant , därför kan det, som all klassisk mekanik, utökas - ungefär - till fallet med långsam (jämfört med ljusets hastighet) rörelse och inte särskilt starka gravitationsfält (om så bara för att starka fält, i allmänhet talar, kommer att accelerera kropparna till höga hastigheter). Det finns många teorier som på ett eller annat sätt har ändrat denna handling för att göra den Lorentz invariant (se Alternativa teorier om gravitation ), men de flesta av dem är nu bara av historisk betydelse, eller vice versa, har ännu inte bevisat sina fördelar till vetenskapssamfundet. Också några lovande teorier för att beskriva gravitation (även om de också är ganska långt ifrån det slutliga påståendet), som till exempel strängteorin och dess generaliseringar, är också ganska komplexa och täcker inte bara gravitationen, och förtjänar därför separat övervägande. $S={1 \over 16\pi G}\int (\nabla \varphi )^{2}\,dxdydzdt+S_{m},$ $S_{m}$ $\nabla \varphi$

Därför begränsar vi oss här till att ge en handling som motsvarar den huvudsakliga (icke-kvant-) gravitationsteorin i modern fysik - den allmänna relativitetsteorin . Detta är Einstein-Hilbert-handlingen :

S={1 \over 16\pi G}\int R{\sqrt {-g}}\,d^{4}x+S_{m},

där är Newtons gravitationskonstant , är den skalära krökningen (Ricci scalar) för rum-tid, är bestämningsfaktorn för matrisen av metriska tensorkomponenter och är verkan för icke-gravitationsfält (massiva partiklar, elektromagnetiskt fält, och så vidare) . $G$ ${\displaystyle R=R_{\mu }^{\mu ))$ $g=|g_{\mu \nu }|$ $S_{m}$

Genom att variera denna verkan längs rum-tidsmetriken (som spelar rollen som gravitationspotentialen, det vill säga fältvariabler i denna teori), erhålls Einsteins ekvationer (ibland även kallade Einstein-Hilberts ekvationer) i formen: $g_{ij}$

R_{{\mu \nu }}-{R \over 2}g_{{\mu \nu }}={8\pi G \over c^{4}}T_{{\mu \nu }}

(så här fick Gilbert dem för första gången 1915 , Einstein gick åt andra hållet).

Termen för ekvationen som beskriver gravitationsfältets källa (höger sida) erhålls i detta fall eftersom metriken , längs vilken variationen utförs, också ingår i åtminstone genom faktorn , som ingår i uttrycket för elementet i den (fyrdimensionella) volymen (här är densiteten för Lagrange-funktionen för "ämnet" - det vill säga alla icke-gravitationsfält, och - deras energimomentumtensor ). $g_{\mu \nu }$ $S_{m}=\int {\mathcal {L}}{\sqrt {-g}}\,d^{4}x$ ${\sqrt {-g))$ ${\mathcal L}$ $T_{\mu \nu }$

Handlingen för gravitationsfältet för allmän relativitet kan också skrivas om i en annan form, ekvivalent med denna, förutom gränsvillkoren (och om gränsvillkoren är nollställda av någon anledning, då i en helt likvärdig form), och innehållande under integralen, istället för krökningstensorn, konstruktionen från , vilket kan tolkas som kvadraten på fältstyrkan gravitationsfält - det vill säga i en form som liknar hur handlingen vanligtvis skrivs för enklare - skalär och vektor - fält, till exempel elektromagnetiska. $\Gamma _{{\mu \nu }}^{\lambda }$

Genom att komplettera åtgärden skriven ovan med termen får vi Einsteins ekvationer med -termen: $\int \Lambda {\sqrt {-g}}\,d^{4}x$ $\lambda$

R_{\mu \nu }-{R \over 2}g_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }={8\pi G \over c^{4}}T_{ \mu \nu }.

En helt tillfredsställande kvantteori om gravitation existerar, så vitt är känt, för närvarande ( 2009 ) inte. Men många av de teorier som mer eller mindre kan göra anspråk på denna roll ger den vanligtvis effektiva Einstein-Hilbert-handlingen i lågenergigränsen.

Action och kvantmekanik

Åtgärd för fermioniska fält

För fermioniska (särskilt för spinor ) fält kan man inte bara skriva en handling, utan också få formellt klassiska ekvationer för dessa fält genom att variera en sådan handling. Men till skillnad från bosonfält , observeras fermionfält i sin klassiska form sämre, eftersom Pauli-principen förbjuder mer än en fermion från att vara i samma tillstånd, vilket är tillåtet för bosoner och tillåter dem att vara i samma kvanttillstånd i stort antal , att observeras som ett vanligt klassiskt fält, såsom ett elektromagnetiskt fält. Men samtidigt finns det en sats som säger (åtminstone inom ramen för störningsteorins tillämplighet) att resultatet av den andra kvantiseringen för sådana fermionfält sammanfaller med tolkningen av sådana "klassiska" fält som vågfunktioner för fermioner i betydelsen av den första kvantiseringen .

Så till exempel är Dirac-ekvationen som erhålls med principen om stationär verkan från en eller annan form av att skriva verkan för en partikel med spin 1/2 direkt relaterad till kvantbeskrivningen av en sådan fermion (till exempel en elektron) .

Dirac-ekvationen har en egenskap som ger en viss svårighet att få den från en handling med en kvadratisk lagrangian (och vilken som helst annan, om du använder de vanliga reglerna för variation och betraktar spinorkomponenterna som vanliga tal). Denna egenskap är den första ordningen av derivator i Dirac-ekvationen.

Ibland tar man sig ur situationen genom att helt enkelt införa konstgjorda formella modifieringar av begränsningarna för variationsreglerna eller derivatoperatörernas åtgärder.

Ett mer systematiskt, tydligen, tillvägagångssätt är att de fermioniska fälten (spinorer och deras komponenter) anses vara Grassmannian, det vill säga antipendlingstal, som ändrar termens tecken med derivator av första och andra ordningen jämfört med de vanliga, på grund av vilka termerna i den andra ordningen förstörs när de varierar, medan de första finns kvar.

Feynman-vägintegral

Feynman-vägintegralen är tillämpbar på kvantbeskrivningen av både punktpartiklar i det vanliga rymden och fält (som distribuerade system) i konfigurationsrymden (och denna tillämpbarhet i båda fallen är i princip inte förvånande, eftersom den formella skillnaden mellan en punktpartikel och en flerdimensionellt, till och med oändligt dimensionellt, dynamiskt system - endast i dimensionen av konfigurationsutrymmet, vilket i allmänhet är väl förstått redan inom ramen för klassisk mekanik).

Om handlingen (i huvudsak sammanfaller med den vanliga klassiska handlingen, åtminstone för system vars beskrivning inte är så exotisk att den gör sådan användning av ordet svår) är känd, det vill säga den kan skrivas för den vanliga klassiska banan i " ordinärt" eller konfigurationsutrymme ( kanske tid eller bara en variabel när parametriskt specificeras i fyrdimensionell notation), så kan kvantvågsfunktionen för ett sådant system med en punktkälla vid en rumstidpunkt [3] skrivas som en funktionell väsentlig $S[x]$ $x(\tau)$ $\tau$ $x_{1}$

\Psi (x_{2},\;x_{1})=\int Dxe^{iS[x]/\hbar },

var är banan som börjar vid och slutar vid , integralen betyder summeringen över alla tänkbara sådana banor, för var och en av vilka handlingen har sin egen betydelse. Dessutom, i det relativistiska fallet, finns det bland banorna banor med sektioner av omvänd rörelse i tiden, vilket kan tolkas som banor för en virtuell antipartikel i framåttid, och vändpunkter - som en virtuell födelse och förintelse av partikel-antipartikelpar . $x$ $x_{1}$ $x_{2}$ $S[x]$

Inom kvantfältteorin tillämpas integration både över partikelbanor i det vanliga rummet (närmare bestämt i rum-tid), vilket vanligtvis kallas i detta fall primär kvantisering , och över banor i fältvariablernas rymd, vilket kallas sekundär kvantisering . Båda metoderna ger så vitt känt likvärdiga resultat inom ramen för störningsteorin.

Feynman-vägintegralen är en av de mest populära metoderna för kvantisering (konstruktion av en kvantteori) bland moderna teoretiska fysiker. Samtidigt är detta ett av de mest direkta sätten att jämföra en kvantbild med en klassisk, vilket är en av dess allvarliga psykologiska fördelar, eftersom varje bana i den i princip uppfattas som klassisk, och handlingen är beräknas exakt enligt det klassiska receptet, vilket i ett antal fall och aspekter gör att teorin är märkbart mer synlig och lättförståelig än andra tillvägagångssätt. Bland annat är den här egenskapen bekväm för att passera till gränsen till klassikerna (se nedan), och övergången till den baserad på vägintegralen är i denna mening ett av de mest standardiserade sätten i modern fysik. Detsamma gäller den tillräckliga bekvämligheten att erhålla den semiklassiska approximationen på detta sätt (se även nedan).

I ett antal fall (mycket begränsad - när åtgärden är kvadratisk i koordinater eller fältvariabler och deras derivator, och integralen reduceras till en flerdimensionell Gaussisk med en passage till gränsen till det oändligt dimensionella fallet), Feynman-vägintegralen kan beräknas explicit och exakt. Dess beräkning praktiseras med numeriska metoder. I många fall är denna integral användbar i olika transformationer och andra teoretiska beräkningar.

Det är lätt att fastställa ekvivalensen av vägintegrationsmetoden till Schrödinger-ekvationen , åtminstone i den triviala topologiska situationen.

För fria (icke-interagerande) fält på ett tomt plant utrymme, gör vägintegration det ofta möjligt att explicit erhålla en propagator , som visar sig vara densamma som den propagator som erhålls från differentialekvationen för motsvarande fält (till exempel från vågekvationen för ett masslöst skalärfält). Det visar sig att för interagerande fält är vägintegralen kanske det mest naturliga (och populäraste bland moderna teoretiker) sätt att motivera tekniken med Feynman-diagram . Faktum är att vägintegralen för ett system av interagerande partiklar (fält) lätt delas upp i delar där det inte finns någon interaktion (och resultatet, som vi sa lite högre, är känt för detta fall - detta är en propagator motsvarande beteendet hos ett fritt fält, vilket kan vara ganska enkelt kan beräknas på vilket sätt som helst), kompletterat med en punktinteraktion, som redan reduceras till den vanliga finitdimensionella integrationen - i enlighet med Feynmans regler .

Emellertid är vägintegralkvantisering inte begränsad till störningsteori (Feynman-diagram). Denna metod finner också mer icke-triviala tillämpningar, både inom teoretisk fysik och inom vissa områden av ren matematik. [4] [5] [6]

Action och den ultimata övergången till klassikerna

Inom kvantmekaniken kallas det faktum att beteendet hos ett kvantmekaniskt system tenderar mot klassisk fysik i gränsen för stora handlingar (stora kvanttal ) korrespondensprincipen . Denna princip infördes av Niels Bohr 1923 .

Kvantmekanikens regler tillämpas mycket framgångsrikt för att beskriva mikroskopiska föremål som atomer och elementarpartiklar . Å andra sidan visar experiment att en mängd olika makroskopiska system ( fjäder , kondensator , etc.) kan beskrivas ganska exakt i enlighet med klassiska teorier med hjälp av klassisk mekanik och klassisk elektrodynamik (även om det finns makroskopiska system som uppvisar kvantbeteende, som t.ex. superfluid flytande helium eller supraledare ). Det är dock ganska rimligt att tro att fysikens yttersta lagar bör vara oberoende av storleken på de fysiska objekt som beskrivs. Detta är premissen för Bohrs korrespondensprincip, som säger att klassisk fysik bör uppstå som en approximation till kvantfysiken när systemen blir stora .

De förhållanden under vilka kvantmekanik och klassisk mekanik sammanfaller kallas den klassiska gränsen . Bohr föreslog ett grovt kriterium för den klassiska gränsen: övergången sker när kvanttalen som beskriver systemet är stora , vilket betyder att antingen systemet är exciterat till stora kvanttal eller att systemet beskrivs av en stor uppsättning kvanttal, eller bådadera . En mer modern formulering säger att den klassiska approximationen är giltig för stora värden av handlingen . När det gäller "skolans" fysik betyder detta att ojämlikheterna måste observeras: $S\gg\hbar$

P\ gånger l\gg \hbar

E\ gånger t\gg\hbar

(produkten av processens karakteristiska momentum och dess karakteristiska storlek och produkten av processens karakteristiska energi och dess karakteristiska tid är mycket större ) $\hbar$

Korrespondensprincipen är ett av de verktyg som finns tillgängliga för fysiker för att välja en kvantteori som motsvarar verkligheten . Kvantmekanikens principer är ganska breda - till exempel säger de att tillstånden i ett fysiskt system upptar Hilberts utrymme , men säger inte vilket. Korrespondensprincipen begränsar valet till de utrymmen som återger klassisk mekanik i den klassiska gränsen.

Diracs formulering

Diracs formulering, även kallad "Diracs korrespondensprincip" : "Kortensstämmelsen mellan kvant- och klassiska teorier består inte så mycket i den begränsande överenskommelsen vid , utan i det faktum att de två teoriernas matematiska operationer lyder samma lagar i många fall." [7] [8] $\hbar \to 0$

Sökvägsintegraler

Vid formuleringen av kvantmekaniken i termer av banintegraler, ger banor som ger värdet av handlingen , som skiljer sig markant från det stationära värdet (bestämt från principen om minsta action ), ett litet bidrag till den slutliga övergångsamplituden (oändligt liten ) vid ). Sålunda, i den semiklassiska approximationen bestäms övergångsamplituden endast av de klassiska banorna för partiklar (i det enklaste fallet av rörelse i rymden är en sådan bana unik), bestäms utifrån principen om minsta verkan , och Schrödinger-ekvationen går in i Hamilton-Jacobis ekvation . $S_{\mathrm {min} }\to \infty$ $S_{\mathrm {min} }\to \infty$

Se även

Länkar

"Action"-artikel i Encyclopedia of Physics

Anteckningar

↑ Rapport vid det tyska fysikaliska sällskapets möte den 23 mars 1906 Verh. d. Deutsch. Phys., f. 4, s. 136. - översättning från tyska - se ”Relativitetsprincipen. Samling av verk om den speciella relativitetsteorin”. - M.: Atomizdat , 1973. - S. 163.
↑ W. Pauli. § 31. Invariant handlingsprincip i elektrodynamik // Relativitetsteori / Ed. V. L. Ginzburg och V. P. Frolov .. - 3:e, korrigerad .. - M . : Nauka, 1991. - S. 125-127. — 328 sid. - ISBN 5-02-014346-4 .
↑ I huvudsak talar vi i denna formulering om en propagator ( Greens funktioner ).
↑ Witten E. Kvantfältteori och Jones polynom. - kommun. Matematik. Phys., 1989. - Vol 121 , nr. 3 . - S. 351-399 . - doi : 10.1007/BF01217730 .
↑ Alvarez-Gaume L. Supersymmetry och Atiyah-Singer indexteorem. - kommun. Matematik. Phys., 1983. - V. 90 , nr. 2 . - S. 161-173 . - doi : 10.1007/BF01205500 .
↑ Kontsevich, M. Deformationskvantisering av Poisson-grenrör . — Bokstäver i matte. Phys., 2003. - V. 66 , nr. 3 . - S. 157-216 . - doi : 10.1023/B:MATH.0000027508.00421.bf .
↑ Dirac P. A. M. Samling av vetenskapliga artiklar. - M. : Fizmatlit, 2003. - T. II Kvantteori (vetenskapliga artiklar 1924-1947). - S. 67.
↑ Dirac P. A. M. Till skapandet av kvantfältteori. Huvudartiklar 1925-1958. - M. : Nauka, 1990. - S. 34. - 368 sid.