Direkt produkt av grupper

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 14 augusti 2022; verifiering kräver 1 redigering .

Den direkta produkten av grupper är en operation som, av grupper , bygger en ny grupp, vanligtvis betecknad som . Denna operation är den gruppteoretiska analogen till den kartesiska uppsättningsprodukten och ett av huvudexemplen på begreppet en direkt produkt . $G$ $H$ $G\ gånger H$

I sammanhanget av Abeliska grupper kallas en direkt produkt ibland för en direkt summa och betecknas med . Direkta summor spelar en viktig roll i klassificeringen av Abeliska grupper: enligt satsen om strukturen för ändligt genererade Abeliska grupper kan vilken ändligt genererad Abelisk grupp som helst delas upp i en direkt summa av cykliska grupper . $G\oplus H$

Definition

Om och är grupper med operationer respektive , definieras den direkta produkten enligt följande: $G$ $H$ $*$ $\triangel$ $G\ gånger H$

Setet är den kartesiska produkten, . Dess element är ordnade par , var och . $G\ gånger H$ $(g,h)$ $g\in G$ $h\in H$
Den binära operationen på definieras komponentmässigt: $\cdot$ $G\ gånger H$ $(g_{1},h_{1})\cdot (g_{2},h_{2})=(g_{1}*g_{2},h_{1}\triangel h_{2})$

Det resulterande algebraiska objektet uppfyller gruppens axiom:

Binär operationsassociativitet Den binära operationen på är associativ , vilket kontrolleras komponentmässigt.

G\ gånger H

Förekomsten av ett enda element Den direkta produkten har identitetselementet , där är identitetselementet och är identitetselementet .

1_{G\times H}=(1_{G},1_{H})

1_{G}

G

1_H

H

Existens av inverst element Inversen av ett element i är paret , där är inversen av in , och är inversen av in .

(g,h)

G\ gånger H

(g^{-1},h^{-1})

g^{{-1}}

g

G

{\displaystyle h^{-1))

h

H

Exempel

Låta vara en grupp av reella tal med additionsoperation . Då är den direkta produkten gruppen av alla tvåkomponentsvektorer med vektoradditionsoperationen : $\mathbb {R}$ $\mathbb {R} \times \mathbb {R}$ $(x, y)$ $(x_{1},y_{1})+(x_{2},y_{2})=(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2})$ .
Låta vara en grupp av positiva reella tal med multiplikationsoperation. Då är den direkta produkten gruppen av alla vektorer i den första koordinatkvadranten med operationen av komponentvis multiplikation: $\mathbb {R^{+}}$ $\mathbb {R^{+}} \times \mathbb {R^{+}}$ $(x_{1},y_{1})\times (x_{2},y_{2})=(x_{1}\times x_{2},y_{1}\times y_{2} )$ .
Låta och vara cykliska grupper , som var och en innehåller två element: $G$ $H$

$G$

* ett a

ett ett a

a a ett
$H$

* ett b

ett ett b

b b ett

*	ett	a
ett	ett	a
a	a	ett

*	ett	b
ett	ett	b
b	b	ett

Då är den direkta produkten isomorf till Klein-fyrgruppen : $G\ gånger H$

G\ gånger H

*	(1.1)	(a,1)	(1b)	(a,b)
(1.1)	(1.1)	(a,1)	(1b)	(a,b)
(a,1)	(a,1)	(1.1)	(a,b)	(1b)
(1b)	(1b)	(a,b)	(1.1)	(a,1)
(a,b)	(a,b)	(1b)	(a,1)	(1.1)

Elementära egenskaper

Ordningen för den direkta produkten av ändliga grupper är lika med produkten av dessa gruppers ordningar och : $G\ gånger H$ $G$ $H$ $|G\ gånger H|=|G||H|$ . Detta följer av formeln för kardinaliteten hos den kartesiska produkten av mängder.
Ordningen för varje element är den minsta gemensamma multipeln av ordningarna och [1] : $(g,h)$ $g$ $h$ $\operatörsnamn {ord} ((g,h))=lcm(\operatörsnamn {ord} (g),\operatörsnamn {ord} (h))$ . I synnerhet, om och är relativt prime , då är ordningen lika med produkten av beställningarna och . $\operatörsnamn {ord} (g)$ $\operatörsnamn {ord} (h)$ $(g,h)$ $g$ $h$
Som en konsekvens, om och är cykliska grupper vars order är coprime, så är den direkta produkten också en cyklisk grupp. Nämligen om och är coprime, alltså $G$ $H$ $G\times H$ $m$ $n$ $(\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} )\times (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} /mn\mathbb {Z}$ . Detta faktum är en variant av den kinesiska restsatsen .
Den direkta produkten kan betraktas som en operation på grupper. Denna operation är kommutativ och associativ upp till isomorfism : och för alla grupper , , och . En trivial grupp är dess identitetselement upp till isomorfism, det vill säga om det är en trivial grupp, då för vilken grupp som helst . $G\times H\cong H\times G$ $(G\times H)\times K\cong G\times (H\times K)$ $G$ $H$ $K$ $E$ $G\cong G\times E\cong E\times G$ $G$

Algebraisk struktur

Låta och vara grupper, och . Tänk på följande två undergrupper : $G$ $H$ $P=G\ gånger H$ $P$

{\displaystyle G^{\prime }=\{(g,1):g\in G\))

och .

{\displaystyle H^{\prime }=\{(1,h):h\in H\))

Båda dessa undergrupper är undergrupper och är kanoniskt isomorfa och kanoniskt isomorfa . Om vi identifierar dem med respektive , så kan vi anta att den direkta produkten innehåller de ursprungliga grupperna och som undergrupper. $P$ $G^{\prime }$ $G$ $H^{\prime }$ $H$ $G$ $H$ $P$ $G$ $H$

Dessa undergrupper har följande tre viktiga egenskaper:

Korsningen är trivial . $G\cap H$
Varje element från kan representeras unikt som produkten av ett element från och ett element från . $P$ $G$ $H$
Varje element i pendlar med varje element i . $G$ $H$

Tillsammans definierar dessa tre egenskaper helt den algebraiska strukturen för den direkta produkten . Med andra ord, om det är någon grupp som har undergrupper och som uppfyller ovanstående egenskaper, så är den isomorf till en direkt produkt av och . I denna situation kallas det ibland den inre direkta produkten av dess undergrupper och . $P$ $P$ $G$ $H$ $P$ $G$ $H$ $P$ $G$ $H$

I vissa fall ersätts den tredje av ovanstående egenskaper med följande:

3'. och är normala i .

G

H

P

Denna egenskap är ekvivalent med egenskap 3, eftersom elementen i två normala undergrupper med triviala skärningspunkter nödvändigtvis pendlar, vilket kan bevisas genom att beakta kommutatorn , där är vilket element som helst i och är vilket element som helst i . $[g,h]$ $g$ $G$ $h$ $H$

Exempel på den inre direkta produkten

Låt oss vara de fyra Klein-gruppen : $V$ V
∙ ett a b c
ett ett a b c
a a ett c b
b b c ett a
c c b a ett
Då är den inre direkta produkten av tvåelementsundergrupper och . $V$ ${\displaystyle \{1,a\))$ ${\displaystyle \{1,b\))$
Låta vara en cyklisk grupp av ordning , där och är relativt primtal. Sedan och är cykliska undergrupper av order och , respektive, och är den inre direkta produkten av dessa undergrupper. $\langle a\rangle$ $mn$ $m$ $n$ $\langle a^{n}\rangle$ $\langle a^{m}\rangle$ $m$ $n$ $\langle a\rangle$
Låta vara gruppen av komplexa tal som inte är noll med multiplikationsoperationen . Då är den inre direkta produkten av cirkelgruppen , bestående av komplexa tal med modul , och gruppen av positiva reella tal med multiplikationsoperationen. $\mathbb {C} ^{\times }$ $\mathbb {C} ^{\times }$ $\mathbb {T}$ $ett$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+))$
Den komplexa kompletta linjära gruppen är den inre direkta produkten av den speciella linjära gruppen och undergruppen som består av alla skalära matriser . $GL(n,\mathbb {C} )$ $SL(n,\mathbb {C} )$
Om är ett udda tal, då är den verkliga kompletta linjära gruppen den inre direkta produkten av den speciella linjära gruppen och undergruppen som består av alla skalära matriser . $n$ $GL(n,\mathbb {R} )$ $SL(n,\mathbb {R} )$
På samma sätt, när den är udda, är den ortogonala gruppen den inre direkta produkten av den speciella ortogonala gruppen och tvåelementsundergruppen , där betecknar identitetsmatrisen . $n$ $O(n,\mathbb {R} )$ $SO(n,\mathbb {R} )$ ${\displaystyle \{-I,I\))$ $jag$
Kubsymmetrigruppen är den interna direkta produkten av kubrotationsundergruppen och tvåelementsgruppen , där är identitetselementet och är punktreflektionen genom kubens mitt. Ett liknande faktum är också sant för symmetrigruppen av icosahedron . ${\displaystyle \{-I,I\))$ $jag$ $-Jag$
Låt vara udda, och låt vara en dihedral grupp av ordning : $n$ $D_{4n}$ $4n$ $D_{4n}=\langle r,s\mid r^{2n}=s^{2}=1,sr=r^{-1}s\rangle .$ Sedan är den inre direkta produkten av en undergrupp (som är isomorf till ) och en tvåelements undergrupp av . $D_{4n}$ $\langle r^{2},s\rangle$ $D_{2n}$ $\{1,r^{n}}\}$

∙	ett	a	b	c
ett	ett	a	b	c
a	a	ett	c	b
b	b	c	ett	a
c	c	b	a	ett

Direkt produktpresentationer

Den algebraiska strukturen kan användas för att representera den direkta produkten med hjälp av presentationerna och . Antag särskilt det $G\ gånger H$ $G$ $H$

G=\langle S_{G}\mid R_{G}\rangle \ \

och

\ \ H=\langle S_{H}\mid R_{H}\rangle ,

där och är (osammanhängande) genererande uppsättningar av gruppen , och och är uppsättningar av relationer mellan generatorer. Sedan $S_{G}$ $S_{H}$ $R_{G}$ $R_{H}$

G\times H=\langle S_{G}\cup S_{H}\mid R_{G}\cup R_{H}\cup R_{P}\rangle

var är uppsättningen av relationer som bestämmer att varje element i pendlar med varje element i . $R_{P}$ $S_{G}$ $S_{H}$

Till exempel om

G=\langle a\mid a^{3}=1\rangle \ \

och

\ \ H=\langle b\mid b^{5}=1\rangle

sedan

G\times H=\langle a,b\mid a^{3}=1,b^{5}=1,ab=ba\rangle .

Normal struktur

Som nämnts ovan är undergrupper och normala i . I synnerhet kan man definiera funktionerna och formlerna $G$ $H$ $G\ gånger H$ $\pi _{G}:G\times H\rightarrow G$ $\pi _{H}:G\times H\rightarrow H$

\pi _{G}(g,h)=g~

och .

~\pi _{H}(g,h)=h

Då och är projektionshomomorfismer med kärnor och resp. $\pi _{G}$ $\pi _{H}$ $H$ $G$

Av detta följer att det är en förlängning med (eller vice versa). I fallet när är en finit grupp är sammansättningsfaktorerna i gruppen exakt föreningen av gruppens sammansättningsfaktorer och gruppens sammansättningsfaktorer . $G\ gånger H$ $G$ $H$ $G\ gånger H$ $G\ gånger H$ $G$ $H$

Ytterligare egenskaper

Generisk egenskap

Den direkta produkten kan karakteriseras av följande universella egenskap . Låt och vara projektion homomorfismer. Sedan för vilken grupp som helst och alla homomorfismer och det finns en unik homomorfism som motsvarar följande kommutativa diagram : $G\ gånger H$ $\pi _{G}:G\times H\rightarrow G$ $\pi _{H}:G\times H\rightarrow H$ $P$ $f_{G}:P\rightarrow G$ $f_{H}:P\rightarrow H$ $f:P\rightarrow G\times H$

Med andra ord ges homomorfismen av formeln $f$

f(p)=(f_{G}(p),f_{H}(p))

Detta är ett specialfall av den universella egenskapen för produkter inom kategoriteori .

Undergrupper

Om är en undergrupp och är en undergrupp av , då är den direkta produkten en undergrupp av . Till exempel är den isomorfa kopian av in produkten , där är den triviala undergruppen av . $A$ $G$ $B$ $H$ $A\ gånger B$ $G\ gånger H$ $G$ $G\ gånger H$ ${\displaystyle G\times \{1\))$ $\{ett\}$ $H$

Om och är normala, så är en normal undergrupp av . Dessutom är faktorgruppen av direkta produkter isomorf till den direkta produkten av kvoter: $A$ $B$ $A\ gånger B$ $G\ gånger H$

(G\times H)/(A\times B)\cong (G/A)\times (H/B)

Observera att det i allmänhet inte är sant att varje undergrupp av är produkten av en undergrupp av av en undergrupp av . Till exempel, om det är någon icke-trivial grupp, så har produkten en diagonal undergrupp $G\ gånger H$ $G$ $H$ $G$ $G\times G$

{\displaystyle \triangle =\{(g,g):g\in G\))

som inte är en direkt produkt av två undergrupper . $G$

Undergrupper av direkta produkter beskrivs av Goursat-lemmat .

Konjugation och centraliserare

Två element och är konjugerade i om och endast om och är konjugerade i och samtidigt och är konjugerade i . Detta innebär att varje konjugationsklass i är den kartesiska produkten av konjugationsklassen i och konjugationsklassen i . $(g_{1},h_{1})$ $(g_{2},h_{2})$ $G\ gånger H$ $g_{1}$ $g_{2}$ $G$ $h_1$ $h_2$ $H$ $G\ gånger H$ $G$ $H$

På liknande sätt, om , är centraliseraren produkten av centraliserarna och : $(g,h)\i G\ gånger H$ $(g,h)$ $g$ $h$

C_{G\times H}(g,h)=C_{G}(g)\times C_{H}(h)

Centern är också produkten av centra och : $G\ gånger H$ $G$ $H$

Z(G\ gånger H)=Z(G)\ gånger Z(H)

Normalisatorer beter sig på ett mer komplicerat sätt, eftersom inte alla undergrupper av direkta produkter sönderdelas till direkta produkter.

Automorfismer och endomorfismer

Om är en automorfism och är en automorfism , då är produkten av funktioner definierade av formeln $\alfa$ $G$ $\beta$ $H$ $\alpha \times \beta :G\times H\rightarrow G\times H$

(\alpha \times \beta )(g,h)=(\alpha (g),\beta (h))

är en automorfism . Det följer av detta som innehåller en undergrupp som är isomorf till den direkta produkten . $G\ gånger H$ $\operatörsnamn {Aut} (G\ gånger H)$ $\operatorname {Aut} (G)\times \operatorname {Aut} (H)$

I allmänhet är det inte sant att varje automorfism har ovanstående form. Till exempel, om det är någon grupp, så finns det en automorfism av gruppen , som byter två faktorer, det vill säga, $G\ gånger H$ $G$ $\sigma$ $G\times G$

\sigma (g_{1},g_{2})=(g_{2},g_{1})

Ett annat exempel: automorfismgruppen i en grupp är gruppen av alla matriser av storlek med heltalsvärden och determinant lika med . Denna grupp av automorfismer är oändlig, men endast ett ändligt antal automorfismer anges som . $\mathbb {Z} \times \mathbb {Z}$ $GL(2,\mathbb {Z} )$ $2\times 2$ $\pm 1$ $\alpha \times \beta$

I allmänhet kan varje endomorfism skrivas som en storleksmatris $G\ gånger H$ $2\times 2$

{\begin{bmatrix}\alpha &\beta \\\gamma &\delta \end{bmatrix))

var är en endomorfism , är en endomorfism och och är homomorfismer. Denna matris måste ha egenskapen att varje element i bilden pendlar med varje element i bilden , och varje element i bilden pendlar med varje element i bilden . $\alfa$ $G$ $\delta$ $H$ $\beta :H\rightarrow G$ $\gamma :G\rightarrow H$ $\alfa$ $\beta$ $\gamma$ $\delta$

När och är oupplösliga grupper med triviala centra, då är den direkta produktautomorfismgruppen relativt enkel: , om och är inte isomorfa, och , om , där betecknar kransprodukten . Detta är en del av Krull–Schmidts sats , i ett mer allmänt fall gäller det för finita direkta produkter. $G$ $H$ $\operatorname {Aut} (G)\times \operatorname {Aut} (H)$ $G$ $H$ $\operatorname {Aut} (G)~wr~2$ $G\cong H$ $wr$

Generaliseringar

Finita direkta produkter

Det är möjligt att ta den direkta produkten av mer än två grupper samtidigt. För en ändlig sekvens av grupper, den direkta produkten $G_{1},...,G_{n}$

{\displaystyle \prod _{i=1}^{n}G_{i}\;=\;G_{1}\times G_{2}\times \cdots \times G_{n))

definieras enligt följande:

Elementen är tuplar , var för någon . ${\displaystyle G_{1}\times \cdots \times G_{n))$ $(g_{1},...,g_{n})$ $g_{i}\in G_{i}$ $i$
Operationen på definieras komponentmässigt: ${\displaystyle G_{1}\times \cdots \times G_{n))$ $(g_{1},...,g_{n})(g'_{1},...,g'_{n})=(g_{1}g'_{1}, ...,g_{n}g'_{n})$ .

Den har många av de egenskaper som en direkt produkt av två grupper har, och kan karakteriseras algebraiskt på liknande sätt.

Oändliga direkta produkter

Det är också möjligt att ta den direkta produkten av ett oändligt antal grupper. För en oändlig sekvens av grupper kan detta definieras på exakt samma sätt som för en finit direkt produkt, där elementen i den oändliga direkta produkten är oändliga tupler. $G_{1},G_{2},...$

Mer generellt, för en indexerad familj av grupper, definieras den direkta produkten enligt följande: $\{G_{i}\}_{i\in I}$ ${\displaystyle \Pi _{i\in I}G_{i))$

Elementen är elementen i den oändliga kartesiska produkten av mängder ; d.v.s. elementen i en oändlig kartesisk produkt kan förstås som funktioner med egenskapen att för varje . ${\displaystyle \Pi _{i\in I}G_{i))$ $G_{i}$ ${\displaystyle f:I\rightarrow \bigcup _{i\in I}G_{i))$ $f(i)\in G_{i}$ $i$
Produkten av två element definieras komponent för komponent: $f, g$ $(f\cdot g)(i)=f(i)\cdot g(i)$ .

Till skillnad från en ändlig direkt produkt genereras inte en oändlig direkt produkt av element i isomorfa undergrupper . Istället ger dessa undergrupper upphov till den direkta produktundergruppen känd som den oändliga direkta summan , som består av alla element som endast har ett ändligt antal icke-identitetskomponenter. ${\displaystyle \Pi _{i\in I}G_{i))$ $\{G_{i}\}_{i\in I}$

Andra verk

Halvdirekta produkter

Kom ihåg att en grupp med undergrupper och är isomorf till en direkt produkt och om den uppfyller följande tre villkor: $P$ $G$ $H$ $G$ $H$

Korsningen är en trivial grupp. $G\cap H$
Varje element från kan representeras unikt som produkten av ett element från och ett element från . $P$ $G$ $H$
Och , och är normala i . $G$ $H$ $P$

Den halvdirekta produkten och erhålls genom att försvaga det tredje tillståndet, så att endast en av de två undergrupperna måste vara normal. Den resulterande produkten består fortfarande av ordnade par , men med en något mer komplex multiplikationsregel. $G$ $H$ $G$ $H$ $(g,h)$

Det är också möjligt att helt slappna av det tredje tillståndet utan att kräva att någon av undergrupperna är normala. I det här fallet kallas gruppen Zappa-Sep-produkten av grupperna och . $P$ $G$ $H$

Gratis verk

Den fria produkten av grupperna och , vanligtvis betecknad som , liknar den direkta produkten, förutom att undergrupperna och grupperna inte behöver pendla. Nämligen om $G$ $H$ $G*H$ $G$ $H$ $G*H$

G=\langle ~S_{G}~|~R_{G}~\rangle

och ,

H=\langle ~S_{H}~|~R_{H}~\rangle

är presentationer av och , då $G$ $H$

G*H=\langle ~S_{G}\cup S_{H}~|~R_{G}\cup R_{H}~\rangle

Till skillnad från den direkta produkten kan elementen i en gratis produkt inte representeras i ordnade par. Dessutom är den fria produkten av två icke-triviala grupper oändlig. En gratis produkt är konstigt nog en samprodukt i kategorin grupper .

Underdirekta produkter

Om och är grupper, så är den underdirekta produkten av och vilken undergrupp som helst som kartläggs surjektivt in i och under projektionshomomorfismer. Enligt Goursat -lemmat är varje subdirekt produkt fibrerad. $G$ $H$ $G$ $H$ $G\ gånger H$ $G$ $H$

Stratifierade produkter

Låt , och vara grupper, och låt och vara homomorfismer. Den fiberbaserade produkten och över är följande undergrupp : $G$ $H$ $F$ $\varphi :G\rightarrow Q$ $\chi :H\rightarrow Q$ $G$ $H$ $F$ $G\ gånger H$

{\displaystyle G\times _{Q}H=\{(g,h)\in G\times H:\varphi (g)=\chi (h)\))

Om och är epimorfismer av , så är detta en underdirekt produkt. $\varphi :G\rightarrow Q$ $\chi :H\rightarrow Q$

Anteckningar

↑ Joseph Gallian. Modern abstrakt algebra. - 7:e upplagan - Cengage Learning, 2010. - 157 sid. — ISBN 9780547165097 .

Litteratur

Michael Artin. Algebra. - Prentice Hall, 1991. - ISBN 978-0-89871-510-1 .
Israel Nathan Herstein. Abstrakt algebra. - 3:e uppl. - Saddle River, NJ: Prentice Hall Inc., 1996. - ISBN 978-0-13-374562-7 .
Israel Nathan Herstein. Ämnen i algebra. - 2:a uppl. - Lexington, Massachusetts: Xerox College Publishing, 1975.
Serge Leng. Algebra. - reviderad 3:e uppl. - New York: Springer-Verlag, 2002. - ISBN 978-0-387-95385-4 .
Serge Leng. grundutbildning algebra. - 3:e uppl. - Berlin, New York: Springer-Verlag, 2005. - ISBN 978-0-387-22025-3 .
Derek John Scott Robinson. Gruppteorikurs. - New York: Springer-Verlag, 1996. - ISBN 978-0-387-94461-6 .