Riemann-Rochs sats

Riemann-Roch-satsen relaterar den komplexa analysen av sammankopplade kompakta Riemannytor till det rent topologiska släktet av ytan g , med hjälp av metoder som kan utvidgas till rent algebraiska situationer.

Ursprungligen bevisades av Riemann som Riemanns ojämlikhet [1] , satsen fick sin slutgiltiga form för Riemann-ytor efter arbetet av Riemanns elev Gustav Roch [2] , som dog tidigt . Satsen generaliserades senare till algebraiska kurvor och till varianter .

Inledande anmärkningar

Riemannytan X är ett topologiskt rum som är lokalt homeomorft till en öppen delmängd av de komplexa talen. Dessutom krävs att övergångsfunktionerna mellan dessa öppna delmängder är holomorfa . Det sista villkoret tillåter en att överföra begreppen komplex analys till ytan X , i synnerhet kan man tala om holomorfa och meromorfa funktioner på X.

Ytan X kommer att antas vara kompakt . Släktet g för en Riemann-yta X är antalet handtag på ytan. Till exempel är släktet av Riemann-ytan som visas till höger tre. Släktet kan också definieras som hälften av det första Betti-talet , det vill säga hälften av den komplexa dimensionen av den första singularhomologigruppen H 1 ( X , C ) med komplexa koefficienter. Släktet klassificerar kompakta Riemann-ytor upp till homeomorphism , det vill säga två sådana ytor är homeomorfa om och endast om deras släkte är detsamma. Å andra sidan visar Hodge-teorin att släktet sammanfaller med den (komplexa) dimensionen av rymden av holomorfa 1-former på X , så att släktet även kodar för komplex-analytisk information om Riemannytan [3] .

Divisorn D är ett element i den fria abelska gruppen som genereras av ytans punkter. På motsvarande sätt är en divisor en finit linjär kombination med heltalskoefficienter för punkter på ytan.

Varje meromorf funktion f ger en divisor, betecknad med ( f ), som definieras som

{\displaystyle (f):=\sum _{z_{\nu }\in R(f)}s_{\nu }z_{\nu ))

där R ( f ) är mängden av alla nollor och poler i funktionen f , och s ν definieras enligt följande

s_{\nu }:=a

, om det är en noll av ordningen a , och -a om det är en pol av ordningen a.

z_{\nu }

z_{\nu }

Det är känt att mängden R ( f ) är finit. Detta är en konsekvens av kompaktheten hos X och det faktum att nollorna för en (icke-noll) holomorf funktion inte har några gränspunkter . Således är ( f ) väldefinierat. Varje divisor av detta slag kallas en principal divisor. Två divisorer som skiljer sig åt med en huvuddivisor sägs vara linjärt ekvivalenta . En divisor av en meromorf 1-form definieras på liknande sätt. Divisorn för en global meromorf 1-form kallas den kanoniska divisorn (vanligtvis betecknad med K ). Alla två meromorfa 1-former ger linjärt ekvivalenta divisorer, så den kanoniska divisorn är unikt definierad upp till linjär ekvivalens.

Symbolen deg( D ) betyder graden (kallas ibland index) för divisorn D , det vill säga summan av koefficienterna som förekommer i D . Det kan visas att divisorn för en global meromorf funktion alltid har grad 0, så att divisorns grad beror endast på den linjära ekvivalensklassen.

Siffran är kvantiteten av primärt intresse — dimensionen (över C ) av vektorrummet för meromorfa funktioner h på ytan så att alla koefficienter för divisorn ( h ) + D är icke-negativa. Intuitivt kan vi tänka på dem som meromorfa funktioner vars poler vid varje punkt inte är sämre än motsvarande koefficienter D . Om koefficienten i D vid z är negativ, så kräver vi att h har en nollgrad på åtminstone multiplicitet vid z , om koefficienten i D är positiv kan h ha en pol högst i den ordningen. Vektorutrymmen för linjärt ekvivalenta divisorer är naturligt isomorfa via multiplikation med en global meromorf funktion (som är unikt definierad upp till en skalär). $\ell (D)$

Uttalande av satsen

Riemann–Roch-satsen för en kompakt Riemannyta av släktet g med kanonisk divisor K säger att

\ell (D)-\ell (KD)=\deg(D)-g+1.

Vanligtvis är talet det tal du letar efter medan det behandlas som en korrigeringsterm (även kallat specialitetsindex [4] [5] ), så satsen kan grovt omformuleras till att säga $\ell (D)$ $\ell (KD)$

dimension - korrigering = grad - genus + 1.

Den korrigerande termen är alltid icke-negativ, så $\ell (KD)$

\ell (D)\geq \deg(D)-g+1.

Detta uttryck kallas Riemanns ojämlikhet . Rochs bidrag till detta uttalande är att beskriva den möjliga skillnaden mellan de två delarna av ojämlikheten. På en allmän Riemannyta av släktet g har K grad 2g − 2. Detta kan erhållas genom att sätta D = K i satsen. Speciellt om D har grad minst 2g − 1 är korrigeringstermen 0, så att

\ell (D)=\deg(D)-g+1.

Det finns också ett antal andra närbesläktade satser - en likvärdig formulering av satsen med hjälp av linjebuntar och en generalisering av satsen till algebraiska kurvor .

Exempel

Satsen kan illustreras genom att välja en punkt P på den aktuella ytan och ta hänsyn till talföljden

\ell (n\cdot P),n\geq 0

det vill säga dimensionerna av funktionsrummet som är holomorfa överallt utom i punkten P , där funktionen får ha en ordningspol högst n . För n = 0 måste funktionerna då vara heltal , dvs. holomorf på hela ytan X . Enligt Liouvilles teorem måste en sådan funktion vara en konstant. Alltså ,. I allmänhet ökar sekvensen . $\ell (0)=1$ $\ell (n\cdot P)$

Genus 0

Riemann-sfären (även kallad den komplexa projektiva linjen) är helt enkelt ansluten , och därför är dess första singulära homologi noll. I synnerhet är dess släkte noll. Sfären kan täckas med två kopior av C med övergångsfunktionen som ges av

\mathbf {C} ^{\times }\ni z\mapsto 1/z.

Således sträcker sig formen ω = d z på en kopia av C till en meromorf form på Riemann-sfären - den har en dubbelpol i oändligheten, eftersom

d\left({\frac {1}{z}}\right)=-{\frac {1}{z^{2}}}\,dz.

Då är dess divisor K := div( ω ) = −2 P (där P är en punkt i oändligheten).

Således säger satsen att sekvensen är av formen $\ell (n\cdot P)$

1, 2, 3, … .

Samma sekvens kan härledas från teorin om expansion till elementära fraktioner . Omvänt, om sekvensen börjar så här måste g vara noll.

Genus 1

Nästa fall är Riemann-ytor av släktet g = 1, såsom torus C /Λ, där Λ är ett tvådimensionellt gitter (en grupp som är isomorf till Z 2 ). Dess släkte är lika med ett - dess första singulära homologigrupp genereras fritt av två slingor, som visas i figuren till höger. Den vanliga komplexa koordinaten z på C ger en 1-form ω = d z på X som överallt är holomorf, det vill säga den har inga poler alls. Därför är K , divisorn för ω, lika med noll.

På denna yta kommer sekvensen att se ut

1, 1, 2, 3, 4, 5 … ;

och detta kännetecknar fallet g = 1. Dessutom, för , som nämnts ovan. För D = nP med n > 0 är potensen av K − D strikt negativ, så korrigeringstermen är noll. Följden av dimensioner kan också härledas från teorin om elliptiska funktioner . $D=0,\ell (KD)=\ell (0)=1$

Genus 2 och högre

För g = 2 skulle sekvensen som nämns ovan vara

1, 1, ?, 2, 3, … .

Finns det någon medlem här? grad 2 är 1 eller 2 beroende på punkten. Det kan bevisas att på vilken kurva som helst av släktet 2 finns det exakt sex punkter med sekvensen 1, 1, 2, 2, …, och de återstående punkterna har sekvensen 1, 1, 1, 2, … I synnerhet en kurva av släkte 2 är en hyperelliptisk kurva . För g > 2 är det alltid sant att sekvensen av de flesta punkter börjar med g+1 ettor och det finns ändligt många punkter med andra sekvenser (se Weierstrass-punkter ).

Riemann-Rochs sats för linjebuntar

Med hjälp av den nära överensstämmelsen mellan divisorer och holomorfa linjebuntar på en Riemann-yta kan vi formulera satsen i en annan men fortfarande likvärdig form. Låt L vara en holomorf linjebunt på X . Låt beteckna utrymmet för holomorfa sektioner L . Detta utrymme kommer att vara ändligt dimensionellt och denna dimension betecknas som . Låt K beteckna den kanoniska bunten på X . Sedan säger Riemann-Rochs sats det $H^{0}(X,L)$ $h^{0}(X,L)$

h^{0}(X,L)-h^{0}(X,L^{-1}\otimes K)=\deg(L)+1-g.

Satsen från föregående avsnitt är ett särskilt fall när L är en punktbunt.

Satsen kan användas för att visa att det finns g holomorfa sektioner av K eller 1-former på X . Om vi tar den triviala bunten som L får vi , eftersom endast konstanta funktioner på X är holomorfa. Graden av L är lika med noll och är en trivial fibrering. Sedan $h^{0}(X,L)=1$ $L^{{-1}}$

1-h^{0}(X,K)=1-g.

Alltså , vilket bevisar att det finns g holomorfa 1-former. $h^{0}(X,K)=g$

Riemann-Rochs sats för algebraiska kurvor

Varje term i ovanstående formulering av Riemann-Roch-satsen för divisorer på Riemann-ytor har en analog i algebraisk geometri . En analog till en Riemann-yta är en icke- singular algebraisk kurva C över ett fält k . Skillnaden i terminologi (kurvor istället för ytor) uppstår eftersom dimensionen av en Riemann-yta som ett verkligt grenrör är två, men som ett komplext grenrör är det ett. Riemannytans kompakthet beror på villkoret att den algebraiska kurvan är komplett , vilket är ekvivalent med dess projektivitet . Över ett allmänt fält k finns det ingen bra föreställning om singular (sam)homologi. Det så kallade geometriska släktet definieras som

g(C):=\dim _{k}\Gamma (C,\Omega _{C}^{1})

det vill säga som dimensionen av rummet av globalt definierade (algebraiska) 1-former (se Kähler differential ). Slutligen representeras meromorfa funktioner på en Riemann-yta lokalt som partiella holomorfa funktioner. Därför ersätts de av rationella funktioner som lokalt är delar av vanliga funktioner . Således, om vi betecknar med dimensionen (över k ) utrymmet för rationella funktioner på en kurva vars poler i varje punkt inte är sämre än motsvarande koefficienter i D , gäller samma formel som ovan: $\ell (D)$

\ell (D)-\ell (KD)=\deg(D)-g+1.

där C är en projektiv icke-singular algebraisk kurva över ett algebraiskt slutet fält k . Faktum är att samma formel gäller för projektiva kurvor över vilket fält som helst, förutom att multipliciteten av punkterna [6] måste tas med i beräkningen när graden av divisor beräknas . Slutligen, för en lämplig kurva över en artinisk ring , ges Euler-karaktäristiken för linjebunten som är associerad med divisorn av graden av divisor (korrekt definierad), plus Euler-karakteristiken för strukturkärven [7] . $\mathcal O$

Jämnhetsantagandet i satsen kan också försvagas — för en (projektiv) kurva över ett algebraiskt slutet fält, vars alla lokala ringar är Gorenstein-ringar , gäller samma påstående som ovan, förutom att det geometriska släktet ersätts med det aritmetiska släktet g a , definierat som

g_{a}:=\dim _{k}H^{1}(C,{\mathcal {O}}_{C}).

[åtta]

(För släta kurvor är det geometriska släktet detsamma som det aritmetiska släktet.) Satsen har också utvidgats till allmänna singularkurvor (och högredimensionella grenrör) [9] .

Bevis

Påståendet för algebraiska kurvor kan bevisas med Serre-dualitet . Heltalet I ( D ) är dimensionen av utrymmet för globala sektioner av linjebunten som är associerad med D . När det gäller kohomologi av kärvar har vi därför och på samma sätt . Serre-dualitet för icke-singulära projektiva varianter i det speciella fallet med en kurva tillstånd som är isomorf till det dubbla utrymmet . Den vänstra sidan är då lika med Euler-karakteristiken för divisorn D . Om D = 0, finner vi Euler-karakteristiken för strukturkärven, som är lika per definition. För att bevisa satsen för allmänna divisorer kan man lägga till punkter en efter en till divisorn och ta bort några och bevisa att Euler-karaktäristiken transformeras enligt den högra sidan. ${\mathcal {L}}(D)$ $I(D)=\mathrm {dim} H^{0}(X,{\mathcal {L}}(D))$ $I({\mathcal {K}}_{X}-D)=\dim H^{0}(X,\omega _{X}\otimes {\mathcal {L}}(D)^{ \vee})$ $H^{0}(X,\omega _{X}\otimes {\mathcal {L))(D)^{\vee })$ $\simeq H^{1}(X,{\mathcal {L}}(D))^{\vee }$ $1-g$

Satsen för kompakta Riemann-ytor kan härledas från den algebraiska versionen med hjälp av Chou-satsen och GAGA- principen (Géometrie Algébrique et Géométrie Analytique). Faktum är att varje kompakt Riemann-yta definieras av algebraiska ekvationer i något komplext projektivt utrymme. (Chows teorem anger att varje sluten analytisk undergren av ett projektivt utrymme definieras av algebraiska ekvationer, och GAGA-principen säger att kohomologin för skivor av en algebraisk sort är densamma som kohomologin för skivor av en analytisk sort definierad av några ekvationer. )

Applikationer

En irreducerbar plan algebraisk kurva av grad d har singulära punkter, om det anses lämpligt. Det följer att om en kurva har distinkta singulära punkter, så är den en rationell kurva och medger en rationell parametrisering. $(d-1)(d-2)/2-g$ $(d-1)(d-2)/2$

Riemann-Hurwitz-formeln , som refererar till (förgrenade) avbildningar mellan Riemann-ytor eller algebraiska kurvor, är en följd av Riemann-Roch-satsen.

Cliffords speciella divisorsats är också en konsekvens av Riemann-Rochs teorem. Hon hävdar att för en speciell divisor (det vill säga sådan att) som uppfyller villkoretgäller följande [10] : $\ell (KD)>0$ $\ell (D)>0$

\ell (D)\leq {\frac {\deg D}{2}}+1.

Generaliseringar av Riemann-Rochs sats

Riemann-Roch-satsen för kurvor bevisades för Riemann-ytor av Riemann och Roch på 1850-talet, och för algebraiska kurvor av Friedrich Karl Schmidt 1931, som arbetade med perfekta fält med ändliga egenskaper . Enligt Peter Rockett :

FK Schmidts första stora bedrift var upptäckten av det faktum att den klassiska Riemann-Roch-satsen om kompakta Riemann-ytor kan överföras till ett funktionsfält med ett ändligt basfält. Faktum är att hans bevis på Riemann-Roch-satsen fungerar för godtyckliga perfekta basfält, inte nödvändigtvis ändliga.

Satsen är grundläggande i den meningen att senare teori för kurvor försöker förfina informationen som erhålls från satsen (till exempel i Brill-Noether-teorin ).

Det finns versioner för högre dimensioner (med den lämpliga föreställningen om en divisor eller linjebunt ). Deras formulering beror på att man delar upp satsen i två delar. Den första, nu kallad Serre-dualitet , tolkar termen som dimensionen av den första kohomologigruppen av kärvar . När den är lika med dimensionen av nollkohomologigruppen eller utrymmet av sektioner, blir den vänstra sidan av satsen Euler-karaktäristiken , och den högra sidan blir en formel för att beräkna den som en grad korrigerad enligt Riemannytans topologi. $\ell (KD)$ $\ell (D)$

I algebraisk geometri av dimension två hittades en sådan formel av geometrarna i den italienska skolan . Riemann-Roch-satsen för ytor har bevisats (det finns flera versioner, det första beviset beror på Max Noether ). Detta tillstånd fortsatte fram till omkring 1950.

En generalisering för n - dimensionella grenrör, Hirzebruch–Riemann–Roch-satsen , bevisades av Friedrich Hirzebruch som en tillämpning av karakteristiska klasser från algebraisk topologi . Hirzebruch var influerad av Kunihiko Kodairas arbete . Ungefär samtidigt gav Jean-Pierre Serre den allmänna formen av dualitet som vi nu känner den.

Alexander Grothendieck bevisade en långtgående generalisering 1957, nu känd som Grothendieck-Riemann-Roch-satsen . Hans arbete ger en annan tolkning av Riemann-Roch-satsen, inte som en mångfaldig sats, utan som en morfismsats mellan två mångfalder. Detaljer om beviset publicerades av Borel och Serre 1958.

Slutligen har en allmän version också hittats i algebraisk topologi . Dessa studier utfördes huvudsakligen mellan 1950 och 1960. Efter det öppnade Atiyah-Singer-indexsatsen för andra generaliseringsvägar.

Resultatet är det faktum att Euler-egenskapen (för en sammanhängande kärve ) ibland är helt beräkningsbar. Om en enskild summaterm ska beräknas måste andra argument användas, till exempel försvinnande satser.

Anteckningar

↑ Riemann, 1857 .
↑ Roch, 1865 .
↑ Griffiths, Harris, 1994 , sid. 116, 117.
↑ Stichtenoth, 1993 , sid. 22.
↑ Mukai, 2003 , sid. 295–297.
↑ Liu, 2002 , sid. Avsnitt 7.3.
↑ Altman, Kleiman, 1970 , sid. 164, sats VIII.1.4..
↑ Hartshorne, 1986 , sid. 375–386.
↑ Baum, Fulton, MacPherson, 1975 , sid. 101–145.
↑ Fulton, 1989 , sid. 109.

Litteratur

Qing Liu. Algebraisk geometri och aritmetiska kurvor. - Oxford University Press , 2002. - ISBN 978-0-19-850284-5 .
Allen Altman, Steven Kleiman. Introduktion till Grothendiecks dualitetsteori. - Berlin, New York: Springer-Verlag , 1970. - V. 146. - (Lecture Notes in Mathematics).
William Fulton . Algebraiska kurvor . - Addison-Wesley , 1989. - (Avancerade bokklassiker). - ISBN 978-0-201-51010-2 .
Robin Hartshorne . Generaliserade divisorer på Gorenstein-kurvor och ett teorem från Noether // Journal of Mathematics vid Kyoto University. - 1986. - T. 26 . — S. 375–386 . — ISSN 0023-608X . Arkiverad från originalet den 7 oktober 2013.
Paul Baum, William Fulton , Robert MacPherson . Riemann–Roch för singulära sorter // Publications Mathématiques de l'IHÉS . - 1975. - S. 101-145 . — ISSN 1618-1913 .
Borel, Armand, Serre, Jean-Pierre (1958). Le theorème de Riemann-Roch, d'apres Grothendieck. - Bull.SMF 86. - 1958. - S. 97-136.
Phillip Griffiths , Joe Harris. Principer för algebraisk geometri. - New York: John Wiley & Sons , 1994. - (Wiley Classics Library). — ISBN 978-0-471-05059-9 .
Alexander Grothendieck, et al. Théorie des Intersections et Théorème de Riemann–Roch // Seminaire de Geometrie Algebrique du Bois Marie 1966/67 (SGA 6). - Springer-Verlag, 1971. - T. 225. - (LNM). - ISBN 978-3-540-36936-3 .
William Fulton . Algebraiska kurvor . - W. A. Benjamin, 1974. - (Mathematics Lecture Note Series). - ISBN 0-8053-3080-1 .
Jürgen Jost. Kompakta Riemann Ytor. - Berlin, New York: Springer-Verlag , 2006. - ISBN 978-3-540-33065-3 . Se sidorna 208-219 för ett bevis på den komplexa situationen. Observera att Jost använde något annorlunda notation.
Robin Hartshorne . Algebraisk geometri . - Berlin, New York: Springer-Verlag , 1977. - ISBN 978-0-387-90244-9 . Innehåller ett uttalande för kurvor på algebraiskt slutna fält. Se avsnitt IV.1.
Hazewinkel, Michiel, red. (2001), p/r081980 , Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4
Friedrich Hirzebruch . Topologiska metoder i algebraisk geometri. - Berlin, New York: Springer-Verlag , 1995. - (Klassiker i matematik). - ISBN 978-3-540-58663-0 . . Bra allmän modern utsikt.
Shigeru Mukai. An Introduction to Invariants and Moduli / William Oxbury (översättning). - New York: Cambridge University Press, 2003. - T. 81. - (Cambridge studier i avancerad matematik). - ISBN 0-521-80906-1 .
Narasimhan MS Vector-buntar på kompakta Riemann-ytor. - 1976. - S. 5–6. — ISBN 92-0-130576-1 .
Bernard Riemann . Theorie der Abel'schen Functionen // Journal für die reine und angewandte Mathematik. - 1857. - T. 54 . — S. 115–155 . - doi : 10.1515/crll.1857.54.115 .
Gustav Roch . Ueber die Anzahl der willkurlichen Constanten in algebraischen Functionen // Journal für die reine und angewandte Mathematik. - 1865. - T. 64 . — S. 372–376 . - doi : 10.1515/crll.1865.64.372 .
Friedrich Karl Schmidt. Analytische Zahlentheorie in Körpern der Charakteristik p // Mathematische Zeitschrift . - 1931. - T. 33 . — S. 1–32 . - doi : 10.1007/BF01174341 . Arkiverad från originalet den 22 december 2017.
Henning Stichtenoth. Algebraiska funktionsfält och koder. - Springer-Verlag, 1993. - ISBN 3-540-56489-6 .
Misha Kapovich . Riemann-Rochs teorem (föreläsningsanteckning) en elementär introduktion .
Gray J. Riemann –Rochs sats och geometri 1854–1914 .
Georges Elencwajg. Finns det en Riemann-Roch för jämna projektiva kurvor över ett godtyckligt fält? // MathOverflow . — 2011.

Algebraiska kurvor

Rationella
kurvor

Konisk definierad av fem punkter
Projektiv linje
Rationell normalkurva
Riemann sfär
Icke-plan kurva av tredje ordningen

Elliptiska
kurvor

Analytisk teori	Elliptisk funktion Elliptisk integral Grundläggande periodpar modulär form
Aritmetisk teori	Räkna punkter på en elliptisk kurva Divisionspolynom Hasses sats om elliptiska kurvor Mazurs torsionssats Modulär elliptisk kurva Modularitetsteorem Mordell-Weils sats Nagell-Lutz teorem Supersingular elliptisk kurva Shufs algoritm Shoof-Elkis-Atkin-algoritm
Ansökningar	Elliptisk kryptografi Primalitetstest med elliptiska kurvor

högre
släkte

Franciskus teorem
Faltings sats
Hurwitzs automorfismteorem
Hurwitz yta
hyperbolisk kurva

Platta
kurvor

Sats AF+BG
Bezouts teorem
bicangent
Cayley-Bacharachs sats
konisk sektion
Cramers paradox
kub
Krokig gård
Formeln för kopplingen av släktet och kurvans grad
Hilberts sextonde problem
Nagatas gissning för kurvor
Plücker formel
Platt kurva av fjärde graden
Verklig plan kurva

Riemann
ytor

Belys teorem
Bolz yta
Kompakt riemannsk strävhet
Barnteckning
Abelsk differential
Klein kvarts
Riemanns existenssats
Riemann-Rochs sats
Teichmüller utrymme
Torellis sats

Byggnader

Dubbel kurva
Pol och polar
Smidig fortsättning

Kurvstruktur
_

Kurvors delare	Abel–Jacobi kartläggning Brill-Noether teori Cliffords teorem om speciella divisorer Gonalitet av den adhebraiska kurvan Jacobi sort Riemann-Rochs sats Weierstrass punkt Weyls lag om ömsesidighet
Moduler	ELSV formel Gromov-Witten invariant Hodge bunt Riemann ytmoduler stabil kurva
Morfismer	Hasse–Witt matris Riemann-Hurwitz formel Prima grenrör Webers sats
Singular poäng	Isolerad kurvpunkt dubbelpunkt Casp delta invariant Självberöringspunkt
Vektor buntar	Birkhoff-Grothendiecks sats Stabil vektorbunt Vektorbuntar av algebraiska kurvor