Elliptisk ekvation

Elliptiska ekvationer  är en klass av partiella differentialekvationer som beskriver stationära processer.

Definition

Betrakta den allmänna formen av en skalär partiell differentialekvation av andra ordningen med avseende på funktionen :

I detta fall skrivs ekvationen i en symmetrisk form, det vill säga: . Sedan den ekvivalenta ekvationen i form av en kvadratisk form :

,

var . Matrisen kallas matrisen av huvudkoefficienter . Om alla matrisens egenvärden har samma tecken, så är ekvationen av elliptisk typ [1] . En annan, ekvivalent definition: en ekvation kallas elliptisk om den kan representeras som:


,

var  är en elliptisk operator .

Elliptiska ekvationer är motsatta paraboliska och hyperboliska , även om denna klassificering inte är uttömmande.

Lösa elliptiska ekvationer

För analytisk lösning av elliptiska ekvationer under givna randvillkor används Fouriervariabelseparationsmetoden , Greens funktionsmetod och potentialmetoden .

Exempel på elliptiska ekvationer

I matematisk fysik uppstår elliptiska ekvationer i problem som endast reduceras till rumsliga koordinater: antingen beror ingenting på tid (stationära processer), eller så är det på något sätt uteslutet.

Samt många andra stationära analoger av hyperboliska och paraboliska ekvationer.

Se även

Anteckningar

  1. Tikhonov A.N. , Samarsky A.A. Ekvationer av matematisk fysik. - 5:e uppl. — Moskva: Nauka, 1977.