Elliptisk ekvation

Elliptiska ekvationer är en klass av partiella differentialekvationer som beskriver stationära processer.

Definition

Betrakta den allmänna formen av en skalär partiell differentialekvation av andra ordningen med avseende på funktionen : $u:R^{n}\högerpil R$

\sum _{{i=1}}^{n}\summa _{{j=1}}^{n}a_{{ij}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_ {i}\partial x_{j}}}+\sum _{{k=1}}^{n}b_{k}{\frac {\partial u}{\partial x_{k}}}+cu= f(x_{1},\ldots,x_{n})

I detta fall skrivs ekvationen i en symmetrisk form, det vill säga: . Sedan den ekvivalenta ekvationen i form av en kvadratisk form : $a_{{ij}}=a_{{ji}}$

\left(\nabla A\nabla ^{T}\right)u+{\mathbf {b}}\cdot \nabla u+cu=f(x_{1},\ldots ,x_{n})

var . Matrisen kallas matrisen av huvudkoefficienter . Om alla matrisens egenvärden har samma tecken, så är ekvationen av elliptisk typ [1] . En annan, ekvivalent definition: en ekvation kallas elliptisk om den kan representeras som: $A=A^{T}$
$A$
$A$

Lu=f(x_{1},\ldots ,x_{{n}})

var är en elliptisk operator . $L$

Elliptiska ekvationer är motsatta paraboliska och hyperboliska , även om denna klassificering inte är uttömmande.

Lösa elliptiska ekvationer

För analytisk lösning av elliptiska ekvationer under givna randvillkor används Fouriervariabelseparationsmetoden , Greens funktionsmetod och potentialmetoden .

Exempel på elliptiska ekvationer

I matematisk fysik uppstår elliptiska ekvationer i problem som endast reduceras till rumsliga koordinater: antingen beror ingenting på tid (stationära processer), eller så är det på något sätt uteslutet.

Laplaces ekvation och Poissons ekvation beskriver olika stationära fysiska fält.
Stationär analog till Schrödinger-ekvationen , när ett harmoniskt tidsberoende antas.
Ekvationer härledda från Maxwells ekvationer . Sådana erhålls från antagandet att det elektromagnetiska fältet antingen inte förändras över tiden, eller ändras enligt en harmonisk lag. En av ekvationerna som erhålls under sådana antaganden är Helmholtz-ekvationen .
Stokes ekvation är en stationär analog av Navier-Stokes ekvationssystem , för ett jämnt flöde.

Samt många andra stationära analoger av hyperboliska och paraboliska ekvationer.

Se även

Anteckningar

↑ Tikhonov A.N. , Samarsky A.A. Ekvationer av matematisk fysik. - 5:e uppl. — Moskva: Nauka, 1977.

Matematisk fysik

Typer av ekvationer

Gränsförhållanden

Ekvationer av matematisk fysik

Diffusion och konvektion	Värmeekvationen Diffusionsekvation Mason-Weavers ekvation
Hydrodynamik	Överföringsekvation Navier-Stokes ekvationer Eulers ekvation Gromeka-Lamb ekvation Vortex ekvation Burgers ekvation grunt vatten ekvationer Korteweg-de Vries ekvation
Elektromagnetism	Maxwells ekvationer Helmholtz ekvation Landau-Lifshitz ekvation Avskärmad Poisson-ekvation
Kvantmekanik	Schrödinger ekvation Heisenbergs ekvation Rarita-Schwingers ekvation Hartrees ekvation Dirac ekvation Klein-Gordons ekvation
Allmänna modeller	Kontinuitetsekvation vågekvationen Fokker-Plancks ekvation Poissons ekvation

Lösningsmetoder

Metoder för att lösa differentialekvationer

Rutnätsmetoder

Finita elementmetoder	Finita elementmetod Galerkin metod Diskontinuerlig Galerkin-metod Flerskalig finita elementmetod Multigrid-metod
Andra metoder	Ändlig skillnadsmetod Metod med ändlig volym Godunovs metod Gränselementmetod

Icke-grid-metoder

Studie av ekvationer

Relaterade ämnen