Vektor (geometri)

En vektor är ett riktat segment av en rät linje, det vill säga ett segment för vilket det anges vilken av dess gränspunkter som är början och vilken som är slutet [1] .

En vektor som börjar vid en punkt och slutar vid en punkt betecknas vanligtvis som . Vektorer kan också betecknas med små latinska bokstäver med en pil (ibland ett streck) ovanför dem, till exempel . En annan vanlig notation är att skriva vektortecknet i vanlig fet stil: . $A$ $B$ $\overrightarrow {AB}$ ${\vec {a}}$ ${\mathbf {a}}$

En vektor i geometrin är naturligt förknippad med en överföring ( parallell överföring ), vilket uppenbarligen klargör ursprunget till dess namn ( lat. vektor , bärare ). Så varje riktat segment definierar unikt någon form av parallell translation av planet eller rymden: säg, vektorn bestämmer naturligt translationen, där punkten går till punkten , och vice versa, parallellöversättningen, där den går till , definierar ett enda riktat segment (det enda - om vi betraktar alla riktade segment av samma riktning och längd lika - det vill säga betrakta dem som fria vektorer ; faktiskt, med parallell överföring förskjuts alla punkter i samma riktning med samma avstånd , så i denna mening ). $\overrightarrow {AB}$ $A$ $B$ $A$ $B$ $\overrightarrow {AB}$ $\overrightarrow {A_{1}B_{1}}=\overrightarrow {A_{2}B_{2}}=\overrightarrow {A_{3}B_{3}}=\dots$

Tolkningen av en vektor som en översättning tillåter oss att introducera operationen av vektortillägg på ett naturligt och intuitivt uppenbart sätt - som en sammansättning (på varandra följande tillämpning) av två (eller flera) översättningar; detsamma gäller operationen att multiplicera en vektor med ett tal.

Grundläggande begrepp

En vektor är ett riktat segment som är konstruerat från två punkter, varav en anses vara början och den andra slutet.

Vektorkoordinaterna definieras som skillnaden mellan koordinaterna för dess slut- och startpunkter. Till exempel, på koordinatplanet, om koordinaterna för början och slutet anges: och , då kommer vektorns koordinater att vara: . $T_{1}=(x_{1},y_{1})$ $T_{2}=(x_{2},y_{2})$ ${\overrightarrow {V}}=T_{2}-T_{1}=(x_{2},y_{2})-(x_{1},y_{1})=(x_{2} -x_{1},y_{2}-y_{1})$

Längden på en vektor är avståndet mellan två punkter och , det betecknas vanligtvis ${\overrightarrow {V}}$ $T_{1}$ $T_{2}$ $|{\overrightarrow {V}}|=|T_{2}-T_{1}|=|(x_{2}-x_{1},y_{2}-y_{1})|={ \sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}$

Rollen som noll bland vektorerna spelas av nollvektorn , vars början och slut sammanfaller ; den, till skillnad från andra vektorer, är inte tilldelad någon riktning [2] . $T_{1}=T_{2}$

För koordinatrepresentationen av vektorer är konceptet med projektionen av en vektor på en axel (riktad linje, se figur) av stor betydelse . Projektionen är längden på segmentet som bildas av projektionerna av punkterna i början och slutet av vektorn på en given rät linje, och projektionen tilldelas ett plustecken om projektionens riktning motsvarar axelns riktning , annars - ett minustecken. Projektionen är lika med längden av den ursprungliga vektorn multiplicerad med cosinus för vinkeln mellan den ursprungliga vektorn och axeln; projektionen av vektorn på axeln vinkelrät mot den är lika med noll.

Applikationer

Vektorer används ofta inom geometri och tillämpad vetenskap, där de används för att representera kvantiteter som har riktning (krafter, hastigheter, etc.). Användningen av vektorer förenklar ett antal operationer - till exempel att bestämma vinklarna mellan räta linjer eller segment, beräkna arean av figurer . I datorgrafik används normala vektorer för att skapa rätt belysning för en kropp. Användningen av vektorer kan ligga till grund för koordinatmetoden .

Typer av vektorer

Ibland, istället för att betrakta uppsättningen av alla riktade segment som vektorer (att betrakta alla riktade segment vars början och slut inte sammanfaller som olika), tar man bara en viss modifiering av denna uppsättning ( faktoruppsättning ), det vill säga vissa riktade segment anses vara lika om de har samma riktning och längd, även om de kan ha olika början (och slut), det vill säga riktade segment av samma längd och riktning anses representera samma vektor; sålunda visar sig varje vektor motsvara en hel klass av riktade segment, identiska i längd och riktning, men olika i början (och slut).

Så de talar om "fria" , "glidande" och "fasta" vektorer . Dessa typer skiljer sig åt i begreppet likhet mellan två vektorer.

På tal om fria vektorer identifieras alla vektorer som har samma riktning och längd;
på tal om glidande vektorer, tillägger de att början av lika glidande vektorer måste sammanfalla eller ligga på samma räta linje, på vilken de riktade segmenten som representerar dessa vektorer ligger (så att en kan kombineras med en annan förskjutning i den riktning som den själv sätter in );
på tal om fasta vektorer, säger de att endast vektorer som har samma riktning och ursprung anses lika (det vill säga i det här fallet finns det ingen faktorisering: det finns inga två fasta vektorer med olika ursprung som skulle anses vara lika).

Formellt:

De säger att fria vektorer och är lika om det finns punkter och sådana som fyrkantar och är parallellogram . $\overrightarrow {AB}$ $\\överhögerpil {CD}$ $E$ $F$ $ABFE$ $CDFE$

De glidande vektorerna och sägs vara lika if $\overrightarrow {AB}$ $\\överhögerpil {CD}$

punkter ligger på samma linje $A,B,C,D$
vektorer och är lika med varandra som fria vektorer. $\overrightarrow {AB}$ $\\överhögerpil {CD}$

Glidande vektorer är särskilt användbara inom mekanik . Det enklaste exemplet på en glidvektor inom mekanik är en kraft som verkar på en stel kropp. Att överföra ursprunget för kraftvektorn längs den räta linje som den ligger på ändrar inte kraftmomentet kring någon punkt; att överföra den till en annan rät linje, även om du inte ändrar storleken och riktningen för vektorn, kan orsaka en förändring i dess moment (även nästan alltid): därför, när du beräknar momentet, kan du inte betrakta kraften som en fri vektor, det vill säga du kan inte anse att den tillämpas på en godtycklig punkt i en solid kropp.

Vi säger att fasta vektorer och är lika om punkterna och och och sammanfaller i par . $\overrightarrow {AB}$ $\\överhögerpil {CD}$ $A$ $C$ $B$ $D$

I ett fall kallas ett riktat segment en vektor, och i andra fall är olika vektorer olika ekvivalensklasser av riktade segment, definierade av någon specifik ekvivalensrelation . Dessutom kan ekvivalensrelationen vara annorlunda, vilket bestämmer typen av vektorn ("fri", "fast", etc.). Enkelt uttryckt, inom en ekvivalensklass, behandlas alla riktade segment som ingår i den som helt lika, och var och en kan representera hela klassen lika.

Alla operationer på vektorer (addition, multiplikation med ett tal, skalär- och vektorprodukter, beräkning av modul eller längd, vinkel mellan vektorer etc.) definieras i princip lika för alla typer av vektorer, skillnaden i typer minskas i endast i detta avseende för glidande och fasta vektorer, införs en begränsning av möjligheten att utföra operationer mellan två vektorer som har olika ursprung (till exempel för två fasta vektorer är addition förbjuden - eller meningslös - om deras början skiljer sig; dock , för alla fall när denna operation är tillåten - eller har samma betydelse som för fria vektorer). Därför anges ofta typen av en vektor inte explicit alls, det antas att det är uppenbart från sammanhanget. Dessutom kan samma vektor, beroende på problemets sammanhang, betraktas som fixerad, glidande eller fri, till exempel inom mekanik kan vektorerna för krafter som appliceras på en kropp summeras oavsett appliceringspunkten när man hittar resulterar i studiet av masscentrums rörelse, förändringar i momentum etc.), men kan inte läggas till varandra utan att ta hänsyn till applikationspunkterna vid beräkning av vridmomentet (även i statik och dynamik).

Relationer mellan vektorer

Två vektorer kallas kolinjära om de ligger på parallella linjer eller på samma linje. Två vektorer sägs vara samriktade om de är kolinjära och pekar i samma riktning, motsatt riktade om de är kolinjära och pekar i olika riktningar. Det finns en annan definition: två vektorer som inte är noll och kallas kolinjära om det finns ett antal så att [3] Tre vektorer kallas koplanära om de, reducerade till ett gemensamt ursprung, ligger i samma plan [3] . ${\vec {a}}$ ${\vec {b}}$ $\alfa$ ${\vec {a}}=\alpha {\vec {b}}$

Koordinatrepresentation

När man arbetar med vektorer introduceras ofta ett visst kartesiskt koordinatsystem och vektorns koordinater bestäms i det, vilket bryter ner det till basvektorer . Expansion i termer av basen kan representeras geometriskt med hjälp av projektioner av vektorn på koordinataxlarna. Om koordinaterna för början och slutet av vektorn är kända, erhålls koordinaterna för själva vektorn genom att subtrahera koordinaterna för dess början från koordinaterna för slutet av vektorn.

\overrightarrow {AB}=(AB_{x},AB_{y},AB_{z})=(B_{x}-A_{x},B_{y}-A_{y},B_{z}-A_ {z})

Som underlag väljs ofta koordinatvektorer , betecknade respektive med axlarna . Då kan vektorn skrivas som ${\vec {i}},{\vec {j}},{\vec {k}}$ $x,y,z$ ${\vec {a}}$

{\vec {a}}=a_{x}{\vec {i}}+a_{y}{\vec {j}}+a_{z}{\vec {k}}

Vilken geometrisk egenskap som helst kan skrivas i koordinater, varefter studien från den geometriska blir algebraisk och samtidigt ofta förenklad. Det omvända, generellt sett, är inte helt sant: det är vanligtvis brukligt att säga [4] att endast de relationer som gäller i något kartesiskt koordinatsystem ( invariant ) har en "geometrisk tolkning".

Operationer på vektorer

Vektormodul

Modulen för en vektor är ett tal lika med längden på segmentet . Betecknad som . För en tredimensionell vektor i ett kartesiskt koordinatsystem kan den beräknas som: $\overrightarrow {AB}$ $AB$ $|\överhögerpil {AB}|$

|{\vec {a}}|={\sqrt {a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}}}

Vektortillägg

I koordinatrepresentationen erhålls summavektorn genom att summera motsvarande koordinater för termerna:

{\vec {a}}+{\vec {b}}=(a_{x}+b_{x},a_{y}+b_{y},a_{z}+b_{z})

Olika regler (metoder) används för att konstruera summavektorn geometriskt , men de ger alla samma resultat. Användningen av den eller den regeln motiveras av att problemet löses. ${\vec {c}}={\vec {a}}+{\vec {b}}$

Triangelregel

Triangelregeln följer mest naturligt av att förstå en vektor som en översättning. Det är uppenbart att resultatet av en successiv tillämpning av två överföringar och någon punkt kommer att vara detsamma som tillämpningen av en överföring samtidigt som motsvarar denna regel. För att lägga till två vektorer och enligt triangelregeln överförs båda dessa vektorer parallellt med sig själva så att början av en av dem sammanfaller med slutet av den andra. Sedan ges summavektorn av den tredje sidan av den bildade triangeln, och dess början sammanfaller med början av den första vektorn och slutet med slutet av den andra vektorn. ${\vec {a}}$ ${\vec {b}}$ ${\vec {a}}+{\vec {b}}$ ${\vec {a}}$ ${\vec {b}}$

Denna regel är direkt och naturligt generaliserad till att lägga till ett valfritt antal vektorer, förvandlas till regeln med streckade linjer :

Regel med tre poäng

Om ett segment representerar en vektor och ett segment representerar en vektor , så representerar segmentet en vektor . ${\overrightarrow {AB}}$ ${\vec {a}}$ ${\overrightarrow {BC}}$ ${\vec {b))$ ${\overrightarrow {AC}}$ ${\vec {a}}+{\vec {b}}$

Polygonregel

Början av den andra vektorn sammanfaller med slutet av den första, början av den tredje - med slutet av den andra, och så vidare, summan av vektorerna är en vektor, med början sammanfaller med början av den första och slutet som sammanfaller med slutet av -th (det vill säga, det är avbildat av ett riktat segment som stänger den streckade linjen) . Kallas även regeln för bruten linje. $n$ $n$

Parallelogramregel

För att lägga till två vektorer och enligt parallellogramregeln överförs båda dessa vektorer parallellt med sig själva så att deras ursprung sammanfaller. Sedan ges summavektorn av diagonalen för parallellogrammet som är byggt på dem, som kommer från deras gemensamma ursprung. (Det är lätt att se att denna diagonal är densamma som den tredje sidan av triangeln när man använder triangelregeln). ${\vec {a}}$ ${\vec {b}}$

Parallellogramregeln är särskilt bekväm när det finns ett behov av att avbilda summavektorn omedelbart fäst vid samma punkt som båda termerna är anslutna till - det vill säga att avbilda alla tre vektorer som har ett gemensamt ursprung.

Modulen för summan av två vektorer kan beräknas med hjälp av cosinussatsen :

|{\vec {a}}+{\vec {b}}|^{2}=|{\vec {a}}|^{2}+|{\vec {b}}|^{2}+ 2|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cos({\vec {a}},{\vec {b}})

, där är cosinus för vinkeln mellan vektorerna och .

\cos({\vec {a)],{\vec {b)))

{\vec {a}}

{\vec {b}}

Om vektorerna är ritade i enlighet med triangelregeln och en vinkel tas enligt figuren - mellan triangelns sidor - som inte sammanfaller med den vanliga definitionen av vinkeln mellan vektorer, och därmed med vinkeln i ovanstående formel, då får den sista termen ett minustecken, vilket motsvarar cosinussatsen i dess direkta ordalydelse.

För summan av ett godtyckligt antal vektorer är en liknande formel tillämplig, där det finns fler termer med cosinus: en sådan term finns för varje vektorpar från den summerade mängden. Till exempel, för tre vektorer ser formeln ut så här:

|{\vec {a}}+{\vec {b}}+{\vec {c}}|^{2}=|{\vec {a}}|^{2}+|{\vec {b } }}|^{2}+|{\vec {c}}|^{2}+2|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cos({\vec {a } },{\vec {b)))+2|{\vec {a}}||{\vec {c}}|\cos({\vec {a}},{\vec {c}}) + 2|{\vec {b}}||{\vec {c}}|\cos({\vec {b}},{\vec {c}}).

Vektorsubtraktion

För att erhålla skillnaden i koordinatform, subtrahera motsvarande koordinater för vektorerna:

{\vec {a}}-{\vec {b}}=(a_{x}-b_{x},a_{y}-b_{y},a_{z}-b_{z})

För att erhålla en differensvektor kopplas början av vektorerna ihop och början av vektorn kommer att vara slutet av , och slutet kommer att vara slutet av . Om det skrivs med hjälp av vektorpunkter, då . ${\vec {c}}={\vec {a}}-{\vec {b}}$ ${\vec {c}}$ ${\vec {b}}$ ${\vec {a}}$ $\overrightarrow {AC}-\overrightarrow {AB}=\overrightarrow {BC}$

Skillnadsmodul för vektorer

Tre vektorer , som dessutom, bildar en triangel, och uttrycket för skillnadsmodulen är liknande: ${\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {a}}-{\vec {b}}$

|{\vec {a}}-{\vec {b}}|^{2}=|{\vec {a}}|^{2}+|{\vec {b}}|^{2}- 2|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cos({\vec {a}},{\vec {b}}),

var är cosinus för vinkeln mellan vektorerna och $\cos({\vec {a)],{\vec {b)))$ ${\vec {a}}$ ${\vec {b}).$

Skillnaden från summamodulformeln i tecknet framför cosinus, medan det är nödvändigt att noggrant övervaka vilken vinkel som tas (varianten av summamodulformeln med vinkeln mellan triangelns sidor, när den summeras enligt triangelregeln, skiljer sig inte i utseende från denna formel för skillnadsmodulen, men du måste ha i åtanke att olika vinklar tas här: i fallet med summan tas vinkeln när vektorn överförs till slutet av vektor , när skillnadsmodulen söks, tas vinkeln mellan vektorerna fästa till en punkt; uttrycket för modulen för summan med samma vinkel som i det givna uttrycket för skillnadsmodulen, skiljer sig med tecken framför cosinus). ${\vec {b}}$ ${\vec {a}}$

Multiplicera en vektor med ett tal

Att multiplicera en vektor med ett tal ger en samriktningsvektor med en längd som är gånger längre. Att multiplicera en vektor med ett tal ger en motsatt riktad vektor med en längd som är gånger större. Att multiplicera en vektor med ett tal i koordinatform görs genom att multiplicera alla koordinater med det talet: ${\vec {a}}$ $\alfa >0$ $\alfa$
${\vec {a}}$ $\alfa<0$ $|\alfa |$

\alpha {\vec {a}}=(\alpha a_{x},\alpha a_{y},\alpha a_{z})

Baserat på definitionen erhålls ett uttryck för vektorns modul multiplicerat med ett tal:

|\alpha {\vec {a}}|=|\alpha ||{\vec {a}}|

Precis som med siffror kan operationerna att lägga till en vektor till sig själv skrivas som multiplikation med ett tal:

{\vec {a}}+{\vec {a}}=2{\vec {a}}

Och subtraktionen av vektorer kan skrivas om genom addition och multiplikation:

{\vec {a}}-{\vec {b}}={\vec {a}}+(-{\vec {b}})

Baserat på det faktum att multiplikation med inte ändrar längden på vektorn, utan bara ändrar riktningen, och givet definitionen av vektorn får vi: $-ett$

-\överhögerpil {AB}=\överhögerpil {BA}

Punktprodukt av vektorer

För geometriska vektorer definieras den skalära produkten genom deras geometriska egenskaper och introduceras enligt följande:

{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cos({\vec {a}},{\vec { b))

Här, för att beräkna cosinus, tas vinkeln mellan vektorerna, vilket definieras som storleken på vinkeln som bildas av vektorerna, om du applicerar dem på en punkt (kombinerar deras början).

Detta uttryck kan skrivas om i termer av koordinater (här, formeln för tredimensionellt rymd):

{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=a_{x}b_{x}+a_{y}b_{y}+a_{z}b_{z}

Den skalära kvadraten av en vektor är dess skalära produkt med sig själv och kan beräknas genom vektorns modul:

{\vec {a}}^{2}={\vec {a}}\cdot {\vec {a}}=|{\vec {a}}|^{2}

Korsprodukt av vektorer

En vektorprodukt av två vektorer och är en vektor som är ortogonal mot vektorernas plan och , dess längd är lika med arean av parallellogrammet som bildas av vektorerna, och riktningen bestäms av högerregeln . ${\vec {a}}$ ${\vec {b}}$ ${\vec {a}}\ gånger {\vec {b}}$ ${\vec {a}}$ ${\vec {b}}$

Blandad produkt av vektorer

Den blandade produkten av tre vektorer är ett tal som definieras enligt följande: ${\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}$

({\vec {a)),{\vec {b)],{\vec {c)))={\vec {a}}\cdot ({\vec {b}}\ gånger {\vec {c }})

Modulen för detta värde ger volymen av parallellepipeden byggd på vektorer . ${\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}$

Se även

Litteratur

Vygodsky M. Ya. Handbok i elementär matematik . — M .: Nauka, 1978.
- Återutgivning: Ed. AST, 2003, ISBN 5-17-009554-6 .
Bashmakov M. Vad är en vektor? // Quantum . - 1976. - Nr 4 . - S. 2-5 . (ryska)
Zaitsev V. V., Ryzhkov V. V., Skanavi M. I. Elementär matematik. Upprepa kursen. – Tredje upplagan, stereotypt. — M .: Nauka, 1976. — 591 sid.

Anteckningar

↑ Atanasyan L. S. , Butuzov V. F. , Kadomtsev S. B. , Poznyak E. G. , Yudina I. I. Geometri grader 7-9. - Moskva: Utbildning, 2010. - 384 s. — ISBN 978-5-09-023915-8 .
↑ Elementär matematik, 1976 , sid. 249..
↑ 1 2 Vygodsky M. Ya. Handbok i högre matematik. - Moskva: Astrel, 2006. - 991 sid. - ISBN 5-271-03651-0 .
↑ Detta påstående är uppenbarligen i viss mån villkorligt, eftersom ett visst fast koordinatsystem, om så önskas, uttryckligen kan inkluderas i antalet objekt för vilka relationer upprättas, och sedan kan de algebraiska satserna för detta bestämda koordinatsystem omformuleras så att att de är invarianta under poster i vilket annat godtyckligt koordinatsystem som helst.

Vektorer och matriser

Vektorer

Grundläggande koncept	Vektor i geometri Grund Ortogonal grund Vektorkoordinater Kolinearitet Ortogonalitet Linjärt beroende Kolumnutrymme
Typer av vektorer	Enhet vektor Axiell vektor isotrop vektor Vanligt Kolinearitet Noll vektor Radie vektor Egenvektor
Operationer på vektorer	Skalär produkt vektor produkt blandad produkt Pseudoskalär produkt Dubbelkorsprodukt
Utrymmestyper	vektor utrymme affint utrymme Euklidiskt utrymme Pseudo-euklidiskt utrymme Normerat utrymme Minkowski utrymme

matriser

Grundläggande koncept	Matrismultiplikation Transponerad matris Hermitisk konjugatmatris Symmetrisk matris invers matris Eget värde Karakteristiskt polynom för en matris
Specialmatriser	Identitetsmatris Noll matris Diagonal matris lambda matris
Matrisnedbrytningar	LU-nedbrytning Cholesky nedbrytning QR-sönderdelning LUP-nedbrytning singulärvärdesfaktorisering Spektral nedbrytning av en matris

Övrig