Normerat utrymme

Ett normerat rum är ett vektorrum med en norm given på sig ; ett av huvudobjekten för studien av funktionsanalys .

Mer exakt är ett normerat rum ett par av ett vektorrum över fältet av reella eller komplexa tal och avbildningar så att följande egenskaper gäller för någon och en skalär [1] : $(X,\|\cdot \|)$ $X$ $\|\cdot \|\colon X\to \mathbb {R}$ $x,y\i X$ $\lambda$

$\|x\|\geqslant 0,\;\|x\|=0\Högerpil x=0$ (positiv bestämdhet)
$\|\lambda x\|=|\lambda |\cdot \|x\|$ ( homogenitet )
$\|x+y\|\leqslant \|x\|+\|y\|$ ( triangelolikhet )

Normen är en naturlig generalisering av begreppet längden på en vektor i det euklidiska rymden , alltså är normerade rum vektorrum utrustade med förmågan att bestämma längden på en vektor.

Ett semi-normerat utrymme är ett par , där är ett vektorrum och är en semi- norm i . $\left(X,p\right)$ $X$ $sid$ $X$

Metrisk

I ett normerat utrymme definierar (inducerar) en funktion en metrik . Det mått som definieras på detta sätt har, förutom de vanliga egenskaperna för ett mått, även följande egenskaper: $d(x,y)=\|xy\|$

$d(x,y)=d(x+z,y+z)$ (skiftinvarians),
$d(\lambda x,\lambda y)=|\lambda |\cdot d(x,y)$ (positiv enhetlighet).

Inte varje metriskt vektorrum kan ha en norm.

Om utrymmet är komplett med den inducerade metriska , då är ett normerat utrymme, per definition, ett Banach-utrymme . Inte varje normerat utrymme är Banach, men varje normerat utrymme har en komplettering till Banach. $X$

Topologisk struktur

För vilket semi-normerat vektorutrymme som helst är det möjligt att ange avståndet mellan två vektorer och som . Ett sådant semi-normerat utrymme med avstånd definierat på detta sätt kallas ett semi-normerat metriskt utrymme , där vi kan definiera sådana begrepp som kontinuitet och konvergens . Mer abstrakt är varje semi-normerat vektorrum ett topologiskt vektorrum och bär därmed den topologiska struktur som genereras av semi-normen. $\mathbf {u}$ $\mathbf{v}$ $\left\Vert {\mathbf {u}}-{\mathbf {v}}\right\Vert$

Av särskilt intresse är de kompletta normerade utrymmena, kallade Banach-utrymmen . Varje normerat vektorrum hittas som ett tätt delrum inuti ett Banach-utrymme, och detta Banach-utrymme bestäms unikt av rymden och kallas fullbordandet av rummet . $V$ $V$ $V$

Alla normer i ett ändligt dimensionellt vektorrum är topologiskt ekvivalenta, eftersom de genererar samma topologi. Och eftersom varje euklidiskt rum är komplett, kan vi dra slutsatsen att alla ändliga dimensionella vektorrum är Banach-rum. Ett normerat vektorrum är ändligt dimensionellt om och endast om enhetskulan är kompakt , vilket kan vara om och endast om den är lokalt kompakt . $V$ $B=\{x\kolon \left\Vert x\right\Vert \leqslant 1\}$ $V$

Topologin för en semi-normerad vektor har flera intressanta egenskaper. Om man tar ett grannskapssystem runt , är det möjligt att konstruera alla andra grannskapssystem som: ${\mathcal {N}}\left(0\right)$ $0$

{\mathcal {N}}\left(x\right)=x+{\mathcal {N}}\left(0\right):=\left\{x+N\mid N\in {\mathcal {N} }\left(0\right)\right\}

genom att använda

x+N:=\left\{x+n{\bar {n}}\in N\right\}

Dessutom finns det en grannskapsbas för , bestående av absorberande och konvexa uppsättningar . Eftersom denna egenskap är mycket användbar i funktionsanalys studeras generaliseringar av normerade vektorrum med denna egenskap som lokalt konvexa rum . $0$

Linjära mappningar och dubbla utrymmen

De viktigaste mappningarna mellan två normerade vektorrum är kontinuerliga linjära mappningar . De normerade vektorutrymmena med sådana mappningar bildar kategorin .

Normen är en kontinuerlig funktion i sitt vektorrum. Alla linjära avbildningar mellan ändligdimensionella vektorrum är också kontinuerliga.

En isometri mellan två normerade vektorrum är en linjär mappning som bevarar normen (det vill säga för alla vektorer ). Isometrier är alltid kontinuerliga och injicerande . En surjektiv isometri mellan normerade vektorrum och kallas en isometrisk isomorfism . Isometriskt isomorfa normerade vektorrum kan anses vara lika för nästan alla ändamål. $f$ $\left\Vert f\left({\mathbf {v}}\right)\right\Vert =\left\Vert {\mathbf {v}}\right\Vert$ $\mathbf{v}$ $V$ $W$

På tal om normerade vektorrum måste vi nämna de dubbla utrymmena . Det dubbla utrymmet för ett normerat vektorrum är utrymmet för alla kontinuerliga linjära mappningar från till huvudfältet (fältet av komplexa eller reella tal), och sådana linjära mappningar kallas funktionaler . Funktionens norm definieras som: $V'$ $V$ $V$ $\varphi$

\left\Vert \varphi \right\Vert =\sup \left\vert \varphi \left(\mathbf {v} \right)\right\vert \qquad \forall \mathbf {v} :\left\ Vert \mathbf {v} \right\Vert =1

Införandet av en sådan norm förvandlas till ett normerat vektorrum. Ett viktigt resultat på kontinuerliga linjära funktionaler i normerade vektorrum är Hahn–Banach-satsen . $V'$

Normerade utrymmen som en kvot av utrymmet för semi-normerade utrymmen

Definitionerna av många normerade utrymmen (som Banach-rymden ) inkluderar en seminorm definierad på ett vektorrum, och sedan definieras ett normerat utrymme som ett kvotutrymme av ett delrum av element vars seminorm är noll. Till exempel, i fallet med blanksteg $L_{p}$ , en funktion definierad som:

\left\Vert f\right\Vert _{p}=\left(\int \left\vert f\left(x\right)\right\vert ^{p}\;dx\right)^{ \frac {1}{p}}

är en seminorm i vektorrummet för alla funktioner vars Lebesgue-integral (till höger) är definierad och ändlig.

Emellertid är seminormen noll för alla funktioner vars stöd har noll Lebesgue-mått . Dessa funktioner bildar ett delrum som är "överstruket", vilket gör dem likvärdiga med nollfunktionen.

Finita produkter av utrymmen

Givet semi-normerade utrymmen med semi-normer kan vi definiera produkten av utrymmena som $n$ $X_{i}$ $pi}$

x{\stackrel {{\mathrm {def}}}{=}}\prod _{{i=1}}^{n}x_{i}

med vektoraddition definierad som

\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)+\left(y_{1},\ldots ,y_{n}\right){\stackrel {{\mathrm {def}}}{ =}}\left(x_{1}+y_{1},\ldots ,x_{n}+y_{n}\right),

och skalär multiplikation definierad som

\alpha \left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right){\stackrel ({\mathrm {def))}{=}}\left(\alpha x_{1},\ldots ,\ alfa x_{n}\höger).

Låt oss definiera en ny funktion $sid$

p:X\mapsto {\mathbb {R}}

hur

p:\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)\to \summa _{{i=1}}^{{n}}p_{i}\left(x_{i}\ höger),

som är en seminorm i . En funktion kommer att vara en norm om och bara om alla är normer. $X$ $sid$ $pi}$

Se även

Lokalt konvexa utrymmen är generaliseringar av semi-normerade vektorrum
Strikt normerat utrymme
Enhetligt konvext utrymme

Anteckningar

↑ Kerin S. G. Funktionsanalys. — M .: Nauka , 1972.

Vektorer och matriser

Vektorer

Grundläggande koncept	Vektor i geometri Grund Ortogonal grund Vektorkoordinater Kolinearitet Ortogonalitet Linjärt beroende Kolumnutrymme
Typer av vektorer	Enhet vektor Axiell vektor isotrop vektor Vanligt Kolinearitet Noll vektor Radie vektor Egenvektor
Operationer på vektorer	Skalär produkt vektor produkt blandad produkt Pseudoskalär produkt Dubbelkorsprodukt
Utrymmestyper	vektor utrymme affint utrymme Euklidiskt utrymme Pseudo-euklidiskt utrymme Normerat utrymme Minkowski utrymme

matriser

Grundläggande koncept	Matrismultiplikation Transponerad matris Hermitisk konjugatmatris Symmetrisk matris invers matris Eget värde Karakteristiskt polynom för en matris
Specialmatriser	Identitetsmatris Noll matris Diagonal matris lambda matris
Matrisnedbrytningar	LU-nedbrytning Cholesky nedbrytning QR-sönderdelning LUP-nedbrytning singulärvärdesfaktorisering Spektral nedbrytning av en matris

Övrig