Rätt triangel

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 15 maj 2022; kontroller kräver 5 redigeringar .

En rät triangel är en triangel där en vinkel är rät (dvs 90 grader ).

Relationerna mellan sidorna och vinklarna i en rätvinklig triangel är kärnan i trigonometrin .

Relaterade definitioner

Sidan mitt emot den räta vinkeln kallas hypotenusan (sida c i figuren ovan).
Sidorna som gränsar till den räta vinkeln kallas ben . Sida a kan identifieras som intill vinkel B och motsatt vinkel A och sida b som intill vinkel A och motsatt vinkel B.

Typer av rätvinkliga trianglar

Om benen är lika, då kallas triangeln en likbent rätvinklig triangel .
Om längden på alla tre sidorna i en rätvinklig triangel är naturliga tal, kallas triangeln Pythagoras triangel , och längderna på dess sidor bildar den så kallade Pythagoras triangel .

Tecken på likhet i räta trianglar

Enligt två ben: om benen i en rätvinklig triangel är lika med benen i en annan rätvinklig triangel, så är sådana trianglar kongruenta. Detta tecken följer omedelbart från det första triangellikhetstecknet , eftersom två trianglar kommer att ha två ben och en rät vinkel lika.

Beroende på benet och den intilliggande spetsiga vinkeln: om benet och den spetsiga vinkeln intill den i en rätvinklig triangel är lika med benet och den spetsiga vinkeln intill den för en annan rätvinklig triangel, är sådana trianglar lika Detta tecken följer omedelbart från det andra tecknet på trianglarnas likhet, eftersom två trianglar kommer att ha ett ben, en vinkel intill den och en rät vinkel.

Med hypotenusa och spetsig vinkel: om hypotenusan och spetsig vinkeln för en rätvinklig triangel är lika med hypotenusan och spetsig vinkeln för en annan rätvinklig triangel, är sådana trianglar kongruenta. Detta tecken följer av det andra tecknet för likhet med trianglar, eftersom de andra spetsiga vinklarna kommer att vara lika enligt satsen om summan av vinklarna i en triangel , och hypotenuserna och två vinklar intill den kommer att vara lika för trianglar.

Med hypotenusa och ben: om hypotenusan och benet i en rätvinklig triangel är lika med hypotenusan och benet i en annan rätvinklig triangel, är sådana trianglar kongruenta. Vi kommer att bevisa detta tecken enligt följande. Vi lägger två trianglar ovanpå varandra för att få en likbent triangel, det vill säga vi kombinerar dem med lika ben så att vinklarna som ligger vid dessa ben ligger i olika plan. Eftersom hypotenuserna är lika, är den resulterande triangeln likbent, då är vinklarna vid basen lika. Då blir två räta trianglar lika i hypotenusa och spetsig vinkel.

Enligt benet och den motsatta spetsiga vinkeln : om benet och den motsatta spetsiga vinkeln i en rätvinklig triangel är lika med benet och den spetsiga vinkeln för en annan rätvinklig triangel, är sådana trianglar kongruenta. Detta tecken bevisas enligt följande: om en av de spetsiga vinklarna i den första triangeln är lika med den spetsiga vinkeln för den andra triangeln, kommer den andra spetsiga vinkeln att vara känd av satsen om triangelvinklarsumman. Eftersom den andra spetsiga vinkeln ligger intill benet, kommer trianglarnas likhet bevisas ytterligare enligt föregående sats.

Egenskaper

Vidare antar vi att både längden på benen och längden på hypotenusan $a$ $b$ $c$

( Pythagores sats ) $c^{2}=a^{2}+b^{2}$

Arean av en rätvinklig triangel är hälften av produkten av dess två ben. Det är, $S={\tfrac {1}{2}}ab.$

För medianer och följande relation gäller: $m_{a}$ $m_{b}$ $m_{c}$ $m_{a}^{2}+m_{b}^{2}=5m_{c}^{2}={\frac {5}{4}}c^{2}.$
- I synnerhet är medianen som faller på hypotenusan lika med hälften av hypotenusan.

Höjd

Om höjden dras till hypotenusan delas triangeln i två mindre trianglar som liknar originalet och liknar varandra. Av detta följer att i notationen som visas i diagrammet: [1]

Höjden är det geometriska medelvärdet (medelproportionell) av de två segmenten av hypotenusan som bildas av den, dvs.

\displaystyle f^{2}=de,

(kallas ibland den räta triangelns höjdsats )

Varje ben i triangeln är hypotenusans geometriska medelvärde och benets projektion på hypotenusan, dvs.

\displaystyle b^{2}=ce,

\displaystyle a^{2}=cd

I en rätvinklig triangel delar höjden som faller från spetsen av den räta vinkeln till hypotenusan hypotenusan i samma förhållande som kvadraterna på de intilliggande benen, dvs.

\displaystyle d:e=a^{2}:b^{2},

Dessutom är höjden som sjunker till hypotenusan relaterad till benen i en rätvinklig triangel genom relationen: [2] [3]

{\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}={\frac {1}{f^{2}}}.

och

f={\frac {ab}{c}}.

Dessutom, om en rätvinklig triangel är likbent , kommer höjden som sjunker till hypotenusan att vara lika med:

f=r\delta _{S}\ =r(1+{\sqrt {2)))

, där är radien för den inskrivna cirkeln, och är silversektionen .

r

\delta _{S}

Egenskaper

Triangel ABC med sidorna a, b, c (där c är den längsta sidan), med en omskriven cirkel med radien R är en rätvinklig triangel om och endast om något av följande är sant: [4]

$c=2R$ , det vill säga en av sidorna är diametern på den omskrivna cirkeln ,
$\sin ^{2}{A}+\sin ^{2}{B}+\sin ^{2}{C}=2$ ,
$\cos ^{2}{A}+\cos ^{2}{B}+\cos ^{2}{C}=1$ ,
$a^{2}+b^{2}+c^{2}=8R^{2}$ ,
$a^{2}+b^{2}=c^{2}$ (omvänd Pythagoras sats),
$a+b=2(R+r)$ , det vill säga summan av de två sidorna är lika med två gånger summan av radierna för de omskrivna och inskrivna cirklarna,
den omskrivna cirkeln tangerar den niopunktscirkeln .

Trigonometriska relationer

Trigonometriska funktioner för spetsiga vinklar kan definieras som förhållandet mellan sidorna i en rätvinklig triangel. För vilken given vinkel som helst är det möjligt att konstruera en rätvinklig triangel som innehåller en sådan vinkel och med sidor: det motsatta benet, det intilliggande benet och hypotenusan, relaterad till denna vinkel genom de relationer som definierats ovan. Dessa sidoförhållanden beror inte på den specifika räta triangeln som valts, utan bara på den givna vinkeln, eftersom alla trianglar konstruerade på detta sätt är lika . Om för en given vinkel α, det motsatta benet, det intilliggande benet och hypotenusan betecknas med a , b respektive c , så har de trigonometriska funktionerna formen:

\sin \alpha ={\frac {a}{c)),\,\cos \alpha ={\frac {b}{c)),\,\operatörsnamn {tg} \alpha ={\frac {a} {b)),\,\operatörsnamn {ctg} \alpha ={\frac {b}{a)),\sec \alpha ={\frac {c}{b)),\,\,\csc \alpha ={\frac {c}{a}}.

Och sålunda:

Benet mitt emot vinkeln är lika med produkten av hypotenusan och sinus av denna vinkel

a=c\cdot \sin \alpha ,\,b=c\cdot \sin \beta .

Benet intill en vinkel är lika med produkten av hypotenusan och cosinus av denna vinkel

a=c\cdot \cos \beta ,\,b=c\cdot \cos \alpha .

Benet mitt emot vinkeln är lika med produkten av det andra benet och tangenten av vinkeln

a=b\cdot \operatörsnamn {tg} \alpha ,\,b=a\cdot \operatörsnamn {tg} \beta .

Benet intill vinkeln är lika med produkten av det andra benet och cotangensen av vinkeln

a=b\cdot \operatörsnamn {ctg} \beta ,\,b=a\cdot \operatörsnamn {ctg} \alpha .

Hypotenusan är lika med förhållandet mellan benet och sinus för den motsatta vinkeln, och / eller det partiella förhållandet mellan benet och cosinus för den inkluderade vinkeln (vinkeln mellan dem)

c={\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {a}{\cos \beta }}={\frac {b} {\cos \alpha }}.

Särskilda rätvinkliga trianglar

Värdena för trigonometriska funktioner kan uppskattas exakt för vissa vinklar med hjälp av räta trianglar med specifika vinkelvärden. Sådana trianglar inkluderar triangeln 30-60-90 , som kan användas för att utvärdera trigonometriska funktioner för alla multiplar av π/6, och triangeln 45-45-90 ( likbent rät triangel ), som kan användas för att utvärdera trigonometriska funktioner för multiplar av π/4. Särskilt,

Ett ben som ligger mitt emot en spetsig vinkel på 30° (och följaktligen intill en vinkel på 60°) är lika med hälften av hypotenusan.

Thales sats

Thales sats säger att om någon punkt A ligger på en cirkel med diametern BC (exklusive punkterna B och C själva ), så är △ ABC en rätvinklig triangel med rät vinkel A . Det omvända påståendet är detta: om en rätvinklig triangel är inskriven i en cirkel, blir hypotenusan dess diameter. Konsekvensen är att hypotenusans längd är dubbelt så stor som avståndet från spetsen på rät vinkel till hypotenusans mittpunkt. Det är också sant att mittpunkten av cirkeln som beskriver en rätvinklig triangel är hypotenusans mittpunkt, och dess radie är lika med halva hypotenusans längd.

Andra egenskaper

Radien för den inskrivna cirkeln i en rätvinklig triangel med benen a och b och hypotenusan c är:

r={\frac {a+bc}{2}}={\frac {ab}{a+b+c}}.

Om segmenten med längden p och q som kommer från vertex C delar hypotenusan i tre lika stora segment med längden c /3, då: [5] :pp. 216-217

p^{2}+q^{2}=5\vänster({\frac {c}{3}}\höger)^{2}.

En rätvinklig triangel är den enda triangeln med två, inte tre, distinkta inskrivna kvadrater. [6]

Låt h och s ( h > s ) vara sidorna av två kvadrater inskrivna i en rätvinklig triangel med hypotenusan c . Sedan:

{\frac {1}{c^{2}}}+{\frac {1}{h^{2}}}={\frac {1}{s^{2}}}.

Omkretsen av en rätvinklig triangel är lika med summan av två radier av de inskrivna och fyra omskrivna cirklarna:

$P=2r+4R$

Om S och r ges , så hittas triangelns sidor av formlerna:

a={\frac {1}{2}}\left(r+{\frac {S}{r}}-{\sqrt {r^{2}-6S+{\frac {S^{2} }{r^{2}}}}}}\höger)

b={\frac {1}{2}}\left(r+{\frac {S}{r}}+{\sqrt {r^{2}-6S+{\frac {S^{2} }{r^{2}}}}}}\höger)

c={\frac {S}{r}}-r

Ett annat viktigt förhållande:

a={\frac {l_{b}}{4c}}\,\left({l_{b}+{\sqrt {8\,c^{2}+l_{b}^{2} }}}\höger)\,\,\,

, där är längden på bisektrisen som utgår från den spetsiga vinkeln B, c är hypotenusan.

l_{b}\,

I alla räta trianglar är medianen som sjunker av hypotenusan halva hypotenusan.

Cirkeln med nio punkter berör den omskrivna cirkeln i samma triangel i det enda fallet om triangeln är rätvinklig. I det här fallet går tangensen av två cirklar i spetsen av triangelns räta vinkel.

Variationer och generaliseringar

Fyrhörningar med vinkelräta elementpar: med 2 vinkelräta sidor och med 2 vinkelräta diagonaler, urarta till en rätvinklig triangel om längden på en önskad sida (av deras 4 sidor), ligger nära en rät vinkel eller vilar dess ändar på denna vinkel, tenderar till noll.

Om ett segment ritas i en rätvinklig triangel parallellt med dess hypotenusa, skär den denna triangel till en liknande rätvinklig triangel och en trapets . I det här fallet kommer summan av vinklarna vid en av trapetsens baser att vara lika med 90 °, och förlängningarna av trapetsens sidor kommer att skära varandra i räta vinklar. Sedan är segmentet som förbinder mittpunkterna av baserna i den angivna trapetsen lika med halva skillnaden mellan baserna. Detta uttalande generaliserar egenskapen: medianen för en rätvinklig triangel som faller från spetsen av den räta vinkeln till hypotenusan är lika med halva hypotenusans längd.

Anteckningar

↑ Wentworth sid. 156
↑ Voles, Roger, "Integer solutions of ," Mathematical Gazette 83, juli 1999, 269-271. $a^{{-2}}+b^{{-2}}=d^{{-2}}$
↑ Richinick, Jennifer, "The upside-down Pythagorean Theorem," Mathematical Gazette 92, juli 2008, 313-317.
↑ Andreescu, Titu och Andrica, Dorian, "Komplexa tal från A till ... Ö", Birkhäuser, 2006, s. 109-110.
↑ Posamentier, Alfred S., och Salkind, Charles T. Challenging Problems in Geometry , Dover, 1996.
↑ Bailey, Herbert och DeTemple, Duane, "Squares inscribed in angles and triangles", Mathematics Magazine 71(4), 1998, 278-284.

Länkar

Miniräknare för räta trianglar
Weisstein, Eric W. Right Triangle (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .
Wentworth, GA En lärobok i geometri (obestämd) . — Ginn & Co., 1895.

Ordböcker och uppslagsverk	Britannica (online)

Polygoner

Efter antal sidor

Monogon
Bigon
Triangel
Fyrsidig
Pentagon
Sexhörning
Heptagon
Oktogon
femhörning
Decagon
Hendecagon
Dodecagon
Tretton
tetradekagon
Pentagon
Sexhörning
Sjutton
oktogon
Nittonagon
Dodecagon
Tjugoensidig
Twenty-two-angle
Twentytrigon
Tjugofyrkantig
Tjugo femhörning
Tjugooktagon
Tridecagon
Thirty-Biagon
Fyrtio kvadratisk
Forty Bicagon
Pentecostal
Pentecostal
Hexagon
Sixty-quad
Heptagon
Octagon
Nonagon
[ sv
Millagon
Tio tusen gon
Hundratusendel
Milliogon
oändlighet

korrekt

konvex	Triangel Fyrkant Pentagon Sexhörning Heptagon Oktogon femhörning tetradekagon Sjutton 257-gon 65537-gon 4294967295-gon
stellate	Pentagram Hexagram Heptagram Octagram ( Star of Lakshmi ) Enneagram Dekagram Endecagram Dodekagram

trianglar

Fyrhörningar

se även