Cauchy distribution

Cauchy distribution
Den gröna kurvan motsvarar standardfördelningen för CauchySannolikhetstäthet
Färgerna är i enlighet med tabellen ovandistributionsfunktion
Beteckning	${\mathrm {C}}(x_{0},\gamma )$
alternativ	$x_{0}$ - skiftfaktor - skalfaktor $\gamma > 0$
Bärare	$x\in (-\infty ;+\infty )$
Sannolikhetstäthet	${\frac {1}{\pi \gamma \,\left[1+\left({\frac {x-x_{0}}{\gamma }}\right)^{2}\right] }}$
distributionsfunktion	${\frac {1}{\pi }}{\mathrm {arctg}}\left({\frac {x-x_{0}}{\gamma }}\right)+{\frac {1}{2} }$
Förväntat värde	existerar inte
Median	$x_{0}$
Mode	$x_{0}$
Dispersion	existerar inte
Asymmetrikoefficient	existerar inte
Kurtos koefficient	existerar inte
Differentialentropi	$\ln(4\,\pi \,\gamma )$
Genererande funktion av moment	inte bestämd
karakteristisk funktion	$\exp(x_{0}\,i\,t-\gamma \,\|t\|)$

Cauchy - fördelningen i sannolikhetsteorin (även kallad Lorentz- fördelningen och Breit- Wigner - fördelningen i fysik ) är en klass av absolut kontinuerliga fördelningar . En slumpvariabel som har en Cauchy-fördelning är ett standardexempel på en variabel som inte har något medelvärde och ingen varians .

Definition

Låt fördelningen av en slumpvariabel ges av densiteten som har formen: $X$ $f_{X}(x)$

f_{X}(x)={\frac {1}{\pi \gamma \left[1+\left({\frac {x-x_{0}}{\gamma }}\höger)^{2} \right]}}={1 \över \pi }\left[{\gamma \over (x-x_{0})^{2}+\gamma ^{2}}\right]

var

$x_{0}\in {\mathbb {R}}$ är skiftparametern;
$\gamma >0$ är skalparametern.

Sedan säger de att den har en Cauchy-distribution och skriver . Om och , då kallas en sådan fördelning Cauchy- standardfördelningen . $X$ $X\sim {\mathrm {C}}(x_{0},\gamma )$ $x_{0}=0$ $\gamma=1$

Distributionsfunktion

Cauchy- distributionsfunktionen har formen:

F_{X}(x)={\frac {1}{\pi }}\,{\mathrm {arctg}}\,\left({\frac {x-x_{0}}{\gamma }}\ höger)+{\frac {1}{2}}

Det är strikt ökande och har en omvänd funktion :

F_{X}^{{-1}}(x)=x_{0}+\gamma \,{\mathrm {tg}}\,\left[\pi \,\left(x-{1 \över 2 }\visst visst].

Detta gör att ett sampel kan genereras från Cauchy-fördelningen med den inversa transformmetoden .

Moments

Sedan Lebesgue-integralen

\int \limits _{{-\infty }}^{{\infty }}\!x^{{\alpha }}f_{X}(x)\,dx

inte definieras för , eller den matematiska förväntan (även om integralen av det första momentet i betydelsen av huvudvärdet är: ), varken variansen eller momenten av högre ordning för denna fördelning är inte definierade. Det sägs ibland att den matematiska förväntan inte är definierad och att variansen är oändlig. $\alpha \geqslant 1$ $\lim \limits _{{c\rightarrow \infty }}\int \limits _{{-c}}^{{c}}x\cdot {1 \over \pi }\left[{\gamma \over ( x-x_{0})^{2}+\gamma ^{2}}\right]\,dx=x_{0}$

Andra egenskaper

Cauchy-fördelningen är oändligt delbar .
Cauchy-fördelningen är stabil . I synnerhet har urvalsmedelvärdet för ett urval från själva standard Cauchy-fördelningen en standard Cauchy-fördelning: om , då $X_{1},\ldots ,X_{n}\sim {\mathrm {C}}(0,1)$

\overline {X}={\frac {1}{n}}\sum \limits _{{i=1}}^{n}X_{i}\sim {\mathrm {C}}(0,1)

Relation med andra distributioner

Om , då $U\simU[0,1]$

x_{0}+\gamma \,{\mathrm {tg}}\,\left[\pi \left(U-{1 \over 2}\right)\right]\sim {\mathrm {C}}( x_{0},\gamma )

Om är oberoende normala slumpvariabler så att , då $X_{1},X_{2}$ $X_{i}\sim {\mathrm {N}}(0,1),\;i=1,2$

{\frac {X_{1}}{X_{2}}}\sim {\mathrm {C}}(0,1)

[1] [2] .

Cauchy-standarddistributionen är ett specialfall av Students distribution :

{\mathrm {C}}(0,1)\equiv {\mathrm {t}}(1)

Framträdande i praktiska problem

Cauchy-fördelningen kännetecknar längden av segmentet avskuret på abskissan av en rät linje, fixerad vid en punkt på y-axeln, om vinkeln mellan linjen och y-axeln har en enhetlig fördelning på intervallet (−π ; π) (det vill säga linjens riktning är isotrop på planet). I huvudsak betyder detta följande [1] :

Om , då (− ), därför . På grund av tangentens periodicitet betyder likformighet på intervallet (−π/2; π/2) samtidigt likformighet på intervallet (−π; π). $U\simU[0,1]$ $\pi \ \left(U-{1 \over 2}\right)\sim$ $U$ $\pi /2,\pi /2$ $\mathrm {tg} \,\left[\pi \left(U-{1 \over 2}\right)\right]\sim \mathrm {C} (0,1)$

Inom fysiken beskriver Cauchy-fördelningen (även kallad Lorentz-formen) profilerna för likformigt breddade spektrallinjer.
Cauchy-fördelningen beskriver amplitud-frekvensegenskaperna hos linjära oscillerande system i närheten av resonansfrekvenser.

Anteckningar

↑ 1 2 Galkin V. M., Erofeeva L. N., Leshcheva S. V. Uppskattningar av Cauchy-fördelningsparametern. Förfaranden från Nizhny Novgorod State Technical University. R. E. Alekseeva. 2014. nr 2(104). S. 314
↑ Cauchy Distribution Arkiverad 29 juli 2017 på Wayback Machine // risktheory.novosyolov.com

Sannolikhetsfördelningar
Diskret	Bernoulli Binom Geometrisk hypergeometrisk Logaritmisk Negativ binomial Poisson Diskret uniform Multinomial
Absolut kontinuerligt	Beta Weibulla Gamma- hyperexponentiell Gompertz Kolmogorov Cauchy Laplace lognormal Normal (Gaussian) Logistisk Nakagami Pareto Pearson halvcirkelformig kontinuerlig uniform Ris Rayleigh Studerande Tracey - Vidoma Fiskare Chi-kvadrat Exponentiell Varians-gamma Multivariat normal kopula