Superlogaritm

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 26 mars 2016; kontroller kräver 27 redigeringar .

Inom matematiken är superlogaritmen en av två inversa tetrationsfunktioner .

Precis som exponentiering har två inversa funktioner ( rot och logaritm ), så har tetration två inversa funktioner: superrot och superlogaritm . Detta beror på att hyperoperatorn inte är kommutativ för . $N>2$

Definitioner

Superlogaritmen för ett tal till basen , på samma sätt som logaritmen, definieras som bastetrationsindex , vid vilket talet erhålls . $b$ $a$ $a$ $b$

Notation: , uttalas som " bas superlogaritm ". $\,\mathrm {slog} _{a}b$ $b$ $a$

Superlogaritmen som en lösning på ekvationen

För positiva tal och superlogaritmen kan definieras som en av de befintliga lösningarna till ekvationen: $a$ $b$

${}^{x}a=b$ ; Dessutom, baserat på öppna teoretiska problem, kan superlogaritmen definitivt bara ta jämna och udda värden hittills (det vill säga de kan bestämmas och beräknas). För en udda superlogaritm kan siffrorna och ta alla positiva värden - detta förklaras av det faktum att formens funktioner ökar överallt (på grund av frånvaron av positiva extrempunkter för derivatorna ). $a$ $b$ $f(x)={}^{n}x,{\frac {n-1}{2}}\in \mathbb {N}$ $x>0$

För en jämn logaritm finns det vissa begränsningar. Så, till exempel, för det finns inget sådant att ojämlikheten håller (eftersom talet är minimivärdet för tetration ). Men för begränsningen kommer att vara annorlunda (och så vidare). $\,\mathrm {slog} _{a}b=2$ $a$ ${\displaystyle b<e^{-{\frac {1}{e))))$ ${\displaystyle e^{-{\frac {1}{e))))$ ${}^{2}b,b>0$ $\,\mathrm {slog} _{a}b=4$

Itererad logaritm

Den positiva heltalssuperlogaritmen är exakt lika med den itererade logaritmen, till exempel: $\,\mathrm {slog} _{2}16=\log _{2}^{*}{16}=1+\log _{2}^{*}{\log _{2}{ 16}}=1+\log _{2}^{*}{4}=1+1+\log _{2}^{*}{\log _{2}{4}}=2+\log _{2}^{*}{2}=2+1+\log _{2}^{*}{\log _{2}{2}}=3+\log _{2}^{*} {1}=3+0=3$

Och verkligen, ${}^{3}2=2^{2^{2}}=2^{4}=16.$

Men för negativa och/eller icke-heltalsvärden för superlogaritmen är en sådan definition inte lämplig och därför inte tillräckligt komplett.

Superlogaritm som en Abel -funktion

Den superlogaritmiska funktionen är en abelsk funktion, eftersom det är den enda lösningen på Abels funktionella ekvation för [1] : ${\displaystyle f(x)=a^{x))$

$\alpha (f(x))=\alpha (x)+1,{\text{ }}f(x)=a^{x},{\text{}}\alpha (x)={ \text{slog}}_{a}x.$

Således kan superlogaritmen implicit definieras genom följande algoritm:

\operatorname {slog} _{b}(z)={\begin{cases}\operatorname {slog} _{b}(1)=0\\\operatörsnamn {slog} _{b}(b^ {z})=\operatörsnamn {slog} _{b}(z)+1\end{cases}}

Kontrollera till exempel : $\operatörsnamn {slog} _{2}{65536}=\operatörsnamn {slog} _{2}{2^{16}}=\operatörsnamn {slog} _{2}{16}+1=\operatörsnamn {slog} _{2}{2^{4}}+1=\operatörsnamn {slog} _{2}{4}+2=\operatörsnamn {slog} _{2}{2^{2}}+2 =\operatörsnamn {slog} _{2}{2}+3=4,$

${}^{4}2=2^{2^{2^{2}}}=2^{16}=65536.$

Denna definition lägger också en begränsning på positiviteten och integriteten hos superlogaritmen. För att utöka värdena för superlogaritmen till stora uppsättningar av reella tal , används flera ungefärliga tillvägagångssätt, vanligtvis med ett tredje ytterligare krav till de två föregående, som varierar från författare till författare (se detaljer nedan):

Linjär approximationsmetod för Rubstov och Romerio;
Kvadratisk approximation av Andrew Robbins;
Regelbunden abelsk funktion (George Sekeres);
Itererad funktionsmetod av Peter Walker;
Naturlig matrismetod av Peter Walker (sedan generaliserad av Andrew Robbins).

Approximationer

Linjär approximationsmetod

De första författarna som hittade denna uppskattning var Konstantin Anatolyevich Rubtsov och Giovanni F. Romerio ( italienaren Giovanni F. Romerio ) (även om denna speciella formel inte finns i deras artikel , kan den härledas från deras prototyp av motsvarande algoritm för datorprogramvara - en hypercalculator [2] ). Å andra sidan har en linjär approximation av tetration hittats tidigare, till exempel av Ioannis Galidakis ( grekiska: Ιωάννης Γαλιδάκης ) (naturlig invers linjär approximation). Ungefärlig beräkning av superlogaritmen med denna metod reduceras till följande algoritm:

$\operatorname {slog} _{b}(z)\approx {\begin{cases}\operatörsnamn {slog} _{b}(b^{z})-1,{\text{ if }}z \leqslant 0\\-1+z,{\text{ if }}0<z\leqslant 1\\\operatörsnamn {slog} _{b}{\log _{b}{z}}+1,{\ text{ if }}1<z\end{cases}}$

Det är en styckvis definierad kontinuerlig för alla reella funktioner (som en itererad logaritm) med en linjär "kritisk del". $z$

Författare som Holmes erkänner att superlogaritmen kommer att vara mycket användbar för nästa utveckling av flyttalsdatoraritmetiken , men funktionen behöver inte vara oändligt differentierbar för detta ändamål . För att representera stora tal ger den linjära approximationsmetoden tillräcklig kontinuitet så att alla reella tal kan representeras på en superlogaritmisk skala.

Quadratic Approximation Method

Den första författaren att publicera denna approximation var Andrew Robbins . Denna metod förutsätter följande algoritm [3] :

$\operatorname {slog} _{b}(z)\approx {\begin{cases}\operatörsnamn {slog} _{b}(b^{z})-1,{\text{ if }}z \leqslant 0\\-1+{\frac {2\ln {b}}{1+\ln {b}}}z-{\frac {1-\ln {b}}{1+\ln {b }}}z^{2},{\text{ if }}0<z\leqslant 1\\\operatörsnamn {slog} _{b}{\log _{b}{z}}+1,{\text { if }}1<z\end{cases}}$
Det är en styckvis definierad kontinuerlig funktion som är differentierbar för alla realer med en kvadratisk "kritisk del". Denna approximation av generaliseringen av superlogaritmen tillåter en att utföra de grundläggande operationerna för att beräkna superlogaritmen utan ett stort antal förberedande förhandslösningar och beräkningskostnader. $z$

Generaliseringar

Båda metoderna som beskrivs ovan är specialfall av den komplexa naturliga matrismetoden, som först hittades av Peter Walker och sedan generaliserades av Andrew Robbins. I synnerhet är den andra raden i dessa system produkten av ett polynom av grad från och determinanten av någon ordningsmatris ( se exempel på matriser i hans papper ), som beskrivs av en komplex allmän formel med Kronecker-symbolen . På så sätt kan man få kubiska, etc. approximationer, som var och en blir mer exakt än den föregående med ökande. Den första och sista raden i approximationssystemen ändras inte och är baserade på lemman , även de beskrivna av författaren med bevis [3] . Det finns också andra metoder för approximation, men de är alla för krångliga och svåra för praktisk användning. $n$ $z$ $n$ $n$

Egenskaper

Grundläggande superlog-identitet

Definitionen av superlogaritmen innebär den grundläggande superlogaritmiska identiteten:

${}^{\,\mathrm {slog} _{a}b}a=b$

I synnerhet, om , då Let och sedan beviset på likhet reduceras till följande identitet: $\,\mathrm {slog} _{a}b=\,\mathrm {slog} _{a}c$ $b=c.$ $\,\mathrm {slog} _{a}b=x,$ $\,\mathrm {slog} _{a}c=y,$

${}^{x}a={}^{y}a$

${\displaystyle \underbrace {a^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{a))))} _{x}=\underbrace {a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{\ cdot ^{a))))}} _{y}\Longleftrightarrow a=\underbrace {\log _{a}\log _{a}\ldots \log _{a}} _{x-1}{\ Bigl (}\underbrace {a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{a))))}} _{y}{\Bigr )}\Longleftrightarrow a^{1}=\underbrace {\log _{a}\log _{a}\ldots \log _{a)) _{x-1}{\Bigl (}\underbrace {a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{ \cdot ^{a}}}}} _{y}{\Bigr )}\Longleftrightarrow 1=\underbrace {\log _{a}\log _{a}\ldots \log _{a}} _{ x}{\Bigl (}\underbrace {a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{a))))}} _{y}{\Bigr )))$

$1=\underbrace {\log _{a}\log _{a}\ldots \log _{a)) _{x}{\Bigl (}\underbrace {a^{a^{\cdot ^ {\cdot ^{\cdot ^{a}}}}}} _{y}{\Bigr )}=\underbrace {\log _{a}\ldots \log _{a}} _{x-1} {\Bigl (}\underbrace {a^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{a))))}_{y-1}{\Bigr )}=\ldots =\underbrace {a^{ \cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{a))))} _{yx}\Longleftrightarrow {}^{yx}a=1,$ härifrån finns två alternativ:

eller då och ${}^{yx}a={}^{0}a,$ $yx=0$ $y=x;$
eller sedan varifrån men sedan (se nedan), då och vad som redan har varit. ${}^{yx}a=a^{0},$ $a^{{}^{yx-1}a}=a^{0},$ $\operatorname {slog} _{a}0=yx-1,$ $\operatorname {slog} _{a}0=-1$ $yx-1=-1$ $yx=0,$

Superlogaritm av ett, noll och bastal

Det är accepterat (bestämt) att på grundval av vilket alla följande egenskaper hos superlogaritmen härleds: ${}^{0}a=1,$

$\operatorname {slog} _{a}1=0,$ bevis:

$a=a^{{}^{0}a}\Longleftrightarrow {}^{0}a=\log _{a}a=1\Longleftrightarrow \operatorname {slog} _{a}1=0$

till skillnad från logaritmen existerar superlogaritmen noll och är definierad: vilket kan bevisas enligt följande: $\operatorname {slog} _{a}0=-1,$

$a=a^{{}^{0}a}=a^{a^{{}^{-1}a}}\Longleftrightarrow {}^{-1}a=\log _{a} \log _{a}a=\log _{a}1=0\Longleftrightarrow \operatörsnamn {slog} _{a}0=-1$

$\operatorname {slog} _{a}a=1;$ för bevis, låt oss anta det $\operatorname {slog} _{a}a=x:$

${}^{x}a=a\Longleftrightarrow a^{{}^{x-1}a}=a^{{}^{0}a}\Longleftrightarrow x-1=0,$ var $x=1.$

Andra anmärkningsvärda egenskaper

De återstående egenskaperna hos superlogaritmen definieras för positiva och (men inte för någon): $a$ $b$

$\,\mathrm {slog} _{a}(a^{b})=\,\mathrm {slog} _{a}b+1$ , är en ganska uppenbar egenskap:

$a^{b}=a^{{}^{\,\mathrm {slog} _{a}b}a}={}^{\,\mathrm {slog} _{a}b+1 }a\Longleftrightarrow \,\mathrm {slog} _{a}(a^{b})=\,\mathrm {slog} _{a}b+1.$ Denna identitet kan generaliseras för vilket heltal som helst : $n>0$

$\,\mathrm {slog} _{a}(a^{b})=\,\mathrm {slog} _{a}\underbrace {\log _{a}...\log _{a }} _{n-1}(b)+n$

$\,\mathrm {slog} _{a}b=\,\mathrm {slog} _{a}(\log _{a}b)+1,$ vilket återigen lätt kan härledas på samma grunder:

$b=a^{\log _{a}b}\Longleftrightarrow b=a^{\left({}^{\,\mathrm {slog} _{a}(\log _{a}b) }a\right)}\Longleftrightarrow b={}^{\,\mathrm {slog} _{a}(\log _{a}b)+1}a\Longleftrightarrow \,\mathrm {slog} _{a }(\log _{a}b)+1=\,\mathrm {slog} _{a}b.$ Generaliserat för vilket heltal som helst [2] : $n>0$

$\,\mathrm {slog} _{a}(b)=\,\mathrm {slog} _{a}\underbrace {\log _{a}...\log _{a))_{ n}(b)+n$

I allmänhet, $\,\mathrm {slog} _{a}(bc)\neq \,\mathrm {slog} _{a}b+\,\mathrm {slog} _{a}c;\,\mathrm {slog } _{a}\left({\frac {b}{c}}\right)\neq \,\mathrm {slog} _{a}b-\,\mathrm {slog} _{a}c;\ ,\mathrm {slog} _{x}({}^{z}y)\neq z\ gånger \,\mathrm {slog} _{x}y.$
Även superlogaritmer med samma tal, men med olika baser, kan vara lika. Enkelt exempel: $\,\mathrm {slog} _{\frac {1}{2}}{\frac {\sqrt {2}}{2}}=\,\mathrm {slog} _{\frac {1} {4}}{\frac {\sqrt {2}}{2}}=2.$
${\text{slog}}_{a}b>-2,{\text{ }}a,b>0,$ - baserat på tetrationens rekursiva egenskap:

$a=a^{a^{({}^{-1}a)}}=a^{a^{a^{({}^{-2}a)))},$ därav följer att vad är fallet med obestämdheten av noll. $-2={\text{slog}}_{a}\log _{a}\log _{a}\log _{a}a\Longleftrightarrow -2={\text{slog}}_{ a}\log _{a}0,$

Icke-heltalsindikatorer för tetration (superlogaritmer), som är summan av ett heltal och ett reciprokt , kan bestämmas baserat på egenskaperna för tetration:

${}^{\frac {m}{n}}a=\exp _{a}^{m}({}^{\frac {1}{n}}a),{\text{ if }}m=(kn+1),{\text{ }}k,n\in \mathbb {N} ,{\text{ }}n\neq 0.$ Till exempel: ${}^{2,5}a={}^{{\bigl (}2+{\frac {1}{2}}{\bigr )}}a=\exp _{a}^{ 2}({}^{\frac {1}{2}}a)=a^{a^{{\bigl (}{}^{\frac {1}{2}}a{\bigr ))) }.$

Ersätter basen

För superlogaritmen fungerar inte basändringsformeln: $\,\mathrm {slog} _{a}b\neq {\frac {1}{\,\mathrm {slog} _{b}a)).$

Som bevis använder vi följande påstående: Låt oss uttrycka $\,\mathrm {slog} _{x}a=\,\mathrm {slog} _{y}a\Longleftrightarrow {}^{\,\mathrm {slog} _{x}a}x={ }^{\,\mathrm {slog} _{y}a}x\Longleftrightarrow a={}^{\,\mathrm {slog} _{y}a}x.$ $x:$

$x={}^{\frac {1}{\,\mathrm {slog} _{y}a}}a,$ om identiteten med förändringen av baser skulle vara sann, skulle vi få som ett resultat att och dock, som redan noterats tidigare, i praktiken finns ett oändligt antal jämna superlogaritmer med samma antal men med olika baser och lika med varandra (se exemplet ovan). $x={}^{\frac {1}{\,\mathrm {slog} _{y}a}}a={}^{\,\mathrm {slog} _{a}y}a$ $y=x,$ $a,$ $x$ $y$

En mer allmän formel, som liknar att ändra logaritmens baser, är baserad på egenskapen hos logaritmen att ta ut exponenten för ett tal:

$\log _{a}b=\log _{a}(c^{\log _{c}b})=\log _{c}b\times \log _{a}c\Longleftrightarrow \ log _{c}b={\frac {\log _{a}b}{\log _{a}c)).$ För superlogaritmen kommer en sådan formel också att vara felaktig, eftersom varken tetrationsindex (se egenskaper) eller exponent ( ) kan tas ut som en multiplikator (!). $\,\mathrm {slog} _{x}y^{z}\neq z\times \,\mathrm {slog} _{x}y$

Ojämlikheter

Värdet av superlogaritmen för vilket tal som helst existerar för det första inte alltid (se ovan), och för det andra är det tydligt definierat endast i det fall då både basen och talet ligger på samma sida av enheten ( dvs. vid ). Om dessa ojämlikheter överträds, kommer superlogaritmen troligen att ta negativa värden (endast upp till ). $\,\mathrm {slog} _{a}b>0$ $a,b\geqslant 1,$ $a,b\leqslant 1$ $-2$

Ojämlikheter för positiva tal kan superlogaritmiseras (men inte alltid). Dessutom, om basen för superlogaritmen är större än ett, så bevaras olikhetstecknet (till exempel eftersom ), och om basen är mindre än ett, kommer olikhetstecknet sannolikt att ändras till det motsatta. $4<16\Longleftrightarrow \,\mathrm {slog} _{2}4<\,\mathrm {slog} _{2}16,$ $2<3$

Superlogaritmisk funktion

Nyckelfunktioner

Om vi betraktar ett superlogaritmiskt tal som en variabel får vi den superlogaritmiska funktionen eller ( inversen av superexponentialen). Det är definierat för men inte för alla och värdeintervallet är än så länge bara icke-negativa heltal. $y={\text{slog}}_{a}x$ $y={\text{sexp}}_{a}^{-1}(x)$ $a,x>0,$ $a$ $x,$

För basen är den naturliga superlogaritmen (och dess invers) enkelvärdig, eftersom funktionen (eller ) på ett givet intervall är strikt ökande (minskande) [4] . Dessutom finns det en gräns eftersom superlogaritmen tenderar till noll [4] : ${\displaystyle x\in [1/e;+\infty \))$ ${\text{slog}}_{x}y=n,{\text{ }}n\in \mathbb {N}$ ${\displaystyle {\Bigl (}{\text{slog}}_{x}y={\frac {1}{n}}{\Bigr )))$ $y={}^{n}x$ $y={}^{\frac {1}{n}}x$ $\lim _{n\to +\infty }{\bigl (}{}^{\frac {1}{n}}x{\bigr )}=x^{\frac {1}{x} },{\text{ }}n\in \mathbb {N} ,{\text{ }}x\in {\Bigl [}{\frac {1}{e}};e{\Bigr ]}.$

Förmodligen är funktionen analytisk , åtminstone för vissa värden [5] . Funktionens beteende i sektionen av det komplexa planet för fallet visas i figuren (värdena för själva funktionen är ungefärliga). $y={\text{slog}}_{a}(x)$ $a=e$

Det följer av definitionen att det superlogaritmiska beroendet är en omvänd funktion för en funktion , därför om existensen och unikheten hos den analytiska förlängningen av tetration säkerställs av villkoren för asymptotiska tillvägagångssätt till fixpunkter och [6] i övre och nedre delar av det komplexa planet, då måste den inversa funktionen också vara unik. En sådan funktion är verklig på den verkliga axeln . Den har två ytterpunkter i punkter och den närmar sig sitt gränsvärde i närheten av den negativa delen av den reella axeln (hela remsan mellan snitten visas med rosa linjer i figuren) och växer långsamt längs den positiva riktningen av den reella axeln . Eftersom derivatan på den reella axeln är positiv, förblir den imaginära delen positiv precis ovanför den reella axeln och negativ strax under den reella axeln. $y={}^{x}a,$ $z_{0}\approx 0.318+1.337i$ $z_{1}\approx 0.318-1.337i$ $z=z_{0}$ $z=z_{1}.$ $-2$ $f(z)={\text{slog}}_{e}z$

Tetrationsderivat med exponenter och resp . Differentiering kan fortsätta ytterligare för alla naturliga enligt den allmänna formeln: $2$ $3:$ $({}^{2}x)={}^{2}x(\ln(x)+1)$ ${\displaystyle ({}^{3}x)={}^{3}x{\biggl (}{}^{2}x(\ln(x)+1)\ln(x)+{\frac {{}^{2}x}{x}}{\biggr )))$ $n\geqslant 2$ $({}^{n}x)'={}^{n}x{\biggl (}{}^{n-1}x{\biggl (}{}^{n-2}x{ \bigl (}...{}^{2}x(\ln {x}+1)\ln {x}+{\frac {{}^{2}x}{x}}{\bigr )} \ln {x}+{\frac {{}^{3}x}{x}}{\biggr )}\ln {x}+...+{\frac {{}^{n-1}x }{x}}{\biggr )}={\frac {1}{x}}\cdot {{}^{n}x}\cdot {{}^{n-1}x}\cdot \left( \sum _{i=1}^{n-2}\left({(\ln {x})}^{i}\cdot \prod _{j=1}^{n-2}\left({ }^{j}x\right)\right)+{(\ln {x})}^{n-1}\cdot \prod _{i=1}^{n-1}({}^{i }x)+1\höger)$

Enligt reglerna för den inversa derivatan , för att erhålla den, är det nödvändigt att uttrycka en variabel från superrotfunktionen i andra graden ( ), som redan är icke-elementär , eftersom uttrycks i termer av den icke-elementära Lambert W-funktionen . I allmänhet är derivatan av superlogaritmen, som inversen av k , också sannolikt icke-elementär, tillsammans med integralen av superlogaritmen. $x^{x}$ $y={}^{x}a,$

Således kan den superlogaritmiska funktionen hittills unikt tillskrivas endast icke-elementära funktioner.

Praktiska applikationer

Lösning av en funktionell ekvation $f(f(x))=a^{x}$

Bassuperlogaritmen används för att lösa den funktionella ekvationen [2] : $a$ $f(f(x))=a^{x}$

$f(f(x))=a^{x}\Longrightarrow f(x)={}^{0,5+\operatörsnamn {slog} _{a}x}a,$ undersökning:

$f(f(x))={}^{0,5+\operatörsnamn {slog} _{a}{\bigl (}{{}^{0,5+\operatörsnamn {slog} _{a }x}}a{\bigr )}}a={}^{0.5+0.5+\operatörsnamn {slog} _{a}{x}}a={}^{1+\operatörsnamn {slog } _{a }{x}}a=a^{{}^{\operatörsnamn {slog} _{a}{x}}a}=a^{x}.$

Grafteori

Betrakta riktade grafer med noder och sådana att en riktad väg från nod till nod existerar om och endast om . Om längden på alla sådana banor inte överstiger kanter, är det minsta möjliga totala antalet kanter asymptotiskt begränsat av uppskattningen [7] : $N$ $i$ $j$ $i>j$ $k$ $\Theta (f(N))$

$\Theta (N^{2})$ för $k=1;$
$\Theta (N^{2}\log _{a}N)$ för $k=2,{\text{ }}a>0;$
$\Theta (N\log _{a}\log _{a}N)$ för $k=3,{\text{ }}a>0;$
$\Theta (N\operatörsnamn {slog} _{a}N)$ för och för (men inte för någon); $k=4$ $k=5,$ $a>0$
$\Theta (N\underbrace {{\operatörsnamn {slog} _{a}\operatörsnamn {slog} _{a}}\ldots \operatörsnamn {slog} _{a}} _{k-4}N)$ för och (men inte för någon). $k>5$ $a>0$

Öppna nummer

Det är inte känt om värdena för superlogaritmer lämpar sig för en entydig logisk (teoretisk) generalisering till irrationella och / eller negativa reella (liksom komplexa) tal; ingen universell algoritm (metod) för att beräkna superlogaritmer har ännu utvecklats [ 8] .

Anteckningar

↑ Abel ekvation - Hyperoperations Wiki . math.eretrandre.org. Tillträdesdatum: 23 juni 2018.
↑ 1 2 3 K. A. Rubtsov, G. F. Romerio. Lösningen av den funktionella ekvationen f(f(x))=exp(x) (ru, en) // Scientific Bulletin of the Belgorod State University (Mathematics. Physics series): journal. - 2014. - 23 september ( nummer 36 , nr 19 (190) ). - S. 64-70 . — ISSN 2075-4639 .
↑ 1 2 Andrew Robbins. Början av resultat . Hem för Tetration - Papper . web.archive.org (28 augusti 2008). Tillträdesdatum: 27 januari 2019. (obestämd)
↑ 1 2 Ioannis Galidakis. En detaljerad titt på hyperroot-funktionerna med Lamberts W-funktion . Matematik . web.archive.org (7 april 2012). Hämtad: 1 februari 2019. (obestämd)
↑ Peter Walker. Oändligt differentierbara generaliserade logaritmiska och exponentiella funktioner // Mathematics of Computation: journal. - 1991. - Vol. 57. - P. 723-733. - doi : 10.2307/2938713 .
↑ H. Kneser. Reelle analytische Losungen der Gleichung und verwandter Funktionalgleichungen $\varphi {\Big (}\varphi (x){\Big )}={\rm {e}}^{x}$ (engelska) // Journal für die reine und angewandte Mathematik : journal. - 1950. - Vol. 187. - S. 56-67.
↑ Grinchuk M. I. Om komplexiteten i att implementera en sekvens av triangulära booleska matriser med grindkretsar av olika djup // Diskreta analysmetoder i syntesen av styrsystem / ed. Yu. L. Vasil'eva. - Novosibirsk: IM: USSR Academy of Sciences, Sib. Institutionen, Matematikinstitutet, 1986. - S. 3-23.
↑ Tetration Forum . math.eretrandre.org. Hämtad: 6 maj 2018.

Länkar

Webbplats om tetration av Daniel Geisler .
Tetracys diskussionsforum .
Kuznetsov D. Tetration som specialfunktion // Vladikavkaz Mathematical Journal. — 2010.
George Szekeres , Abels ekvation och regelbunden tillväxt

W. Neville Holmes sammansatt aritmetik: Förslag till en ny standard . IEEE Computer Society Press, vol. 30, nr. 3, sid. 65–73, 1997.

Stora siffror
Tal	googol Shannon nummer Googolplex Skeves nummer Moser nummer Graham nummer TRÄD(3) Rayo nummer
Funktioner	Ackermann funktion Veblen funktion Psi-funktioner för Buchholz tetration Pentation Hyperoperator Snabbväxande hierarki Långsamt växande hierarki Härlig hierarki
Noteringar	Steinhaus-Moser notation Knuth pilnotation Conway pil notation Massiv Bowers Notation