Lee grupp

En Lie-grupp över ett fält ( eller ) är en grupp utrustad med strukturen av ett differentierbart (smidigt) grenrör över , med kartor och definieras enligt följande: $K$ $K=\mathbb{R}$ $\mathbb {C}$ $G$ $K$ $\operatörsnamn {mul}$ $\operatörsnamn {inv}$

\operatörsnamn {mul}\kolon G\ gånger G\högerpil G;\ \operatörsnamn {mul}\,(x,y)=xy

\operatörsnamn {inv}\colon G\rightarrow G;\ \ \operatörsnamn {inv}\,x=x^{{-1}}

är släta (när det gäller ett fält kräver de att mappningarna som introduceras är holomorfa ). $\mathbb {C}$

En topologisk grupp kallas med andra ord en Lie-grupp om den är parametrisk och om funktionen som definierar multiplikationslagen är realanalytisk [1] .

Varje komplex -dimensionell Lie-grupp är en riktig Lie-grupp av dimension . Varje komplex Lie-grupp är per definition en analytisk mångfald, men i det verkliga fallet, på vilken Lie-grupp som helst, finns det en analytisk atlas där mappningarna och skrivs av analytiska funktioner . $n$ $2n$ $\operatörsnamn {mul}$ $\operatörsnamn {inv}$

Studiet av Lie-grupper startades oberoende av Wilhelm Killing och Sophus Lie .

Lögngrupper uppstår naturligt när man överväger kontinuerliga symmetrier . Till exempel bildar planrörelser en Lie-grupp. Lögngrupper är, i betydelsen strukturrikedom, det bästa av mångfalder, och är som sådana mycket viktiga i differentialgeometri och topologi . De spelar också en viktig roll i geometri, fysik och teorin om differentialekvationer .

Liegruppstyper

Lie grupper klassificeras enligt deras algebraiska egenskaper ( enkelhet , semisimplicity , decidability , nilpotency , Abelianity ) såväl som deras topologiska egenskaper ( samband , helt enkelt sammanhängande och kompakthet ).

Lie undergrupper

En undergrupp av en Lie-grupp kallas dess Lie-undergrupp om den är en undervarietet i sorten , det vill säga det finns , sådan som specificeras i närheten av var och en av dess punkter av ett system av funktioner med rang . Inte varje undergrupp är en Lie-undergrupp: till exempel är en undergrupp av par av formen i en torus inte en Lie-undergrupp (det ger en överallt tät lindning av torusen). En Lie-undergrupp är alltid stängd. I det verkliga fallet är det omvända också sant: en sluten undergrupp är en Lie-undergrupp. I det komplexa fallet är detta inte fallet: det finns verkliga Lie-undergrupper i en komplex Lie-grupp som har en udda dimension, till exempel enhetsmatriser i gruppen inverterbara komplexa matriser . $H$ $G$ $G$ $m>0$ $H$ $sid$ $k$ $sid$ $m$ $(e^{{ix}},e^{{i\pi x}})$ $\{(e^{{ix}},e^{{iy}})\mid x,y\in \mathbb{R} \}$ $2 gånger 2$

Låt vara en Lie-undergrupp i Lie-gruppen . Uppsättningen av cosets (oavsett om den är vänster eller höger) kan unikt förses med strukturen av ett differentierbart grenrör på ett sådant sätt att den kanoniska projektionen är en differentierbar kartläggning. I det här fallet erhålls en lokalt trivial bunt, och om är en normal undergrupp av , då är kvotgruppen en Lie-grupp. $H$ $G$ $G/H$ $H$

Homomorfismer och isomorfismer

Låt och vara Lie-grupper över samma fält. En homomorfism av Lie-grupper är en kartläggning som är en homomorfism av grupper och samtidigt en analytisk kartläggning av mångfalder (det kan visas att kontinuitet är tillräcklig för att det senare villkoret ska vara uppfyllt ). Sammansättningen av homomorfismer av Lie-grupper är återigen en homomorfism av Lie-grupper. Klasserna av alla verkliga och alla komplexa Lie-grupper tillsammans med motsvarande homomorfismer bildar kategorierna och . En Lie-grupphomomorfism kallas en isomorfism om det finns en invers. Två Lie-grupper mellan vilka det finns en isomorfism, som vanligt i abstrakt algebra, sägs vara isomorfa. Som vanligt särskiljs Lie-grupper endast upp till isomorfism. Till exempel är Lie-gruppen av planrotationer med sammansättningsoperationen och Lie-gruppen av komplexa tal modulo ett med multiplikationsoperationen isomorfa. $G$ $H$ $f\kolon G\till H$ $f$ $\operatörsnamn {Lie}_{\mathbb{R} }$ $\operatorname {Lie} _{\mathbb {C} }$ $SO(2)$ $U(1)$

Ett exempel på en irrationell lindning av en torus visar att bilden av en Lie-grupp under en homomorfism inte alltid är en Lie-undergrupp. Den omvända bilden av en Lie-undergrupp under en homomorfism är dock alltid en Lie-undergrupp.

En homomorfism av en Lie-grupp över ett fält till en grupp av icke- degenererade linjära transformationer av ett vektorrum över ett fält kallas en representation av gruppen i rymden . $G$ $K$ $GL(V)$ $V$ $K$ $G$ $V$

Åtgärder för Lie-grupper

Liegrupper fungerar ofta som symmetrier av någon struktur på någon mångfald, och därför är det naturligt att studiet av Lie-gruppers handlingar på olika mångfalder är en viktig del av teorin. En Lie-grupp G sägs verka på ett jämnt grenrör M om en grupphomomorfism a : G → Diff M ges , där Diff M är diffeomorfismgruppen för M. Sålunda måste varje element g i gruppen G motsvara en diffeomorf transformation a g av mångfalden M , och produkten av element och om man tar det inversa elementet motsvarar sammansättningen av diffeomorfismer respektive den inversa diffeomorfismen. Om det framgår av sammanhanget vilken handling vi talar om, så betecknas bilden a g ( m ) av punkten m under diffeomorfismen som definieras av elementet g helt enkelt med gm .

Lie-gruppen agerar naturligt på sig själv genom vänster- och högerförskjutningar, såväl som konjugationer. Dessa åtgärder betecknas traditionellt med l , r och a :

l_{g}(h)=gh

r_{g}(h)=hg

{\displaystyle a_{g}(h)=ghg^{-1))

Ett annat exempel på en handling är handlingen av en Lie-grupp på uppsättningen av cosets för denna grupp med avseende på någon Lie-undergrupp : $G$ $N\leq G$

g(hN)=(gh)N

En handling av en Lie -grupp på en differentierbar mångfald M sägs vara transitiv om någon punkt kan tas till någon annan genom inverkan av något element . En mångfald på vilken en transitiv verkan av en Lie-grupp ges kallas det homogena utrymmet för denna grupp. Homogena utrymmen spelar en viktig roll i många grenar av geometri. Det homogena utrymmet i gruppen är diffeomorft , där är stabilisatorn för en godtycklig punkt. $G$ $M$ $G$ $G$ $G/{\mathop {\rm {st)) }(x)$ ${\mathop {\rm {st)) }(x)$

Lie-algebra för Lie-gruppen

Lie-algebra bestämmer helt den lokala strukturen för dess Lie-grupp.

Ett vektorfält på en Lie-grupp sägs lämnas invariant om det pendlar med vänsterförskjutningar, d.v.s. $G$

X(l_{g}^{*}(f))=l_{g}^{*}(X(f))

för alla och alla differentierbara funktioner .

g

G

f

På motsvarande sätt,

{\displaystyle dl_{g}X_{p}=(l_{g})_{*}X_{p}=X_{gp))

för alla , från .

sid

g

G

Uppenbarligen bestäms varje vänsterinvariant vektorfält på en Lie-grupp helt av dess värde vid enhet. Tvärtom, genom att sätta en godtycklig vektor i tangentrymden till enhet kan man sprida den genom vänsterförskjutningar över hela gruppen. En en-till-en-överensstämmelse erhålls mellan tangentrymden till gruppen vid identiteten och utrymmet för vänsterinvarianta vektorfält. $X$ ${\displaystyle X_{e))$ $X$ $T_{e}G$

Lie -parentesen för vänsterinvarianta vektorfält kommer att vara ett vänsterinvariant vektorfält. Därför är en Lie-algebra . Denna algebra kallas Lie-algebra i gruppen . (Vanligtvis betecknas algebra med den passande lilla gotiska bokstaven.) $[X,Y]$ $T_{e}G$ $\mathfrak{g}$ $G$

Se även

Anteckningar

↑ Zhelobenko, 1970 , sid. 27.

Litteratur

Lögngruppsteori // Stora ryska encyklopedin : [i 35 volymer] / kap. ed. Yu. S. Osipov . - M . : Great Russian Encyclopedia, 2004-2017.
Vinberg E. B., Onishchik A. L. Seminarium om Lie-grupper och algebraiska grupper. 1988, 1995
Resultat av vetenskap och teknik. Moderna matematikproblem. grundläggande riktningar. T.20. Liegrupper och Liealgebror - 1. - M.: VINITI, 1988.
Adams JF föreläser om lögngrupper. — M.: Nauka, 1979.
Bourbaki N. Lie-grupper och algebror. Kapitel I-III. — M.: Mir, 1976. — 496 sid.
Bourbaki N. Lie-grupper och algebror. Kapitel IX. — M.: Mir, 1986. — 174 sid.
Zhelobenko D. P. Compact Lie-grupper och deras representationer. — M .: Nauka, 1970. — 664 sid.
Postnikov M. M. Lie-grupper och algebror. — M .: Nauka, 1982. — 447 sid. — (Föreläsningar om geometri. Termin V).

Physics and Mathematics Library Resources Arkiverad 14 juli 2007 på Wayback Machine på EqWorld-webbplatsen World of Mathematical Equations Arkiverad 3 oktober 2008 på Wayback Machine :

Seminarium "Sophus Lie". Teorin om Lie algebras. Topologi för Lie-grupper. - M .: IL, 1962 (djvu) Arkivexemplar av 19 juni 2018 på Wayback Machine
Serre J.-P. Lie algebror och Lie grupper. - M .: Mir, 1969 (djvu) Arkiverad 8 december 2015 på Wayback Machine

Gruppteori
Grundläggande koncept	Undergrupp Normal undergrupp Faktorgrupp Arbete direkt halvdirekt fri
Algebraiska egenskaper	kommutativ grupp Cyklisk grupp beställd grupp Förvandla grupp Lösbar grupp Schreiers Lemma Lagranges sats Sylows satser Klassificering av enkla ändliga grupper
ändliga grupper	Finit cyklisk grupp C n Symmetrisk grupp S n Dihedral grupp D n Alternerande grupp A n Klein Quadruple Group Mathieu-grupper M11 _ M12 _ M22 _ M23 _ M24 _ Conway grupper Co 1 Co2 _ Co3 _ Janko grupper J1 _ J2 _ J3 _ J4 _ Fisher grupper F22 _ F 23 F24 _ Monster (M)
Topologiska grupper	Lögngrupper Ortogonal grupp O(n) Special ortogonal grupp SO(n) Enhetsgrupp U(n) Särskild enhetlig grupp SU(n) Sympletisk grupp Sp(n) Exceptionellt enkelt Lorentz grupp Poincaré-gruppen
Algoritmer på grupper	Schreier - Sims Todd - Coxeter Fouriertransform