Förväntat värde

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 1 oktober 2021; kontroller kräver 3 redigeringar .

Matematisk förväntan är ett begrepp inom sannolikhetsteorin , vilket betyder det genomsnittliga (viktade med sannolikheterna för möjliga värden) av en slumpmässig variabel [1] . I fallet med en kontinuerlig slumpvariabel, antyds densitetsviktning (se nedan för mer rigorösa definitioner). Den matematiska förväntan av en slumpmässig vektor är lika med en vektor vars komponenter är lika med de matematiska förväntningarna för komponenterna i den slumpmässiga vektorn.

Betecknas med [2] (till exempel från engelska Expected value eller tyska Erwartungswert ); i ryskspråkig litteratur finns även en beteckning (möjligen från engelska Mean value eller tyska Mittelwert , och möjligen från "Matematisk förväntan"). I statistiken används ofta beteckningen . ${\mathbb {E}}[X]$ $M[X]$ $\mu$

För en slumpvariabel som endast tar värdena 0 eller 1, är den matematiska förväntan lika med p - sannolikheten för "ett". Den matematiska förväntan på summan av sådana slumpvariabler är np , där n är antalet sådana slumpvariabler. I det här fallet beräknas sannolikheterna för utseendet av ett visst antal enheter enligt binomialfördelningen . Därför, i litteraturen, är det troligen lättare att hitta ett register som parar sig. förväntan på binomialfördelningen är np [3] .

Vissa slumpvariabler har inget förväntat värde, till exempel slumpvariabler som har en Cauchy-fördelning .

I praktiken uppskattas den matematiska förväntan vanligtvis som det aritmetiska medelvärdet av de observerade värdena för en slumpmässig variabel (provmedelvärde, urvalsmedelvärde). Det är bevisat att under vissa svaga förhållanden (särskilt om urvalet är slumpmässigt, det vill säga observationerna är oberoende), tenderar urvalets medelvärde till det sanna värdet av den matematiska förväntan av en slumpmässig variabel när urvalsstorleken (talet av observationer, tester, mätningar) tenderar till oändlighet.

Definition

Allmän definition i termer av Lebesgue-integralen

Låt ett sannolikhetsutrymme och en slumpvariabel definierad på det ges . Det vill säga, per definition, är en mätbar funktion . Om det finns en Lebesgue-integral av över rymden , kallas den den matematiska förväntan, eller det genomsnittliga (förväntade) värdet och betecknas med eller . $(\Omega,\mathfrak{A},\mathbb{P})$ $X$ $X\colon \Omega \to \mathbb {R}$ $X$ $\Omega$ $M[X]$ ${\mathbb {E}}[X]$

\mathbb {E} [X]=\int \limits _{\Omega }\!X(\omega )\,\mathbb {P} (d\omega ).

Definition genom fördelningsfunktionen för en slumpvariabel

Om är fördelningsfunktionen för en slumpvariabel, så ges dess matematiska förväntan av Lebesgue-Stieltjes-integralen : $F_{X}(x)$

\mathbb {E} [X]=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\!x\,dF_{X}(x)

, .

x\in \mathbb {R}

Definition för en absolut kontinuerlig slumpvariabel (via distributionstäthet)

Den matematiska förväntan på en absolut kontinuerlig stokastisk variabel , vars fördelning ges av densiteten , är lika med $f_ {x} (x)$

\mathbb {E} [X]=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\!xf_{X}(x)\,dx

Definition för en diskret slumpvariabel

If är en diskret slumpvariabel med fördelning $X$

\mathbb {P} (X=x_{i})=p_{i}

... _

\sum \limits _{i=1}^{\infty }p_{i}=1

då följer det direkt av definitionen av Lebesgue-integralen att

{\displaystyle \mathbb {E} [X]=\sum \limits _{i=1}^{\infty }x_{i}\,p_{i))

. Den matematiska förväntan av ett heltalsvärde

If är en positiv heltalsvariabel (ett specialfall av en diskret) med en sannolikhetsfördelning $X$

{\displaystyle \mathbb {P} (X=j)=p_{j))

... _ _

j=0,1,\dotsc

\sum \limits _{j=0}^{\infty }p_{j}=1

då kan dess matematiska förväntan uttryckas i termer av sekvensens genererande funktion $\ {p_ {i} \}$

P(s)=\summa _{{k=0}}^{\infty }\;p_{k}s^{k}

som värdet av den första derivatan vid enhet: . Om den matematiska förväntan är oändlig, kommer vi att skriva $\mathbb {E} [X]=P'(1)$ $X$ $\lim _{{s\to 1}}P'(s)=\infty$ $P'(1)=\mathbb {E} [X]=\infty$

Nu tar vi den genererande funktionen av sekvensen av "svansar" av fördelningen $Q (s)$ $\ {q_ {k} \}$

q_{k}=\mathbb {P} (X>k)=\summa _{j=k+1}^{\infty }{p_{j))

Q(s)=\sum _{k=0}^{\infty }q_{k}s^{k}.

Denna genererande funktion är relaterad till den tidigare definierade funktionen av egenskapen: at . Av detta, enligt medelvärdessatsen , följer det att den matematiska förväntan helt enkelt är värdet av denna funktion vid enhet: $P(s)$ $Q(s)={\frac {1-P(s)}{1-s}}$ $| s | <1$

\mathbb {E} [X]=P'(1)=Q(1)

Matematisk förväntan på en slumpmässig vektor

Låta vara en slumpmässig vektor. Då per definition $X=(X_{1},\dots,X_{n})^{{\top }}\colon \Omega \to {\mathbb {R}}^{n}$

\mathbb {E} [X]=(\mathbb {E} [X_{1}],\dots ,\mathbb {E} [X_{n}])^{\top }

det vill säga den matematiska förväntan på en vektor bestäms komponent för komponent.

Matematisk förväntan på transformationen av en slumpvariabel

Låt vara en Borel-funktion så att den slumpmässiga variabeln har en ändlig matematisk förväntan. Då är formeln giltig för det $g\colon {\mathbb {R}}\to {\mathbb {R}}$ $Y = g (x)$

\mathbb {E} \left[g(X)\right]=\sum \limits _{i=1}^{\infty }g(x_{i})p_{i},

om den har en diskret fördelning; $X$

\mathbb {E} \left[g(X)\right]=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\!g(x)f_{X}(x)\,dx

om den har en absolut kontinuerlig distribution. $X$

Om fördelningen av en allmän slumpvariabel , då $\ Mathbb {p} ^{x}$ $X$

\mathbb {E} \left[g(X)\right]=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\!g(x)\,\mathbb {P} ^{X } (dx).

I det speciella fallet när , kallas den matematiska förväntan den slumpmässiga variabelns th moment . $g(X)=X^{k}$ $\mathbb {E} [g(X)]=\mathbb {E} [X^{k}]$ $k$

Egenskaper för matematiska förväntningar

Den matematiska förväntan på ett tal (inte ett slumpmässigt, fast värde, konstant) är själva talet.

\mathbb {E} [a]=a

a \ i {\ mathb {r}}

är en konstant;

Den matematiska förväntan är linjär [4] , d.v.s.

{\ Displaystyle \ Mathbb {e} [Ax+by] = A \ Mathbb {e} [x]+b \ mathbbbbb {e}}}}}}}}}}

, där är slumpvariabler med ändlig matematisk förväntan och är godtyckliga konstanter;

X,Y

a, b \ i \ mathbb {r}

I synnerhet är den matematiska förväntan av summan (skillnaden) av slumpvariabler lika med summan (respektive skillnaden) av deras matematiska förväntningar.

Den matematiska förväntan bevarar ojämlikheter, det vill säga om nästan säkert , och är en slumpvariabel med en ändlig matematisk förväntan, då är den matematiska förväntan av den slumpmässiga variabeln också ändlig, och dessutom $0 \ leqslant x \ leqslant y$ $Y$ $X$

{\ DisplayStyle 0 \ Leqslant \ Mathb {e} [x] \ leqslant \ matHBBBBBBBBBBBBBBIC {E}}}}}}

Den matematiska förväntan beror inte på beteendet hos den slumpmässiga variabeln vid händelsen med sannolikhet noll, det vill säga, om nästan säkert , då $X=Y$

\mathbb {E} [X]=\mathbb {E} [Y]

Den matematiska förväntan av produkten av två oberoende eller okorrelerade [5] slumpvariabler är lika med produkten av deras matematiska förväntningar $X,Y$

{\ DisplayStyle \ Mathbb {e} [XY] = \ MATHBB {E} [X] \ CDOT \ MATHBBBBBBBBIS {E}}}}

Förväntningsojämlikheter

Markovs olikhet - för en icke-negativ slumpvariabel definierad på ett sannolikhetsutrymme med en ändlig matematisk förväntan gäller följande olikhet: ${\ Displaystyle X \ Colon \ Omega \ till \ Mathbb {r} ^{+}}}}$ $(\ Omega, {\ mathcal {f}}, {\ mathbb {p}})$ ${\ DisplayStyle \ Mathbb {e} (x)}$

{\ Displaystyle \ Mathbb {p} \ left (x \ gqslant a \ right) \ leqslant {\ frac {\ mathbb (x)}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} }}

, var .

a>0

Jensens olikhet för den matematiska förväntan på en konvex funktion av en stokastisk variabel. Låta vara ett sannolikhetsutrymme, vara en slumpvariabel definierad på den, vara en konvex Borel-funktion , så att , då $(\ Omega, {\ mathcal {f}}, \ mathb {p})$ ${\ DisplayStyle X \ Kolon \ Omega \ till \ Mathbb {r}}$ $\ varphi \ colon {\ mathbb {r}} \ till {\ mathb {r}}}}}$ $X, \ varphi (x) \ i l^{1} (\ omega, {\ mathcal {f}}, {\ mathbb {p}})$

{\ Displaystyle \ Varphi (\ Mathbb {e} (x)) \ leqslant \ matHBBBI {e} (\ varphi (x)}}}}}

Satser relaterade till förväntan

Levys teorem om monoton konvergens .
Lebesgues Majorized Convergence Theorem : Låt det finnas en sekvens av slumpvariabler som konvergerar nästan överallt : . Låt dessutom, det finns en integrerbar slumpvariabel så att nästan säkert. Då är de slumpmässiga variablerna integrerbara och $X_ {n} \ till x$ $Y$ $\ Forall N \ in \ Mathbb {n} \ quad | x_ {n} | \ leqslant y$ $X_ {n}, \; x$

\lim \limits _{n\to \infty }\mathbb {E} (X_{n})=\mathbb {E} (X)

Walds identitet : för oberoende identiskt fördelade slumpvariabler , där är en positiv heltal slumpvariabel oberoende av , förutsatt att och har en ändlig matematisk förväntan, kommer följande likhet att gälla: ${\ displayStyle x_ {1}, ..., x_ {n}}}$ $N$ $X_{i}$ $X_{i}$ $N$

\mathbb {E} \left(\sum _{i=1}^{N}X_{i}\right)=\mathbb {E} (N)\mathbb {E} (X)

Den matematiska förväntan av en slumpvariabel är lika med värdet av den första derivatan av dess genererande funktion av moment vid punkt 0: $X$ $G (u)$

{\ DisplayStyle \ Mathbb {e} (x) = g '(0)}

Exempel

Låt den slumpmässiga variabeln ha en diskret enhetlig fördelning , d.v.s. sedan dess matematiska förväntan $\mathbb {P} (X=x_{i})={\frac {1}{n)),\;i=1,\ldots ,n.$

\mathbb {E} [X]={\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}

är lika med det aritmetiska medelvärdet av alla mottagna värden.

Låt en stokastisk variabel ha en kontinuerlig enhetlig fördelning på intervallet , där . Då har dess densitet formen och den matematiska förväntan är lika med $[a,b]$ $a<b$ $f_ {x} (x) = {\ frac {1} {ba}} \ mathbf {1} _ {[a, b]} (x)$

\mathbb {E} [X]=\int \limits _{a}^{b}\!{\frac {x}{ba}}\,dx={\frac {a+b}{2 }}

Låt den slumpmässiga variabeln ha standardfördelningen Cauchy . Sedan $X$

\int \limits _{-\infty }^{\infty }\!xf_{X}(x)\,dx=\infty

det vill säga den matematiska förväntan är inte definierad. $X$

Se även

Anteckningar

↑ " Matematisk uppslagsverk " / Chefredaktör I. M. Vinogradov. - M . : "Sovjetisk uppslagsverk", 1979. - 1104 sid. - (51 [03] M34). - 148 800 exemplar.
↑ A. N. Shiryaev. 1 // "Sannolikhet". - M. : MTSNMO, 2007. - 968 sid. - ISBN 978-5-94057-036-3 , 978-5-94057-106-3, 978-5-94057-105-6.
↑ V.E. Gmurman. Del två. slumpmässiga variabler. -> Kapitel 4. Diskreta slumpvariabler. -> Punkt 3. // [ http://elenagavrile.narod.ru/ms/gmurman.pdf EN GUIDE FÖR ATT LÖSA PROBLEM I SANNOLIKHETSTEORI OCH MATEMATISK STATISTIK]. - 1979. - S. 63. - 400 sid. Arkiverad 21 januari 2022 på Wayback Machine
↑ Pytiev Yu. P. , Shishmarev I. A., Sannolikhetsteori, matematisk statistik och element i möjlighetsteori för fysiker. - M .: Fysiska fakulteten vid Moscow State University, 2010.
↑ Sannolikhetsteori: 10.2. Satser om numeriska egenskaper . sernam.ru. Hämtad 10 januari 2018. Arkiverad från originalet 10 januari 2018. (obestämd)

Litteratur

Feller W. Kapitel XI. Heltalsvärden. Generera funktioner // Introduktion till sannolikhetsteori och dess tillämpningar = En introduktion till sannolikhetsteori och dess tillämpningar, Volym I andra upplagan / Översatt från engelska. R.L. Dobrushin, A.A. Yushkevich, S.A. Molchanov Ed. E. B. Dynkina med ett förord av A. N. Kolmogorov. - 2:a uppl. - M . : Mir, 1964. - S. 270-272.

Länkar

Matematisk förväntan och dess egenskaper på http://www.toehelp.ru

Ordböcker och uppslagsverk	Stor ryss Great Soviet (1 upplaga) Britannica (online) Moderna Ukraina
I bibliografiska kataloger	GND : 4152930-3

Betyda
Matte	Effektmedelvärde ( viktad ) harmoniskt medelvärde viktad geometriskt medelvärde viktad Medel viktad effektivvärdet Genomsnittlig kubik glidande medelvärde Aritmetiskt-geometriskt medelvärde Funktion Mean Kolmogorov menar
Geometri	geometriskt centrum Barycenter
Sannolikhetsteori och matematisk statistik	Winsorized medelvärde provmedelvärde Förväntat värde Median Mode standardavvikelse Trunkerat medelvärde Villkorlig förväntan
Informationsteknologi	Medoid k-median metod
Satser	Första medelsatsen Andra medelsatsen Olikhet om det aritmetiska, geometriska och harmoniska medelvärdet
Övrig	Mätvärden för distributionscenter