Lobachevsky utrymme

Lobachevsky-rymden , eller hyperboliskt utrymme - ett utrymme med konstant negativ krökning . Det tvådimensionella Lobachevsky -utrymmet är Lobachevsky-planet .

Negativ krökning skiljer Lobachevsky-rymden från euklidisk rymd med noll krökning, beskriven av euklidisk geometri , och från en sfär - ett utrymme med konstant positiv krökning, beskrivet av Riemann geometri .

Det n -dimensionella Lobachevsky-utrymmet betecknas vanligtvis med eller . ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n))$ ${\displaystyle {\Lambda }^{n))$

Definition

Ett n -dimensionellt Lobachevsky-rum är ett enkelt anslutet n - dimensionellt Riemann-grenrör med konstant negativ tvärsnittskrökning .

Hyperboliska rymdmodeller

Lobatjovskij-rymden, som självständigt utforskades av Nikolai Ivanovich Lobatjovskij och Janos Bolyai , är ett geometriskt rum som liknar det euklidiska rummet , men Euklids axiom för parallellism är inte tillfredsställt i det. Istället ersätts parallellismens axiom av följande alternativa axiom (i ett utrymme med dimension två):

Med tanke på vilken linje L som helst och en punkt P som inte är på linje L , så finns det åtminstone två distinkta linjer genom P som inte skär L .

Detta antyder satsen att det finns oändligt många sådana linjer som går genom P . Axiomet definierar inte Lobachevsky-planet unikt upp till rörelse , eftersom det är nödvändigt att sätta en konstant krökning K < 0 . Men axiomet definierar planet upp till homoteti , det vill säga upp till transformationer som ändrar avstånd med någon konstant faktor utan rotation. Om man kan välja en lämplig längdskala, så kan man utan förlust av generalitet anta att K = −1 .

Det är möjligt att bygga modeller av Lobachevsky-utrymmen som kan bäddas in i platta (det vill säga euklidiska) utrymmen. I synnerhet följer det av förekomsten av Lobatjovskijs rymdmodell i euklidisk att parallellismens axiom är logiskt oberoende av andra axiom i euklidisk geometri.

Det finns flera viktiga modeller av Lobachevsky-rummet - Klein-modellen , hyperboloidmodellen, Poincaré-modellen i en boll och Poincaré-modellen i det övre halvplanet. Alla dessa modeller har samma geometri i den meningen att två av dem är sammankopplade genom en transformation som bevarar alla geometriska egenskaper hos det hyperboliska utrymmet de beskriver.

Hyperboloidmodell

Hyperboloidmodellen realiserar Lobachevsky-utrymmet som en hyperboloid i . En hyperboloid är platsen för punkter vars koordinater uppfyller ekvationen $\mathbb {R} ^{n+1}=\{(x_{0},\dots ,x_{n})|x_{i}\in \mathbb {R} ,i=0,1, ...,n\}$ ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n))$

x_{0}^{2}-x_{1}^{2}-\cdots -x_{n}^{2}=1,\quad x_{0}>0.

I denna modell är en linje (det vill säga en geodetisk ) en kurva som bildas av en skärning med ett plan som går genom origo vid . ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n))$ $\R^{n+1}$

Hyperboloidmodellen är nära besläktad med Minkowskis rymds geometri . kvadratisk form

Q(x)=x_{0}^{2}-x_{1}^{2}-x_{2}^{2}-\cdots -x_{n}^{2},

som definierar en hyperboloid, låter dig ange motsvarande bilinjär form

B(x,y)=(Q(x+y)-Q(x)-Q(y))/2=x_{0}y_{0}-x_{1}y_{1}-\ cdots -x_{n}y_{n}.

Utrymmet som är utrustat med den bilinjära formen B är ( n +1)-dimensionellt Minkowski-rum . $\R^{n+1}$ $\mathbb {R} ^{n,1}$

Man kan definiera ett "avstånd" på en hyperboloidmodell genom att definiera [1] avståndet mellan två punkter x och y på som ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n))$

d(x,y)=\operatörsnamn {arch} B(x,y).

Denna funktion är ett mått, eftersom axiomen för ett metriskt utrymme är uppfyllda för det . Det bevaras under inverkan av den ortokroniska Lorentz-gruppen O + ( n ,1) på . Därför verkar den ortokroniska Lorentz-gruppen som en grupp av avståndsbevarande automorfismer , det vill säga rörelser . $\mathbb {R} ^{n,1}$ ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n))$

Kleins modell

En alternativ modell av Lobachevskys geometri är ett visst område i projektiv rymd . Minkowskis kvadratiska form Q definierar en delmängd , definierad som den uppsättning punkter för vilka x är i homogena koordinater . Regionen U n är Klein-modellen av Lobachevsky-rummet. $U^{n}\subset \mathbb {R} \mathbf {P} ^{n}$ $Q(x)>0$

Raka linjer i denna modell är öppna segment av det omgivande projektiva utrymmet som ligger i U n . Avståndet mellan två punkter x och y i U n definieras som

d(x,y)=\operatörsnamn {arch} \left({\frac {B(x,y)}{\sqrt {Q(x)Q(y)))}\right).

Detta avstånd är väl definierat på ett projektivt utrymme, eftersom antalet inte ändras när alla koordinater ändras med samma faktor (upp till vilken de homogena koordinaterna definieras). ${\displaystyle {\tfrac {B(x,y)}{\sqrt {Q(x)Q(y)))))$

Denna modell är relaterad till hyperboloidmodellen på följande sätt. Varje punkt motsvarar linjen L x genom origo i genom definitionen av ett projektivt utrymme. Denna linje skär hyperboloiden vid en enda punkt. Omvänt: genom vilken punkt som helst där passerar en enda rät linje som passerar genom origo (som är en punkt i det projektiva rummet). Denna överensstämmelse definierar en bijektion mellan U n och . Detta är en isometri eftersom beräkningen av d ( x , y ) längs reproducerar definitionen av avstånd i hyperboloidmodellen. $x\in U^{n}$ $\R^{n+1}$ ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n))$ ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n))$ ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n))$ $Q(x)=Q(y)=1$

Poincaré-modellen i en boll

Det finns två närbesläktade modeller av Lobachevskys geometri i euklidiska: Poincaré-modellen i kulan och Poincaré-modellen i det övre halvplanet.

Kulmodellen uppstår från en stereografisk projektion av en hyperboloid in i ett hyperplan . Mer detaljer: låt S vara en punkt in med koordinater (−1,0,0,...,0) - sydpolen för den stereografiska projektionen. För varje punkt P på hyperboloiden, låt P ∗ vara den enda skärningspunkten för linjen SP med planet . $\R^{n+1}$ $\{x_{0}=0\}$ $\mathbb {R} ^{n,1}$ ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n))$ $\{x_{0}=0\}$

Detta ställer in den bijektiva kartan till enhetsbollen ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n))$

B^{n}=\{(x_{1},\ldots,x_{n})\mid x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}<1\ }

i planet { x 0 = 0}.

Geodesiken i denna modell är halvcirklar vinkelräta mot sfärens B n gräns . Kulisometrier bildas av sfäriska inversioner med avseende på hypersfärer vinkelräta mot gränsen.

Poincaré-modellen i det övre halvplanet

Modellen av det övre halvplanet erhålls från Poincaré-modellen i kulan genom att applicera en inversion centrerad på gränsen för Poincaré-modellen B n (se ovan) och med en radie lika med två gånger modellens radie.

Denna transformation mappar cirklar till cirklar och linjer (i det senare fallet - om cirkeln passerar genom inversionscentrum) - och dessutom är det en konform avbildning . Därför, i modellen av det övre halvplanet, är geodesiken de raka linjerna och (halva) cirklarna vinkelräta mot hyperplanets gräns.

Hyperboliska grenrör

Varje komplett , anslutet , enkelt anslutet grenrör med konstant negativ krökning −1 är isometriskt till Lobatsjovskij - rymden . Som ett resultat är det universella locket för varje stängt grenrör M med konstant negativ krökning −1, det vill säga det hyperboliska grenröret . Då kan vilken sådan mångfald M skrivas som , där är en diskret torsionsfri isometrigrupp på . Det vill säga det är ett gitter i SO + ( n ,1) . ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n))$ ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n))$ $\mathbb {H} ^{n}/\Gamma$ $\Gamma$ ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n))$ $\Gamma$

Riemann ytor

Tvådimensionella hyperboliska ytor kan också förstås som Riemann-ytor . Enligt uniformiseringsteorem är vilken Riemann-yta som helst elliptisk , parabolisk eller hyperbolisk . De flesta hyperboliska ytor har en icke-trivial fundamental grupp . Grupper som uppstår på detta sätt kallas Fuchsian . Det övre halvplanets kvotutrymme med avseende på grundgruppen kallas den fuchsiska modellen av en hyperbolisk yta. Det övre Poincare-halvplanet är också hyperboliskt, men enkelt anslutet och inte kompakt . Därför är det en universell täckning av andra hyperboliska ytor. $\pi _{1}=\Gamma$ $\mathbb {H} ^{2}/\Gamma$

En liknande konstruktion för tredimensionella hyperboliska ytor är Klein-modellen .

Se även

Styvhet Bridge
Hyperboliskt grenrör
Hyperboliskt 3-grenrör
Murakami-Yano formel
Pseudosfär
Dini yta

Anteckningar

↑ Detta uttryck liknar ackordmetriken på sfären, där uttrycket är liknande, men trigonometriska funktioner används istället för hyperboliska.

Litteratur

Norbert A'Campo, Athanase Papadopoulos. Anteckningar om hyperbolisk geometri // Strasbourg Master class on Geometry . - Zürich: European Mathematical Society (EMS), 2012. - Vol. 18. - P. 1-182. — (IRMA-föreläsningar i matematik och teoretisk fysik). — ISBN 978-3-03719-105-7 . - doi : 10.4171/105. .
John G. Ratcliffe. Grunderna för hyperboliska grenrör . — New York, Berlin: Springer-Verlag, 1994.
William F. Reynolds. Hyperbolisk geometri på en hyperboloid // American Mathematical Monthly . - 1993. - Iss. 100 . — S. 442–455 .
Joseph en varg. Utrymmen med konstant krökning . - 1967. - S. 67. Översättning:
- Wolf J. Utrymmen med konstant krökning. - M . : "Nauka", 1982.
Hyperboliska Voronoi-diagram på ett enkelt sätt, Frank Nielsen

Ordböcker och uppslagsverk	stor kines