Keplers problem i den allmänna relativitetsteorien

Keplers problem i allmänhet är ett problem med att hitta rörelsen hos två sfäriskt symmetriska kroppar som interagerar gravitationsmässigt. I den klassiska gravitationsteorin hittades lösningen på detta problem av Isaac Newton själv: det visade sig att kropparna kommer att röra sig längs koniska sektioner, beroende på de initiala förhållandena - längs ellipser, paraboler eller hyperboler. Inom ramen för den allmänna relativitetsteorin (GR), ur en puristisk synvinkel, verkar denna uppgift vara dåligt ställd, eftersom modellen för en absolut stel kropp är omöjlig inom relativistisk fysik (se Bells paradox , Born hardness ) , och icke-absolut stela kroppar kommer inte att interagera sfäriskt - symmetriskt. Ett annat tillvägagångssätt involverar övergången till punktkroppar, vilket är legitimt i newtonsk fysik men orsakar problem i allmän relativitetsteori. Dessutom, förutom kropparnas positioner och hastigheter, är det också nödvändigt att ställa in det initiala gravitationsfältet (metriskt) i hela rymden - problemet med initiala förhållanden i allmän relativitet. Av dessa skäl finns det ingen exakt analytisk lösning på Keplerproblemet i den allmänna relativitetsteorien (liknande trekroppsproblemet i den Newtonska gravitationsteorin ), men det finns en uppsättning metoder som låter dig beräkna beteendet hos kroppar inom detta problem med erforderlig noggrannhet: testkroppsapproximation , post-newtonsk formalism , numerisk relativitet .

Historisk kontext

År 1859 fann den franske astronomen, direktören för Parisobservatoriet Urbain Jean Joseph Le Verrier att precessionen för Merkurius bana , bestämd från observationer, inte riktigt sammanfaller med den teoretiskt förutspådda - perihelionen av omloppsbanan rör sig något snabbare än följer av Newtons teori efter att ha tagit hänsyn till alla interplanetära störningar [2] . Effekten var liten - 38" per århundrade, men översteg avsevärt mätfelen - cirka 1". Betydelsen av upptäckten var stor och många fysiker, astronomer och himlamekaniker på 1800-talet behandlade denna fråga. Många lösningar har föreslagits inom ramen för klassisk fysik, varav den mest kända är: närvaron av ett osynligt moln av interplanetärt damm nära solen, solens oblatitet (kvadrupolmomentet), Merkurius oupptäckta satellit eller den nya planeten Vulcan närmare solen [3] [4] . Eftersom ingen av dessa förklaringar klarade observationsprovet började vissa fysiker lägga fram mer radikala hypoteser om att det är nödvändigt att ändra själva tyngdlagen, till exempel ändra exponenten i den eller lägga till termer beroende på kropparnas hastighet till potentialen [5] .

De flesta av dessa försök har dock visat sig vara motsägelsefulla. I sina arbeten om himlamekanik [6] visade Laplace att om gravitationsinteraktionen mellan två kroppar inte agerar omedelbart (vilket motsvarar införandet av en hastighetsberoende potential), så kommer momentum inte att bevaras i systemet för rörelse. planeter - en del av rörelsemängden kommer att överföras till gravitationsfältet, liknande hur det sker i den elektromagnetiska interaktionen av laddningar i elektrodynamiken. Ur Newtons synvinkel, om gravitationsinflytandet överförs med en ändlig hastighet och inte beror på kropparnas hastigheter, bör alla punkter på planeten attraheras till den punkt där solen var lite tidigare, och inte till dess samtidiga läge. På grundval av detta visade Laplace att excentriciteten och halvstora axlarna för banorna i Keplerproblemet med en ändlig gravitationshastighet måste öka med tiden - uppleva sekulära förändringar. Från de övre gränserna för förändringar i dessa kvantiteter, som är ett resultat av solsystemets stabilitet och månens rörelse, visade Laplace att utbredningshastigheten för gravitationell Newtons interaktion inte kan vara lägre än 50 miljoner ljushastigheter [3] [5] .

Kommuniceras attraktion från en kropp till en annan direkt? Sändningstiden, om den vore märkbar för oss, skulle visa sig övervägande som en sekulär acceleration i månens rörelse. Jag föreslog detta sätt att förklara den acceleration som observerades i nämnda rörelse, och fann att man för att tillfredsställa observationerna måste tillskriva attraktionskraften en hastighet som är sju miljoner gånger större än ljusstrålens hastighet. Och eftersom nu orsaken till den sekulära ekvationen - Månen är välkänd, kan vi säga att attraktionen överförs med en hastighet av minst femtio miljoner gånger ljusets hastighet. Därför, utan rädsla för några märkbara fel, kan vi ta överföringen av gravitationen som omedelbar.

- P. S. Laplace Exposition of the system of the World Paris, 1797. [7]

Laplaces metod är korrekt för direkta generaliseringar av Newtonsk gravitation, men kanske inte är tillämpbar på mer komplexa modeller. Så, till exempel, inom elektrodynamik, attraheras/avstöts rörliga laddningar inte från de synliga positionerna för andra laddningar, utan från de positioner som de för närvarande skulle inta om de rörde sig enhetligt och rätlinjigt från de synliga positionerna - detta är en egenskap hos Lienard- Wiechert potentialer [8] . Ett liknande övervägande inom ramen för den allmänna relativitetsteorin leder till samma resultat upp till ordningens termer [9] . $(v/c)^{3}$

I ett försök att undvika dessa problem mellan 1870 och 1900 försökte många forskare använda lagarna för gravitationsinteraktion baserade på de elektrodynamiska potentialerna hos Weber , Gauss , Riemann och Maxwell [10] . 1890 lyckades Levy få stabila banor och rätt mängd perihelionförskjutningar genom att kombinera Webers och Riemanns lagar. Ett annat framgångsrikt försök gjordes av P. Gerber 1898 . Men eftersom de initiala elektrodynamiska potentialerna visade sig vara felaktiga (exempelvis ingick inte Webers lag i Maxwells slutliga teori om elektromagnetism), förkastades dessa hypoteser som godtyckliga [1] [11] . Vissa andra försök, som teorin om G. Lorentz ( 1900 ), som redan använde Maxwells teori, gav för lite precession [3] [12] .

Runt 1904-1905 lade H. Lorentz , A. Poincarés och A. Einsteins arbete grunden för den speciella relativitetsteorin , uteslutande möjligheten att sprida interaktioner snabbare än ljusets hastighet . Sålunda uppstod uppgiften att ersätta den newtonska gravitationslagen med en annan, förenlig med relativitetsprincipen, men som ger nästan newtonska effekter vid låga hastigheter och gravitationsfält. Sådana försök gjordes av A. Poincare (1905 och 1906), G. Minkowski (1908) och A. Sommerfeld (1910). Alla övervägda modeller gav dock ett för litet perihelionskifte [12] [13] .

1907 kom Einstein fram till att för att beskriva gravitationsfältet är det nödvändigt att generalisera dåvarande relativitetsteorin, nu kallad special. Från 1907 till 1915 gick Einstein konsekvent mot en ny teori, med sin relativitetsprincip som vägledning . Enligt denna princip verkar ett enhetligt gravitationsfält på samma sätt på all materia och kan därför inte hittas av en fritt fallande observatör. Följaktligen är alla lokala gravitationseffekter reproducerbara i en accelererad referensram och vice versa. Därför verkar gravitationen som en tröghetskraft på grund av accelerationen av referensramen, såsom centrifugalkraften eller Corioliskraften ; liksom alla dessa krafter är gravitationskraften proportionell mot tröghetsmassan . Som en konsekvens av denna omständighet visar det sig att vid olika punkter i rum-tiden har tröghetsreferensramar accelerationer i förhållande till varandra. Detta kan bara beskrivas om vi offrar det klassiska antagandet att vårt rum beskrivs av euklidisk geometri och går till det krökta rummet av Riemannsk geometri. Dessutom visar sig sambandet mellan rum och tid vara krökt, vilket visar sig som en gravitationskraft under normala förhållanden [14] . Efter åtta års arbete (1907-1915) hittade Einstein en lag som visar hur rumtiden kröks av materien i den - Einsteins ekvationer . Tyngdkraften skiljer sig från tröghetskrafter genom att den orsakas av rumtidens krökning, som kan mätas oföränderligt. De allra första lösningarna av de erhållna ekvationerna, erhållna av Einstein (ungefär) och Schwarzschild (exakt), förklarade den anomala precessionen av Merkurius och förutspådde dubbelt så mycket ljusavvikelse jämfört med tidigare heuristiska uppskattningar. Denna förutsägelse av teorin bekräftades 1919 av engelska astronomer.

Approximation av en testkropp

I detta tillvägagångssätt anses det att massan av en kropp m är försumbar jämfört med massan av den andra M ; detta är en bra uppskattning även för planeter som kretsar runt solen, och nästan perfekt för rymdfarkoster. I det här fallet kan vi anta att den första kroppen är en testkropp, det vill säga att den inte stör gravitationsfältet för den andra kroppen, utan bara följer de geodetiska linjerna i rum-tiden som bildas av den andra kroppen. Eftersom tvåkroppsproblemet vanligtvis betraktas på en skala som är mycket mindre än kosmologiska, kan lambdatermens inflytande på metriken försummas, och gravitationsfältet för varje sfäriskt symmetrisk kropp kommer att ges av Schwarzschild-lösningen. Rörelsen hos en lätt kropp, nedan kallad en partikel, sker alltså längs Schwarzschilds geodetiska linjer, om vi försummar tidvattenkrafter och gravitationsstrålningens reaktion.

Det var i denna approximation som Einstein först beräknade den anomala precessionen av Merkurius perihelion, som fungerade som den första bekräftelsen av den allmänna relativitetsteorin och löste ett av de mest kända problemen med himlamekaniken vid den tiden. Samma approximation beskriver exakt ljusets avböjning, ett annat berömt fenomen som förutspås av allmän relativitet. Samtidigt är det inte tillräckligt att beskriva processen med relativistisk reduktion av banor på grund av gravitationsstrålning.

Geometrisk introduktion

I vanlig euklidisk geometri är Pythagoras sats sann , som säger att kvadraten på avståndet ds² mellan två oändligt nära punkter i rymden är lika med summan av kvadraterna av koordinatskillnaderna

ds^{{2}}=dx^{{2}}+dy^{{2}}+dz^{{2}},\,\!

där dx , dy och dz är de oändliga skillnaderna mellan x- , y- och z- koordinaterna för punkterna i det kartesiska koordinatsystemet . Föreställ dig nu en värld där detta inte längre är sant, och avstånden ges av förhållandet

ds^{{2}}=F(x,y,z)dx^{{2}}+G(x,y,z)dy^{{2}}+H(x,y,z)dz^ {{2}},\,\!

där F , G och H är några positionsfunktioner. Detta är inte svårt att föreställa sig, eftersom vi lever i en sådan värld: jordens yta är krökt, så att den inte kan representeras utan förvrängning på en platt karta. Icke-kartesiska koordinatsystem kan också vara ett exempel: i sfäriska koordinater ( r , θ , φ ) skrivs det euklidiska avståndet som

ds^{{2}}=dr^{{2}}+r^{{2}}d\theta ^{{2}}+r^{{2}}\sin ^{{2}}\theta d\varphi ^{{2}}.\,\!

Slutligen, i det allmänna fallet, måste vi anta att linjalerna kan ändra sin koordinatlängd inte bara när de byter positioner, utan också när de vänder. Detta leder till uppkomsten av korstermer i uttrycket för längden

ds^{{2}}=g_{{xx}}dx^{{2}}+g_{{xy}}dxdy+g_{{xz}}dxdz+g_{{yy}}dy^{{2} }+g_{{yz}}dydz+g_{{zz}}dz^{{2}}\,\!

där 6 funktioner g xx , g xy och så vidare transformeras när man ändrar koordinater som komponenter i en tensor som kallas metrisk (eller helt enkelt metrisk), som bestämmer alla egenskaper hos rymden i denna generaliserade Riemannska geometri . I sfäriska koordinater, till exempel, finns det inga korstermer i metriken, och dess enda komponenter som inte är noll är g rr = 1, g θθ = r ² och g φφ = r ² sin² θ.

Vi noterar specifikt att efter att ha ställt in den metriska tensorn i något koordinatsystem visar sig hela geometrin i det Riemannska rummet vara strikt specificerad och ändras inte under koordinattransformationer. Enkelt uttryckt är koordinater godtyckliga tal som bara indikerar en punkt i rymden, och avståndet som mäts av en fysisk linjal mellan två fasta punkter beror inte på vilka koordinater vi tilldelar dem – det är en invariant när man byter koordinatnät.

I speciell relativitetsteori visade Albert Einstein att avståndet ds mellan två punkter i rymden inte är en invariant, utan beror på observatörens rörelse. Detta avstånd visar sig vara en projektion på det samtidiga rummet av en verkligt oföränderlig storhet - ett intervall , som inte beror på observatörens rörelse, utan inkluderar, förutom de rumsliga koordinaterna, tidskoordinaten för rum- tidspunkter , kallade händelser

ds^{2}=c^{{2}}dt^{{2}}-dx^{{2}}-dy^{{2}}-dz^{{2}}.\,\!

På liknande sätt kan man skriva om intervallet i sfäriska koordinater

ds^{2}=c^{{2}}dt^{{2}}-dr^{{2}}-r^{{2}}d\theta ^{{2}}-r^{{ 2}}\sin ^{{2}}\theta d\varphi ^{{2}}.\,\!

Denna formel är en naturlig generalisering av Pythagoras sats och är giltig i frånvaro av rumtidskrökning. I allmän relativitetsteori är rum-tid dock krökt, så att "avstånd" uttrycks med den allmänna formeln

ds^{2}=g_{{\mu \nu }}dx^({\mu }}dx^{{\nu }}),\,\!

där Einsteins summationsregel tillämpas - genom att indexet förekommer ovanför och under, impliceras summeringen över alla dess värden, i detta fall - fyra (tre rumsliga och en tidskoordinater). De exakta värdena för de metriska komponenterna bestäms av fördelningen av det graviterande ämnet, dess massa, energi och momentum, genom Einsteins ekvationer . Einstein härledde dessa ekvationer från de kända lagarna för bevarande av energi och momentum; emellertid förutspådde lösningar till dessa ekvationer tidigare oobserverade fenomen, såsom ljusavböjning, som senare bekräftades.

Schwarzschild-metrisk

Den enda lösningen av Einsteins ekvationer (utan den kosmologiska konstanten) för det yttre gravitationsfältet för sfäriskt symmetriskt fördelad materia (energimomentum) är Schwarzschild-metriken.

{ds}^{{2}}=\left(1-{\frac {r_{{s}}}{r}}\right)c^{{2}}dt^{{2}}-{\ frac {dr^{{2}}}{1-{\frac {r_{{s}}}{r}}}}-r^{{2}}d\theta ^{{2}}-r^ {{2}}\sin ^{{2}}\theta \,d\varphi ^{{2}}

var

c är ljusets hastighet i meter per sekund, t - tidskoordinat i sekunder (sammanfaller med tiden som räknas av en oändligt avlägsen stationär klocka), r är den radiella koordinaten i meter (definierad som cirkelns omkrets - centrerad på symmetripunkten - dividerat med 2π), θ och φ är vinklar i sfäriska koordinater i radianer, r s är Schwarzschild-radien (i meter), som kännetecknar en kropp med massan M och lika med

r_{{s}}={\frac {2GM}{c^{{2}}}}

där G är gravitationskonstanten . [femton]

Newtons klassiska gravitationsteori är det begränsande fallet för små r s / r . I praktiken är detta förhållande nästan alltid mycket litet. Till exempel för jorden är Schwarzschild-radien cirka 9 millimeter , medan en satellit i geostationär omloppsbana är på km . För solsystemet överstiger detta förhållande inte 2 miljondelar, och endast för regioner nära svarta hål och neutronstjärnor blir det betydligt större (upp till flera tiondelar). $r\simeq 42164$

Geodesiska ekvationer

I enlighet med den allmänna relativitetsteorin rör sig partiklar med försumbar massa längs rymdtidens geodetiska linjer [16] . I icke-krökt utrymme, bort från alla attraherande kroppar, är dessa geodetiska linjer raka linjer. I närvaro av gravitationskällor är detta inte längre fallet, och de geodetiska ekvationerna skrivs enligt följande [17] :

{\frac {d^{2}x^{{\mu }}}{dq^{2}}}+\Gamma _({\nu \lambda }}^{{\mu }}{\frac {dx ^{{\nu }}}{dq}}{\frac {dx^({\lambda }}}{dq}}=0

där Γ är Christoffel-symbolerna , och variabeln q parametriserar partikelns väg genom rum-tid - dess världslinje , och kallas den kanoniska parametern för den geodetiska linjen. Christoffel-symbolerna beror bara på den metriska tensorn g μν , mer exakt på hur den förändras från punkt till punkt. För tidsliknande geodetik längs vilka massiva partiklar rör sig, sammanfaller parametern q med den korrekta tiden τ upp till en konstant faktor, som vanligtvis tas lika med 1. För ljusliknande världslinjer av masslösa partiklar (som fotoner ) kan parametern q inte vara taget lika med den korrekta tiden, eftersom den är lika med noll, men formen av geodetik beskrivs fortfarande av denna ekvation. Dessutom kan ljusliknande geodetik erhållas som begränsningsfallet för tidsliknande geodetik när partikelmassan tenderar till 0 (om partikelenergin hålls konstant).

Vi kan förenkla problemet genom att använda problemets symmetri - på så sätt utesluter vi en variabel från övervägande. I alla sfäriskt symmetriska fall sker rörelsen i ett plan som kan väljas som planet θ = π/2. Metriken i detta plan har formen

ds^{{2}}=\left(1-{\frac {r_{{s}}}{r}}\right)c^{{2}}dt^{{2}}-{\frac { dr^{{2}}}{1-{\frac {r_{{s}}}{r}}}}-r^{{2}}d\varphi ^{{2}}.

Eftersom det inte beror på och , det finns två integraler av rörelse (se härledning nedan ) $\varphi$ $t$

r^{{2}}{\frac {d\varphi}{d\tau }}={\frac {L}{m}},

\left(1-{\frac {r_{{s}}}{r}}\right){\frac {dt}{d\tau }}={\frac {E}{mc^{{2}} }}.

Att ersätta dessa integraler i måtten ger

c^{{2}}=\left(1-{\frac {r_{{s}}}{r}}\right)c^{{2}}\left({\frac {dt}{d\ tau }}\right)^{{2}}-{\frac {1}{1-{\frac {r_{{s}}}{r}}}}\left({\frac {dr}{d \tau }}\right)^{{2}}-r^{{2}}\left({\frac {d\varphi }{d\tau }}\right)^{{2}},

så rörelseekvationerna för partikeln blir som följer

\left({\frac {dr}{d\tau }}\right)^{{2}}={\frac {E^{{2}}}{m^{{2}}c^{{2 }}}}-\left(1-{\frac {r_{{s}}}{r}}\right)\left(c^{{2}}+{\frac {L^{{2}} }{m^{{2}}r^{{2}}}}\höger).

Beroendet av rätt tid kan elimineras genom att använda integralen L

\left({\frac {dr}{d\varphi }}\right)^{{2}}=\left({\frac {dr}{d\tau }}\right)^{{2}}\ vänster({\frac {d\tau }{d\varphi }}\right)^{{2}}=\left({\frac {dr}{d\tau }}\right)^{{2}} \left({\frac {mr^{{2}}}{L}}\höger)^{{2}},

på grund av vilket ekvationen av banor blir

\left({\frac {dr}{d\varphi }}\right)^{{2}}={\frac {r^{{4}}}{b^{{2}}}}-\left (1-{\frac {r_{{s}}}{r}}\höger)\left({\frac {r^{{4}}}{a^{{2}}}}+r^{ {2}}\right),

där för korthetens skull två karakteristiska längder a och b introduceras

a={\frac {L}{mc}},

b={\frac {cL}{E}}.

Samma ekvation kan härledas från den lagrangiska metoden [18] eller genom att använda Hamilton–Jacobi-ekvationen [19] (se nedan ). Lösningen av omloppsekvationen ges av uttrycket

\varphi =\int {\frac {dr}{r^{{2}}{\sqrt ({\frac {1}{b^{{2}}}}-\left(1-{\frac {r_ {{s}}}{r}}\right)\left({\frac {1}{a^{{2}}}}+{\frac {1}{r^{{2}}}}\ höger)}}}}.

Ungefärlig formel för att avleda ljus

I gränsen för partikelmassa m som tenderar mot noll (eller, ekvivalent, ), blir omloppsekvationen $en\högerpil \infty$

\varphi =\int {\frac {dr}{r^{{2}}{\sqrt {{\frac {1}{b^{{2}}}}-\left(1-{\frac {r_ {{s}}}{r}}\right){\frac {1}{r^{{2}}}}}}}}.

Genom att expandera detta uttryck i potenser av förhållandet r s / r , i den första approximationen får vi avvikelsen δ φ för en masslös partikel under dess flygning förbi gravitationscentrum:

\delta \varphi \approx {\frac {2r_{{s}}}{b}}={\frac {4GM}{c^{{2}}b}}.

Konstanten b här kan tolkas som en påverkansparameter , avståndet med närmaste approximation. Den approximation som används för att härleda denna formel är tillräckligt exakt för de flesta praktiska tillämpningar, inklusive mätningar av gravitationslinser . För ljus som passerar nära solytan är avböjningen cirka 1,75 bågsekunder .

Förbindelse med klassisk mekanik och precession av elliptiska banor

Ekvationer för partikelrörelse i Schwarzschildfältet

\left({\frac {dr}{d\tau }}\right)^{{2}}={\frac {E^{{2}}}{m^{{2}}c^{{2 }}}}-c^{{2}}+{\frac {r_{{s}}c^{{2}}}{r}}-{\frac {L^{{2}}}{m ^{{2}}r^{{2}}}}+{\frac {r_{{s}}L^{{2}}}{m^{{2}}r^{{3}}} }

kan skrivas om med hjälp av definitionen av gravitationsradien r s :

{\frac {1}{2}}m\left({\frac {dr}{d\tau }}\right)^{{2}}=\left[{\frac {E^{{2}} }{2mc^{{2))))-{\frac {1}{2}}mc^{{2}}\right]+{\frac {GMm}{r}}-{\frac {L^ {{2}}}{2mr^{{2}}}}+{\frac {GML^{{2}}}{c^{{2}}mr^{{3}}}}

vilket är ekvivalent med rörelsen hos en icke- relativistisk partikel med energi i en endimensionell effektiv potential ${\frac {E^{{2}}}{2mc^{{2}}}}-{\frac {1}{2}}mc^{{2}}$

V(r)=-{\frac {GMm}{r}}+{\frac {L^{{2}}}{2mr^{{2}}}}-{\frac {GML^{{2} }}{c^{{2}}mr^{{3}}}}.

De två första termerna motsvarar de välkända klassiska: Newtons gravitationella attraktionspotential och den repulsiva centrifugalpotentialen, och endast den tredje termen har ingen analog i det klassiska Keplerproblemet. Som visas nedan och på andra ställen får en sådan term elliptiska banor att precessera med en vinkel δφ per varv

\delta \varphi \approx {\frac {6\pi GM}{c^{{2}}A\vänster(1-e^{{2}}\höger)))

där A är banans halvstora axel och e är dess excentricitet .

Den tredje termen har karaktären av attraktion och ändrar potentialens beteende vid litet r — istället för att gå till , förhindra att partikeln faller till mitten (som det var i det klassiska Keplerproblemet), går potentialen till , vilket gör att partikel att falla (för mer information, se falla i ett svart hål ). $+\infty$ $-\infty$

Cirkulära banor och deras stabilitet

Den effektiva potentialen V kan skrivas om i termer av längdparametrarna a och b

V(r)={\frac {mc^{{2}}}{2}}\vänster[-{\frac {r_{{s}}}{r}}+{\frac {a^{{2 }}}{r^{{2}}}}-{\frac {r_{{s}}a^{{2}}}{r^{{3}}}}\right].

Cirkulära banor är möjliga med en effektiv kraft lika med noll

F=-{\frac {dV}{dr}}=-{\frac {mc^{{2}}}{2r^{{4}}}}\left[r_{{s}}r^{{ 2}}-2a^{{2}}r+3r_{{s}}a^{{2}}\right]=0,

det vill säga när två attraktionskrafter - Newtonsk gravitation (första termen) och dess relativistiska korrigering (tredje termen) - balanseras exakt av en repulsiv centrifugalkraft (andra termen). Det finns två radier vid vilka denna kompensation uppnås

r_{{{\mathrm {yttre}}}}={\frac {a^{{2}}}{r_{{s}}}}\left(1+{\sqrt {1-{\frac {3r_ {{s}}^{{2}}}{a^{{2}}}}}}\höger),

r_{{{\mathrm {inre}}}}={\frac {a^{{2}}}{r_{{s}}}}\left(1-{\sqrt {1-{\frac {3r_ {{s}}^{{2}}}{a^{{{2}}}}}}\right)={\frac {3a^{{2}}}{r_{{{\mathrm {yttre } }}}}}},

som är direkt härledda från andragradsekvationen ovan. Den inre radien r inre visar sig vara instabil för alla värden på a , eftersom attraktionskraften där växer snabbare än den frånstötande kraften, så varje störning får partikeln att falla på mitten. Banorna för den yttre radien är stabila - där är den relativistiska attraktionen liten, och deras karaktär sammanfaller nästan med banorna för det icke-relativistiska Kepler-problemet.

När a är mycket större än r s (det klassiska fallet) tenderar storleken på banorna att

r_{{{\mathrm {yttre}}}}\approx {\frac {2a^{{2}}}{r_{{s}}}},

r_{{{\mathrm {inre}}}}\approx {\frac {3}{2}}r_{{s}}.

Genom att ersätta definitionerna av a och r s med r yttre får vi den klassiska formeln för en partikel i en cirkulär bana runt ett graviterande masscentrum M

r_{{{\mathrm {ytre}}}}^{{3}}\approx {\frac {GM}{\omega _{{\varphi }}^{{2}}}},

där ω φ är partikelns omloppsvinkelhastighet.

När a ² tenderar till 3 r s ² (uppifrån), konvergerar de yttre och inre radierna till

r_{{{\mathrm {yttre}}}}\högerpil r_{{{\mathrm {inre}}}}\högerpil 3r_{{s}}.

Att lösa andragradsekvationen säkerställer att r yttre alltid är större än 3 r s , och r inre ligger mellan 3 ⁄ 2 r s och 3 r s . Cirkulära banor med en radie mindre än 3 ⁄ 2 r s är inte möjliga. Själva omloppsbanan r inre = 3 ⁄ 2 r s är gränsfallet för masslösa partiklar när , så en sfär med denna radie kallas ibland en fotonsfär . $en\högerpil \infty$

Precession av elliptiska banor

Orbitalprecessionshastigheten kan härledas från den effektiva potentialen V. En liten avvikelse längs radien från omloppscirkeln r=r yttre kommer att svänga med en frekvens

\omega _{{r}}^{{2}}={\frac {1}{m}}\left[{\frac {d^{{2}}V}{dr^{{2}}} }\höger]_{{r=r_{({\mathrm {yttre}}}}}}=\vänster({\frac {c^{{2}}r_{{s}}}{2r_{{{ \mathrm {yttre}}}}^{{4}}}}\right)\left(r_{({\mathrm {yttre}}}}-r_{{{\mathrm {inre}}}}\höger) =\omega _{{\varphi }}^{{2}}{\sqrt {1-{\frac {3r_{{s}}^{{2}}}{a^{{2}}}}} }.

Serieexpansionen ger

\omega _{{r}}=\omega _{{\varphi }}\left(1-{\frac {3r_{{s}}^{{2}}}{4a^{{2}}}} +\cdots\right).

Att multiplicera med revolutionsperioden T leder till precession på ett varv

\delta \varphi =T\left(\omega _{{\varphi }}-\omega _{{r}}\right)\approx 2\pi \left({\frac {3r_{{s}}^{ {2}}}{4a^{{2}}}}\right)={\frac {3\pi m^{{2}}c^{{2}}}{2L^{{2}}} }r_{{s}}^{{2}},

där ω φ T = 2 n och definitionen av a används . Ersätter r s , vi får

\delta \varphi \approx {\frac {3\pi m^{{2}}c^{{2}}}{2L^{{2}}}}\left({\frac {4G^{{2 }}M^{{2}}}{c^{{4}}}}\right)={\frac {6\pi G^{{2}}M^{{2}}m^{{2 }}}{c^{{2}}L^{{2}}}}.

Med hjälp av den halvstora axeln för banan A och excentriciteten e , relaterad till

{\frac {L^{{2}}}{GMm^{{2}}}}=A\vänster(1-e^{{2}}\höger),

vi kommer fram till den mest kända precessionsformeln

\delta \varphi \approx {\frac {6\pi GM}{c^{{2}}A\vänster(1-e^{{2}}\höger))).

Exakt lösning för en bana i elliptiska funktioner

Vi introducerar den dimensionslösa variabeln

\zeta ={\frac {r_{{s}}}{4r}}-{\frac {1}{12}}

bana ekvation

\left({\frac {dr}{d\varphi }}\right)^{{2}}={\frac {r^{{4}}}{b^{{2}}}}-\left (1-{\frac {r_{{s}}}{r}}\höger)\left({\frac {r^{{4}}}{a^{{2}}}}+r^{ {2}}\right)

kan förenklas

\left({\frac {d\zeta }{d\varphi }}\right)^{{2}}=4\zeta ^{{3}}-g_{{2}}\zeta -g_{{3 }},

där konstanta dimensionslösa koefficienter g 2 och g 3 definieras som

{\begin{aligned}g_{{2}}&={\frac {1}{12}}-{\frac {r_{{s}}^{{2}}}{4a^{{2}} )),\\g_{{3}}&={\frac {1}{216}}+{\frac {r_{{s}}^{{2}}}{24a^{{2}}} }-{\frac {r_{{s}}^{{2}}}{16b^{{2}}}}.\end{aligned}}

Lösningen av denna ekvation för omloppsbanan ges som en obestämd integral

\varphi -\varphi _{{0}}=\int {\frac {d\zeta }{{\sqrt {4\zeta ^{{3}}-g_{{2}}\zeta -g_{{3 }}}}}}.

Det följer att, upp till en fasförskjutning, , där är Weierstrass elliptiska funktion med parametrarna g 2 och g 3 , och φ 0 är den (möjligen komplexa) integrationskonstanten. $\zeta =\wp (\varphi -\varphi _{{0}})$ $\wp$

Kvalitativ karaktär av möjliga banor

En fullständig kvalitativ analys av möjliga banor i Schwarzschildfältet utfördes först av Yu Hagihara 1931.

Banor i Schwarzschild-fältet beskrivs av rörelseekvationen

\left({\frac {d\zeta }{d\varphi }}\right)^{{2}}=4\zeta ^{{3}}-g_{{2}}\zeta -g_{{3 }}.

Om diskriminanten är större än 0, då kubikekvationen $\Delta =g_{{2}}^{{3}}-27g_{{3}}^{{2}}$

G(\zeta )=4\zeta ^{{3}}-g_{{2}}\zeta -g_{{3}}=0\,

har tre olika reella rötter e 1 , e 2 och e 3 , som kan sorteras i fallande ordning

e_{{1}}>e_{{2}}>e_{{3}}.

I ett sådant fall är lösningen en elliptisk funktion med två halvperioder, en rent reell $\zeta =\wp (\varphi -\varphi _{{0}})$

\omega _{{1}}=\int _{{e_{{1}}}}^{{\infty }}{\frac {dz}{{\sqrt {4z^{{3}}-g_{ {2}}z-g_{{3}}}}}},

och den andra är rent imaginär

\omega _{{3}}=i\int _{{-e_{{3}}}}^{{\infty }}{\frac {dz}{{\sqrt {4z^{{3}}- g_{{2}}z-g_{{3}}}}}}.

Den återstående mellanroten bestämmer den komplexa halvperioden ω 2 \u003d -ω 1 - ω 3 . Dessa kvantiteter är relaterade till motsvarande rötter genom ekvationerna ( i = 1, 2, 3). Därför, när ( n är ett heltal), blir derivatan av ζ 0, det vill säga banan når periastronen eller apoastern - punkten för maximal närmande respektive borttagning: $\wp (\omega _{{i}})=e_{{i}}$ $\varphi -\varphi _{0}=n\omega _{i}$

{\frac {d\zeta }{d\phi }}=0\ {\mathrm {när}}\ \zeta =\wp (-\omega _{{i}})=e_{{i}}

därför att

\left({\frac {d\zeta }{d\varphi }}\right)^{{2}}=G(\zeta )=4\zeta ^{{3}}-g_{{2}}\ zeta -g_{{3}}=4\left(\zeta -e_{{1}}\right)\left(\zeta -e_{{2}}\right)\left(\zeta -e_{{3 }}\höger).

Banans kvalitativa karaktär beror på valet av φ 0 . Lösningar med φ 0 = ω 2 motsvarar antingen banor som svänger från ζ= e 2 till ζ= e 3 eller till banor som går till oändligheten (ζ=-1/12). Omvänt beskriver lösningar med φ 0 lika med ω 1 eller något annat reellt tal banor som konvergerar mot centrum, eftersom det reella ζ inte kan vara mindre än e 1 och därför oundvikligen kommer att växa till oändlighet.

Kvasi-elliptiska banor

Lösningar där φ 0 = ω 2 ger reella värden på ζ förutsatt att energin E uppfyller olikheten E 2 < m 2 c 4 . I detta fall tar ζ värden i intervallet e 3 ≤ ζ ≤ e 2 . Om båda rötterna är större än − 1 ⁄ 12 , så kan inte ζ ta detta värde, vilket motsvarar att partikeln går till oändligheten, så kroppen kommer att utföra en ändlig rörelse, som kan representeras som en rörelse längs en föregående ellips. Kroppens radiella koordinater kommer att fluktuera oändligt mellan $\zeta =\wp (\phi -\phi _{{0}})$

r_{{min}}={\frac {3r_{{s}}}{1+12e_{{2}}}}

och

r_{{max}}={\frac {3r_{{s}}}{1+12e_{{1}}}},

som motsvarar extrema värden på ζ . Den verkliga perioden för Weierstrass elliptiska funktion är 2ω 1 ; alltså återgår partikeln till samma radie när vinkelkoordinaten ökar med 2ω 1 , vilket generellt sett skiljer sig från 2π. Därför precesserar omloppsbanan vanligtvis, men vid , är precessionsvinkeln per varv (2ω 1 − 2π) ganska liten. $r_{{min}}\ll r_{g}$

Stabila cirkulära banor

Specialfallet 2 e 2 = 2 e 3 = − e 3 motsvarar lösningen med ζ = const = e 2 = e 3 . Det visar sig en cirkulär bana med r = r yttre inte mindre än 3 r s . Sådana banor är stabila, eftersom små störningar av parametrarna leder till splittring av rötterna, vilket leder till kvasi-elliptiska banor. Till exempel, om en partikel "skjuts" något i radiell riktning, kommer den att börja svänga runt den oberörda radien, vilket beskriver en föregående ellips.

Oändliga banor

Eftersom r tenderar till oändligheten, tenderar ζ till − 1 ⁄ 12 . Därför motsvarar banor som går tillbaka på obestämd tid eller närmar sig från oändligheten till den centrala kroppen periodiska lösningar där − 1 ⁄ 12 faller in i det tillgängliga ζ- intervallet, det vill säga för e 3 ≤ − 1 ⁄ 12 ≤ ζ ≤ e 2 .

Asymptotiskt cirkulära banor

Ett annat specialfall motsvarar − e 3 = 2 e 2 = 2 e 1 , det vill säga två rötter av G ( ζ ) är positiva och lika med varandra, och den tredje är negativ. Banor i detta fall är spiraler, vridning eller lindning eftersom φ tenderar till oändlighet (oavsett positiv eller negativ) på en cirkel med radien r , definierad av relationen

{\frac {r_{{s}}}{4r}}-{\frac {1}{12}}=e.

Genom att beteckna den upprepade roten e = n ²/3 får vi omloppsekvationen, som är lätt att verifiera genom direkt substitution:

\zeta ={\frac {r_{{s}}}{4r}}-{\frac {1}{12}}=e-{\frac {n^{{2}}}{\cosh ^{{ 2}}n\varphi}}.

I sådana fall är partikelns radiella koordinat mellan 2 r s och 3 r s .

Ekvationen för sådana banor kan erhållas från uttrycket av Weierstrass elliptiska funktion i termer av Jacobi elliptiska funktioner

\zeta =\wp (\phi -\phi _{{0}})=e_{{1}}+\left(e_{{1}}-e_{{3}}\right){\frac {{ \mathrm {cn}}^{{2}}w}{{\mathrm {sn}}^{{2}}w}},

var är modulen $w=(\phi -\phi _{{0}}){\sqrt {e_{{1}}-e_{{3}}}}$

k={\sqrt {{\frac {e_{{2}}-e_{{3}}}{e_{{1}}-e_{{3}}}}}}.

I gränsen för sammanfallande e 2 och e 1 tenderar modulen till enhet, och w går till n (φ − φ 0 ). Genom att välja φ 0 imaginärt, lika med (en fjärdedel av perioden), kommer vi fram till formeln ovan. $iK^{{\prime }}$

Fall till mitten

I reella lösningar , där φ 0 är lika med ω 1 eller några andra reella tal, kan ζ inte bli mindre än e 1 . På grund av rörelseekvationerna $\zeta =\wp (\phi -\phi _{{0}})$

\left({\frac {d\zeta }{d\varphi }}\right)^{{2}}=4\zeta ^{{3}}-g_{{2}}\zeta -g_{{3 }}=4\left(\zeta -e_{{1}}\right)\left(\zeta -e_{{2}}\right)\left(\zeta -e_{{3}}\right)

ζ ökar utan gräns, vilket motsvarar att falla på mitten r = 0 efter ett oändligt antal varv runt den.

Härledning av ekvationen för banor

Från Hamilton-Jacobis ekvation

Fördelen med denna härledning är att den gäller både partikelrörelse och vågutbredning, vilket lätt leder till ett uttryck för ljusets avböjning i ett gravitationsfält med hjälp av Fermats princip . Grundtanken är att på grund av gravitationstidsdilatation rör sig delar av vågfronten som är närmare den graviterande massan långsammare än de som är längre bort, vilket leder till en krökning av vågfrontens utbredning.

På grund av den allmänna kovariansen kan Hamilton-Jacobi-ekvationen för en partikel i godtyckliga koordinater skrivas som

g^{{\mu \nu }}{\frac {\partial S}{\partial x^({\mu }}}}{\frac {\partial S}{\partial x^{{\nu }} }}=m^{{2}}c^{{2}}.

I Schwarzschild-metriken tar denna ekvation formen

{\frac {1}{c^{{2}}\left(1-{\frac {r_{{s}}}{r}}\right)))\left({\frac {\partial S} {\partial t}}\right)^{{2}}-\left(1-{\frac {r_{{s}}}{r}}\right)\left({\frac {\partial S} {\partial r}}\right)^{{2}}-{\frac {1}{r^{{2}}}}\left({\frac {\partial S}{\partial \varphi }} \right)^{{2}}=m^{{2}}c^{{2}},

där referensplanet för det sfäriska koordinatsystemet är beläget i banans plan. Tid t och longitud φ är cykliska koordinater , så lösningen för åtgärdsfunktionen S kan skrivas som $\theta$

S=-Et+L\varphi +S_{{r}}(r)\,,

där E och L representerar partikelns energi respektive dess rörelsemängd . Hamilton-Jacobis ekvation leder till en integrerad lösning för den radiella delen S r (r)

S_{{r}}(r)=\int {\frac {Ldr}{1-{\frac {r_{{s}}}{r}}}}{\sqrt {{\frac {1}{b ^{{2}}}}-\left(1-{\frac {r_{{s}}}{r}}\right)\left({\frac {1}{a^{{2}}} }+{\frac {1}{r^{{2}}}}\right)}}.

Differentiera funktionen S på vanligt sätt

{\frac {\partial S}{\partial L))=\varphi +{\frac {\partial S_{{r))}{\partial L))={\mathrm {konstant)),

vi kommer till omloppsekvationen som erhölls tidigare

\left({\frac {dr}{d\varphi }}\right)^{{2}}={\frac {r^{{4}}}{b^{{2}}}}-\left (1-{\frac {r_{{s}}}{r}}\höger)\left({\frac {r^{{4}}}{a^{{2}}}}+r^{ {2}}\höger).

Detta tillvägagångssätt kan användas för att elegant härleda orbitalprecessionshastigheten [20] .

I gränsen för noll massa m (eller, ekvivalent, oändligt a ), blir den radiella delen av aktionen S

S_{{r}}(r)={\frac {E}{c}}\int dr{\sqrt {{\frac {r^{{2}}}{\left(r-r_{{s} }\right)^{{2}}}}-{\frac {b^{{2}}}{r\left(r-r_{{s}}\right)}}}},

från detta uttryck härleds en ekvation för avböjningen av en ljusstråle [20] .

Från Lagranges ekvationer

I allmän relativitetsteori rör sig fria partiklar med försumbar massa m , som lyder ekvivalensprincipen , längs geodetik i rymdtid skapad av graviterande massor. Rum-tidsgeodesik definieras som kurvor vars små variationer — för fasta start- och slutpunkter — inte ändrar deras längd s . Detta kan uttryckas matematiskt med hjälp av variationskalkylen

0=\delta s=\delta \int ds=\delta \int {\sqrt {g_({\mu \nu }}{\frac {dx^({\mu }}}{d\tau }}{\ frac {dx^{{\nu }}}{d\tau }}}}d\tau =\delta \int {\sqrt {2T}}d\tau ,

där τ är den korrekta tiden , s = cτ är längden i rum-tid, och kvantiteten T definieras som

2T=c^{{2}}=\left({\frac {ds}{d\tau }}\right)^{{2}}=g_{{\mu \nu }}{\frac {dx^ {{\mu }}}{d\tau }}{\frac {dx^{{\nu }}}{d\tau }}=\left(1-{\frac {r_{{s}}}{ r}}\right)c^{{2}}\left({\frac {dt}{d\tau }}\right)^{{2}}-{\frac {1}{1-{\frac {r_{{s}}}{r}}}}\left({\frac {dr}{d\tau }}\right)^{{2}}-r^{{2}}\left({ \frac {d\varphi }{d\tau }}\right)^{{2}},

i analogi med kinetisk energi . Om för korthetens skull derivatan med avseende på korrekt tid betecknas med en punkt

{\dot {x}}^{{\mu }}={\frac {dx^({\mu }}}{d\tau }},

då kan T skrivas som

2T=c^{{2}}=\left(1-{\frac {r_{{s}}}{r}}\right)c^{{2}}\left({\dot {t}} \right)^{{2}}-{\frac {1}{1-{\frac {r_{{s}}}{r}}}}\left({\dot {r}}\right)^ {{2}}-r^{{2}}\left({\dot {\varphi }}\right)^{{2}}.

Konstanta värden, som c eller kvadratroten ur två, påverkar inte svaret på variationsproblemet, och genom att bära variationen under integralen kommer vi fram till Hamiltons variationsprincip.

0=\delta \int {\sqrt {2T}}d\tau =\int {\frac {\delta T}({\sqrt {2T}}}}d\tau ={\frac {1}{c} }\delta \int Td\tau .

Lösningen av variationsproblemet ges av Lagrangekvationerna

{\frac {d}{d\tau }}\left({\frac {\partial T}{\partial {\dot {x}}^({\sigma }}}}\right)={\frac { \partial T}{\partial x^{{\sigma )))).

När de tillämpas på t och φ leder dessa ekvationer till att det finns bevarade storheter

{\frac {d}{d\tau }}\left[r^{{2}}{\frac {d\varphi }{d\tau }}\right]=0,

{\frac {d}{d\tau }}\left[\left(1-{\frac {r_{{s}}}{r}}\right){\frac {dt}{d\tau }} \right]=0,

som kan skrivas om som ekvationer för L och E

r^{{2}}{\frac {d\varphi}{d\tau }}={\frac {L}{m}},

\left(1-{\frac {r_{{s}}}{r}}\right){\frac {dt}{d\tau }}={\frac {E}{mc^{{2}} }}.

Som visas ovan leder omsättning av dessa ekvationer i definitionen av Schwarzschild-metriken till omloppsekvationen.

Från Hamiltons princip

Handlingsintegralen för en partikel i ett gravitationsfält har formen

S=\int {-mc^{2}d\tau }=-mc\int {c{\frac {d\tau }{dq}}dq}=-mc\int {{\sqrt {g_{{\ mu \nu }}{\frac {dx^{{\mu }}}{dq}}{\frac {dx^({\nu }}}{dq}}}}dq},

där τ är korrekt tid och q är en jämn parametrisering av partikelns världslinje. Om vi tillämpar variationskalkylen , så följer ekvationerna för geodetik omedelbart av detta uttryck. Beräkningar kan förenklas genom att ta variationen av kvadraten på integranden. I Schwarzschild-fältet är denna kvadrat lika med

\left(c{\frac {d\tau }{dq}}\right)^{2}=g_({\mu \nu }}{\frac {dx^{{\mu }}}{dq}} {\frac {dx^{{\nu }}}{dq}}=\left(1-{\frac {r_{{s}}}{r}}\right)c^{{2}}\left ({\frac {dt}{dq}}\right)^{{2}}-{\frac {1}{1-{\frac {r_{{s}}}{r}}}}\left( {\frac {dr}{dq}}\right)^{{2}}-r^{{2}}\left({\frac {d\varphi}{dq}}\right)^{{2} }.

Att beräkna variationen får vi

\delta \left(c{\frac {d\tau }{dq}}\right)^{2}=2c^{{2}}{\frac {d\tau }{dq}}\delta {\frac {d\tau }{dq}}=\delta \left[\left(1-{\frac {r_{{s}}}{r}}\right)c^{{2}}\left({\ frac {dt}{dq}}\right)^{{2}}-{\frac {1}{1-{\frac {r_{{s}}}{r}}}}\left({\frac {dr}{dq}}\right)^{{2}}-r^{{2}}\left({\frac {d\varphi }{dq}}\right)^{{2}}\right ].

Med variationen endast i longitud φ

2c^{{2}}{\frac {d\tau }{dq}}\delta {\frac {d\tau }{dq}}=-2r^{{2}}{\frac {d\varphi } {dq}}\delta {\frac {d\varphi }{dq}}

dividera med för att få en variant av integranden $2c{\frac {d\tau }{dq}}$

c\,\delta {\frac {d\tau }{dq}}=-{\frac {r^{{2}}}{c}}{\frac {d\varphi }{d\tau }}\ delta {\frac {d\varphi }{dq}}=-{\frac {r^{{2}}}{c}}{\frac {d\varphi }{d\tau }}{\frac {d \delta \varphi }{dq}}.

På det här sättet

0=\delta \int {c{\frac {d\tau }{dq}}dq}=\int {c\delta {\frac {d\tau }{dq}}dq}=\int {-{\ frac {r^{{2}}}{c}}{\frac {d\varphi }{d\tau }}{\frac {d\delta \varphi }{dq}}dq},

och integration av delar leder till

0=-{\frac {r^{{2}}}{c}}{\frac {d\varphi }{d\tau }}\delta \varphi -\int {{\frac {d}{dq} }\left[-{\frac {r^{{2}}}{c}}{\frac {d\varphi }{d\tau }}\right]\delta \varphi dq}.

Variationen i longitud försvinner vid gränspunkterna, och den första termen försvinner. Integralen kan göras lika med noll för ett godtyckligt val av δφ endast om de andra faktorerna under integralen alltid är lika med noll. Därmed kommer vi fram till rörelseekvationen

{\frac {d}{dq}}\left[-{\frac {r^{{2}}}{c}}{\frac {d\varphi }{d\tau }}\right]=0.

När vi varierar i tid t får vi

2c^{{2}}{\frac {d\tau }{dq}}\delta {\frac {d\tau }{dq}}=2\left(1-{\frac {r_{{s}} }{r}}\right)c^{{2}}{\frac {dt}{dq}}\delta {\frac {dt}{dq}},

som efter att ha dividerat med ger en variation av integranden $2c{\frac {d\tau }{dq}}$

c\delta {\frac {d\tau }{dq}}=c\left(1-{\frac {r_{{s}}}{r}}\right){\frac {dt}{d\tau }}\delta {\frac {dt}{dq}}=c\left(1-{\frac {r_{{s}}}{r}}\right){\frac {dt}{d\tau } }{\frac {d\delta t}{dq}}.

Härifrån

0=\delta \int {c{\frac {d\tau }{dq}}dq}=\int {c\left(1-{\frac {r_{{s}}}{r}}\höger) {\frac {dt}{d\tau }}{\frac {d\delta t}{dq}}dq}

och återigen integrering av delar leder till uttrycket

0=c\left(1-{\frac {r_{{s}}}{r}}\right){\frac {dt}{d\tau }}\delta t-\int {{\frac {d }{dq}}\left[c\left(1-{\frac {r_{{s}}}{r}}\right){\frac {dt}{d\tau }}\right]\delta tdq },

från vilken följer rörelseekvationen

{\frac {d}{dq}}\left[c\left(1-{\frac {r_{{s}}}{r}}\right){\frac {dt}{d\tau }}\ höger]=0.

Om vi integrerar dessa rörelseekvationer och bestämmer integrationens konstanter kommer vi återigen till ekvationerna

r^{{2}}{\frac {d\varphi}{d\tau }}={\frac {L}{m}},

\left(1-{\frac {r_{{s}}}{r}}\right){\frac {dt}{d\tau }}={\frac {E}{mc^{{2}} }}.

Dessa två ekvationer för integralerna av rörelse L och E kan kombineras till en som fungerar även för fotonen och andra masslösa partiklar för vilka den rätta tiden längs geodetiken är noll:

{\frac {r^{{2}}}{bc}}{\frac {d\varphi }{dt}}=1-{\frac {r_{{s}}}{r}}.

Post-newtonska tillvägagångssätt

Eftersom i verkliga problem testkroppsapproximationen ibland har otillräcklig noggrannhet, finns det tillvägagångssätt som förfinar den, varav en är användningen av post-newtonsk formalism (PN-formalism), utvecklad i verk av Eddington, Fock, Damour och andra relativistiska forskare. Om vi överdriver något kan vi säga att i detta tillvägagångssätt expanderas ekvationerna för kroppars rörelse, erhållna från Einsteins ekvationer, till serier i form av en liten PN-parameter , och termerna beaktas endast till en viss grad av denna parameter. Även användningen av 2,5PN-nivån leder till förutsägelse av gravitationsstrålning och motsvarande minskning av rotationsperioden för ett gravitationsbundet system. Högre ordningskorrigeringar dyker också upp i objekts rörelse, såsom binära pulsarer. Rörelsen för planeterna och deras satelliter, asteroider, såväl som rymdfarkoster i solsystemet beräknas nu i den första PN-approximationen. $1/c^{2}$ $(1/c^{5})$

Rättelser till den geodetiska lösningen

Strålning av gravitationsvågor och förlust av energi och rörelsemängd

Enligt allmän relativitet sänder två kroppar som kretsar runt varandra ut gravitationsvågor , vilket gör att banorna skiljer sig från geodetiken som beräknats ovan. För solsystemets planeter är denna effekt extremt liten, men den kan spela en betydande roll i utvecklingen av nära dubbelstjärnor .

Orbitala förändringar observeras i flera system, varav den mest kända är den binära pulsaren känd som PSR B1913+16 , för vilken Alan Hulse och Joseph Taylor fick 1993 års Nobelpris i fysik för sin forskning . De två neutronstjärnorna i detta system är mycket nära varandra och fullföljer en omloppsbana på 465 minuter . Deras bana är en långsträckt ellips med en excentricitet på 0,62. Enligt den allmänna relativitetsteorin gör den korta revolutionsperioden och den höga excentriciteten systemet till en utmärkt källa för gravitationsvågor, vilket leder till energiförluster och en minskning av revolutionsperioden. De observerade periodförändringarna över trettio år stämmer väl överens med förutsägelserna av allmän relativitet, med den bästa noggrannheten som nu kan uppnås (cirka 0,2 % från och med 2009 ).

Formeln som beskriver förlusten av energi och rörelsemängd på grund av gravitationsstrålning från två kroppar i Keplerproblemet erhölls 1963 [21] . Energiförlusthastigheten (i genomsnitt över perioden) anges som [22]

-\left\langle {\frac {dE}{dt}}\right\rangle ={\frac {32G^{{4}}m_{{1}}^{{2}}m_{{2}}^ {{2}}\left(m_{{1}}+m_{{2}}\right)}{5c^{{5}}a^{{5}}\left(1-e^{{2 }}\right)^{{7/2}}}}\left(1+{\frac {73}{24}}e^{{2}}+{\frac {37}{96}}e^ {{4}}\right),

där e är excentriciteten och a är den elliptiska banans halvstora axel . Vinkelparenteserna på vänster sida av uttrycket anger medelvärde över en omloppsbana. På samma sätt, för förlusten av vinkelmomentum, kan vi skriva

-\left\langle {\frac {dL_{{z}}}{dt}}\right\rangle ={\frac {32G^{{7/2}}m_{{1}}^{{2}} m_{{2}}^{{2}}{\sqrt {m_{{1}}+m_{{2}}}}}{5c^{{5}}a^{{7/2}}\ vänster(1-e^{{2}}\höger)^{{2}}}}\left(1+{\frac {7}{8}}e^{{2}}\höger).

Förluster av energi och rörelsemängd ökar markant om excentriciteten tenderar till 1, det vill säga om ellipsen är mycket långsträckt. Strålningsintensiteten ökar också med minskande storlek a av omloppsbanan. Förlusten av rörelsemängd under strålning är sådan att banans excentricitet med tiden minskar, och den tenderar att vara cirkulär med en ständigt minskande radie.

Kraften hos gravitationsstrålning från planetsystem är försumbar, till exempel för solsystemet - 5 kW , varav cirka 90% faller på Sun-Jupiter-systemet. Detta är försumbart jämfört med planeternas kinetiska energi (den förväntade livslängden för solsystemet är 13 storleksordningar längre än universums ålder). Strålningen från nära dubbelstjärnor är mycket större, till exempel sänder den ovan nämnda binära Hulse-Taylor-pulsaren ( PSR B1913+16 ), vars komponenter är åtskilda av ett avstånd i storleksordningen av solens radie, ut gravitationsvågor med en effekt på 7,35 × 10 24 W , vilket är 2 % av solens kraft. På grund av energiförlusten minskar avståndet mellan komponenterna i detta binära system med 3,5 m per år, och efter 300 miljoner år kommer stjärnorna att smälta samman till en. När komponenterna i en binär stjärna närmar sig varandra, växer kraften hos gravitationsstrålningen i omvänd proportion till femte potensen av avståndet mellan dem, och omedelbart före sammanslagningen når kraften enorma värden: energi som motsvarar flera solmassor strålas ut. inom tiondels sekund, vilket motsvarar en effekt på 10 47 W. Detta är 21 storleksordningar större än solens ljusstyrka och miljarder gånger större än ljusstyrkan i vår galax (det är denna höga effekt som gör det möjligt att upptäcka gravitationsvågor under sammanslagning av neutronstjärnor på ett avstånd av hundratals miljoner ljusår). Kraften hos gravitationsvågor under sammanslagning av svarta hål är ännu större: under de sista millisekunderna före sammanslagningen är den tiotals gånger större än ljusstyrkan hos alla stjärnor i den observerbara delen av universum.

Numerisk relativitet

Om kropparna är så kompakta att de kan röra sig separat, även när omloppshastigheten når en betydande bråkdel av ljusets hastighet, upphör den post-newtonska expansionen att fungera tillförlitligt. Detta är möjligt i de sista stadierna av utvecklingen av binära system som består av neutronstjärnor eller svarta hål - på grund av gravitationsstrålning faller komponenterna närmare och närmare varandra, och smälter så småningom samman. I detta fall kan kropparna inte längre representeras som punkt- eller sfäriskt symmetriska, och det krävs att man tillämpar metoder för den exakta tredimensionella numeriska lösningen av Einsteins ekvationer och, när det gäller neutronstjärnor, relativistisk magnetohydrodynamik, som är kallas numerisk relativitet . Det första experimentella testet, som bekräftade förutsägelserna från den allmänna relativitetsteorin och numeriska relativitetsteorin med en noggrannhet på 94 %, var upptäckten av gravitationsvågor i september 2015.

Se även

Anteckningar och länkar

↑ 1 2 Rosever N. T. Perihelion of Mercury. Från Le Verrier till Einstein = Roseveare NT Mercurys perigelion från Le Verrier till Einstein / Per. från engelska. A.S. Rastorguev, red. V. K. Abalakina. - Moskva: Mir, 1985. - 246 sid. — 10 000 exemplar.
↑ Le Verrier, UJJ Sur la théorie de Mercure et sur le mouvement du périhélie de cette planète (franska) // Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences :tidskrift. - 1859. - Vol. 49 . - s. 379-383 .
↑ 1 2 3 Pais 1982
↑ Marie-Antoinette Tonnela GRUNDLAG FÖR ELEKTROMAGNETISM OCH RELATIVITETSTEORIN MOSKVA: FÖRLAG FÖR UTLÄNDSK LITTERATUR, 1962. Kapitel II, § 1.2.
↑ 1 2 A. F. Bogorodsky Universalgravitation Kiev: Naukova Dumka, 1971. Kapitel 2.
↑ PS Laplace Mecanique celeste, 4, livre X Paris, 1805.
↑ Citerat från boken: Boris Nikolaevich Vorontsov-Velyaminov Laplace Moskva: Zhurgazob'edinenie, 1937.
↑ Feynman behandlar detta problem i volym 6 av The Feynman Lectures on Physics , kapitel 21, § 1.
↑ A.F. Bogorodsky Ibid. 5 kap. 15 st.
↑ Handlare G.-Yu. Kapitel I // Tröghetsrelativitet = Hans-Jürgen Treder. Die Relativitat der Tragheit. Berlin, 1972 / Per. med honom. K. A. Bronnikova. Under redaktion av prof. K.P. Stanyukovich. — M .: Atomizdat , 1975. — 128 sid. - 6600 exemplar.
↑ Zenneck, J. Gravitation (tyska) // Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften mit Einschluss ihrer Anwendungen. - 1903. - Bd. 5 . - S. 25-67 . (inte tillgänglig länk)
↑ 1 2 Vizgin V.P. Kapitel I, avsnitt 2. // Relativistisk gravitationsteori (ursprung och bildning. 1900-1915). - Moskva: Nauka, 1981. - 352 s. - 2000 exemplar.
↑ Walter, S. (2007), Breaking in the 4-vectors: the four-dimensional movement in gravitation, 1905–1910 , in Renn, J., The Genesis of General Relativity (Berlin: Springer). — T. 3: 193–252
↑ Newtons gravitationsteori kan formuleras som en krökning av detta samband, se Mizner Ch., Thorne K., Wheeler J. Gravity. M.: Mir, 1977. Volym 1. Arkivexemplar daterad 9 april 2016 på Wayback Machine Kapitel 12.
↑ Landau 1975.
↑ Detta gäller för partiklar av dammig materia och för kroppar som inte roterar för snabbt, som visas i §§ 4 och 7 i kapitlet IV i J. L. Sings bok General Theory of Relativity , Moscow, IL, 1963.
↑ Weinberg 1972.
↑ Whittaker 1937.
↑ Landau och Lifshitz (1975), s. 306-309.
↑ 1 2 Landau L. D., Lifshits E. M. Theoretical Physics: Proc. bidrag: För universitet. I 10 volymer T. II. Fältteori. - 8:e upplagan, stereo. — M.: FIZMATLIT, 2003. — 536 sid. - ISBN 5-9221-0056-4 (vol. II). Avsnitt 101.
↑ Peters PC, Mathews J. Gravitationsstrålning från punktmassor i en Keplerisk omloppsbana // Physical Review . - 1963. - Vol. 131 . - S. 435-440 . - doi : 10.1103/PhysRev.131.435 .
↑ Landau och Lifshitz, sid. 356-357.

Litteratur

Adler, R; Bazin M. och Schiffer M. Introduktion till allmän relativitet. - New York: McGraw-Hill Education , 1965. - S. 177-193. - ISBN 978-0-07-000420-7 .
Albert Einstein . Betydelsen av relativitet . — 5:a. - Princeton, NJ: Princeton University Press , 1956. - s . 92-97 . - ISBN 978-0-691-02352-6 .
Hagihara, YTeori om de relativistiska banorna i ett gravitationsfält av Schwarzschild (engelska) // Japanese Journal of Astronomy and Geophysics: journal. - 1931. - Vol. 8 . - S. 67-176 . — ISSN 0368-346X .
Lanczos, C Mekanikens variationsprinciper . — 4:a. - New York: Dover Publications , 1986. - S. 330-338 . — ISBN 978-0-486-65067-8 .
Landau L. D., Lifshits E. M. Teoretisk fysik: Proc. bidrag: För universitet. I 10 volymer T. II. Fältteori . - 8:e upplagan, stereo .. - M . : FIZMATLIT, 2003. - 536 sid. — ISBN 5-9221-0056-4 . (ryska) - § 101.
Misner, CW ; Kip S. Thorne och Wheeler, JA . allvar. —San Francisco: W.H. Freeman, 1973. - S. Kapitel 25 (s. 636-687), §33.5 (s. 897-901) och §40.5 (s. 1110-1116). - ISBN 978-0-7167-0344-0 . (Se Gravitation (bok) .)
Pais, A. Subtil är Herren: The Science and the Life of Albert Einstein (engelska) . - Oxford University Press , 1982. - S. 253-256. — ISBN 0-19-520438-7 .
Pauli, W Relativitetsteori . - New York: Dover Publications , 1958. - S. 40-41 , 166-169. — ISBN 978-0-486-64152-2 .
Rindler, W. Väsentlig relativitet: speciell, allmän och kosmologisk . — reviderad 2:a. - New York: Springer Verlag , 1977. - S. 143-149 . - ISBN 978-0-387-10090-6 .
Rosever N. T. Perihelion of Mercury. Från Le Verrier till Einstein = Roseveare NT Mercurys perigelion från Le Verrier till Einstein / Per. från engelska. A.S. Rastorguev, red. V. K. Abalakina. - Moskva: Mir, 1985. - 246 sid. — 10 000 exemplar.

Synge, JL . Relativitet: Den allmänna teorin. - Amsterdam: North-Holland Publishing , 1960. - S. 289-298. - ISBN 978-0-7204-0066-3 .
Robert Wald . Allmän relativitet. - Chicago: The University of Chicago Press , 1984. - s. 136-146. - ISBN 978-0-226-87032-8 .
Walter, S. Breaking in the 4-vectors: the four-dimensional movement in gravitation, 1905–1910 // The Genesis of General Relativity / Renn, J.. - Berlin: Springer, 2007. - Vol. 3. - P. 193-252.

Weinberg , S. Gravitation och kosmologi . - New York: John Wiley and Sons , 1972. - S. 185-201 . — ISBN 978-0-471-92567-5 .
Whittaker, ET En avhandling om partiklars och stela kroppars analytiska dynamik, med en introduktion till problemet med tre kroppar . — 4:a. - New York: Dover Publications , 1937. - P. 389-393. — ISBN 978-1-114-28944-4 .