Hilbert problem

Hilberts problem  är en lista över 23 kardinalproblem i matematik som presenterades av David Hilbert vid II International Congress of Mathematicians i Paris 1900. En komplett lista med 23 problem publicerades senare, särskilt i en engelsk översättning från 1902 av Mary Francis Winston Newson i Bulletin of the American Mathematical Society [1] . Då löstes inte dessa problem (som täcker grunderna för matematik, algebra , talteori , geometri , topologi , algebraisk geometri, Lie-grupper , reell och komplex analys, differentialekvationer , matematisk fysik och sannolikhetsteori och variationskalkylen ). Några av dem hade stort inflytande på 1900-talets matematik.

För tillfället är 16 av 23 problem lösta. Ytterligare två är inte korrekta matematiska problem (det ena är för vagt formulerat för att förstå om det har lösts eller inte, det andra, långt ifrån löst, är fysiskt, inte matematiskt) . Av de återstående fem problemen är två inte lösta alls, och tre löses endast i vissa fall.

Sedan 1900 har matematiker och matematiska organisationer publicerat listor över problem, men med sällsynta undantag har dessa samlingar inte haft tillnärmelsevis samma genomslagskraft eller producerat lika mycket arbete som Hilberts problem. Ett undantag representeras av tre hypoteser som lades fram av André Weil i slutet av 1940-talet ( Weyl-hypoteserna ). Pal Erdős sammanställde en lista med hundratals om inte tusentals matematiska problem, många av dem djupa. Erdős erbjöd ofta kontanta belöningar; storleken på ersättningen berodde på uppgiftens förväntade komplexitet.

Lista över problem

Nej.	Status	Kort formulering	Resultat	År av beslut
ett	löst [2]	Cantors problem om kontinuumets kraft ( Continuum hypothesis )	Problemet har visat sig vara oavgörbart i ZFC . Det finns ingen konsensus om huruvida detta är en lösning på problemet.	1940, 1963
2	ingen konsensus [3]	Överensstämmelse mellan axiomen för aritmetiken .	Behöver formuleringen förtydligande
3	löst	Ekvivalens av polyedrar med lika area	Motbevisat	1900
fyra	för vagt	Lista måtten där linjerna är geodetiska[ förtydliga ]	Kräver ett förtydligande av formuleringen [4]
5	löst	Är alla kontinuerliga grupper Lie-grupper ?	Ja	1953
6	delvis löst [5]	Matematisk studie av fysikens axiom	Beror på tolkningen av den ursprungliga problemformuleringen [6]
7	löst	Är talet transcendent (eller åtminstone irrationellt ) [7]	Ja	1934
åtta	inte löst, men det finns framsteg [8]	Primtalsproblem ( Riemanns hypotes och Goldbachproblem )	Den ternära Goldbach-förmodan bevisades [9] [10] [11] [12] .
9	delvis löst [13]	Bevis på den mest allmänna ömsesidighetslagen i valfritt nummerfält	Bevisat för det abeliska fallet
tio	löst [14]	Finns det en universell algoritm för att lösa diofantiska ekvationer ?	Inte	1970
elva	delvis löst	Studie av kvadratiska former med godtyckliga algebraiska numeriska koefficienter
12	inte löst	Utvidgning av Kronecker-satsen om abelska fält till en godtycklig algebraisk domän av rationalitet
13	löst	Är det möjligt att lösa den allmänna ekvationen för sjunde graden med hjälp av funktioner som bara beror på två variabler?	Ja	1957
fjorton	löst	Bevis på den ändliga genereringen av algebra av invarianter i en linjär algebraisk grupp [15]	Motbevisat	1959
femton	delvis löst	Rigorös motivering av Schuberts uppräkningsgeometri
16	delvis löst [16]	Topologi för algebraiska kurvor och ytor [17]
17	löst	Kan vissa former representeras som en summa av kvadrater?	Ja	1927
arton	löst [18] [19]	Är antalet kristallografiska grupper ändligt ? (a) Finns det oregelbundna fyllningar av rymden av kongruenta polyedrar? (b) Är hexagonala och kubiska ansiktscentrerade packningar av bollar den tätaste? (c)	Ja Ja Ja	1911 (a) 1928 (b) 1998 (c)
19	löst	Är lösningar på det vanliga variations -lagrangeproblemet alltid analytiska?	Ja	1957
tjugo	löst [20] [21] [22]	Har alla regelbundna variationsproblem med vissa randvillkor lösningar om själva begreppet lösning vid behov ges en utökad tolkning?	Ja	1937-1962
21	löst	Bevis på förekomsten av linjära differentialekvationer med en given monodromigrupp	Om de finns eller inte beror på mer exakta formuleringar av problemet.	1992
22	delvis löst	Uniformisering av analytiska beroenden med hjälp av automorfa funktioner
23	inte löst, men det finns framsteg	Utveckling av metoder för variationskalkyl	Behöver formuleringen förtydligande

Problem 24

Till en början innehöll listan 24 problem, men i arbetet med att förbereda rapporten övergav Hilbert ett av dem. Detta problem var relaterat till bevisteorin om primalitetskriteriet och allmänna metoder. Detta problem upptäcktes i Hilberts anteckningar av den tyske vetenskapshistorikern Rüdiger Thiele 2000 [23] .

Andra kända problemlistor

Exakt hundra år efter tillkännagivandet av Hilbert-listan föreslog den amerikanske matematikern Stephen Smale en ny lista över moderna olösta problem (en del av dem har redan lösts). Smales problem har inte fått mycket uppmärksamhet från media, och det är inte klart hur mycket uppmärksamhet de får från matematiska samfundet. Clay Mathematical Institute publicerade sin lista . Varje prisutgåva inkluderar ett pris på en miljon dollar. 2008 tillkännagav det amerikanska försvarsdepartementets Advanced Research Projects Agency sin egen lista med 23 problem som man hoppades skulle kunna leda till stora matematiska genombrott, "och därigenom stärka det amerikanska försvarsdepartementets vetenskapliga och tekniska kapacitet " [24] [25] .

Anteckningar

1. ↑ Hilbert, David. Mathematical Problems  (engelska)  // Bulletin of the American Mathematical Society  : tidskrift. - 1902. - Vol. 8 , nr. 10 . - s. 437-479 . - doi : 10.1090/S0002-9904-1902-00923-3 . Tidigare publikationer (på den tyska originalet) dök upp i Hilbert, David. Mathematische Probleme  (neopr.)  // Göttinger Nachrichten. - 1900. - S. 253-297 . och Hilbert, David. [ingen titel citerad]  (neopr.)  // Archiv der Mathematik und Physik. - 1901. - T. 1, 3 . - S. 44-63, 213-237 .
2. ↑ Gödel och Cohens resultat visar att varken kontinuumhypotesen eller dess negation motsäger Zermelo-Fraenkels axiomsystem (mängdlärans standardaxiomsystem). Således kan kontinuumhypotesen i detta axiomsystem varken bevisas eller vederläggas (förutsatt att detta system av axiom är konsekvent).
3. ↑ Kurt Gödel bevisade att konsistensen av aritmetikens axiom inte kan bevisas från aritmetikens axiom själva. År 1936 bevisade Gerhard Gentzen aritmetikens konsistens med hjälp av primitiv rekursiv aritmetik med ett extra axiom för transfinit induktion till ordinalen ε 0 .
4. ↑ Enligt Rowe och Gray (se nedan) har de flesta av problemen lösts. Vissa av dem formulerades inte tillräckligt exakt, men de uppnådda resultaten tillåter oss att betrakta dem som "lösta". Rov och Gray talar om det fjärde problemet som ett som är för vagt för att bedöma om det har lösts eller inte.
5. ↑ L. Corry, David Hilbert and the axiomatization of physics (1894-1905), Archive for History of Exact Sciences 51 (1997), nr. 2, 83-198, DOI: http://doi.org/10.1007/BF00375141 .
6. ↑ Dessutom kan lösningen på problemet att härleda kontinuumets dynamik från en atomistisk beskrivning vara negativ: Marshall Slemrod, Hilberts sjätte problem och misslyckandet med Boltzmann till Euler-gränsen, Phil. Trans. R. Soc. A 2018 376 (2118), 2018, 20170222, doi : 10.1098/rsta.2017.0222
7. ↑ Löst av Siegel och Gelfond (och oberoende av Schneider) i en mer allmän form: om a ≠ 0, 1 är ett algebraiskt tal och b  är ett algebraiskt irrationellt, så är a b  ett transcendentalt tal
8. ↑ Uppgift #8 innehåller två kända problem, varav det första inte är löst alls, och det andra är delvis löst. Den första av dessa, Riemann-hypotesen , är ett av de sju millennieproblem som har kallats 2000-talets "Hilbertproblem".
9. ↑ Terence Tao - Google+ - Upptagen dag i analytisk talteori; Harald Helfgott har… . Hämtad 21 juni 2013. Arkiverad från originalet 8 augusti 2013. (obestämd)
10. ↑ Stora bågar för Goldbachs teorem Arkiverade 29 juli 2013 vid Wayback Machine , HA Helfgott // arxiv 1305.2897
11. ↑ Goldbach Variations Arkiverad 16 december 2013 på Wayback Machine // SciAm blogs , Evelyn Lamb, 15 maj 2013
12. ↑ Two Proofs Spark a Prime Week for Number Theory Arkiverad 23 juni 2013 på Wayback Machine // Science 24 maj 2013: Vol. 340 nr. 6135 sid. 913 doi:10.1126/science.340.6135.913
13. ↑ Problem #9 löstes för Abelian-fallet; det icke-Abeliska fallet förblir olöst.
14. ↑ Yuri Matiyasevich bevisade 1970 den algoritmiska olösligheten av frågan om en godtycklig diofantisk ekvation har åtminstone en lösning. Till en början formulerades problemet av Hilbert inte som ett dilemma, utan som ett sökande efter en algoritm: vid den tiden trodde de tydligen inte ens att det kunde finnas en negativ lösning på sådana problem.
15. ↑ Påståendet att algebra av invarianter genereras ändligt är bevisat för godtyckliga handlingar av reduktiva grupper på affina algebraiska varianter. Nagata 1958 konstruerade ett exempel på en linjär verkan av en unipotent grupp på ett 32-dimensionellt vektorrum för vilket den invarianta algebra inte är ändligt genererad. VL Popov bevisade att om algebra av invarianter av någon verkan av en algebraisk grupp G på en affin algebraisk sort genereras ändligt, då är gruppen G reduktiv.
16. ↑ Den första (algebraiska) delen av uppgift nr 16 är mer exakt formulerad enligt följande. Harnack bevisade att det maximala antalet ovaler är , och att sådana kurvor finns - de kallas M -kurvor. Hur kan M -kurvans ovaler ordnas? Detta problem har lösts upp till inkluderande grad, och ganska mycket är känt för graden. Dessutom finns det allmänna påståenden som begränsar hur ovaler av M -kurvor kan lokaliseras - se verk av Gudkov, Arnold, Roon, Hilbert själv (dock bör man komma ihåg att Hilberts bevis för innehåller ett fel: en av fallen, som han anser vara omöjliga, visade sig vara möjliga och byggdes av Gudkov). Den andra (differentiella) delen förblir öppen även för kvadratiska vektorfält - det är inte ens känt hur många det kan finnas och att det finns en övre gräns. Även den individuella ändlighetssatsen (att varje polynomvektorfält har ett ändligt antal gränscykler) har bara nyligen bevisats. Det ansågs bevisat av Dulac , men ett fel upptäcktes i hans bevis, och slutligen bevisades denna sats av Ilyashenko och Ekal, för vilken var och en av dem var tvungen att skriva en bok.
17. ↑ Översättningen av originaltiteln på problemet som ges av Hilbert ges: "16. Problem der Topologie algebraischer Curven und Flächen Arkiverad från originalet den 8 april 2012.  (tyska) . Men mer exakt skulle dess innehåll (som det anses idag) kunna förmedlas med följande namn: "Antalet och arrangemanget av ovaler av en verklig algebraisk kurva av en given grad på ett plan; antalet och arrangemanget av gränscykler för ett polynomvektorfält av en given grad på planet”. Förmodligen (som framgår av den engelska översättningen av texten i tillkännagivandet Arkiverad 25 augusti 2018 på Wayback Machine  (engelska) ), trodde Hilbert att den differentiella delen (i verkligheten visade sig vara mycket svårare än den algebraiska). ) skulle kunna lösas med samma metoder som den algebraiska. Det var därför jag inte tog med det i titeln.
18. ↑ Bieberbach L. Über die Bewegungsgruppen der Euklidischen Raume I.—Math. Ann., 1911, 70, S. 297-336; 1912, 72, S. 400-412.
19. ↑ Rov och Gray hänvisar också till Problem #18 som "öppet" i sin bok från 2000 eftersom bollpackningsproblemet (även känt som Kepler-problemet) inte hade lösts vid den tiden, men det finns nu bevis för att det redan har varit löst. löst (se nedan). Framsteg för att lösa problem #16 har gjorts nyligen och även på 1990-talet.
20. ↑ Young L. Föreläsningar om variationskalkyl och optimal kontrollteori. - M., Mir, 1974
21. ↑ MacShane Generaliserade kurvor. Duke matematik. J. 6 (1940), 513-536
22. ↑ Gamkrelidze R. V. On sliding optimal regimes // DAN SSSR, 143 (1962), 1243-1245
23. ↑ Hilberts tjugofjärde problem Arkiverad 3 mars 2016 på Wayback Machine . Rudiger Thiele, American Mathematical Monthly, januari 2003.
24. ↑ cdate=2008-09-29 Världens 23 svåraste matematikfrågor . Hämtad 23 november 2019. Arkiverad från originalet 9 februari 2014. (obestämd)
25. ↑ Ansökan om DARPA Mathematics Challenge (26 september 2008). Hämtad 23 november 2019. Arkiverad från originalet 12 januari 2019. (obestämd)

Litteratur

• Bolibrukh A. A. Hilberts problem (100 år senare) . - MTSNMO , 1999. - T. 2. - 24 sid. - ( Bibliotek "Matematisk utbildning" ).
• Demidov S.S. Om historien om Hilberts problem // Historisk och matematisk forskning . - M.  : Nauka, 1966. - Nr 17. - S. 91-122.
• Demidov S.S. "Mathematical Problems" av Hilbert and Mathematics of the 20th Century // Historical and Mathematical Research. - M.  : Janus-K, 2001. - Nr 41 (6). - S. 84-99.
• Lyashko S. I., Nomirovskii D. A., Petunin Yu. I., Semyonov V. V. Hilberts tjugonde problem  : Generaliserade lösningar av operatorekvationer. - M .  : Dialektik, 2009. - 192 sid. - ISBN 978-5-8459-1524-5 .
• Hilberts problem  : lör. / ed. P.S. Alexandrova . — M  .: Nauka, 1969. — 240 sid.

Länkar

• Originaltext på tyska av Hilberts rapport
• Rysk översättning av Hilberts rapport (inledning och slutsats)

Ordböcker och uppslagsverk	Stor ryss Britannica (online) Universalis
I bibliografiska kataloger	BNF : 123904018 GND : 4159859-3 SUDOC : 032990022