Vektor (matematik)

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 15 april 2022; kontroller kräver 14 redigeringar .

Vektor (från lat.  vektor - "bärare", "bärare", "bärare") - i det enklaste fallet, ett matematiskt objekt som kännetecknas av storlek och riktning. Till exempel inom geometri och naturvetenskap är en vektor ett riktat segment av en rät linje i det euklidiska rummet (eller på ett plan) [1] .

Exempel: radievektor , hastighet , kraftmoment . Om ett koordinatsystem ges i rymden , är vektorn unikt definierad av en uppsättning av dess koordinater. Därför, inom matematik, datavetenskap och andra vetenskaper, kallas en ordnad uppsättning siffror ofta också en vektor. I en mer allmän mening betraktas en vektor i matematik som ett element i något vektorrum (linjärt) .

Det är ett av de grundläggande begreppen i linjär algebra . När man använder den mest allmänna definitionen är vektorer nästan alla objekt som studeras i linjär algebra, inklusive matriser , tensorer , men om dessa objekt finns i det omgivande sammanhanget förstås en vektor som en radvektor respektive en kolumnvektor , en tensor av första rangen. Egenskaper för operationer på vektorer studeras i vektorkalkyl .

Notation

En vektor representerad av en uppsättning element (komponent) betecknas på följande sätt:

.

För att betona att det är en vektor (och inte en skalär), använd en överlinje, pil ovanför, fetstil eller gotisk typsnitt:

Vektortillägg betecknas nästan alltid med ett plustecken:

.

Multiplikation med ett tal skrivs helt enkelt bredvid den, utan ett speciellt tecken, till exempel:

,

och numret skrivs vanligtvis till vänster.

Multiplikationen av en vektor med en matris betecknas också genom att skriva sida vid sida, utan ett speciellt tecken, men här påverkar permutationen av faktorerna i allmänhet resultatet. En linjär operators verkan på en vektor indikeras också genom att skriva operatorn till vänster, utan ett speciellt tecken.

Det är värt att komma ihåg att multiplicera en vektor med en matris kräver att man skriver komponenterna i den förra som en rad, medan multiplicering av en matris med en vektor kräver att man skriver den senare som en kolumn. För att ytterligare betona att vektorn deltar i operationen som en sträng, skrivs transpositionstecknet :

Historik

Intuitivt förstås en vektor som ett objekt som har en storlek, en riktning och (valfritt) en appliceringspunkt. Början av vektorkalkyl dök upp tillsammans med den geometriska modellen av komplexa tal ( Gauss , 1831). Avancerade operationer på vektorer publicerades av Hamilton som en del av hans quaternionkalkyl (de imaginära komponenterna i en quaternion bildade en vektor). Hamilton föreslog själva termen vektor ( lat.  vektor , bärare ) och beskrev några av vektoranalysens funktioner . Denna formalism användes av Maxwell i hans arbeten om elektromagnetism , och uppmärksammade därmed forskarna på en ny kalkyl. Gibbs Elements of Vector Analysis (1880-talet) kom snart ut, och sedan gav Heaviside (1903) vektoranalys ett modernt utseende [2] .

Det finns inga allmänt accepterade vektorbeteckningar, fetstil, ett bindestreck eller en pil ovanför en bokstav, det gotiska alfabetet etc. används. [2]

I geometri

I geometri förstås vektorer som riktade segment. Denna tolkning används ofta i datorgrafik genom att bygga ljuskartor med ytnormaler . Med hjälp av vektorer kan du också hitta områden med olika former, till exempel trianglar och parallellogram , såväl som volymerna av kroppar: tetraeder och parallellepiped .
Ibland identifieras en riktning med en vektor.

En vektor i geometrin är naturligt förknippad med en överföring ( parallell överföring ), vilket uppenbarligen klargör ursprunget till dess namn ( lat.  vektor , bärare ). Faktum är att vilket riktat segment som helst definierar unikt någon form av parallell translation av ett plan eller rymd, och vice versa, en parallell translation definierar unikt ett enda riktat segment (otvetydigt - om vi anser att alla riktade segment av samma riktning och längd är lika - det vill säga betrakta dem som fria vektorer ).

Tolkningen av en vektor som en översättning tillåter oss att introducera operationen av vektortillägg på ett naturligt och intuitivt uppenbart sätt  - som en sammansättning (på varandra följande tillämpning) av två (eller flera) översättningar; detsamma gäller operationen att multiplicera en vektor med ett tal.

I linjär algebra

I linjär algebra är en vektor ett element i ett linjärt utrymme, vilket motsvarar den allmänna definitionen nedan. Vektorer kan ha olika karaktär: riktade segment, matriser, tal, funktioner och andra, men alla linjära utrymmen av samma dimension är isomorfa till varandra.
Detta koncept med en vektor används oftast när man löser system av linjära algebraiska ekvationer , såväl som när man arbetar med linjära operatorer (ett exempel på en linjär operator är en rotationsoperator ). Ofta utökas denna definition genom att definiera en norm eller en skalär produkt (kanske båda tillsammans), varefter de arbetar med normerade och euklidiska rum, begreppet en vinkel mellan vektorer förknippas med en skalär produkt, och begreppet en vektorlängd är förknippad med en norm. Många matematiska objekt (till exempel matriser , tensorer , etc.), inklusive de med en mer allmän struktur än en ändlig (och ibland till och med räknebar) ordnad lista, uppfyller vektorns axiom , det vill säga ur algebras synvinkel , de är vektorer .

I funktionsanalys

I funktionsanalys betraktas funktionella utrymmen - oändliga -dimensionella linjära utrymmen. Deras element kan vara funktioner. Baserat på denna representation av funktionen byggs teorin om Fourierserier . På liknande sätt, med linjär algebra, introducerar man ofta en norm, inre produkt eller metrik på funktionsutrymmet. Vissa metoder för att lösa differentialekvationer är baserade på begreppet en funktion som ett element i ett Hilbert-rum , till exempel den finita elementmetoden .

Allmän definition

Den mest allmänna definitionen av en vektor ges med hjälp av allmän algebra :

Med andra ord, låt och .

Om det finns en operation så att för någon och för någon gäller följande relationer:

  1. ,
  2. ,
  3. ,
  4. ,

sedan

Många resultat i linjär algebra har generaliserats till enhetliga moduler över icke-kommutativa skevningsfält och till och med godtyckliga moduler över ringar ; sålunda, i det mest allmänna fallet, i vissa sammanhang, kan vilket element som helst i en modul över en ring kallas en vektor.

Fysisk tolkning

En vektor som en struktur som har både magnitud (modul) och riktning betraktas i fysiken som en matematisk modell av hastighet , kraft och relaterade storheter, kinematisk eller dynamisk. Den matematiska modellen av många fysiska fält (till exempel ett elektromagnetiskt fält eller ett vätskehastighetsfält) är vektorfält .

Abstrakta flerdimensionella och oändliga dimensionella (i en anda av funktionell analys ) vektorrum används i den lagrangska och hamiltonska formalismen som tillämpas på mekaniska och andra dynamiska system, och i kvantmekaniken (se tillståndsvektor ).

Vektor som en sekvens

Vektor  — ( sekvens , tuppel ) homogena element. Detta är den mest allmänna definitionen i den meningen att det kanske inte finns några konventionella vektoroperationer alls, det kan finnas färre av dem, eller så kanske de inte uppfyller de vanliga linjära rymdaxiomen . Det är i denna form som en vektor förstås i programmering , där den som regel betecknas med ett identifierarnamn med hakparenteser (till exempel objekt[] ). Listan över egenskaper modellerar definitionen av klassen och tillståndet för ett objekt som accepteras i systemteorin . Så typerna av elementen i vektorn bestämmer objektets klass, och elementens värden bestämmer dess tillstånd. Denna användning av termen är dock troligen redan utanför den räckvidd som vanligtvis accepteras inom algebra, och faktiskt i matematik i allmänhet.

En ordnad uppsättning av n tal kallas en aritmetisk vektor. Betecknade , talen kallas komponenter i den aritmetiska vektorn. Uppsättningen av aritmetiska vektorer för vilka operationerna addition och multiplikation med ett tal är definierade kallas rymden av aritmetiska vektorer [3] .

Se även

Anteckningar

  1. Vektor // Mathematical Encyclopedia (i 5 volymer) . - M . : Soviet Encyclopedia , 1977. - T. 1.
  2. 1 2 Alexandrova N. V. Historia om matematiska termer, begrepp, notation: Ordbok-referensbok . - 3:e uppl. - St Petersburg. : LKI, 2008. - S.  22 -23. — 248 sid. - ISBN 978-5-382-00839-4 .
  3. Kapitel 2. Rummet av aritmetiska vektorer R n // Linjär algebra. IET MPEI Korta föreläsningsanteckningar .

Litteratur

Länkar