Vektoranalys

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 24 mars 2022; kontroller kräver 5 redigeringar .

Vektoranalys är en gren av matematiken som utvidgar metoderna för matematisk analys till vektorer , vanligtvis i två eller tre dimensioner.

Omfattning

Objekten för vektoranalysapplikationen är:

Vektorfält är mappningar från ett vektorrum till ett annat.
Skalära fält är funktioner i ett vektorrum .

Vektoranalys finner sin största tillämpning inom fysik och teknik . De främsta fördelarna med vektormetoder jämfört med traditionella koordinatmetoder:

Kompakthet. En vektorekvation kombinerar flera koordinater, och dess studie kan oftast utföras direkt, utan att ersätta vektorerna med deras koordinatnotation.
Invarians. Vektorekvationen beror inte på koordinatsystemet och kan enkelt översättas till en koordinatnotation i vilket lämpligt koordinatsystem som helst.
synlighet. Vektoranalysens differentialoperatorer och de relationer som förbinder dem har vanligtvis en enkel och tydlig fysisk tolkning.

Vektoroperatorer

De vanligaste vektoroperatorerna är:

Rotor och divergens - för vektorfält.
Gradient - för skalära fält.
Laplacian - för skalära och vektorfält.

Operatör	Beteckning	Beskrivning	Sorts
Lutning	$\operatörsnamn {grad}(f)=\nabla f$	Bestämmer riktningen och hastigheten för den snabbaste ökningen av det skalära fältet.	Skalär vektor $\Höger pil$
Divergens	$\operatörsnamn {div}({\mathbf {F}})=\nabla \cdot {\mathbf {F}}$	Karakteriserar divergensen, källorna och sänkorna för vektorfältet.	Vektor skalär $\Höger pil$
Rotor	$\operatörsnamn {rot}({\mathbf {F}})=\nabla \times {\mathbf {F}}$	Karakteriserar virvelkomponenten i vektorfältet.	vektor vektor $\Höger pil$
Laplacian	$\Delta f=\nabla ^{2}f=\nabla \cdot \nabla f$	Kombination av divergens med en gradient.	skalär skalär $\Höger pil$
Laplacian vektor	${\displaystyle \Delta \mathbf {A} ={\Delta }A_{x}\mathbf {i} +{\Delta }A_{y}\mathbf {j} +{\Delta }A_{z} \mathbf {k} }$ [ett]		vektor vektor $\Höger pil$

$\operatorname {grad} (f)=\nabla f={\frac {\partial f}{\partial x))\mathbf {i} +{\frac {\partial f}{\partial y)) \mathbf {j} +{\frac {\partial f}{\partial z}}\mathbf {k}$

$\operatorname {div} (\mathbf {F} )=\nabla \cdot \mathbf {F} ={\frac {\partial F_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial F_{z}}{\partial z}}$

$\operatorname {rot} (\mathbf {F} )=\nabla \times \mathbf {F} ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \ \{\frac {\partial }{\partial x))&{\frac {\partial }{\partial y))&{\frac {\partial }{\partial z))\\F_{x}&F_{ y}&F_{z}\end{vmatrix}}=\left({\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z} }\right)\mathbf {i} +\left({\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}\right )\mathbf {j} +\left({\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\right)\mathbf {k}$

$\Delta f=\nabla ^{2}f=\nabla \cdot \nabla f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2))}+{\frac { \partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}$

$\Delta \mathbf {A} ={\Delta }A_{x}\mathbf {i} +{\Delta }A_{y}\mathbf {j} +{\Delta }A_{z}\mathbf { k} ={\biggl (}{\frac {\partial ^{2}A_{x}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}A_{x}}{ \partial y^{2))}+{\frac {\partial ^{2}A_{x)){\partial z^{2))}{\Biggr )}\mathbf {i} +{\biggl ( }{\frac {\partial ^{2}A_{y}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}A_{y}}{\partial y^{2} ))+{\frac {\partial ^{2}A_{y)){\partial z^{2))}{\Biggr )}\mathbf {j} +{\biggl (}{\frac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial y^{2}}}+{\frac { \partial ^{2}A_{z}}{\partial z^{2}}}{\Biggr )}\mathbf {k}$

Andra ordningens differentialoperationer

	Skalärt fält $f=f(x,y,z)$	vektor fält $\mathbf {A} =A_{x}\mathbf {i} +A_{y}\mathbf {j} +A_{z}\mathbf {k}$
	$\operatörsnamn {grad}$	$\operatörsnamn {div}$	$\operatörsnamn {rot}$
$\operatörsnamn {grad}$		$\operatorname {grad} \operatörsnamn {div} (\mathbf {A} )=\nabla \cdot (\nabla \cdot \mathbf {A} )$
$\operatörsnamn {div}$	$\operatörsnamn {div} \operatörsnamn {grad} (f)=\nabla \cdot \nabla f=\nabla ^{2}f=\Delta f$		$\operatörsnamn {div} \operatörsnamn {rot} (\mathbf {A} )=\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {A} )=0$
$\operatörsnamn {rot}$	$\operatörsnamn {rot} \operatörsnamn {grad} (f)=\nabla \times (\nabla f)=0$		$\operatorname {rot} \operatorname {rot} (\mathbf {A} )=\nabla \times (\nabla \times \mathbf {A} )=\nabla \cdot (\nabla \cdot \mathbf {A } )-(\nabla \cdot \nabla )\cdot \mathbf {A} =\operatörsnamn {grad} \operatörsnamn {div} \mathbf {A} -\Delta \mathbf {A}$

Dessa operationer kallas differentialoperationer av andra ordningen av det skälet att de reduceras till en dubbel differentiering av skalära eller vektorfunktioner (formellt: i deras symboliska notation förekommer Hamiltonoperatorn två gånger). [2] $\Delta$

Grundläggande förhållanden

Låt oss presentera en sammanfattning av praktiskt viktiga satser för multivariatanalys i vektornotation.

Sats	Inspelning	Förklaringar
gradientsats	$\varphi \left({\mathbf {q}}\right)-\varphi \left({\mathbf {p}}\right)=\int _{L}\nabla \varphi \cdot d{\mathbf {r }}.$	Den kurvlinjära integralen av den skalära fältgradienten är lika med skillnaden mellan fältvärdena vid kurvans gränspunkter.
Greens teorem	$\oint \limits _{{C}}L\,dx+M\,dy=\iint \limits _{{D}}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\ frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,dA$	Krökt integral över en sluten plan kontur kan omvandlas till en dubbel integral över området som begränsas av konturen.
Stokes teorem	$\int \limits _({\Sigma }}\nabla \times {\mathbf {F}}\cdot d{\mathbf {\Sigma }}=\oint \limits _({\partial \Sigma }}{\mathbf {F}}\cdot d{\mathbf {r}},$	Ytintegralen för vektorfältets krullning är lika med cirkulationen längs gränsen för denna yta.
Ostrogradsky-Gauss teorem	$\iiiint \limits _{V}\left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)dV=\iint \limits _{\partial V}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {S } ,$	Volymintegralen för divergensen av ett vektorfält är lika med flödet av detta fält genom gränsytan.

Historisk översikt

W. Hamilton var den första som introducerade vektorer i samband med upptäckten 1843 av quaternions (som deras tredimensionella imaginära del). I två monografier (1853, 1866 postumt), introducerade Hamilton konceptet med en vektor och en vektorfunktion , beskrev differentialoperatorn (" nabla ", 1846) och många andra koncept för vektoranalys. Han definierade som operationer på nya objekt skalär- och vektorprodukterna , som för kvaternioner erhölls rent algebraiskt (med sin vanliga multiplikation). Hamilton introducerade också begreppen kollinearitet och koplanaritet av vektorer, orienteringen av en vektortrippel, etc. $\nabla$

Kompaktheten och invariansen hos vektorsymboliken som användes i de första verken av Maxwell (1873) intresserade fysiker; Gibbs Elements of Vector Analysis (1880-talet) kom snart ut, och sedan gav Heaviside ( 1903 ) vektorkalkyl ett modernt utseende. Det är anmärkningsvärt att redan i Maxwells verk är quaternionterminologi nästan frånvarande, i själva verket ersatt av en rent vektorterminologi. Termen "vektoranalys" föreslogs av Gibbs (1879) under hans föreläsningar.

Se även

Litteratur

Alexandrova NV Bildande av de grundläggande begreppen vektorkalkyl. // Historisk och matematisk forskning . - M . : Nauka , 1982. - Nr 26 . - S. 205-234 .
Borisenko AI, Tarapov IE Vektoranalys och principer för tensorkalkyl. Moskva: Högre skola, 1966, 251 s.
Krasnov M. L., Kisilev A. I., Makarenko G. I. Vektoranalys. Nauka, 1978, 160 sid. (2:a upplagan URSS, 2002)
Kumpyak D. E. Vektor- och tensoranalys. Arkiverad 27 februari 2014 på Wayback Machine Tver: Tver tillstånd. universitet , 2007, 158 sid.
McConnel A. J. Introduktion till tensoranalys med tillämpningar inom geometri, mekanik och fysik. Arkiverad 27 februari 2014 på Wayback Machine M.: Fizmatlit , 1963, 411 sid.
Fikhtengolts G. M. Kurs i differential- och integralkalkyl, volym III. — M .: Nauka , 1966.
V.G.Vodnev, A.F.Naumovich, N.F.Naumovich "Mathematical Dictionary of Higher Education". Förlag MPI 1984.

Anteckningar

↑ V.G. Vodnev, A.F. Naumovich, N.F. Naumovich "Mathematical Dictionary of Higher School". MPI Publishing House 1984. Artikel "Laplace-operatör" och "Vektorfältrotor".
↑ V.G. Vodnev, A.F. Naumovich, N.F. Naumovich "Mathematical Dictionary of Higher School". MPI Publishing House 1984. Artikel "Differential operations of the second order".

Länkar

L. I. Kovalenko, Elements of vector analysis — MIPT 2001 (pdf) Arkiverad 23 maj 2006 på Wayback Machine
Astronet vektoranalysartikel Arkiverad 16 maj 2005 på Wayback Machine

Ordböcker och uppslagsverk	Britannica (online)
I bibliografiska kataloger	NDL : 00560585 NKC : ph293195 , ph127008

Matematikens grenar

Portal "Science"

Grunderna för matematik mängdteori matematisk logik logikens algebra

Talteori ( aritmetik )

Algebra
Elementär algebra	Ekvationslösning
Linjär algebra	Vektorkalkyl matriser Tensorkalkyl Multilinjär algebra
Allmän algebra	Kommutativ algebra Representationsteori Differentialalgebra Homologisk algebra Universal algebra Kategoriteori

Analys
Klassisk analys	Differentialkalkyl Integralkalkyl
Funktionsteori	Harmonisk analys Kvaternionanalys Komplex analys måttteori Teori om funktioner för en reell variabel funktionell analys Variationskalkyl
Differentialekvationer och integralekvationer	Dynamiska system och ergodisk teori Differentialekvationer vanlig i partiella derivat Integralekvationer
Vektoranalys Global analys Katastrofteori Anpassad analys Smidig infinitesimal analys

Geometri och topologi
Geometri	Algebraisk geometri Analytisk geometri Euklidisk geometri Icke-euklidisk geometri Planimetri Stereometri
Topologi	Allmän topologi Algebraisk topologi Differentialgeometri och topologi

Diskret matematik
Kombinatorik grafteori

Tillämpad matematik
Matematisk fysik Matematisk kemi matematisk biologi Matematik statistik Matematisk modellering Teori om algoritmer Numeriska metoder matematisk ekonomi finansiell matematik Sannolikhetsteori Operationsforskning Spel teori

Portalen "Matematik"
Kategori "Matematik"