Irrationellt tal

Irrationella tal ζ (3) - ρ - √ 2 - √ 3 - √ 5 - ln 2 - φ,Φ - ψ - α,δ - e - e π och π

Ett irrationellt tal är ett reellt tal som inte är rationellt , det vill säga det kan inte representeras som ett vanligt bråk , där är heltal , [1] . Ett irrationellt tal kan representeras som en oändlig icke-repeterande decimal . ${\frac {m}{n}}$ $m,n$ $n\neq 0$

Med andra ord är uppsättningen av irrationella tal skillnaden mellan uppsättningarna av reella och rationella tal. $\mathbb {I} =\mathbb {R} \backslash \mathbb {Q}$

Förekomsten av irrationella siffror (mer exakt segment som inte är injämförbara med ett segment av enhetslängd) var redan känt för forntida matematiker: de visste till exempel inkommensurabiliteten av diagonalen och sidan av kvadraten, vilket är ekvivalent med irrationalitet av antalet [2] . ${\sqrt {2}}$

Irrationella är bland annat förhållandet mellan omkretsen och diametern på en cirkel (talet π ), basen för den naturliga logaritmen e , det gyllene snittet φ , kvadratroten ur två [3] [4] [5] . Alla kvadratrötter av naturliga tal, förutom perfekta kvadrater , är irrationella.

Irrationella tal kan också ses i termer av oändliga fortsatta bråk . En konsekvens av Cantors bevis är att reella tal inte är räknebara utan rationella tal är räknebara, därav följer att nästan alla reella tal är irrationella [6] .

Egenskaper

Summan av två positiva irrationella tal kan vara ett rationellt tal.
Irrationella tal definierar Dedekind-sektioner i uppsättningen av rationella tal som inte har något största tal i den lägre klassen och inget minsta tal i den övre.
Mängden irrationella tal är överallt tät på den reella linjen: mellan två olika tal finns ett irrationellt tal.

Algebraiska och transcendentala tal

Varje irrationellt tal är antingen algebraiskt eller transcendentalt . Uppsättningen av algebraiska tal är en räknebar uppsättning . Eftersom mängden reella tal är oräknelig, är mängden irrationella tal också oräknelig.

Varje reellt transcendentalt tal är irrationellt; Ett algebraiskt tal kan vara antingen rationellt eller irrationellt.

Uppsättningen av irrationella tal är en uppsättning av den andra kategorin [7] .

Irrationella tal och fortsatta bråk

Ett irrationellt tal representeras av en oändlig fortsatt bråkdel . Exempel nummer e:

e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,\ldots ,1,2n,1,\ldots ].

Kvadratiska irrationaliteter motsvarar periodiska fortsatta bråk.

\phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=[1;1,1,1,1,\dots ].

Exempel

Irrationella är:

${\sqrt {n}}$ för alla naturliga som inte är en perfekt kvadrat $n$
Antal $e$ och även för någon rationell $e^{x}$ $x\neq 0$
$\ln x$ för något positivt rationellt $x\neq 1$
Antal $\pi$ och även för någon rationell $\pi ^{x}$ $x \ne 0$

Exempel på bevis på irrationalitet

Roten av 2

Antag motsatsen: det är rationellt , det vill säga det representeras som ett bråk , där är ett heltal och är ett naturligt tal . ${\sqrt {2}}$ ${\frac {m}{n}}$ $m$ $n$

Låt oss kvadrera den förmodade jämlikheten:

{\sqrt {2}}={\frac {m}{n}}\Rightarrow 2={\frac {m^{2}}{n^{2}}}\Rightarrow m^{2}=2n^ {2}

I den kanoniska expansionen av den vänstra sidan av jämlikheten kommer talet in i en jämn grad, och i expansionen - i en udda. Därför är jämlikhet omöjligt. Därför var det ursprungliga antagandet fel och är ett irrationellt tal. $2$ $2n^{2}$ $m^{2}=2n^{2}$ ${\sqrt {2}}$

Den binära logaritmen för talet 3

Antag motsatsen: det är rationellt , det vill säga det representeras som en bråkdel , där och är heltal . Sedan , och kan tas positivt. Sedan $\log _{2}3$ ${\frac {m}{n}}$ $m$ $n$ $\log _{2}3>0$ $m$ $n$

\log _{2}3={\frac {m}{n}}\Rightarrow m=n\log _{2}3\Rightarrow 2^{m}=2^{n\log _{2 }3}\Högerpil 2^{m}=3^{n}

Men jämn, och den högra sidan av den resulterande jämlikheten är udda. Vi får en motsägelse. $2^{m}$

e

Se avsnittet "Bevis på irrationalitet" i artikel "e" .

Historik

Antiken

Begreppet irrationella tal antogs implicit av indiska matematiker på 700-talet f.Kr., när Manawa (ca 750-690 f.Kr.) fann att kvadratrötterna av vissa naturliga tal, som 2 och 61, inte kunde uttryckas explicit. .

Det första beviset på existensen av irrationella tal, eller snarare förekomsten av inkommensurabla segment, tillskrivs vanligtvis den Pythagoras Hippasus av Metapontus (ungefär 470 f.Kr.) [8] . Det finns inga exakta uppgifter om irrationaliteten av vilket nummer som bevisades av Hippasus. Enligt legenden hittade han det när han studerade längderna på sidorna av pentagrammet [9] [10] . Därför är det rimligt att anta att detta var det gyllene snittet , eftersom detta är förhållandet mellan diagonalen och sidan i en vanlig femhörning.

Grekiska matematiker kallade detta förhållande mellan ojämförliga mängder alogos (outtryckliga), men enligt legenderna ägnade de inte vederbörlig respekt för Hippasus. Det finns en legend att Hippasus gjorde upptäckten när han var på en sjöresa och kastades överbord av andra pythagoraner "för att ha skapat ett element i universum, som förnekar läran att alla enheter i universum kan reduceras till heltal och deras förhållande. " Upptäckten av Hippasus utgjorde ett allvarligt problem för Pythagoras matematik och förstörde det underliggande antagandet att siffror och geometriska objekt är ett och oskiljaktigt.

Feodor Kirensky bevisade [11] irrationaliteten hos rötterna av naturliga tal upp till 17 (exklusive, naturligtvis, exakta kvadrater - 1, 4, 9 och 16), men stannade där, eftersom algebra som fanns tillgänglig i hans verktygslåda inte tillät bevisning irrationaliteten i kvadratroten av 17. Vad detta bevis kan ha varit har flera olika gissningar gjorts av matematikhistoriker. Enligt det mest troliga [12] förslaget från Jean Itard , baserades det på satsen att ett udda kvadrattal är delbart med åtta med en återstod av ett [13] .

Senare utvecklade Eudoxus av Cnidus (410 eller 408 f.Kr. - 355 eller 347 f.Kr.) en teori om proportioner som tog hänsyn till både rationella och irrationella samband. Detta fungerade som grunden för att förstå den grundläggande essensen av irrationella tal. Värdet började betraktas inte som ett tal, utan som en beteckning på enheter, såsom linjesegment, vinklar, ytor, volymer, tidsintervall - enheter som kan förändras kontinuerligt (i ordets moderna mening). Värden var motsatta siffror som bara kan ändras genom att "hoppa" från ett nummer till nästa, till exempel från 4 till 5 [14] . Tal är uppbyggda av den minsta odelbara kvantiteten, medan kvantiteter kan minskas i det oändliga.

Eftersom inget kvantitativt värde jämfördes med en kvantitet, kunde Eudoxus täcka både proportionerbara och inkommenserbara kvantiteter genom att definiera en fraktion som förhållandet mellan två kvantiteter och proportion som likheten mellan två fraktioner. Genom att ta bort kvantitativa värden (tal) från ekvationer undvek han fällan att behöva kalla en irrationell storhet för ett tal. Teorin om Eudoxus gjorde det möjligt för de grekiska matematikerna att göra otroliga framsteg inom geometrin, vilket gav dem den nödvändiga motiveringen för att arbeta med ojämförliga kvantiteter [15] . Den tionde boken " Begynnelser " av Euklid ägnas åt klassificeringen av irrationella storheter.

Medeltiden

Medeltiden präglades av antagandet av sådana begrepp som noll, negativa tal, heltal och bråktal, först av indiska, sedan av kinesiska matematiker. Senare anslöt sig arabiska matematiker, som var de första att betrakta negativa tal som algebraiska objekt (tillsammans med lika rättigheter med positiva tal), vilket möjliggjorde utvecklingen av den disciplin som nu kallas algebra.

Arabiska matematiker kombinerade de antika grekiska begreppen "tal" och "värde" till en enda, mer allmän idé om reella tal. De var kritiska till Euklids idéer om relationer, i motsats till den utvecklade de teorin om relationer av godtyckliga storheter och utvidgade begreppet tal till relationer av kontinuerliga storheter. I sina kommentarer till bok 10 av Euklids element undersökte och klassificerade den persiske matematikern al-Mahani (ca 800 e.Kr.) kvadratiska irrationella tal och de mer allmänna kubiska irrationella talen. Han gav en definition av rationella och irrationella storheter, som han kallade irrationella tal. Han opererade lätt på dessa föremål, men han resonerade som separata föremål, till exempel [16] :

Ett rationellt [värde] är till exempel 10, 12, 3%, 6% och så vidare, eftersom dessa värden uttalas och uttrycks kvantitativt. Det som inte är rationellt är irrationellt, och det är omöjligt att uttala eller kvantifiera motsvarande värde. Till exempel är kvadratrötterna av tal som 10, 15, 20 inte kvadrater.

I motsats till Euklids koncept att kvantiteter i första hand är linjesegment, ansåg Al Mahani heltal och bråk vara rationella storheter, och kvadrat- och kubrötter som irrationella. Han introducerade också ett aritmetiskt tillvägagångssätt för uppsättningen av irrationella tal, eftersom det var han som visade irrationaliteten hos följande kvantiteter [16] :

resultatet av att addera en irrationell storhet och en rationell, resultatet av att subtrahera en rationell storhet från en irrationell, resultatet av att subtrahera en irrationell kvantitet från en rationell.

Den egyptiske matematikern Abu Kamil (cirka 850 CE - ca 930 CE) var den första som fann det acceptabelt att känna igen irrationella tal som lösningar till andragradsekvationer eller som koefficienter i ekvationer - mestadels i form av kvadrat- eller kubikrötter, också som rötter av fjärde graden [17] . På 900-talet gav den irakiske matematikern Al-Hashimi allmänna bevis (snarare än visuella geometriska demonstrationer) av produktens irrationalitet, kvoten och resultaten av andra matematiska transformationer av irrationella och rationella tal [18] . Al-Khazin (900 CE - 971 CE) ger följande definition av rationell och irrationell kvantitet [19] :

Låt ett enstaka värde ingå i ett givet värde en eller flera gånger, då motsvarar detta [givna] värde ett heltal ... Varje värde som är hälften, eller en tredjedel, eller en fjärdedel av ett enda värde, eller, jämfört med ett enda värde, är tre femtedelar av det, detta rationella värde. Och i allmänhet är varje kvantitet som är relaterad till enheten som ett tal är till en annan rationell. Om värdet inte kan representeras som flera eller del (l / n), eller flera delar (m / n) av enhetslängd, är det irrationellt, det vill säga outsägligt förutom med hjälp av rötter.

Många av dessa idéer antogs senare av europeiska matematiker efter översättningen av arabiska texter till latin på 1100-talet. Al Hassar, en arabisk matematiker från Maghreb som specialiserat sig på islamiska arvslagar, introducerade modern symbolisk matematisk notation för bråk på 1100-talet, och skilde täljaren och nämnaren åt med en horisontell stapel [20] . Samma notation dök sedan upp i Fibonaccis verk på 1200-talet [21] . Under XIV-XVI århundradena. Madhava från Sangamagrama och representanter för Kerala School of Astronomy and Mathematics undersökte oändliga serier som konvergerade till vissa irrationella tal, till exempel till , och visade också irrationaliteten hos vissa värden för trigonometriska funktioner. Jestadeva rapporterade dessa resultat i boken Yuktibhaza. $\pi$

Ny tid

Under 1600- och 1700-talen var komplexa tal fast etablerade i matematiken , vars bidrag till studien gjordes av Abraham de Moivre (1667-1754) och Leonhard Euler (1707-1783). När teorin om komplexa tal på 1800-talet blev stängd och tydlig blev det möjligt att klassificera irrationella tal i algebraiska och transcendentala (samtidigt som man bevisade existensen av transcendentala tal), och därigenom tänka om Euklids arbete med klassificeringen av irrationella tal. Verk av Weierstrass , Heine , Cantor och Dedekind publicerades om detta ämne 1872 . Även om Meret redan 1869 påbörjade överväganden som liknade Heines verk, är det 1872 som anses vara födelseåret för teorin. Weierstrass-metoden förklarades fullständigt av Salvatore Pinkerle 1880 [22] , och Dedekind fick ytterligare berömmelse från författarens senare arbete (1888) och stödet av Paul Tannery (1894). Weierstrass, Cantor och Heine motiverade sina teorier med oändliga serier, medan Dedekind arbetade med (nu så kallade) Dedekind-sektioner av mängden reella tal, och delade alla rationella tal i två mängder med vissa karakteristiska egenskaper.

Fortsatta bråk , nära besläktade med irrationella tal (det fortsatta bråket som representerar ett givet tal är oändligt om och endast om talet är irrationellt), undersöktes först av Cataldi 1613, och väckte sedan igen uppmärksamhet i Eulers verk och i början XIX-talet - i Lagranges verk . Dirichlet gjorde också ett betydande bidrag till utvecklingen av teorin om fortsatta fraktioner. År 1761, med hjälp av fortsatta bråk, visade Lambert att det inte är ett rationellt tal, och även att och är irrationella för alla icke-nollrationella [23] . Även om Lamberts bevis kan kallas ofullständigt anses det i allmänhet vara ganska rigoröst, särskilt med tanke på den tid det skrevs. Legendre 1794, efter att ha introducerat Bessel-Clifford-funktionen , visade att irrationell, varav irrationalitet följer trivialt (ett rationellt tal i kvadrat skulle ge ett rationellt tal). $\pi$ $e^{x}$ $\operatörsnamn {tg}x$ $x$ $\pi ^{2}$ $\pi$

Existensen av transcendentala tal bevisades av Liouville 1844-1851. Senare visade Georg Cantor (1873) deras existens med en annan metod och bevisade att varje intervall i den reella serien innehåller oändligt många transcendentala tal. Charles Hermite bevisade 1873 att e är transcendent, och Ferdinand Lindemann 1882, baserat på detta resultat, visade transcendens . Lindemanns bevis förenklades sedan av Weierstrass 1885, förenklades ytterligare av David Hilbert 1893 och fördes slutligen till en nästan elementär nivå av Adolf Hurwitz och Paul Gordan [24] . $\pi$

Se även

Anteckningar

↑ Rationellt nummer // Stora ryska encyklopedin : [i 35 volymer] / kap. ed. Yu. S. Osipov . - M . : Great Russian Encyclopedia, 2004-2017.
↑ History, 1970 , volym 1, sid. 73.
↑ De 15 mest berömda transcendentala numren arkiverade 24 oktober 2007 på Wayback Machine . av Clifford A. Pickover . URL hämtad 24 oktober 2007.
↑ Irrationella siffror Arkiverade 29 augusti 2010 på Wayback Machine // mathsisfun.com; URL hämtad 24 oktober 2007.
↑ Weisstein, Eric W. Irrational Number på Wolfram MathWorld- webbplatsen . URL hämtad 26 oktober 2007.
↑ Kantor, Georg. Bidrag till grundandet av teorin om transfinita tal / Philip Jourdain. - New York: Dover, 1955. - ISBN 978-0-486-60045-1 .
↑ Ilyin, Sadovnichy, Sendov, 2006 , sid. 64.
↑ Kurt Von Fritz, 1945 .
↑ James R. Choike. Pentagrammet och upptäckten av ett irrationellt tal // The Two-Year College Mathematics Journal :tidskrift. — 1980.
↑ Kurt Von Fritz, 1945 , sid. 242-264.
↑ History, 1970 , T 1. Från antiken till början av den nya tiden, sid. 74.
↑ A. I. Shchetnikov. Hur antika grekiska matematiker bevisade irrationalitet. Arkiverad 4 mars 2016 på Wayback Machine
↑ Jean Itard. Les livres arithmétiques d'Euclide . — Paris: Hermann, 1961. Arkiverad 22 november 2015 på Wayback Machine
↑ Kline 1990, s.48.
↑ Kline 1990, s.49.
↑ 1 2 Matvievskaya, 1987 , sid. 253–277 [259].
↑ Jacques Sesiano, "Islamisk matematik", sid. 148, i Selin, Helaine; D'Ambrosio, Ubiratan. Mathematics Across Cultures: The History of Non-western Mathematics (engelska) . - Springer , 2000. - ISBN 1-4020-0260-2 . .
↑ Matvievskaya, 1987 , sid. 253–277 [260].
↑ Matvievskaya, 1987 , sid. 253–277 [261].
↑ Cajori, Florian (1928), A History of Mathematical Notations (Vol. 1) , La Salle, Illinois: The Open Court Publishing Company pg. 269.
↑ ( Cajori 1928 , sid. 89)
↑ Salvatore Pincherle. Saggio di una introduzione alla teoria delle funzioni analitiche secondo i principii del prof. C. Weierstrass (italienska) // Giornale di Matematiche: diario. - 1880. - S. 178-254,317-320 .
↑ JH Lambert. Mémoire sur quelques propriétés remarquables des quantités transcendentes, circulaires et logaritmiques (franska) // Mémoires de l'Académie royale des sciences de Berlin: magazine. - 1761. - S. 265-322 . Arkiverad från originalet den 28 april 2016.
↑ Gordon, Paul. Transcendenz von e und π // Mathematische Annalen . - Teubner, 1893. - T. 43 . - S. 222-224 . - doi : 10.1007/bf01443647 .

Litteratur

V. A. Ilyin , V. A. Sadovnichiy , Bl. H. Sendov . Kapitel 2. Reella tal//Matematisk analys/Ed. A.N. Tikhonova . -3:e uppl. , reviderad och ytterligare -M.: Prospekt, 2006. - T. 1. - 672 sid. —ISBN 5-482-00445-7.
Matematikens historia från antiken till början av 1800-talet. I tre volymer / ed. Jusjkevitj. — M .: Nauka, 1970.
Kline, M. (1990). Mathematical Thought from Ancient to Modern Times , Vol. 1. New York: Oxford University Press. (Originalverk publicerat 1972).
Matvievskaya, Galina. Theory of Quadratic Irrationals in Medieval Oriental Mathematics // Annals of the New York Academy of Sciences : journal. - 1987. - Vol. 500 . - doi : 10.1111/j.1749-6632.1987.tb37206.x .
Kurt von Fritz. The Discovery of Incommensurability by Hippasus of Metapontum (engelska) // The Annals of Mathematics : journal. — 1945.

Ordböcker och uppslagsverk	Stor dansk Stor katalanska Stor norsk Stor ryss Britannica (online)
I bibliografiska kataloger	GND : 4162426-9 J9U : 987007538749205171 LCCN : sh85093213 NKC : ph812800

Numeriska system
Räknebara set	Naturliga tal ( ) $\scriptstyle \mathbb {N}$ Heltal ( ) $\scriptstyle \mathbb {Z}$ Rationell ( ) $\scriptstyle \mathbb {Q}$ Algebraisk ( ) $\scriptstyle {\overline {\mathbb {Q} }}$ Perioder Beräknarbar Aritmetisk
Reella tal och deras anknytningar	Riktig ( ) $\scriptstyle \mathbb {R}$ Komplex ( ) $\scriptstyle \mathbb {C}$ Kvaternioner ( ) $\scriptstyle \mathbb {H}$ Cayley-tal (oktaver, oktonjoner) ( ) $\scriptstyle \mathbb {O}$ Sedenioner ( ) $\scriptstyle \mathbb {S}$ Ändringar Dubbel Hyperkomplex Superrealistiskt Hypermaterial surrealistiskt
Numeriska förlängningsverktyg	Cayley-Dixon procedur Frobenius teorem Hurwitz teorem
Andra nummersystem	grundtal Ordningstal (transfinita, ordningstal) p-adic Övernaturliga siffror intervallnummer
se även	dubbla siffror Irrationella siffror transcendentala tal nummerstråle Biquaternion

Irrationella siffror
Apéry konstant ( ζ(3) ) Erdős-Borwein konstant ( E ) Feigenbaums konstanter Sofomorisk dröm Primtalskonstant (ρ) Plastnummer (ρ) Logaritm av två (ln 2) 12:e roten av 2 ( 12 √ 2 ) Kvadratroten ur 2 ( √ 2 ) Kvadratroten ur 3 ( √ 3 ) Kvadratroten ur 5 ( √5 ) Gyllene snittet (φ) Supergyllene snitt (ψ) Silversektion ( δS ) e π Gelfond konstant ( e π ) Gelfond-Schneider konstant ( 2 √ 2 ) Invers Fibonacci-konstant (ψ)
transcendentala Trigonometrisk