Öppna problem i talteori

Talteorin är en gren av matematiken som främst sysslar med studier av naturliga tal och heltal och deras egenskaper, ofta med hjälp av kalkylmetoder och andra grenar av matematiken. Talteorin innehåller många problem, försök att lösa som har gjorts av matematiker i tiotals, och ibland till och med hundratals år, men som fortfarande är öppna. Följande är några av de mest ökända olösta problemen.

Hypoteser om primtal

Det starka Goldbach-problemet . Varje jämnt tal större än 2 kan representeras som summan av två primtal.
Riesels problem : Hitta det minsta udda talet så att talet är sammansatt för alla naturliga tal . $k<509203$ $k\cdot 2^{n}-1$ $n$
Sierpinskis problem : Att hitta den minsta udda naturliga så att antalet är sammansatt av alla naturliga . $k<78557$ $k\cdot 2^{n}+1$ $n$
Sierpinskis enkla problem : Att hitta den minsta udda primtal naturliga så att talet är sammansatt av alla naturliga . $k<271129$ $k\cdot 2^{n}+1$ $n$
Sierpinskis dubbla problem : att hitta den minsta udda naturliga så att antalet är sammansatt av alla naturliga . En relaterad fråga om primalitetstestet: om det finns en algoritm som gör att du snabbt (i polynomtid) kan ta reda på om ett tal är primtal (strängt taget, det vill säga inte pseudoprim), så finns det en primalitetstestalgoritm som är dubbel till det för nummer i formen ? Svaret på den sista frågan skulle låta oss veta om de fem stora möjligen enkla från uppgiften "Fem eller misslyckas" är enkla eller sammansatta. $k$ $2^{n}\pm k$ $n$ $k\cdot 2^{n}\pm 1$ $2^{n}\pm k$
Artins gissning att det finns oändligt många primtal modulo där ett givet heltal är en primitiv rot .
Legendres hypotes . För alla naturliga tal mellan och finns det minst ett primtal. $n$ $n^{2}$ $(n+1)^2$
Oppermanns hypotes . För alla naturliga tal mellan och finns det minst ett primtal, och mellan och finns det minst ett (annat) primtal. $n$ $n^{2}$ $n(n+1)$ $n(n+1)$ $(n+1)^2$
Andricas hypotes . Funktionen (där är det -: te primtalet) tar värden mindre än 1 för vilket n som helst. ${\displaystyle f(n)={\sqrt {p_{n+1))}-{\sqrt {p_{n))))$ $p_n$ $n$
Brokars hypotes . För alla naturliga tal mellan och (där är det: e primtalet) finns det minst fyra primtal. $n$ $p_{n}^{2}$ $p_{{n+1}}^{2}$ $p_n$ $n$
Firuzbekhts hypotes . Sekvensen är strikt avtagande (här är det -: e primtalet). $(p_{n})^{1/n}$ $p_n$ $n$
Polignacs hypotes . För alla jämna tal finns det oändligt många par av närliggande primtal, vars skillnad är lika med . $n$ $n$
Ago-Jugi hypotes : är det sant att om $\sum _{{i=1}}^{{p-1}}i^{{p-1}}=1^{{p-1}}+2^{{p-1}}+\cdots +(p-1)^{{p-1}}\equiv -1{\pmod p}$ , då är p primtal?
Är det sant att det för varje positivt irrationellt tal och vilket positivt tal som helst finns ett oändligt antal par av primtal som olikheten gäller ? [ett] $\theta$ $\epsilon$ $(p, q),$ $\left|\theta -{\frac {p}{q}}\right|<q^{{-2+\epsilon }}$
Konvergerar serien ? [2] Men om det konvergerar, så finns det säkert många tvillingprimtal . Detta följer av satsen om fördelningen av primtal och Leibniztestet $\sum _{{k=1}}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {k}{p_{k}}}$ .
Gilbraith-hypotesen . För alla naturliga tal börjar sekvensen av th-ordningens absoluta skillnader för en sekvens av primtal vid 1. 1:a ordningens absoluta skillnader är de absoluta magnituderna av skillnaderna mellan intilliggande primtal: 2: a ordningens skillnader är de absoluta magnituderna av skillnader mellan intilliggande element i sekvensen av absoluta skillnader av 1:a ordningen: etc. Hypotesen verifieras för alla n < 3,4×10 11 [3] $n$ $n$ $1,2,2,4,2,\prickar,$ $1,0,2,2,2,\prickar$
Bunyakovskiis gissning Om är ett integralvärde irreducerbart polynom och d är den största gemensamma divisorn av alla dess värden, då tar det integralvärdade polynomet oändligt många primtal. Landaus fjärde problem är ett särskilt fall av denna gissning för . $f(x)$ $f(x)/d$ $f(x)=x^{2}+1$
Dixons gissning Om är ett ändligt antal aritmetiska progressioner, så finns det oändligt många naturliga tal n så att för varje sådant n är alla r tal primtal samtidigt. Dessutom är det triviala fallet uteslutet från övervägande när det finns ett sådant primtal p att för varje n är minst ett tal en multipel av p . ${\displaystyle a_{1}n+b_{1},a_{2}n+b_{2}...,a_{r}n+b_{r))$ ${\displaystyle a_{1}n+b_{1},a_{2}n+b_{2}...,a_{r}n+b_{r))$ ${\displaystyle a_{j}n+b_{j))$
Elliot-Halberstam-förmodan och dess generalisering i teorin om primtal i moduler.
Är alla Fermat-tal sammansatta för n > 4?
Är alla Mersenne-tal med primtalsindex kvadratfria ?
Finns det dubbla Mersenne-tal med index n > 60?
Är talet M M 127 och följande termer i den katalanska-mersennesekvensen enkla?
Finns det några andra Wolstenholme-primtal än 16843 och 2124679 ?
En öppen fråga är oändligheten av antalet primtal i var och en av följande sekvenser [4] :

Efterföljd	namn
$2^{n}-1$	Mersenne-nummer
$n^{2}+1$	4:e Landau-problemet
$n^{2^{k}}+1$ , $k>0$	generalisering av Landau-problemet [5] .
$n\cdot 2^{n}+1$	Cullen-siffror
$n\cdot 2^{n}-1$	Woodall-nummer
$2^{{2^{n}}}+1$	Fermat-siffror
$F_{n}$	fibonacci-siffror
par $(n,\;n+2)$	enkla tvillingar
par $(n,\;2n+1)$	Sophie Germain primer
$n!\pm 1$	faktortal
$n\#\pm 1$	primtal
$k\cdot 2^{n}+1$ , är udda, $k$ $2^{n}>k$	Prot nummer

Finns det ett polynom , annat än ett linjärt, bland vars värden det finns oändligt många primtal? [6] $f(x)$
Varför är primtal ordnade i kedjor längs diagonalerna på Ulam-duken ? [6]
Är det sant att endast tre primtal, nämligen 5, 13 och 97, kan representeras i formen för något naturligt tal ? $2^{k}+3^{k}$ $k$

Hypoteser om perfekta tal

Det finns inga udda perfekta tal . [7]
Antalet perfekta tal är oändligt.

Gissningar om vänliga siffror

Det finns inga coprime- vänliga tal .
Alla par av vänskapsnummer har samma paritet.
Det finns oändligt många vänliga nummer.

Gaussiska tal

Hitta antalet gaussiska tal vars norm är mindre än en given naturlig konstant . I en likvärdig formulering är detta ämne känt som " Gaussisk cirkelproblem " i siffrors geometri [8] . Se sekvens A000328 i OEIS . $R$
Hitta linjer i det komplexa planet som innehåller oändligt många Gaussiska primtal. Två sådana linjer är uppenbara - dessa är koordinataxlarna; det är okänt om andra finns [9] .
Frågan känd som " Gaussiska diket ": är det möjligt att gå till oändligheten genom att gå från ett enkelt Gaussiskt tal till ett annat i hopp av en förutbestämd längd? Problemet uppstod 1962 och har ännu inte lösts [10] .

Diofantiska ekvationer

Har varje uppräknad uppsättning en enda diofantisk representation ? [elva]
Kan föreningen av två uppsättningar som var och en har en enda diofantrepresentation misslyckas med att ha en enda diofantrepresentation?
Har varje uppräknad mängd en diofantisk representation som en ekvation av grad 3 i alla variabler (parametrar och okända)?
Har varje uppräknad mängd en diofantisk representation som en ekvation av grad 3 i okända?
Vilket är det minsta antalet variabler som en universell diofantisk ekvation kan ha ? Vilken är den minsta graden den kan ha med så många variabler? Det minsta kända resultatet är 9 variabler. Den minsta kända potensen i ekvationen i 9 variabler överstiger [12] $10^{{45}}.$
Vilket är det minsta antalet variabler som en universell diofantisk ekvation av grad 4 kan ha? Minsta kända poäng är 58.
Finns det en universell diofantisk ekvation av grad 3? Om så är fallet, vad är det minsta antalet variabler den kan ha?
Vilket är det minsta antalet operationer (additioner, subtraktioner och multiplikationer) som en universell diofantisk ekvation kan ha? Det minsta kända resultatet är 100.
Är mängden lösningar för en diofantisk ekvation oändlig ? [elva] $9(u^{2}+7v^{2})^{2}-7(r^{2}+7s^{2})^{2}=2$
Förekomsten av en kuboid med tre heltalskanter och heltalsdiagonaler .
Förekomsten av en uppsättning av fem positiva heltal , produkten av två av vilka är en mindre än en exakt kvadrat.

Många olösta problem (till exempel Goldbach-problemet eller Riemann-hypotesen ) kan omformuleras som frågor om lösbarheten av diofantiska ekvationer av 4:e graden av någon speciell form, men en sådan omformulering gör oftast inte problemet lättare på grund av bristen av en allmän metod för att lösa diofantiska ekvationer [13] [11] .

Analytisk talteori

Riemanns hypotes (talteoretisk formulering). Är följande asymptotiska formel för fördelningen av primtal korrekt: $\pi (x)=\int \limits _{2}^{x}\!{\frac {dt}{\ln t))+O\left({\sqrt x}\ln x\right)?$
Det är känt att antalet punkter med positiva heltalskoordinater i ett område som begränsas av en hyperbel och positiva halvaxlar uttrycks av den asymptotiska formeln $xy=N$ $\Phi (N)=\summa _{{k=1}}^{N}\tau (k)=N\ln N+(2\gamma -1)N+O(N^{\theta }),$

där är antalet divisorer för talet k , är Euler-Mascheroni-konstanten , och kan väljas lika med . Det är dock inte känt vid vilket minimivärde denna formel kommer att förbli sann ( det är känt att det inte är mindre än Är det exakt samma ? Direkta beräkningar leder till denna gissning, eftersom det visar sig vara en nästan normalfördelning med varians 1 för x upp till 10 16 .

\tau(k)

\gamma

\theta

{\frac {131}{416}}.

\theta

{\frac {1}{4))

{\frac {1}{4))

\theta

{\displaystyle x^{\theta }/x^{1/4))

Cramers hypotes om klyftor mellan primtal : . $\max _{i\leq n}(p_{i+1}-p_{i})=O(\ln ^{2}p_{n})$
Avslappnad Mertens gissning : bevisa att Mertens-funktionen utvärderar till . Den avslappnade Mertens gissningen motsvarar Riemanns hypotes. $M(n)$ $M(n)=O(n^{1/2+\varepsilon })$
Den första Hardy-Littlewood gissningen är gissningen om distributionstätheten av tupler av primtal i formen , som särskilt anger att antalet sådana tupler är oändligt, utom i triviala fall. Denna gissning är en förfining av den enkla tvillingförmodan och är också ett specialfall av Dixons gissning. $(p,p+a_{2}...,p+a_{k})$
Den andra Hardy-Littlewood gissningen är gissningen om den logaritmiska egenskapen hos funktionen av antalet primtal : . Det är bevisat att båda Hardy-Littlewood-hypoteserna inte kan vara sanna samtidigt och högst en är sann [17] . $\pi (x+y)\leqslant \pi (x)+\pi (y)$
Singmasters hypotes . Beteckna med antalet gånger som ett naturligt tal större än ett förekommer i Pascals triangel . Singmaster visade det , vilket förbättrades ytterligare till . Är det starkare påståendet sant ? $N(a)$ $a$ $N(a)=O(\ln a)$ $N(a)=O(\ln a\cdot \ln \ln \ln a\cdot {\ln }^{{-3}}\ln a)$ $N(a)=O(1)$
Zarembas hypotes . För varje naturligt tal q finns det ett tal p så att i expansionen till en fortsatt bråkdel överstiger inte alla ofullständiga kvoter fem. 2011 bevisade Jean Bourgain och Alex Kontorovich att för fraktioner med ofullständiga kvoter begränsade till 50, är gissningen sann på en uppsättning av densitet 1 [18] . ${\frac pq}$

Ramsey teori

Värden av Ramsey-tal [19] . Endast de första siffrorna är kända med säkerhet. Till exempel är det inte känt vid vilket minimum N i någon grupp av N personer det kommer att finnas 5 personer som känner varandra i par, eller 5 personer som inte känner varandra i par - detta antal betecknas , det är bara känt det . $R(r,\;s)$ $R(5,\;5)$ $43\leqslant R(5,\;5)\leqslant 48$

$r,\;s$	ett	2	3	fyra	5	6	7	åtta	9	tio
ett	ett	ett	ett	ett	ett	ett	ett	ett	ett	ett
2	ett	2	3	fyra	5	6	7	åtta	9	tio
3	ett	3	6	9	fjorton	arton	23	28	36	[40, 42]
fyra	ett	fyra	9	arton	25	[36, 41]	[49, 61]	[59, 84]	[73, 115]	[92, 149]
5	ett	5	fjorton	25	[43, 48]	[58, 87]	[80, 143]	[101, 216]	[133, 316]	[149, 442]
6	ett	6	arton	[36, 41]	[58, 87]	[102, 165]	[115, 298]	[134, 495]	[183, 780]	[204, 1171]
7	ett	7	23	[49, 61]	[80, 143]	[115, 298]	[205, 540]	[217, 1031]	[252, 1713]	[292, 2826]
åtta	ett	åtta	28	[56, 84]	[101, 216]	[127, 495]	[217, 1031]	[282, 1870]	[329, 3583]	[343, 6090]
9	ett	9	36	[73, 115]	[133, 316]	[183, 780]	[252, 1713]	[329, 3583]	[565, 6588]	[580, 12677]
tio	ett	tio	[40, 42]	[92, 149]	[149, 442]	[179, 1171]	[289, 2826]	[343, 6090]	[581, 12677]	[798, 23556]

Betydelser av van der Waerden-siffror . För närvarande är värdena för endast 6 första siffror [20] kända , 178 och 1132.35,9,3,1: , där uttrycket för den övre gränsen använder tetration ) [ 21] . $\{1, 2, \dots, N\}$ $3704\leqslant N\leqslant {}^{8}2$

Andra frågor

Låta vara ett positivt tal så att och är heltal. Kan det inte vara ett heltal? $x$ $2^{x}$ $3^{x}$ $x$
Förekomsten av något överflödiga siffror .
Förekomsten av en cykel med tre följeslagare .
Finns det parvis distinkta naturliga tal så att ? [22] $a,\;b,\;c,\;d$ $a^{5}+b^{5}=c^{5}+d^{5}$
Finns det två olika Pythagoras trippel som har samma produkt? [23]
Beals hypotes . Om var är naturliga tal och , så har de en gemensam primtalsdelare . $A^x+B^y=C^z,$ $A,\;B,\;C,\;x,\;y,\;z$ $x,\;y,\;z>2$ $A,\;B,\;C$
Erdős hypotes . Om summan av reciproka för någon uppsättning naturliga tal divergerar, kan man i denna uppsättning hitta en godtyckligt lång aritmetisk progression .
Hur stor kan summan av ömsesidigheten vara i en följd av naturliga tal där inget element är lika med summan av flera andra distinkta element? (Erdos) [24]
Collatz gissning (3n+1 hypotes).
Jonglörhypotesen . Varje jonglörsekvens når 1 [25] . Jonglörsekvensen beskrivs med den rekursiva formeln: $a_{{k+1}}={\begin{cases}\left\lfloor a_{k}^{{1/2}}\right\rfloor ,&{\text{if}}\ a_{k}\ {\text{är jämnt));\\\\\vänster\lgolv a_{k}^{{3/2))\höger\rgolv,&{\text{if))\ a_{k}\ {\ text{är udda}}.\end{case}}$
Brokars problem . Har ekvationen lösningar i naturliga tal, förutom (4, 5), (5, 11) och (7, 71)? [26] $n!+1=m^{2}$
Tomaszewskis hypotes . Endast siffrorna 1, 6 och 120 är både triangulära och faktoriella [27] . I en alternativ formulering reducerar det till att lösa ekvationen i naturliga tal. $8\cdot n!+1=m^{2}$
Är uppsättningen av lösningar av ekvationen ändlig? För närvarande är endast 5 lösningar kända [28] . [29] [30] $2^{n}\equiv 3{\pmod n}?$
Är det sant att kvadraten på vilket rationellt tal som helst kan representeras som summan av de fjärde potenserna av fyra rationella tal?
Warings problem och dess generaliseringar:
- Finns det en ändlig uppsättning naturliga tal som inte kan representeras som summan av 6 kuber av icke-negativa heltal? [31] En liknande fråga uppstår för summan av 5 och 4 kuber, såväl som för många antal termer med potenser högre än 4.
- Hur exakt kan ett naturligt tal representeras som summan av kvadraterna av två heltal?
Problem 196 . Finns det några naturliga tal som, till följd av att "vänd och lägg till" upprepas, aldrig kommer att förvandlas till en palindrom ?
Är det möjligt att representera vilket heltal som helst som den (algebraiska) summan av fyra kuber? [32]
- inget bevis för detta påstående är känt;
- det finns inget känt exempel på ett tal som inte kan representeras på detta sätt.
Tre av Pollocks fyra gissningar om lockiga siffror .

Se även

Öppna matematiska problem - problem från andra grenar av matematiken

Anteckningar

↑ Matematisk utveckling som härrör från Hilbert-problem , s. 39
↑ Weisstein, Eric W. Prime Sums på Wolfram MathWorld- webbplatsen .
↑ Weisstein, Eric W. Gilbraiths gissning på Wolfram MathWorld .
↑ Weisstein, Eric W. Integer Sequence Primes på Wolfram MathWorld- webbplatsen .
↑ Stuart, 2015 , sid. 68.
↑ 1 2 Matiyasevich, Yu. V. Formler för primtal // Kvant. - 1975. - T. 1. - Nr. 5. - P. 8.
↑ Stuart, 2015 , sid. 404.
↑ Conway JH, Sloane NJA Sphere Packings, Lattices and Groups. — Springer-Verlag. — S. 106.
↑ Ribenboim, Paulo. The New Book of Prime Number Records, Ch.III.4.D Ch. 6.II, kap. 6.IV. — 3:e uppl. - New York: Springer, 1996. - ISBN 0-387-94457-5 .
↑ Guy Richard K. Olösta problem i talteorin. — 3:e uppl. - New York: Springer, 2004. - S. 55-57. - ISBN 978-0-387-20860-2 .
↑ 1 2 3 Yu. V. Matiyasevich . Övning 2.10 // Hilberts tionde uppgift . - M. : Nauka, 1993. - 223 sid. — (Matematisk logik och matematikens grunder; Nummer 26). — ISBN 502014326X .
↑ Jones JP Undecidable diophantine equations // Bull . amer. Matematik. soc. : journal. - 1980. - Vol. 3 . - s. 859-862 . - doi : 10.1090/S0273-0979-1980-14832-6 .
↑ Yuri Matiyasevich, Hilberts tionde problem: Vad gjordes och vad ska göras
↑ A. A. Bukhshtab. Talteori . - M . : Utbildning, 1966.
↑ I. M. Vinogradov. Analytisk talteori // Matematisk uppslagsverk. - Sovjetiskt uppslagsverk . - M. , 1977-1985. (ryska)
↑ Weisstein, Eric W. Dirichlet Divisor Problem (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .
↑ 447-tuppelberäkningar . Hämtad 12 augusti 2008. Arkiverad från originalet 28 december 2012. (obestämd)
↑ J. Bourgain, A. Kontorovich. Om Zarembas gissning .
↑ Stanisław Radziszowski. Small Ramsey Numbers (engelska) // The Electronic Journal of Combinatorics. - 2017. - 3 mars. — ISSN 1077-8926 . (revision 15)
↑ OEIS - sekvens A005346 _
↑ Weisstein , Eric W. Van der Waerden nummer på Wolfram MathWorld .
↑ Olöst problem 18: Finns det distinkta positiva heltal, a, b, c och, d så att a^5+b^5=c^5+d^5? Veckans olösta problem . MathPro Press.
↑ Weisstein, Eric W. Pythagoras trippel på Wolfram MathWorld- webbplatsen .
↑ Weisstein, Eric W. A -Sequence på Wolfram MathWorld -webbplatsen .
↑ Sekvenser A007320 , A094716 i OEIS
↑ Weisstein, Eric W. Brokards problem på Wolfram MathWorld .
↑ Sekvenser A000142 , A000217 i OEIS
↑ Weisstein, Eric W. Nummer 2 på Wolfram MathWorld- webbplatsen .
↑ 2^n mod n - OeisWiki
↑ https://web.archive.org/web/20120104074313/http://www.immortaltheory.com/NumberTheory/2nmodn.htm
↑ Weisstein, Eric W. Kubiknummer på Wolfram MathWorld- webbplatsen .
↑ Dmitrij Maksimov. Om summan av kvadrater och kuber // Vetenskap och liv . - 2020. - Nr 9 . - S. 85 . (ryska)

Litteratur

Ian Stewart . De största matematiska problemen. — M. : Alpina facklitteratur, 2015. — 460 sid. - ISBN 978-5-91671-318-3 .
Shanks, Daniel . Lösta och olösta problem i talteori. - 5:e upplagan - New York: AMS Chelsea, 2002. - ISBN 978-0-8218-2824-3 .

Länkar

Öppna Problem Garden
Öppna frågor: Matematik
The Open Problems Project
Öppna Math Problems i Google Directory
Videoklipp om olösta matematiska problem
http://unsolvedproblems.org/