Symmetri i matematik

Symmetri finns inte bara inom geometri , utan också inom andra områden av matematiken. Symmetri är ett slags invarians , egenskapen att vara oförändrad under vissa transformationer .

Låt ett strukturerat objekt X av något slag ges, symmetri är en kartläggning av objektet in i sig självt, vilket bevarar objektets struktur. Symmetri finns i en mängd olika former. Till exempel, om X är en mängd med ytterligare struktur, är symmetrin den bijektiva avbildningen av mängden på sig själv, vilket ger upphov till permutationsgrupper . Om objektet X är en uppsättning punkter på ett plan med dess metriska struktur, eller något annat metriskt utrymme, är symmetri en bijektion av mängden på sig själv som bevarar avståndet mellan valfritt punkterpar ( isometri ).

I allmänhet kommer alla strukturer i matematik att ha sin egen typ av symmetri, och många av dem ges i den här artikeln.

Symmetri i geometri

Symmetrier av elementär geometri (som reflektion och rotation) beskrivs i huvudartikeln om symmetri .

Abstrakt symmetri

Kleins synvinkel

Med varje typ av geometri associerade Felix Klein en underliggande symmetrigrupp . Hierarkin av geometrier representeras sedan av hierarkin av dessa grupper och hierarkin av deras invarianter . Till exempel är längder, vinklar och ytor bevarade i den euklidiska symmetrigruppen, medan endast infallsstrukturen och det dubbla förhållandet bevaras i mer allmänna projektiva transformationer . Begreppet parallellism , som finns bevarat i affin geometri , har ingen betydelse i projektiv geometri . Genom att separera symmetrigrupper från geometrier kan således samband mellan symmetrier fastställas på gruppnivå. Eftersom gruppen av affin geometri är en undergrupp av projektiv geometri, är varje föreställning om en invariant i projektiv geometri a priori meningsfull i affin geometri, vilket inte är sant i motsatt riktning. Lägger man till de symmetrier som krävs får man en starkare teori, men färre begrepp och satser (som blir djupare och mer generella).

Thurstons synvinkel

William Thurston introducerade en liknande version av symmetrier i geometri. Geometrimodellen är ett enkelt anslutet slät grenrör X tillsammans med en transitiv Lie grupp G- operation på X med kompakta stabilisatorer. Lie-gruppen kan betraktas som geometrins symmetrigrupp.

En geometrimodell sägs vara maximal om G är maximal bland grupper som verkar smidigt och transitivt på X med kompakta stabilisatorer, det vill säga om det är en maximal symmetrigrupp. Ibland ingår denna definition i definitionen av geometrimodellen.

En geometrisk struktur på ett grenrör M är en differentierbar morfism från M till X /Γ för någon geometrimodell X , där Γ är en diskret undergrupp av G som verkar fritt på X . Om ett givet grenrör tillåter en geometrisk struktur, så tillåter det en struktur vars modell är maximal.

En tredimensionell modell av en geometri X hänvisar till en geometriseringssats om den är maximal och om det finns minst ett grenrör med en geometrisk struktur på X . Thurston klassificerade 8 modeller av geometrier som uppfyller dessa villkor. Dessa symmetrier kallas ibland Thurston-geometrier . (Det finns också oändligt många modeller av kompakta stabilisatorgeometrier.)

Symmetrier av funktionsgrafer

Jämna och udda funktioner

Jämna funktioner

Låt f ( x ) vara en funktion av en reell variabel med reella värden. f är även om i domänen för f

f(x)=f(-x)

Geometriskt sett är grafen för en jämn funktion symmetrisk kring y -axeln , vilket betyder att den inte kommer att förändras när den reflekteras kring y -axeln .

Exempel på jämna funktioner är | | x | , x 2 , x 4 , cos ( x ) och cosh ( x ).

Udda funktioner

Låt återigen f ( x ) vara en funktion av en reell variabel med reella värden. f är udda om i domänen för f

-f(x)=f(-x)\,,

eller

f(x)+f(-x)=0\,.

Geometriskt har grafen för en udda funktion rotationssymmetri kring origo , i den meningen att grafen för funktionen inte ändras om den roteras 180 grader kring origo.

De udda funktionerna är x , x 3 , sin ( x ), sinh ( x ) och erf ( x ).

Integraler

Integralen för en udda funktion från − A till + A är noll (där A är finit och funktionen inte har några vertikala asymptoter mellan − A och A ).

Integralen för en jämn funktion från − A till + A är lika med två gånger integralen från 0 till + A (där A är finit och funktionen inte har några vertikala asymptoter mellan − A och A . Detta gäller även för oändligt A , men endast om integralen konvergerar).

Rader

Maclaurin-serien med en jämn funktion innehåller endast jämna potenser.
Maclaurin-serien för en udda funktion innehåller endast udda potenser.
Fourierserien för en periodisk jämn funktion innehåller endast cosinus .
Fourierserien för en periodisk udda funktion innehåller sinus .

Symmetri i linjär algebra

Symmetri av matriser

I linjär algebra är en symmetrisk matris en kvadratisk matris som inte förändras när den transponeras . Formellt är en matris A symmetrisk om

A=A^{\top }

och enligt definitionen av matrislikhet måste matrisernas dimensioner matcha, så att endast en kvadratisk matris kan vara symmetrisk.

Elementen i en symmetrisk matris är symmetriska kring huvuddiagonalen . Således, om elementen i matrisen är A = ( a ij ), så är a ij = a ji för alla index i och j .

Följande 3x3-matris är symmetrisk:

{\begin{bmatrix}1&7&3\\7&4&-5\\3&-5&6\end{bmatrix}}.

Varje kvadratisk diagonal matris är symmetrisk eftersom alla dess off-diagonala poster är lika med noll. Alla diagonala element i en skevsymmetrisk matris måste vara noll, eftersom de måste vara lika med deras negativa värde.

I linjär algebra representerar en verklig symmetrisk matris en självtillslutande operator över ett verkligt enhetligt utrymme . Motsvarande objekt för ett komplext enhetligt utrymme är en hermitisk matris med komplexa poster, som är lika med dess konjugerade hermitiska matris . I linjär algebra över komplexa tal betyder alltså en symmetrisk matris ofta en matris med reella element. Symmetriska matriser förekommer naturligt i olika applikationer och som regel har linjära algebrapaket dedikerade procedurer för dem.

Symmetri i abstrakt algebra

Symmetriska grupper

Den symmetriska gruppen S n på en ändlig uppsättning av n symboler är en grupp vars element är permutationer av n symboler och operationen i denna grupp är sammansättningen av sådana permutationer. Dessa operationer behandlas som bijektiva funktioner av uppsättningen symboler på sig själv. [1] . Från det faktum att det finns n ! ( n factorial ) av möjliga permutationer av en uppsättning av n symboler, följer det att gruppordningen (antal element) för den symmetriska gruppen S n är n !.

Symmetriska polynom

Ett symmetriskt polynom är ett polynom P ( X 1 , X 2 , …, X n ) i n variabler som inte ändras när dess variabler omarrangeras. Formellt är P ett symmetriskt polynom om vi, för någon permutation σ av index 1, 2, …, n , har P ( X σ(1) , X σ(2) , …, X σ( n ) ) = P ( X1 , X2 , … , Xn ) .

Symmetriska polynom uppstår naturligt när man studerar sambandet mellan rötterna av ett polynom i en variabel och dess koefficienter, eftersom koefficienterna kan uttryckas i termer av polynom i rötterna, och alla rötter spelar samma roll i dessa uttryck. Ur denna synvinkel är de grundläggande symmetriska polynomen de mest fundamentala symmetriska polynomen. Grundsatsen om symmetriska polynom säger att alla symmetriska polynom kan uttryckas i termer av grundläggande symmetriska polynom, vilket innebär att vilket symmetriskt polynomuttryck som helst över rötterna av ett normaliserat polynom kan representeras som ett polynomuttryck över koefficienterna polynom.

Exempel

För två variabler är X 1 , X 2 symmetriska polynom

$X_{1}^{3}+X_{2}^{3}-7$
$4X_{1}^{2}X_{2}^{2}+X_{1}^{3}X_{2}+X_{1}X_{2}^{3}+(X_{1}+X_ {2})^{4}$

För tre variabler X 1 , X 2 , X 3 kommer den att vara symmetrisk, till exempel,

${\displaystyle X_{1}X_{2}X_{3}-2X_{1}X_{2}-2X_{1}X_{3}-2X_{2}X_{3))$

Symmetriska tensorer

I matematik är en symmetrisk tensor en tensor som inte ändras när dess argument omarrangeras :

T(v_{1},v_{2},\dots ,v_{r})=T(v_{\sigma 1},v_{\sigma 2},\dots ,v_{\sigma r})

för varje permutation σ av indexen {1,2,..., r }. Man kan också representera en symmetrisk tensor med valens r as

T_{i_{1}i_{2}\dots i_{r}}=T_{i_{\sigma 1}i_{\sigma 2}\dots i_{\sigma r}}.

Utrymmet för symmetriska tensorer av valens r över ett ändligt dimensionellt utrymme är naturligt isomorft med det dubbla rummet av homogena polynom av grad r på V . Över ett fält med karakteristisk noll kan det graderade vektorrummet för alla symmetriska tensorer naturligt identifieras med den symmetriska algebra på V . Ett relaterat begrepp är den antisymmetriska tensorn, eller alternerande formen . Symmetriska tensorer är vanliga inom teknik , fysik och matematik .

Galois teori

Med tanke på ett polynom är det möjligt att vissa rötter är relaterade till olika algebraiska ekvationer . Till exempel kan det visa sig att för två rötter, säg, A och B , . Den centrala idén med Galois teori är det faktum att när rötterna omarrangeras fortsätter de att uppfylla alla dessa ekvationer. Det är viktigt att vi begränsar oss till algebraiska ekvationer vars koefficienter är rationella tal . Således studerar Galois teori symmetrier som ärvts från algebraiska ekvationer. $A^{2}+5B^{3}=7$

Automorfismer av algebraiska objekt

I allmän algebra är en automorfism en isomorfism av ett matematiskt objekt på sig själv. På sätt och vis är det alltså objektets symmetri och ett sätt att kartlägga objektet på sig självt samtidigt som den inre strukturen bibehålls. Uppsättningen av alla automorfismer hos ett objekt bildar en grupp som kallas automorfismgruppen . Det är, grovt sett, objektets symmetrigrupp .

Exempel

I mängdteorin är en godtycklig permutation av elementen i en mängd X en automorfism. Automorfismgruppen X kallas också för den symmetriska gruppen på X .
I elementär aritmetik , har mängden heltal Z , om den betraktas som en grupp genom addition, en enda icke-trivial automorfism - talets negativa värde. Om vi betraktar den som en ring , kommer den bara att ha en trivial automorfism. Generellt sett är negation en automorfism av vilken abelsk grupp som helst , men inte en ring eller ett fält.
En gruppautomorfism är en isomorfism av en grupp av en grupp på sig själv. Informellt är detta en permutation av gruppens element, där gruppens struktur förblir oförändrad. För vilken grupp G som helst finns det en naturlig grupphomomorfism G → Aut( G ) vars bild är den inre automorfismgruppen Inn( G ) och vars kärna är mitten av G . Således, om G har ett trivialt centrum, kan det bäddas in i sin egen automorfismgrupp [2] .
I linjär algebra är en endomorfism av ett vektorrum V en linjär operator V → V . En automorfism är en inverterbar linjär operator på V . Om vektorrummet är ändligt dimensionellt är en automorfism av gruppen V densamma som den fullständiga linjära gruppen GL( V ).
En fältautomorfism är en bijektiv homomorfism av ett fält på sig själv. När det gäller rationella tal ( Q ) och reella tal ( R ), finns det inga icke-triviala fältautomorfismer. Vissa delfält av R har icke-triviala automorfismer, som dock inte kan utökas till hela fältet R (eftersom de inte bevarar egenskapen hos ett tal att ha en kvadratrot i R ). När det gäller komplexa tal C , finns det en enda icke-trivial automorfism som tar R till R - konjugering av talet , men det finns också oändligt många ( otalligt ) "vilda" automorfismer (om valets axiom accepteras ). [3] Fältautomorfismer spelar en viktig roll i teorin om fältförlängningar , i synnerhet Galois-förlängningar . I fallet med Galois-förlängningar L / K kallas undergruppen av alla automorfismer av L som bevarar K punktvis för förlängningens Galois-grupp .

Symmetri i representationsteori

Symmetri i kvantmekanik: bosoner och fermioner

Inom kvantmekaniken har bosoner representationer som är symmetriska med avseende på permutation av operatorer, medan fermioner har antisymmetriska representationer.

Detta innebär Pauli-uteslutningsprincipen för fermioner. Faktum är att Pauli-uteslutningsprincipen med en enda vågfunktion av många partiklar motsvarar kravet på att vågfunktionen ska vara antisymmetrisk. Antisymmetrin för tillståndet för två partiklar representeras som summan av de tillstånd där en partikel är i tillståndet och den andra är i tillståndet : $\scriptstyle |x\rangle$ $\scriptstyle |y\rangle$

|\psi \rangle =\summa _{x,y}A(x,y)|x,y\rangle

och antisymmetri i utbyte av variabler innebär att A ( x , y ) = − A ( y , x ). Av detta följer att A ( x , x ) = 0, vilket är Pauli-undantaget. Påståendet förblir sant i alla baser, eftersom enhetsförändringar i basen håller antisymmetriska matriser antisymmetriska, även om kvantiteten A ( x , y ) strikt sett inte är en matris utan är en andra ordningens antisymmetrisk tensor .

Omvänt, om de diagonala elementen i A ( x , x ) är noll på någon bas , då komponenten av vågfunktionen

A(x,y)=\langle \psi |x,y\rangle =\langle \psi |(|x\rangle \ibland |y\rangle )

är nödvändigtvis antisymmetrisk. För att kontrollera detta, överväg elementet i matrisen

\langle \psi |((|x\rangle +|y\rangle )\otimes (|x\rangle +|y\rangle ))

Det är noll eftersom två partiklar har noll sannolikhet att vara i tillståndet samtidigt . Men detta är likvärdigt $\scriptstyle |x\rangle +|y\rangle$

\langle \psi |x,x\rangle +\langle \psi |x,y\rangle +\langle \psi |y,x\rangle +\langle \psi |y,y\rangle

Den första och sista termen på höger sida är diagonala element och är lika med noll, och den totala summan är lika med noll. Således, för elementen i matrisen för vågfunktionen,

\langle \psi |x,y\rangle +\langle \psi |y,x\rangle =0

eller

A(x,y)=-A(y,x)

Symmetri i mängdteori

Symmetrisk relation

Vi kallar en relation symmetrisk om varje gång den håller från A till B, gäller den också från B till A. Observera att symmetri inte är motsatsen till antisymmetri .

Symmetri i metriska utrymmen

Isometri i rymden

Isometri är en avståndsbevarande kartläggning av metriska utrymmen . Låt ett metriskt mellanrum, eller en mängd, och ett schema för att beräkna avståndet mellan elementen i mängden ges. En isometri är en transformation som mappar element till ett annat metriskt utrymme så att avståndet mellan elementen i det nya metriska utrymmet är lika med avståndet mellan element i det ursprungliga utrymmet. I tvådimensionellt eller tredimensionellt utrymme är två geometriska figurer kongruenta om de är förbundna med isometri - antingen genom rörelsen av en absolut stel kropp eller genom sammansättningen av rörelse och reflektion .

Symmetri av differentialekvationer

Symmetrin av differentialekvationer är en transformation som lämnar differentialekvationen oförändrad. Att känna till sådana symmetrier kan hjälpa till att lösa differentialekvationen.

Lie-symmetrin för ett system av differentialekvationer är en kontinuerlig symmetri av differentialekvationer. Kunskap om Lie symmetri kan hjälpa till att förenkla vanliga differentialekvationer genom att sänka ordningen . [fyra]

För vanliga differentialekvationer kan man genom att känna till en lämplig uppsättning Lie-symmetrier explicit erhålla de första integralerna, vilket omedelbart ger en lösning utan att integrera ekvationen.

Symmetrier kan hittas genom att lösa en kopplad uppsättning vanliga differentialekvationer. [4] Att lösa dessa ekvationer är ofta mycket lättare än att lösa det ursprungliga systemet med differentialekvationer.

Symmetri i sannolikhetsteori

I fallet med ett ändligt antal möjliga händelser ger symmetrin som tar hänsyn till permutationer (omnumrering) en diskret enhetlig fördelning .

I det fall då händelser representerar ett intervall av reella tal, motsvarar symmetrin som tar hänsyn till permutationer av delintervall av lika längd en kontinuerlig enhetlig fördelning .

I andra fall, som att "välja ett slumpmässigt heltal" eller "välja ett slumpmässigt reellt", finns det ingen symmetri i sannolikhetsfördelningen, vilket tillåter permutationer av tal eller intervall av samma längd. Andra acceptabla symmetrier leder inte till en viss fördelning, eller med andra ord, det finns ingen unik sannolikhetsfördelning som ger maximal symmetri.

Det finns en typ av endimensionell isometri som kan hålla sannolikhetsfördelningen oförändrad, det är en reflektion kring en punkt, till exempel noll.

En möjlig symmetri för slumpmässiga värden med positiv sannolikhet är den som gäller för logaritmer, det vill säga när händelsen och dess reciproka har samma fördelning. Denna symmetri leder dock inte till en bestämd sannolikhetsfördelning.

För en "slumpmässig punkt" i ett plan eller i rymden kan man välja ett centrum och överväga sannolikhetsfördelningens symmetri med avseende på en cirkel eller sfär.

Se även

Anteckningar

↑ Nathan Jacobson. Grundläggande algebra. - New York: WH FREEMAN AND COMPANY, 2009. - Vol. 1. - P. 31. - ISBN 0-7167-1480-9 (v1).
↑ PJ Pahl, R. Damrath. § 7.5.5 Automorfismer // Matematiska grunder för beräkningsteknik. - Springer, 2001. - S. 376. - ISBN 3-540-67995-2 .
↑ Paul B. Yale. Automorphisms of the Complex Numbers // Mathematics Magazine. - Maj 1966. - T. 39 , nr. 3 . — S. 135–141 . - doi : 10.2307/2689301 . — .
↑ 12 Peter J. Olver . Tillämpningar av lögngrupper på differentialekvationer. - New York: Springer Verlag, 1986. - ISBN 978-0-387-95000-6 .

Bibliografi

Hermann Weyl , Symmetri. Omtryck av 1952 års original. Princeton Science Library. Princeton University Press , Princeton, NJ, 1989. viii+168 s. ISBN 0-691-02374-3
Mark Ronan, Symmetry and the Monster , Oxford University Press , 2006. ISBN 978-0-19-280723-6 (Koncis introduktion för lekmannaläsare)
Marcus du Sautoy , Finding Moonshine: a Mathematicians Journey through Symmetry , Fourth Estate , 2009

Ordböcker och uppslagsverk	Stor ryss
I bibliografiska kataloger	J9U : 987007544712605171 LCCN : sh2006001303