Kärna (linjär algebra)

Kärnan i en linjär mappning är ett linjärt delrum av mappningsdomänen , vars varje element är mappat till en nollvektor [1] [2] . Nämligen, om en linjär mappning ges mellan två vektorutrymmen V och W , så är kärnan i mappningen L vektorrymden för alla element i utrymmet V så att , där anger nollvektorn från W [3] , eller mer formellt: $L\colon V\to W$ $\mathbf{v}$ $L(\mathbf {v} )=\mathbf {0}$ $\mathbf {0}$

\ker(L)=\left\{\mathbf {v} \in V\mid L(\mathbf {v} )=\mathbf {0} \right\}.

Egenskaper

Kärnan i kartan L är ett linjärt delrum av domänen V [4] . I en linjär mappning har två element av V samma bild i W om och endast om deras skillnad ligger i kärnan av L : $L\colon V\to W$

L(\mathbf {v} _{1})=L(\mathbf {v} _{2})\iff L(\mathbf {v} _{1}-\mathbf {v} _{2 })=\mathbf {0} .

Det följer av detta att bilden L är isomorf till kvotutrymmet för utrymmet V med avseende på kärnan:

\operatörsnamn {im} (L)\cong V/\ker(L).

I fallet där V är finitdimensionell , innebär detta rang- och defektsatsen :

\dim(\ker L)+\dim(\operatörsnamn {im} L)=\dim(V),

där vi med rang menar dimensionen på bilden av mappningen L , och med defekten , dimensionen av kärnan i mappningen L [5] .

Om V är ett pre-Hilbert-utrymme , kan kvotutrymmet identifieras med det ortogonala komplementet till V - utrymmet . Detta är en generalisering av de linjära operatorerna för radutrymmet eller matrissambilden. $V/ker(L)$ $ker(L)$

Applikation till moduler

Konceptet med en kärna är också vettigt för modulhomomorfismer , som är generaliseringar av vektorrum, där skalärer är element i en ring , inte ett fält . Omfattningen av en mappning är en modul med en kärna som bildar en undermodul . Här är begreppen rang och dimension av kärnan valfria.

I funktionsanalys

Om och är topologiska vektorrum och är ändlig-dimensionell, så är den linjära operatorn kontinuerlig om och endast om kärnan i kartläggningen är ett slutet delrum av rummet . $V$ $W$ $W$ $L\colon V\to W$ $L$ $V$

Representation som en matrismultiplikation

Betrakta en linjär mappning som representeras av en storleksmatris med koefficienter från fältet (vanligtvis från eller ), det vill säga arbetar på kolumnvektorer med element från fältet . Kärnan i denna linjära mappning är uppsättningen av lösningar till ekvationen , där den förstås som nollvektorn . Dimensionen på matriskärnan kallas för matrisens defekt . I form av operationer på uppsättningar , $A$ $m\ gånger n$ $K$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$ $\mathbf {x}$ $n$ $K$ $A\mathbf {x} =\mathbf {0}$ $\mathbf {0}$ $A$ $A$

\operatörsnamn {N} (A)=\operatörsnamn {Null} (A)=\operatörsnamn {ker} (A)=\left\{\mathbf {x} \in K^{n}|A\mathbf {x} =\mathbf {0} \right\}.

Matrisekvationen är ekvivalent med det homogena systemet av linjära ekvationer :

A\mathbf {x} =\mathbf {0} \;\;\Leftrightarrow \;\;\left\{{\begin{alignedat}{7}a_{11}x_{1}&&\;+ \;&&a_{12}x_{2}&&\;+\;\cdots \;+\;&&a_{1n}x_{n}&&\;=\;&&&0\\a_{21}x_{1}&&\ ;+\;&&a_{22}x_{2}&&\;+\;\cdots \;+\;&&a_{2n}x_{n}&&\;=\;&&&0\\\vdots \;\;\; &&&&\vdots \;\;\;&&&&\vdots \;\;\;&&&&&\;\vdots \\a_{m1}x_{1}&&\;+\;&&a_{m2}x_{2}&&\; +\;\cdots \;+\;&&a_{mn}x_{n}&&\;=\;&&&0{\text{.}}\\\end{alignedat}}\right.

Då är kärnan i matrisen densamma som lösningen på uppsättningen av homogena ekvationer ovan. $A$

Subspace Properties

Kärnan i en matris över ett fält är ett linjärt delrum . Det vill säga, kärnan i matrisen , set , har följande tre egenskaper: $m\ gånger n$ $A$ $K$ $K^n$ $A$ $\operatorname {Null} (A)$

$\operatorname {Null} (A)$ innehåller alltid en nollvektor eftersom . $A\mathbf {0} =\mathbf {0}$
Om och , då . Detta följer av den distributiva egenskapen för matrismultiplikation. $\mathbf {x} \in \operatörsnamn {Null} (A)$ $\mathbf {y} \in \operatörsnamn {Null} (A)$ $\mathbf {x} +\mathbf {y} \in \operatörsnamn {Null} (A)$
Om , a är en skalär , sedan sedan . $\mathbf {x} \in \operatörsnamn {Null} (A)$ $c$ $c\in K$ $c\mathbf {x} \in \operatörsnamn {Null} (A)$ $A(c\mathbf {x} )=c(A\mathbf {x} )=c\mathbf {0} =\mathbf {0}$

Radrymdsmatris

Produkten kan skrivas i termer av punktprodukten av vektorer enligt följande: $A\mathbf {x}$

A\mathbf {x} ={\begin{bmatrix}\mathbf {a} _{1}\cdot \mathbf {x} \\\mathbf {a} _{2}\cdot \mathbf {x} \\\vdots \\\mathbf {a} _{m}\cdot \mathbf {x} \end{bmatrix}}.

Här är raderna i matrisen . Detta innebär att tillhör matrisens kärna om och endast om vektorn är ortogonal (vinkelrät) mot var och en av matrisens radvektorer (eftersom ortogonalitet definieras som att den skalära produkten är lika med noll). ${\displaystyle \mathbf {a} _{1},\dots ,\mathbf {a} _{m))$ $A$ $\mathbf {x}$ $A$ $\mathbf {x}$ $A$

Radutrymmet , eller sambilden av matrisen , är det linjära spannet av matrisens radvektorer . Av ovanstående skäl är matriskärnan det ortogonala komplementet till radutrymmet. Det vill säga, en vektor ligger vid matriskärnan om och endast om den är vinkelrät mot någon vektor från matrisens radutrymme . $A$ $A$ $A$ $\mathbf {x}$ $A$ $A$

Dimensionen på radutrymmet i en matris kallas matrisens rang , och dimensionen på matriskärnan kallas matrisens defekt . Dessa kvantiteter är relaterade till rang- och defektsatsen $A$ $A$ $A$ $A$

\operatörsnamn {rank} (A)+\operatörsnamn {nullity} (A)=n.

[5]

Vänster nollutrymme (cokernel)

Det vänstra nollutrymmet eller kokkärnan i en matris består av alla vektorer så att , där betecknar transponeringen av matrisen. Det vänstra nollutrymmet i en matris är detsamma som kärnan i matrisen . Det vänstra nollutrymmet i en matris är ortogonalt mot matrisens kolumnutrymme och är dubbelt mot kokkärnan för den associerade linjära transformationen. Kärnan, radutrymmet, kolumnutrymmet och vänster nollutrymme i en matris är de fyra grundläggande delutrymmena som är associerade med en matris . $A$ $\mathbf {x}$ ${\displaystyle \mathbf {x} ^{T}A=\mathbf {0} ^{T))$ $T$ $A$ $A^{T}$ $A$ $A$ $A$ $A$

Inhomogena system av linjära ekvationer

Kärnan spelar också en viktig roll för att lösa icke-homogena system av linjära ekvationer:

A\mathbf {x} =\mathbf {b} \;\;\Leftrightarrow \;\;\left\{{\begin{alignedat}{7}a_{11}x_{1}&&\;+ \;&&a_{12}x_{2}&&\;+\;\cdots \;+\;&&a_{1n}x_{n}&&\;=\;&&&b_{1}\\a_{21}x_{1 }&&\;+\;&&a_{22}x_{2}&&\;+\;\cdots \;+\;&&a_{2n}x_{n}&&\;=\;&&&b_{2}\\\vdots \;\;\;&&&&\vdots \;\;\;&&&&\vdots \;\;\;&&&&&\;\vdots \\a_{m1}x_{1}&&\;+\;&&a_{m2}x_ {2}&&\;+\;\cdots \;+\;&&a_{mn}x_{n}&&\;=\;&&&b_{m}.\\\end{alignedat}}\right.

Låt vektorerna och vara lösningarna till ekvationen ovan $\mathbf {u}$ $\mathbf{v}$

A(\mathbf {u} -\mathbf {v} )=A\mathbf {u} -A\mathbf {v} =\mathbf {b} -\mathbf {b} =\mathbf {0} .

Sålunda ligger skillnaden mellan två systemlösningar i matrisens kärna . $A\mathbb {x} =\mathbb {b}$ $A$

Detta innebär att vilken lösning som helst av ekvationen kan uttryckas som summan av en fast lösning och något element i kärnan. Det vill säga uppsättningen av lösningar till ekvationen är $A\mathbf {x} =\mathbf {b}$ $\mathbf{v}$ $A\mathbf {x} =\mathbf {b}$

\left\{\mathbf {v} +\mathbf {x} \mid A\mathbf {v} =\mathbf {b} \land \mathbf {x} \in \operatörsnamn {Null} (A)\ höger\}.

Geometriskt betyder detta att uppsättningen av lösningar till ekvationen bildas genom parallell överföring av matriskärnan till vektorn . Se även Fredholm Alternativ . $A\mathbf {x} =\mathbf {b}$ $A$ $\mathbf{v}$

Illustration

Nedan är en enkel illustration av beräkning av kärnan i en matris (se Gaussisk beräkning nedan för en metod som är mer lämpad för mer komplexa beräkningar). Illustrationen berör också strängmellanrum och deras relation till kärnan.

Tänk på matrisen

A={\begin{bmatrix}2&3&5\\-4&2&3\end{bmatrix}}.

Kärnan i denna matris består av alla vektorer för vilka ${\displaystyle (x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3))$

{\begin{bmatrix}2&3&5\\-4&2&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0\\0 \end{bmatrix}},

som kan uttryckas som ett homogent system av linjära ekvationer för , och : $x$ $y$ $z$

{\begin{aligned}2x+3y+5z&=0,\\-4x+2y+3z&=0.\end{aligned))

Samma likheter kan skrivas i matrisform:

\left[{\begin{array}{ccc|c}2&3&5&0\\-4&2&3&0\end{array}}\right].

Med Gauss-metoden kan matrisen reduceras till:

\left[{\begin{array}{ccc|c}1&0&1/16&0\\0&1&13/8&0\end{array}}\right].

Omvandling av matrisen till ekvationer ger:

{\begin{aligned}x&=-{\frac {1}{16}}z\\y&=-{\frac {13}{8}}z.\end{aligned}}

Elementen i kärnan kan uttryckas i en parametrisk form enligt följande:

{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}=c{\begin{bmatrix}-1/16\\-13/8\\1\end{bmatrix}}\ quad ({\text{där))\quad c\in \mathbb {R} )

Eftersom det är en fri variabel som löper över alla reella tal, kan detta uttryck likvärdigt skrivas om som: $c$

{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}=c{\begin{bmatrix}-1\\-26\\16\end{bmatrix}}.

Matrisens kärna är exakt uppsättningen av lösningar till dessa ekvationer (i det här fallet linjen genom origo i ). Här utgör vektorn (−1,−26,16) T grunden för matrisens kärna . Matrisdefekten är 1. $A$ $\mathbb {R} ^{3}$ $A$ $A$

Följande prickprodukter är noll:

{\begin{bmatrix}2&3&5\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-1\\-26\\16\end{bmatrix}}=0\quad {\text{ och }}\quad {\begin{bmatrix}-4&2&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-1\\-26\\16\end{bmatrix}}=0\mathrm {,}

vilket visar att matrisens kärnvektorer är ortogonala mot varje radvektor i matrisen . $A$ $A$

Det linjära spannet för dessa två (linjärt oberoende) radvektorer är ett plan vinkelrätt mot vektorn . ${\displaystyle (-1,-26,16)^{T))$

Eftersom matrisens rang är 2, dimensionen på matriskärnan är 1 och matrisens dimension är 3, har vi en illustration av rang- och defektsatsen. $A$ $A$ $A$

Exempel

Om , då kärnan i avbildningen är uppsättningen av lösningar av det homogena systemet av linjära ekvationer . Som i illustrationen ovan, if är en operatör: ${\displaystyle L\colon \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n))$ $L$ $L$

L(x_{1},x_{2},x_{3})=(2x_{1}+3x_{2}+5x_{3},\;-4x_{1}+2x_{2}+ 3x_{3})

, då är kärnan för operatören L uppsättningen av lösningar för systemet

{\begin{alignedat}{7}2x_{1}&\;+\;&3x_{2}&\;+\;&5x_{3}&\;=\;&0\\-4x_{1} &\;+\;&2x_{2}&\;+\;&3x_{3}&\;=\;&0\end{alignedat}}

Låt beteckna vektorrummet för alla kontinuerliga reella funktioner på intervallet [0,1]. Låt oss definiera regeln $C[0,1]$ $L\colon C[0,1]\to \mathbb {R}$

L(f)=f(0,3){\text{.}}\,

Då består kärnan av L av alla funktioner för vilka .

f\in C[0,1]

f(0,3)=0

Låt vara vektorrummet för alla oändligt differentierbara funktioner och låt vara differentieringsoperatorn : $C^{\infty }(\mathbb {R} )$ $\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ $D\colon C^{\infty }(\mathbb {R} )\to C^{\infty }(\mathbb {R} )$

D(f)={\frac {df}{dx}}{\text{.}}

Då består kärnan av D av alla funktioner i , vars derivata är lika med noll, det vill säga av alla konstanta funktioner .

C^{\infty }(\mathbb {R} )

Låt vara den direkta produkten av ett oändligt antal kopior , och låt vara skiftoperatorn ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty ))$ $\mathbb {R}$ ${\displaystyle s\colon \mathbb {R} ^{\infty }\to \mathbb {R} ^{\infty ))$

s(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},\ldots )=(x_{2},x_{3},x_{4},\ldots ){\ text{.}}

Då kommer operatörens kärna att vara ett endimensionellt delrum som består av alla vektorer .

(x_{1},0,0,\dots )

If är ett pre-Hilbert-rum och är ett delrum, är den ortogonala projektionskärnan det ortogonala komplementet i . $V$ $W$ $V\to W$ $W$ $V$

Gauss beräkningar

Grunden för kärnan i en matris kan beräknas med den Gaussiska metoden .

För detta ändamål, givet en matris , konstruerar vi först en radförlängd matris , där är identitetsmatrisen . $m\ gånger n$ $A$ $\left[{\begin{array}{c}A\\\hline E\end{array}}\right],$ $E$ $n\ gånger n$

Om vi beräknar den kolumnstegade formen av matrisen med Gauss-metoden (eller någon annan lämplig metod), får vi matrisen . Grunden för matriskärnan består av icke-nollkolumner i matrisen så att motsvarande kolumner i matrisen a är noll . $\left[{\begin{array}{c}B\\\hline C\end{array}}\right].$ $A$ $C$ $B$

Faktum är att beräkningen kan stoppas så snart matrisen tar den kolumnstegade formen - resten av beräkningen består av att ändra grunden för vektorutrymmet som bildas av kolumnerna, vars topp är lika med noll.

Låt oss till exempel föreställa oss det

A=\left[{\begin{array}{cccccc}1&0&-3&0&2&-8\\0&1&5&0&-1&4\\0&0&0&1&7&-9\\0&0&0&0&0&0\end{array}}\,\right].

Sedan

{\displaystyle \left[{\begin{array}{c}A\\\hline E\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{cccccc}1&0&-3&0&2&-8\\ 0&1&5&0&-1&4\\\0&0&0&1&7&-9\\0&0&0&0&0&0\\\hline

Om vi reducerar den övre delen med hjälp av operationer på kolumner till en stegvis form får vi

{\displaystyle \left[{\begin{array}{c}B\\\hline C\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{cccccc}1&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0 \\0&0&0&0&0&0\\\hline 1&0&0&3&-2&8\\0&1&0&-5&1&-4\\0&0&0&1&0&0\\\0&0&1&0&-7&9\\0&0&0&0&1&0\\0&0&0&1}\end\{&0}.

De tre sista kolumnerna i matrisen är noll. Därför, de tre sista vektorerna i matrisen , $B$ $C$

\left[\!\!{\begin{array}{r}3\\-5\\1\\0\\\0\\0\end{array}}\right],\;\left [\!\!{\begin{array}{r}-2\\1\\0\\-7\\1\\0\end{array}}\höger],\;\left[\!\ !{\begin{array}{r}8\\-4\\0\\9\\0\\1\end{array}}\right]

är grunden för matriskärnan . $A$

Bevis på att metoden beräknar en kärna: eftersom kolumnoperationer motsvarar högermultiplikation med en inverterbar matris, innebär det faktum att det reducerar till att det finns en inverterbar matris som har en stegform . Då och kolumnvektor tillhör kärnan i matrisen (dvs. ) om och endast om var Eftersom den har en stegad form, om och endast om element som inte är noll motsvarar nollkolumner i matrisen Efter multiplikation med kan vi dra slutsatsen att detta händer om och endast när är en linjär kombination av motsvarande kolumner i matrisen $\left[{\begin{array}{c}A\\\hline E\end{array}}\right]$ $\left[{\begin{array}{c}B\\\hline C\end{array}}\right]$ $P$ $\left[{\begin{array}{c}A\\\hline E\end{array}}\right]P=\left[{\begin{array}{c}B\\\hline C \end{array}}\right],$ $B$ $AP=B,$ $IP=C,$ $AC=B.$ $v$ $A$ $Av=0$ $Bw=0,$ $w=P^{-1}v=C^{-1}v.$ $B$ $Bw=0$ $w$ $b.$ $C$ $v=cw$ $C.$

Numeriska beräkningar

Uppgiften att beräkna kärnan på en dator beror på koefficienternas karaktär.

Exakta odds

Om koefficienterna för en matris anges som exakta tal, kan stegformen för matrisen beräknas med Bareis-algoritmen , som är mer effektiv än Gauss-metoden. Ännu effektivare är användningen av modulo-jämförelse och den kinesiska restsatsen , som reducerar problemet till flera liknande problem över ändliga fält (vilket minskar overheaden som genereras av heltalsmultiplikationens icke-linjära beräkningskomplexitet ).

För koefficienter från ett ändligt fält fungerar Gauss-metoden bra, men för stora matriser som sker i kryptografi och vid beräkning av Gröbnerbasen är bättre algoritmer kända som har nästan samma beräkningskomplexitet , men som är snabbare och mer lämpade för moderna datorenheter .

Flyttalsberäkningar

För matriser vars element är flyttal , är uppgiften att beräkna kärnan meningsfull endast för matriser vars antal rader är lika med dess rang - på grund av avrundningsfel har flyttalsmatriser nästan alltid full rang , till och med när de är en approximation av en matris av många lägre rang. Även för en matris med full rang kan dess kärna endast beräknas när den är välkonditionerad , det vill säga den har ett lågt villkorsnummer [6] .

Och för en välkonditionerad full-rank matris fungerar inte Gauss-metoden korrekt: avrundningsfelen är för stora för att få ett meningsfullt resultat. Eftersom beräkningen av matriskärnan är ett specialfall för att lösa ett homogent system av linjära ekvationer, kan kärnan beräknas med vilken algoritm som helst som är utformad för att lösa homogena system. Den avancerade programvaran för detta ändamål är Lapack- biblioteket .

Se även

Anteckningar

↑ Den definitiva ordlistan för högre matematisk jargong - Null . Math Vault (1 augusti 2019). Hämtad: 9 december 2019. (obestämd)
↑ Weisstein, Eric W. Kernel . mathworld.wolfram.com . Hämtad: 9 december 2019. (obestämd)
↑ Kärna (Nullspace) | Briljant Math & Science Wiki . brilliant.org . Hämtad: 9 december 2019. (obestämd)
↑ Linjär algebra som diskuteras i den här artikeln är en väletablerad matematisk disciplin som många böcker kan hittas för. Nästan hela materialet i artikeln finns i föreläsningar av Lay ( Lay, 2005 ), Meyer ( Meyer, 2001 ) och Strang.
↑ 1 2 Weisstein, Eric W. Rank-Nullity Theorem . mathworld.wolfram.com . Hämtad: 9 december 2019. (obestämd)
↑ Arkiverad kopia . Hämtad 14 april 2015. Arkiverad från originalet 29 augusti 2017. (obestämd)

Litteratur

Sheldon Jay Axler. Linjär algebra gjort rätt. — 2:a. - Springer-Verlag, 1997. - ISBN 0-387-98259-0 .
Gilbert Strang. Linjär algebra och dess tillämpning. - Moskva: Mir, 1980.
David C Lay. Linjär algebra och dess tillämpningar. — 3:a. - Addison Wesley, 2005. - ISBN 978-0-321-28713-7 .
Carl D Meyer. Matrisanalys och tillämpad linjär algebra. - Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), 2001. - ISBN 978-0-89871-454-8 .
David Poole. Linjär algebra: en modern introduktion. — 2:a. — Brooks/Cole, 2006. — ISBN 0-534-99845-3 .
Howard Anthony. Elementär linjär algebra (applikationsversion). — 9:e. — Wiley International, 2005.
Steven J. Leon. Linjär algebra med applikationer . — 7:a. — Pearson Prentice Hall, 2006.
Serge Lang . Linjär algebra. - Springer, 1987. - ISBN 9780387964126 .
Lloyd N. Trefethen, David III Bau. Numerisk linjär algebra . - SIAM, 1997. - ISBN 978-0-89871-361-9 .

Länkar

Hazewinkel, Michiel, red. (2001), Kernel of a matrix , Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4
Khan Academy , Introduktion till nollutrymmet i en matris

Vektorer och matriser

Vektorer

Grundläggande koncept	Vektor i geometri Grund Ortogonal grund Vektorkoordinater Kolinearitet Ortogonalitet Linjärt beroende Kolumnutrymme
Typer av vektorer	Enhet vektor Axiell vektor isotrop vektor Vanligt Kolinearitet Noll vektor Radie vektor Egenvektor
Operationer på vektorer	Skalär produkt vektor produkt blandad produkt Pseudoskalär produkt Dubbelkorsprodukt
Utrymmestyper	vektor utrymme affint utrymme Euklidiskt utrymme Pseudo-euklidiskt utrymme Normerat utrymme Minkowski utrymme

matriser

Grundläggande koncept	Matrismultiplikation Transponerad matris Hermitisk konjugatmatris Symmetrisk matris invers matris Eget värde Karakteristiskt polynom för en matris
Specialmatriser	Identitetsmatris Noll matris Diagonal matris lambda matris
Matrisnedbrytningar	LU-nedbrytning Cholesky nedbrytning QR-sönderdelning LUP-nedbrytning singulärvärdesfaktorisering Spektral nedbrytning av en matris

Övrig