Logaritm

Logaritmen för ett tal till basen $b$ $a$ (från annan grekisk λόγος , "kvot" + ἀριθμός "tal" [1] ) definieras [2] som en indikator på i vilken grad basen måste höjas för att få talet . Notation: , uttalas: " baslogaritm " . $a$ $b$ $\log _{a}b$ $b$ $a$

Det följer av definitionen att fynd är ekvivalent med att lösa ekvationen . Till exempel för att . $x=\log _{a}b$ $a^{x}=b$ $\log _{2}8=3$ $2^{3}=8$

Beräkningen av logaritmen kallas logaritmen . Tal är oftast reella , men det finns också teorin om komplexa logaritmer . $a,b$

Logaritmer har unika egenskaper som har bestämt deras utbredda användning för att avsevärt förenkla tidskrävande beräkningar [3] . I övergången ”till logaritmernas värld” ersätts multiplikation med en mycket enklare addition, division med subtraktion, och exponentiering respektive rotextraktion omvandlas till multiplikation och division med en exponent. Laplace sa att uppfinningen av logaritmer, "att minska astronomens arbete, fördubblade hans liv" [4] .

Definitionen av logaritmer och en tabell över deras värden (för trigonometriska funktioner ) publicerades först 1614 av den skotske matematikern John Napier . Logaritmiska tabeller, utökade och förfinade av andra matematiker, användes i stor utsträckning för vetenskapliga och tekniska beräkningar i mer än tre århundraden, tills elektroniska miniräknare och datorer dök upp.

Med tiden visade det sig att den logaritmiska funktionen också är oumbärlig inom många andra områden av mänsklig aktivitet: att lösa differentialekvationer , klassificera värdena för kvantiteter (till exempel ljudets frekvens och intensitet ), approximera olika beroenden, information teori , sannolikhetsteori , etc. Denna funktion hänvisar till antal elementära , det är omvänt med avseende på exponentialfunktionen . De vanligaste är de reella logaritmerna med baser ( binär ), Eulertalet e ( naturlig ) och ( decimallogaritm ). $y=\log _{a}x$ $2$ $tio$

Verklig logaritm

Logaritmen för ett reellt tal är per definition en lösning på ekvationen . Fallet är inte av intresse, eftersom då för denna ekvation har ingen lösning, och för vilket tal är en lösning; i båda fallen är logaritmen inte definierad. På samma sätt drar vi slutsatsen att logaritmen inte existerar för noll eller negativ ; dessutom är värdet på exponentialfunktionen alltid positivt, så fallet negativ bör också uteslutas . Till slut får vi [5] : $x=\log _{a}b$ $a^{x}=b$ $a=1$ $b\neq 1$ $b=1$ $a$ $a^{x}$ $b$

Den verkliga logaritmen är vettig när $\log _{a}b$ $a>0,a\neq 1,b>0$

Som du vet existerar exponentialfunktionen (under de angivna villkoren för ), är monoton och varje värde tar bara en gång, och intervallet för dess värden innehåller alla positiva reella tal [6] . Detta innebär att värdet av den reella logaritmen för ett positivt tal alltid existerar och är unikt bestämt. ${\displaystyle y=a^{x))$ $a$

De mest använda är följande typer av logaritmer:

Naturlig : eller , bas: Eulernummer ( e ); $\log _{e}\,b$ $\ln\,b$
Decimal : eller , bas: tal ; $\log _{10}\,b$ $\lg \,b$ $tio$
Binär : eller , bas: . De används till exempel i informationsteori , datavetenskap och i många grenar av diskret matematik . $\log _{2}\,b$ $\operatörsnamn {lb} \,b$ $2$

Egenskaper

Grundläggande logaritmisk identitet

Den grundläggande logaritmiska identiteten följer av definitionen av logaritmen [7] :

a^{\log _{a}b}=b

Följd: från likheten mellan två reella logaritmer följer likheten mellan logaritmuttrycken. Faktum är att om , då , varifrån, enligt huvudidentiteten: . $\log _{a}b=\log _{a}c$ ${\displaystyle a^{\log _{a}b}=a^{\log _{a}c))$ $b=c$

Logaritmer av enhet och bastal

Två likheter, uppenbara från definitionen av logaritmen:

\log _{a}1=0;\;\log _{a}a=1.

Logaritm för kvotprodukten, graden och roten

Här är en sammanfattning av formlerna, förutsatt att alla värden är positiva [8] :

	Formel	Exempel	Bevis
Arbete	$\log _{a}(xy)=\log _{a}(x)+\log _{a}(y)$	$\log _{3}(243)=\log _{3}(9\cdot 27)=\log _{3}(9)+\log _{3}(27)=2+3= 5$
Delningskvoten	$\log _{a}\!\left({\frac {x}{y}}\right)=\log _{a}(x)-\log _{a}(y)$	$\lg \left({\frac {1}{1000}}\right)=\lg(1)-\lg(1000)=0-3=-3$
Grad	$\log _{a}(x^{p})=p\log _{a}(x)$	$\log _{2}(64)=\log _{2}(2^{6})=6\log _{2}(2)=6$	Bevis $\log _{a}{x^{p}}=y$ ${\displaystyle a^{y}=x^{p))$ $a^{\frac {y}{p}}=x$ $log_{a}{x}={\frac {y}{p))$ $p\cdot log_{a}{x}=y$
Grad vid basen	$\log _{(a^{p})}(x)={\frac {1}{p))\log _{a}(x)={\frac {\log _{a}( x)}{p}}$	$\log _{2^{10}}{\sin {\left({\frac {\pi}{6}}\right)))={\frac {\log _{2}{\frac {1}{2}}}{10}}=-{\frac {1}{10}}=-0{,}1$	Bevis $\log _{a^{p}}{x}=y$ $a^{y\cdot p}=x$ $log_{a}{x}=p\cdot y$ ${\frac {log_{a}{x}}{p}}=y$
Rot	$\log _{a}{\sqrt[{p}]{x}}={\frac {1}{p}}\log _{a}(x)={\frac {\log _{ a}(x)}{p}}$	$\lg {\sqrt {1000}}={\frac {1}{2}}\lg 1000={\frac {3}{2}}=1{,}5$	Bevis $\log _{a}{\sqrt[{p}]{x}}=y$ $a^{y}={\sqrt[{p}]{x))$ $a^{p\cdot y}=x$ $log_{a}{x}=p\cdot y$ ${\frac {log_{a}{x}}{p}}=y$
Rot vid basen	$\log _{\sqrt[{p}]{a}}(x)=p\log _{a}(x)$	$\log _{\sqrt {\pi }}{(4\cdot \operatörsnamn {arctg} {1})}=2\cdot \log _{\pi }{\left(4\cdot {\frac {\pi }{4}}\right)}=2\cdot \log _{\pi }{(\pi )}=2$	Bevis $\log _{\sqrt[{p}]{a}}{x}=y$ $a^{\frac {y}{p}}=x$ ${\displaystyle a^{y}=x^{p))$ $a^{\frac {y}{p}}=x$ $log_{a}{x}={\frac {y}{p))$ $p\cdot log_{a}{x}=y$

Det finns en uppenbar generalisering av ovanstående formler till fallet när negativa värden på variabler är tillåtna, till exempel:

\log _{a}|xy|=\log _{a}|x|+\log _{a}|y|

\log _{a}\!\left|{\frac {x}{y}}\right|=\log _{a}|x|-\log _{a}|y|

Formler för produktens logaritm kan lätt generaliseras till ett godtyckligt antal faktorer:

\log _{a}(x_{1}x_{2}\dots x_{n})=\log _{a}(x_{1})+\log _{a}(x_{2})+\ prickar +\log _{a}(x_{n})

\log _{a}|x_{1}x_{2}\dots x_{n}|=\log _{a}|x_{1}|+\log _{a}|x_{2}|+\ prickar +\log _{a}|x_{n}|

Ovanstående egenskaper förklarar varför användningen av logaritmer (före uppfinningen av miniräknare) avsevärt underlättade beräkningar. Till exempel utfördes multiplikationen av flervärdiga tal med logaritmiska tabeller enligt följande algoritm: $x,y$

hitta logaritmer för tal i tabeller ; $x,y$
lägg till dessa logaritmer och erhåll (enligt den första egenskapen) produktens logaritm ; $x\cdot y$
genom produktens logaritm, hitta själva produkten i tabellerna.

Division, som utan hjälp av logaritmer är mycket mer mödosam än multiplikation, utfördes enligt samma algoritm, endast med tillägg av logaritmer ersatta av subtraktion. På liknande sätt förenklades exponentiering och rotextraktion .

Ersätter basen för logaritmen

Logaritmen till basen kan konverteras [5] till logaritmen till en annan bas : $\log _{a}b$ $a$ $c$

\log _{a}b={\frac {\log _{c}b}{\log _{c}a))

Konsekvens (när ) är en permutation av basen och logaritmuttrycket: $b=c$

\log _{a}b={\frac {1}{\log _{b}a}}

Se logaritmavsnittet för ett exempel på en sådan permutation .

Koefficienten i basersättningsformeln kallas övergångsmodulen från en bas till en annan [9] . ${\frac {1}{\log _{c}a}}=\log _{a}c$

Ojämlikheter

Värdet på logaritmen är positivt om och endast om talen ligger på samma sida av en (det vill säga antingen båda är större än en eller båda är mindre). Om de ligger på motsatta sidor av enheten är logaritmen negativ [10] . $\log _{a}{b}$ $a,b$ $a,b$

Eventuell olikhet för positiva tal kan logaritmiseras. I det här fallet, om basen för logaritmen är större än ett, så bevaras olikhetstecknet, och om basen är mindre än ett, är olikhetstecknet omvänt [10] .

Andra identiteter och egenskaper

Om uttrycken för basen av logaritmen och för logaritmuttrycket innehåller exponentiering, kan följande identitet användas för enkelhetens skull:

{\log _{a^{q}}{b}}^{p}={\frac {p}{q}}\log _{a}{b}

Denna identitet erhålls omedelbart om, i logaritmen till vänster, basen ersätts med enligt ovanstående basändringsformel. Konsekvenser: $a^{q}$ $a$

\log _{a^{k}}b={\frac {1}{k}}\log _{a}b;\quad \log _{\sqrt[{n}]{a}}b=n \log _{a}b;\quad \log _{a^{k}}b^{k}=\log _{a}b

En annan användbar identitet:

c^{\log _{a}b}=b^{\log _{a}c}

För att bevisa det noterar vi att logaritmerna på vänster och höger sida sammanfaller i bas (lika ), och sedan, enligt följden från den logaritmiska huvudidentiteten, är vänster och höger sida identiskt lika. Om vi tar logaritmen för den tidigare identiteten i en godtycklig bas får vi en annan "basutbytes"-identitet: $a$ $\log _{a}b\cdot \log _{a}c$ $d,$

\log _{a}b\cdot \log _{d}c=\log _{d}b\cdot \log _{a}c

Logaritmisk funktion

Nyckelfunktioner

Om vi betraktar ett logaritmiskt tal som en variabel får vi en logaritmisk funktion . Den definieras vid . Värdeintervall: . Denna kurva kallas ofta logaritmen [11] . Från formeln för att ändra basen för logaritmen kan det ses att graferna för logaritmiska funktioner med olika baser större än en skiljer sig från varandra endast genom skalan längs axeln ; grafer för baser mindre än en är deras spegelbild kring den horisontella axeln. $y=\log _{a}x$ $a>0;\ a\neq 1;x>0$ $E(y)=(-\infty ;+\infty )$ $y$

Det följer av definitionen att det logaritmiska beroendet är en invers funktion för exponentialfunktionen , därför är deras grafer symmetriska med avseende på bisektrisen av den första och tredje kvadranten (se figur). Liksom exponentialen tillhör den logaritmiska funktionen kategorin transcendentala funktioner . ${\displaystyle y=a^{x))$

Funktionen ökar strikt för (se diagram nedan) och minskar strikt för . Grafen för en logaritmisk funktion går genom punkten . Funktionen är kontinuerlig och gränslöst differentierbar överallt inom dess definitionsdomän. $a>1$ $0<a<1$ $(1;0)$

Y- axeln ( ) är den vertikala asymptoten eftersom: $x=0$

\lim _{x\to 0+0}\log _{a}x=-\infty

vid ;

a>1

\lim _{x\to 0+0}\log _{a}x=+\infty

kl .

0<a<1

Derivatan av den logaritmiska funktionen är:

{\frac {d}{dx}}\log _{a}x={\frac {1}{x\cdot \ln a}}

Ur algebras synvinkel implementerar den logaritmiska funktionen den (enda möjliga) isomorfismen mellan den multiplikativa gruppen av positiva reella tal och den additiva gruppen av alla reella tal. Med andra ord, den logaritmiska funktionen är den enda (definierad för alla positiva värden av argumentet) kontinuerliga lösningen av den funktionella ekvationen [12] :

f(xy)=f(x)+f(y)

Naturlig logaritm

Från ovanstående allmänna derivatformel för den naturliga logaritmen får vi ett särskilt enkelt resultat:

{\frac {d}{dx}}\ln x={\frac {1}{x}}

Av denna anledning används naturliga logaritmer främst inom matematisk forskning. De dyker ofta upp när man löser differentialekvationer , studerar statistiska beroenden (till exempel fördelningen av primtal ), etc.

Efter att ha integrerat formeln för derivatan i intervallet från till får vi: $x=1$ $x=b$

\ln b=\int \limits _{1}^{b}{\frac {dx}{x}}

Med andra ord är den naturliga logaritmen lika med arean under hyperbeln för det angivna x -intervallet . $y={\frac {1}{x}}$

Den obestämda integralen av den naturliga logaritmen är lätt att hitta genom integrering av delar :

\int {\ln x\,\mathrm {d} x}=x\ln x-x+C

I matematisk analys och teorin om differentialekvationer spelar begreppet logaritmisk derivata av en funktion en viktig roll : $f(x)$

{\frac {d}{dx}}\ln(f(x))={\frac {f'(x)}{f(x)))

Serieexpansion och beräkning av den naturliga logaritmen

Vi utökar den naturliga logaritmen i en Taylor-serie nära enhet:

\ln(1+x)=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}} {4}}+\prickar

(rad 1)

Denna serie, kallad " Mercator -serien", konvergerar vid . Särskilt: $-1<x\leqslant 1$

\ln 2=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+\prickar

Formeln för serie 1 är olämplig för den praktiska beräkningen av logaritmer på grund av att serien konvergerar mycket långsamt och endast i ett smalt intervall. Det är dock inte svårt att få en mer bekväm formel från det:

\ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right)=2\left(x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{ 5}}{5}}+{\frac {x^{7}}{7}}+\dots \right)

(rad 2)

Denna serie konvergerar snabbare, och dessutom kan den vänstra sidan av formeln nu uttrycka logaritmen för vilket positivt tal som helst , för då är det absoluta värdet mindre än ett. Denna algoritm är redan lämplig för riktiga numeriska beräkningar av logaritmvärden, men den är inte den bästa när det gäller arbetsintensitet. Det finns mer effektiva algoritmer [13] . $z={\frac {1+x}{1-x}}$ $x={\frac {z-1}{z+1))$

Decimallogaritm

Logaritmer till bas 10 (symbol: ) användes i stor utsträckning för beräkningar före uppfinningen av miniräknare . De har en fördel jämfört med logaritmer med en annan bas: heltalsdelen av logaritmen för ett tal är lätt att bestämma [14] : $\lgx$ $[\lgx]$ $x$

Om , då är 1 mindre än antalet siffror i heltalsdelen av . Till exempel är det direkt uppenbart vad som finns i intervallet . $x\geqslant 1$ $[\lgx]$ $x$ $\lg 345$ $(2,3)$
Om , då är det närmaste heltal på den mindre sidan lika med det totala antalet nollor framför den första siffran som inte är noll (inklusive nollan före decimalkomma), taget med ett minustecken. Till exempel ligger i intervallet . $0<x<1$ $\lgx$ $x$ $\lg 0{,}0014$ $(-3,-2)$

Dessutom, när du flyttar ett decimalkomma i ett tal med siffror, ändras värdet på decimallogaritmen för detta tal till . Till exempel . Av detta följer att för att beräkna decimallogaritmer räcker det att sammanställa en tabell med logaritmer för tal i intervallet från till [14] . $n$ $n$ $\lg 8314{,}63=\lg 8{,}31463+3$ $ett$ $tio$

Förhållande med den naturliga logaritmen [15] :

\ln x\approx 2{,}30259\ \lg x,\quad \ln x={\frac {\lg x}{\lg e))=\ln 10\cdot \lg x=(2{,} 30259\dots )\lg x

\lg x\approx 0{,}43429\ \ln x,\quad \lg x={\frac {\ln x}{\ln 10))=\lg e\cdot \ln x=(0{,} 43429\dots )\ln x

Eftersom användningen av logaritmer för beräkningar i och med datorteknikens tillkomst nästan har upphört, har idag den decimala logaritmen i stort sett ersatts av den naturliga [16] . Det bevaras främst i de matematiska modeller där det historiskt har slagit rot - till exempel när man konstruerar logaritmiska skalor .

Gränskvoter

Här är några användbara gränser relaterade till logaritmer [17] :

\lim _{x\to 0}{\frac {\log _{a}(1+x)}{x}}=\log _{a}e={\frac {1}{\ln a}}

\lim _{x\to 0^{+}}x^{b}\log _{a}x=0\quad (b>0)

\lim _{x\to \infty }{\frac {\log _{a}x}{x^{b))}=0\quad (b>0)

\ln x=\lim _{n\to \infty }n\left({\sqrt[{n}]{x}}-1\right)=\lim _{n\to \infty }n\left( 1-{\frac {1}{\sqrt[{n}]{x}}}\höger)

\ln x=\lim _{h\to 0}{\frac {x^{h}-1}{h}}

Andra egenskaper

Av Gelfonds teorem följer att om är algebraiska tal ( ), då antingen rationella eller transcendentala . I det här fallet är logaritmen rationell och lika endast i fallet [18] när talen är relaterade av relationen . $a,b$ $a\neq 1$ $\log _{a}b$ ${p\over q}$ $a,b$ $a^{p}=b^{q}$
Summan (delsumman av övertonsserien ) i stort beter sig som , där är Euler-Mascheroni-konstanten . $\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k))$ $n$ $\ln n+\gamma +O(n^{-1})$ $\gamma \approx 0{,}5772156649\dots$

Logaritmiska ekvationer

Komplex logaritm

Definition och egenskaper

För komplexa tal definieras logaritmen på samma sätt som den verkliga. I praktiken används nästan uteslutande den naturliga komplexa logaritmen, som betecknas och definieras som en lösning på ekvationen (andra motsvarande definitioner ges nedan). $\mathrm {Ln} \,z$ $w$ $e^{w}=z$

Inom området för komplexa tal är lösningen av denna ekvation, i motsats till det verkliga fallet, inte unikt bestämd. Till exempel, enligt Euler-identiteten , ; dock också . Detta beror på att exponentialfunktionen längs den imaginära axeln är periodisk (med period ) [19] , och funktionen tar samma värde oändligt många gånger. Således är den komplexa logaritmiska funktionen flervärdig . $e^{\pi i}=-1$ $e^{-\pi i}=e^{3\pi i}=e^{5\pi i}\dots =-1$ $2\pi i$ $w=\mathrm {Ln} \,z$

Den komplexa nollan har ingen logaritm eftersom den komplexa exponenten inte antar ett nollvärde. Icke-noll kan representeras i exponentiell form: $z$

z=r\cdot e^{i\varphi }

Sedan hittas den av formeln [20] : $\mathrm {Ln} \,z$

\mathrm {Ln} \,z=\ln r+i\left(\varphi +2\pi k\right)

Här är en riktig logaritm, är ett godtyckligt heltal . Av detta följer: $\ln \,r=\ln \,|z|$ $k$

Den komplexa logaritmen finns för alla , och dess reella del är unikt bestämd, medan den imaginära delen har ett oändligt antal värden som skiljer sig åt med en heltalsmultipel av . $\mathrm {Ln} \,z$ $z\neq 0$ $2\pi$

Det kan ses från formeln att ett och bara ett av värdena har en imaginär del i intervallet . Detta värde kallas huvudvärdet för den komplexa naturliga logaritmen [11] . Den motsvarande (redan envärdiga) funktionen kallas logaritmens huvudgren och betecknas . Betecknar ibland också värdet på logaritmen, som inte ligger på huvudgrenen. Om är ett reellt tal, så sammanfaller huvudvärdet av dess logaritm med den vanliga reella logaritmen. $(-\pi ,\pi ]$ $\ln\,z$ $\ln\,z$ $z$

Det följer också av formeln ovan att den reella delen av logaritmen bestäms enligt följande genom komponenterna i argumentet:

\operatörsnamn {Re} (\ln(x+iy))={\frac {1}{2}}\ln(x^{2}+y^{2})

Figuren visar att den reella delen som en funktion av komponenterna är centralsymmetrisk och endast beror på avståndet till origo. Den erhålls genom att rotera grafen för den verkliga logaritmen runt den vertikala axeln. När den närmar sig noll tenderar funktionen att . $-\infty$

Logaritmen för ett negativt tal hittas av formeln [20] :

\mathrm {Ln} (-x)=\ln x+i\pi (2k+1)\qquad (x>0,\ k=0,\pm 1,\pm 2\dots )

Exempel på värden för den komplexa logaritmen

Här är huvudvärdet för logaritmen ( ) och dess allmänna uttryck ( ) för några argument: $\ln$ $\mathrm{Ln}$

\ln(1)=0;\;\mathrm {Ln} (1)=2k\pi i

\ln(-1)=i\pi ;\;\mathrm {Ln} (-1)=(2k+1)i\pi

\ln(i)=i{\frac {\pi}{2));\;\mathrm {Ln} (i)=i{\frac {4k+1}{2))\pi

Du bör vara försiktig när du konverterar komplexa logaritmer, med hänsyn till att de är flervärdiga, och därför följer inte likheten mellan dessa uttryck av likheten mellan logaritmerna för några uttryck. Ett exempel på felaktiga resonemang:

i\pi =\ln(-1)=\ln((-i)^{2})=2\ln(-i)=2(-i\pi /2)=-i\pi

är ett fel, som dock indirekt indikerar att värden som skiljer sig åt med , är logaritmer med samma tal. Observera att huvudvärdet för logaritmen är till vänster och värdet från den underliggande grenen ( ) är till höger. Anledningen till felet är den vårdslösa användningen av egenskapen , vilket generellt sett i det komplexa fallet innebär hela logaritmens oändliga värdeuppsättning, och inte bara huvudvärdet. $2i\pi$ $k=-1$ $\log _{a}{(b^{p})}=p~\log _{a}b$

Den komplexa logaritmiska funktionen och Riemann-ytan

I komplex analys , istället för att överväga funktioner med flera värden på det komplexa planet , togs ett annat beslut: att betrakta funktionen som enkelvärdig, men definierad inte på planet, utan på ett mer komplext grenrör , som kallas Riemann yta [21] . Den komplexa logaritmiska funktionen tillhör också denna kategori: dess bild (se figur) består av ett oändligt antal grenar vridna i en spiral. Denna yta är kontinuerlig och enkelt sammankopplad . Funktionens enda nolla (av första ordningen) erhålls vid . Singular punkter: och (grenpunkter av oändlig ordning) [22] . $z=1$ $z=0$ $z=\infty$

På grund av att den helt enkelt är ansluten, är Riemann-ytan av logaritmen en universell täckning [23] för det komplexa planet utan en punkt . $0$

Analytisk fortsättning

Logaritmen för ett komplext tal kan också definieras som den analytiska fortsättningen av den reella logaritmen till hela det komplexa planet . Låt kurvan börja vid ett, gå inte genom noll och skär inte den negativa delen av den reella axeln. Då kan huvudvärdet för logaritmen vid kurvans slutpunkt bestämmas med formeln [22] : $\Gamma$ $w$ $\Gamma$

{\displaystyle \ln w=\int \limits _{\Gamma }{du \över u))

Om det är en enkel kurva (utan självkorsningar), så för siffrorna som ligger på den kan logaritmiska identiteter tillämpas utan rädsla, till exempel: $\Gamma$

\ln(wz)=\ln w+\ln z,~\forall z,w\in \Gamma \colon zw\in \Gamma

Huvudgrenen av den logaritmiska funktionen är kontinuerlig och differentierbar på hela det komplexa planet , förutom den negativa delen av den reella axeln, på vilken den imaginära delen hoppar till . Men detta faktum är en följd av den artificiella begränsningen av den imaginära delen av huvudvärdet av intervallet . Om vi betraktar alla grenar av funktionen, så sker kontinuitet vid alla punkter utom noll, där funktionen inte är definierad. Om kurvan tillåts korsa den negativa delen av den reella axeln, överför den första sådan skärningspunkten resultatet från huvudvärdegrenen till den angränsande grenen, och varje efterföljande skärning orsakar en liknande förskjutning längs grenarna av den logaritmiska funktionen [22 ] (se figur). $2\pi$ $(-\pi ,\pi ]$ $\Gamma$

Av den analytiska fortsättningsformeln följer att på vilken gren av logaritmen som helst [19] :

{\frac {d}{dz}}\ln z={1 \över z}

För varje cirkel som omsluter en punkt : $S$ $0$

\oint \limits _{S}{dz \over z}=2\pi i

Integralen tas i positiv riktning ( moturs ). Denna identitet ligger till grund för teorin om rester .

Man kan också definiera den analytiska fortsättningen av den komplexa logaritmen genom att använda serien ovan: serie 1 eller serie 2 , generaliserad till fallet med ett komplext argument. Av formen av dessa serier följer emellertid att vid enhet är summan av serien lika med noll, det vill säga serien hänvisar endast till huvudgrenen av den komplexa logaritmens flervärdiga funktion. Konvergensradien för båda serierna är 1.

Relation med invers trigonometriska och hyperboliska funktioner

Eftersom komplexa trigonometriska funktioner är relaterade till exponentialen ( Eulers formel ), så är den komplexa logaritmen som inversen av exponentialfunktionen relaterad till de inversa trigonometriska funktionerna [24] [25] :

\operatörsnamn {Arcsin} z=-i\operatörsnamn {Ln} (iz+{\sqrt {1-z^{2}}})

\operatörsnamn {Arccos} z=-i\operatörsnamn {Ln} (z+i{\sqrt {1-z^{2}}})

\operatörsnamn {Arctg} z=-{\frac {i}{2}}\ln {\frac {1+zi}{1-zi}}+k\pi \;(z\neq \pm i)

\operatörsnamn {Arcctg} z=-{\frac {i}{2}}\ln {\frac {zi-1}{zi+1}}+k\pi \;(z\neq \pm i)

Hyperboliska funktioner på det komplexa planet kan betraktas som trigonometriska funktioner i det imaginära argumentet, så även här finns det ett samband med logaritmen [25] :

\operatörsnamn {Arsh} z=\operatörsnamn {Ln} (z+{\sqrt {z^{2}+1)))

- invers hyperbolisk sinus

\operatörsnamn {Arch} z=\operatörsnamn {Ln} \left(z+{\sqrt {z^{2}-1}}\right)

är den omvända hyperboliska cosinus

\operatörsnamn {Arth} z={\frac {1}{2}}\operatörsnamn {Ln} \left({\frac {1+z}{1-z}}\right)

är den inversa hyperboliska tangenten

\operatörsnamn {Arcth} z={\frac {1}{2}}\operatörsnamn {Ln} \left({\frac {z+1}{z-1}}\right)

är den omvända hyperboliska kotangensen

Historisk översikt

Föregångare

Den ideologiska källan och stimulansen för användningen av logaritmer var det faktum (känd för Arkimedes [26] ) att när man multiplicerar potenser, summerar deras exponenter [27] : . Den indiska matematikern från 800-talet Virasena , som utforskade maktberoende, publicerade en tabell med heltalsexponenter (det vill säga logaritmer) för baserna 2, 3, 4 [28] . ${\displaystyle a^{b}\cdot a^{c}=a^{b+c))$

Det avgörande steget togs i det medeltida Europa. Behovet av komplexa beräkningar under 1500-talet växte snabbt, och mycket av svårigheten var förknippad med multiplikation och division av flersiffriga tal, samt att extrahera rötter . I slutet av århundradet kom flera matematiker, nästan samtidigt, på idén: att ersätta tidskrävande multiplikation med enkel addition, jämföra de geometriska och aritmetiska progressionerna med hjälp av speciella tabeller, medan den geometriska kommer att vara originalet [26] . Då ersätts divisionen automatiskt av en omätligt enklare och mer tillförlitlig subtraktion, och exponentiering och rotextraktion kommer också att förenklas .

Den förste att publicera denna idé i sin bok " Arithmetica integra " (1544) var Michael Stiefel , som dock inte gjorde några allvarliga ansträngningar för det praktiska genomförandet av sin idé [29] [30] . Stiefels främsta förtjänst är övergången från heltalsexponenter till godtyckliga rationella exponenter [31] (de första stegen i denna riktning togs av Nikolay Orem på 1300-talet och Nicola Schuquet på 1400-talet).

John Napier och hans "fantastiska logaritmtabell"

År 1614 publicerade den skotske amatörmatematikern John Napier ett verk på latin med titeln Description of the Amazing Table of Logarithms ( latin: Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio ). Den hade en kort beskrivning av logaritmer och deras egenskaper, samt 8-siffriga tabeller av logaritmer av sinus , cosinus och tangenter , med ett steg på 1'. Termen logaritm , föreslagen av Napier, har etablerat sig inom vetenskapen. Napier presenterade teorin om logaritmer i en annan av sina böcker, " Construction of an Amazing Table of Logarithms " ( lat. Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio ), publicerad postumt 1619 av hans son Robert.

Att döma av dokumenten behärskade Napier logaritmtekniken 1594 [32] . Det omedelbara syftet med dess utveckling var att underlätta komplexa astrologiska beräkningar för Napier [33] ; det är därför endast logaritmerna för trigonometriska funktioner inkluderades i tabellerna .

Begreppet en funktion existerade ännu inte, och Napier definierade logaritmen kinematiskt och jämförde enhetlig och logaritmiskt långsam rörelse; till exempel definierade han logaritmen för sinus enligt följande [34] :

Logaritmen för en given sinus är ett tal som alltid ökade aritmetiskt i samma takt som hela sinus började minska geometriskt.

I modern notation kan Napier kinematisk modell representeras av en differentialekvation [35] :

{\frac {dx}{x}}=-{\frac {dy}{M}}

där M är en skalningsfaktor som införts för att värdet ska visa sig vara ett heltal med erforderligt antal siffror ( decimalbråk användes ännu inte i stor utsträckning då). Napier tog M = 10 000 000.

Strängt taget tabellerade Napier fel funktion, som nu kallas logaritmen. Om vi betecknar dess funktion som , är den relaterad till den naturliga logaritmen enligt följande [35] : $\operatörsnamn {LogNap} (x)$

\operatörsnamn {LogNap} (x)=M\cdot (\ln(M)-\ln(x))

Uppenbarligen, det vill säga logaritmen för "full sinus" (motsvarande 90 °) är noll - detta är vad Napier uppnådde med sin definition. Han ville också att alla logaritmer skulle vara positiva; det är lätt att verifiera att detta villkor för är uppfyllt. . $\operatörsnamn {LogNap} (M)=0$ $x<M$ $\operatorname {LogNap} (0)=\infty$

Den huvudsakliga egenskapen hos Napier-logaritmen: om kvantiteterna bildar en geometrisk progression , bildar deras logaritmer en aritmetisk progression . Reglerna för logaritmen för icke-Peer-funktionen skilde sig dock från reglerna för den moderna logaritmen, till exempel:

\operatörsnamn {LogNap} (a\cdot b)=\operatörsnamn {LogNap} (a)+\operatörsnamn {LogNap} (b)-\operatörsnamn {LogNap} (1)

Vidareutveckling

Som det snart visade sig, på grund av ett fel i algoritmen, innehöll alla värden i Napier-tabellen felaktiga siffror efter den sjätte siffran [36] . Detta hindrade dock inte den nya beräkningsmetoden från att vinna stor popularitet, och många europeiska matematiker tog upp sammanställningen av logaritmiska tabeller. Kepler infogade en entusiastisk dedikation till Napier i den astronomiska referensbok han publicerade 1620 (utan att veta att uppfinnaren av logaritmerna redan hade dött). År 1624 publicerade Kepler sin egen version av logaritmiska tabeller ( lat. Chilias Logarithmorum ad totidem numeros rotundos ) [37] . Användningen av logaritmer gjorde det möjligt för Kepler att slutföra många år av arbetet med Rudolphian-tabellerna relativt snabbt , vilket cementerade framgången för heliocentrisk astronomi .

Några år efter Napiers bok dök logaritmiska tabeller upp, med hjälp av en mer modern förståelse av logaritmen. Londonprofessorn Henry Briggs publicerade 14-siffriga tabeller med decimallogaritmer (1617), och inte för trigonometriska funktioner, utan för godtyckliga heltal upp till 1000 (7 år senare ökade Briggs antalet siffror till 20000). År 1619 återpublicerade Londons matematiklärare John Spidell Napiers logaritmiska tabeller, korrigerade och kompletterade så att de faktiskt blev tabeller över naturliga logaritmer. Spidell hade också logaritmerna för själva talen upp till 1000 (desutom var logaritmen för enhet, som Briggs, lika med noll) - även om Spidell behöll skalningen till heltal [38] [39] .

Det blev snart klart att logaritmernas plats i matematiken inte är begränsad till beräkningsbekvämligheter. År 1629 visade den belgiske matematikern Grégoire de Saint-Vincent att området under en hyperbel varierar enligt en logaritmisk lag [40] . År 1668 upptäckte den tyske matematikern Nicholas Mercator (Kaufmann) och publicerade i sin bok Logarithmotechnia logaritmens expansion till en oändlig serie [41] . Enligt många historiker hade tillkomsten av logaritmer ett starkt inflytande på många matematiska begrepp, inklusive: $y={\frac {1}{x}}$

Bildande och erkännande av det allmänna begreppet irrationella och transcendentala tal [42] .
Uppkomsten av en exponentiell funktion och det allmänna konceptet för en numerisk funktion , Eulertalet , utvecklingen av teorin om differensekvationer [43] .
Komma igång med Infinite Series [41] .
Allmänna metoder för att lösa differentialekvationer av olika slag.
Betydande utvecklingar inom teorin om numeriska metoder som krävs för att beräkna exakta logaritmiska tabeller.

Fram till slutet av 1800-talet fanns det ingen allmänt vedertagen beteckning på logaritmen, basen a angavs antingen till vänster och ovanför loggsymbolen , sedan ovanför den. Till slut kom matematiker till slutsatsen att den mest bekväma platsen för basen är under linjen, efter loggen : symbol . Korta beteckningar av de vanligaste typerna av logaritm - för decimal och naturlig - dök upp mycket tidigare på en gång av flera författare och fixades slutligen även i slutet av 1800-talet [44] . $\log _{a}b$ $\lg ,\;\ln$

Nära modern förståelse av logaritmen - som en operation, det omvända av att höja till en makt - dök först upp i Wallis (1685) och Johann Bernoulli (1694), och legitimerades slutligen av Euler [36] . I boken "Introduction to the Analysis of Infinite" ( 1748 ) gav Euler moderna definitioner av både exponentiella och logaritmiska funktioner, utökade dem till potensserier och noterade särskilt den naturliga logaritmens roll [45] . Euler har också fördelen att utvidga den logaritmiska funktionen till den komplexa domänen.

Utöka logaritmen till den komplexa domänen

De första försöken att utvidga logaritmer till komplexa tal gjordes vid sekelskiftet 1600- och 1700-talet av Leibniz och Johann Bernoulli , men de misslyckades med att skapa en holistisk teori, främst av den anledningen att själva begreppet logaritm inte var klart ännu. definierad [46] . Diskussionen om denna fråga var först mellan Leibniz och Bernoulli, och i mitten av 1700-talet mellan d'Alembert och Euler. Bernoulli och d'Alembert trodde att man borde definiera , medan Leibniz hävdade att logaritmen för ett negativt tal är ett imaginärt tal [46] . Den fullständiga teorin om logaritmerna för negativa och komplexa tal publicerades av Euler 1747-1751 och skiljer sig i huvudsak inte från den moderna [47] . Även om kontroversen fortsatte (d'Alembert försvarade sin åsikt och argumenterade i detalj i en artikel i hans Encyclopedia och i andra verk), fick Eulers tillvägagångssätt i slutet av 1700-talet universellt erkännande. $\log(-x)=\log(x)$

Under 1800-talet, med utvecklingen av komplex analys , stimulerade studiet av den komplexa logaritmen nya upptäckter. Gauss utvecklade 1811 en komplett teori om den logaritmiska funktionens mångvärdighet [48] , definierad som integralen av . Riemann , som förlitar sig på redan kända fakta om denna och liknande funktioner, konstruerade en allmän teori om Riemann-ytor . ${\frac {1}{z))$

Utvecklingen av teorin om konforma kartläggningar visade att Mercator-projektionen inom kartografi , som uppstod redan innan upptäckten av logaritmer (1550), kan beskrivas som en komplex logaritm [49] .

Några praktiska tillämpningar

Logaritmiska samband i vetenskap och natur

Logaritmiska funktioner är extremt utbredda både inom matematik och naturvetenskap. Ofta dyker logaritmer upp där självlikhet uppstår , det vill säga något objekt reproduceras konsekvent i en förminskad eller förstorad skala; se nedan för exempel som rekursiva algoritmer , fraktaler eller musselskal. Här är några exempel på användningen av logaritmer inom olika vetenskaper.

Talteori

Fördelningen av primtal följer asymptotiskt enkla lagar [50] :

Antalet primtal mellan 1 och ungefär lika med . $n$ ${\frac {n}{\ln n))$
k -te primtal är ungefär lika med . $k\ln k$

Ännu mer exakta uppskattningar använder integrallogaritmen .

Ofta uppstår problemet med att grovt uppskatta ett mycket stort antal, till exempel ett fakultativt eller ett Mersennetal med ett stort tal. För att göra detta skulle det vara bekvämt att ungefär skriva talet i exponentiellt format , det vill säga i form av en mantissa och en decimalexponent.

Problemet löses enkelt med logaritmer. Tänk till exempel på det 44:e Mersenne-numret . $M=2^{32582657}-1$

\lg M\approx 32582657\cdot \lg 2\approx 9808357{,}09543

Därför är mantissan för resultatet lika med Slutligen får vi: $10^{0{,}09543}\approx 1{,}25.$

M\approx 1{,}25\cdot 10^{9808357}.

Matematisk analys

Logaritmer uppstår ofta när man hittar integraler och när man löser differentialekvationer . Exempel:

\int {\operatörsnamn {tg} x}\,dx=-\ln |\cos x|+C;\quad \int {\frac {dx}{\sqrt {x^{2}+a} }}=-\ln \ \left|\ x+{\sqrt {x^{2}+a}}\ \right|+C

Sannolikhetsteori och statistik

Inom statistik och sannolikhetsteori ingår logaritmen i ett antal praktiskt viktiga sannolikhetsfördelningar. Till exempel används den logaritmiska fördelningen [51] inom genetik och fysik. Lognormalfördelningen uppstår ofta i situationer där värdet som studeras är produkten av flera oberoende positiva slumpvariabler [52] .

Benfords lag ("den första siffrans lag") beskriver sannolikheten för att en viss första signifikanta siffra inträffar vid mätning av reella värden.

För att uppskatta en okänd parameter används den maximala sannolikhetsmetoden och den tillhörande log-likelihood-funktionen [53] i stor utsträckning .

Fluktuationer i en slumpmässig promenad beskrivs av Khinchin-Kolmogorov-lagen .

Datavetenskap och beräkningsmatematik

Inom datavetenskap : en måttenhet för information ( bit ). Till exempel, för att lagra ett naturligt tal i en dator (i det vanliga binära formatet för en dator), behöver du bitar. $N$ $\log _{2}N+1$

Informationsentropi är ett mått på mängden information.

Uppskattning av den asymptotiska komplexiteten för rekursiva divide - and -eröv-algoritmer [54] såsom quicksort , snabb Fourier-transform , etc.

Vanligtvis lagras numeriska värden i minnet på en dator eller specialiserad processor i flyttalsformat . Om dock addition och subtraktion sällan utförs på en grupp av data, men multiplikation, division, exponentiering och rotextraktion utförs mycket oftare, är det vettigt att överväga att lagra sådana data i ett logaritmiskt format . I det här fallet, istället för ett tal, lagras logaritmen för dess modul och tecknet , och beräkningshastigheten på grund av logaritmens egenskaper ökar avsevärt [55] . Det logaritmiska lagringsformatet har använts i flera system där det har visat sig vara effektivt [56] [57] .

Fraktaler och dimensioner

Logaritmer hjälper till att uttrycka Hausdorff-dimensionen av en fraktal [58] . Betrakta till exempel Sierpinski-triangeln , som erhålls från en liksidig triangel genom att successivt avlägsna liknande trianglar, vars linjära storlek halveras i varje steg (se figur). Dimensionen på resultatet bestäms av formeln:

{\frac {\ln 3}{\ln 2))\approx 1{,}58

Mekanik och fysik

Boltzmannprincipen inom statistisk termodynamik är en av de viktigaste funktionerna i ett termodynamiskt systems tillstånd , vilket kännetecknar graden av dess slumpmässighet .

Tsiolkovsky-formeln används för att beräkna hastigheten på en raket.

Kemi och fysikalisk kemi

Nernst-ekvationen förbinder systemets redoxpotential med aktiviteterna hos de ämnen som ingår i den elektrokemiska ekvationen, såväl som med standardelektrodpotentialerna för redoxpar.

Logaritmen används i definitionerna av sådana kvantiteter som index för autoprotolyskonstanten (självjonisering av molekylen) och väteindex (lösningens surhet).

Musikteori

För att lösa frågan om hur många delar som ska delas upp i oktaven krävs det att man hittar en rationell approximation för . Om vi utökar detta tal till en fortsatt bråkdel , så tillåter den tredje konvergenta bråkdelen (7/12) oss att motivera den klassiska uppdelningen av oktaven i 12 halvtoner [59] . $\log _{2}{\frac {3}{2}}\approx 0{,}585$

Psykologi och fysiologi

Den mänskliga uppfattningen av många fenomen beskrivs väl av den logaritmiska lagen.

Weber-Fechner-lagen är en empirisk psykofysiologisk lag, som säger att förnimmelsens intensitet är proportionell mot logaritmen för stimulansens intensitet [60] - ljudets styrka [61] , ljusets ljusstyrka .

Fitts lag : ju längre eller mer exakt kroppens rörelse utförs, desto mer korrigering är nödvändig för dess genomförande och desto längre tid utförs denna korrigering [62] .

Tiden för att fatta ett beslut i närvaro av ett val kan uppskattas enligt Hicks lag [63] .

Biologi

Ett antal biologiska former motsvarar väl en logaritmisk spiral [64] - en kurva där tangenten i varje punkt bildar samma vinkel med radievektorn vid denna punkt, det vill säga ökningen i radie per längdenhet av en cirkel är konstant:

Nautilus skal
Placering av frön på solros
Romanesco blomkål

Övrigt

Antalet varv i spelet enligt det olympiska systemet är lika med den binära logaritmen för antalet deltagare i tävlingen, avrundat uppåt till närmaste högre heltal [65] .

Logaritmisk skala

Den olikformiga skalan för decimallogaritmer används inom många vetenskapsområden. För att säkerställa beräkningar ritas det på diaregler . Andra exempel:

Akustik - ljudtrycksnivå och ljudintensitet ( decibel ) [66] .
Signal-brusförhållande inom radioteknik och telekommunikation [67] .
Astronomi - skalan för stjärnornas ljusstyrka [68] .
Kemi - aktivitet av vätejoner ( pH ) [ 69] .
Seismologi - Richterskalan [70] .
Optisk densitet är ett mått på absorption av ljus av transparenta föremål eller reflektion av ljus av ogenomskinliga föremål [71] .
Fotografisk latitud är en egenskap hos ljuskänsligt material [72] .
Slutartid och bländarskala vid fotografering [73] .
Musikteorin är en musikskala, i relation till frekvenserna av musikaliska ljud [59] .
Jordbruk är den huvudsakliga hydrofysiska egenskapen hos jorden [74] .
Styrteori - logaritmisk amplitud-fas frekvenssvar [75] .

Den logaritmiska skalan är särskilt användbar i de fall där nivåerna för den uppmätta kvantiteten bildar en geometrisk progression , eftersom deras logaritmer fördelas med ett konstant steg. Till exempel, 12 halvtoner av en klassisk oktav form (ungefär) en sådan progression [59] med nämnaren . På samma sätt motsvarar varje nivå på Richterskalan 10 gånger mer energi än föregående nivå. Även i frånvaro av en geometrisk progression kan en logaritmisk skala vara användbar för en kompakt representation av ett brett spektrum av uppmätta värden. ${\sqrt[{12}]{2}}\approx 1{,}059$

Den logaritmiska skalan används också i stor utsträckning för att utvärdera exponenten i exponentiella beroenden och koefficienten i exponenten. Samtidigt tar en graf ritad på en logaritmisk skala längs en eller två axlar formen av en rät linje, vilket är lättare att studera.

Logaritmiska tabeller

Av logaritmens egenskaper följer att istället för den tidskrävande multiplikationen av flervärdiga tal, räcker det att hitta (enligt tabellerna) och lägga till deras logaritmer och sedan utföra potentiering med samma tabeller (avsnitt " Antilogaritmer " ) , det vill säga hitta värdet på resultatet genom dess logaritm. Att göra division skiljer sig bara genom att logaritmer subtraheras.

De första logaritmtabellerna publicerades av John Napier ( 1614 ), och de innehöll endast logaritmerna för trigonometriska funktioner och med fel. Oberoende av honom publicerade Jost Bürgi , en vän till Kepler , sina tabeller ( 1620 ). År 1617 publicerade Oxford matematikprofessor Henry Briggs tabeller som redan inkluderade decimallogaritmerna för själva talen, från 1 till 1000, med 8 (senare 14) siffror. Men det fanns också fel i Briggs-tabellerna. Den första ofelbara utgåvan baserad på Georg Vegas tabeller ( 1783 ) kom först 1857 i Berlin ( Bremikers tabeller ) [76] .

I Ryssland publicerades de första logaritmtabellerna 1703 med deltagande av L. F. Magnitsky [77] . Flera samlingar av logaritmtabeller publicerades i Sovjetunionen [78] :

Bradis V. M. Matematiska tabeller med fyra värden. M.: Bustard, 2010, ISBN 978-5-358-07433-0 . Bradis-tabeller, publicerade sedan 1921, användes i utbildningsinstitutioner och i tekniska beräkningar som inte kräver stor noggrannhet. De innehöll mantissor av decimallogaritmer av tal och trigonometriska funktioner, naturliga logaritmer och några andra användbara beräkningsverktyg.
Vega G. Tabeller över sjusiffriga logaritmer, 4:e upplagan, M.: Nedra, 1971. Professionell samling för exakta beräkningar.
Bremiker K. Logaritmisk-trigonometriska tabeller. M.: Nauka, 1962. 664 sid. Klassiska sexsiffriga tabeller, bekväma för beräkningar med trigonometriska funktioner .
Femsiffriga tabeller över naturliga värden för trigonometriska storheter, deras logaritmer och logaritmer för tal, 6:e upplagan, M .: Nauka, 1972.
Tabeller över naturliga logaritmer, 2:a upplagan, i 2 volymer, Moskva: Nauka, 1971.
Tiosiffriga tabeller med logaritmer för komplexa tal. M., 1952.

Bildregel

På 1620-talet uppfann Edmund Wingate och William Oughtred den första linjalen , som fungerade som ett oumbärligt beräkningsverktyg för en ingenjör fram till tillkomsten av fickräknare [79] . Med detta kompakta verktyg kan du snabbt utföra alla algebraiska operationer, inklusive de som involverar trigonometriska funktioner [80] . Beräkningarnas noggrannhet är cirka 3 signifikanta siffror.

Variationer och generaliseringar

Logaritmen som en lösning till en ekvation kan definieras inte bara för reella och komplexa tal. $a^{x}=b$

Du kan ange en logaritmisk funktion för quaternions (se quaternion variabelfunktioner ). Men de flesta av de algebraiska egenskaperna hos logaritmen går förlorade [81] — till exempel är logaritmen för en produkt inte lika med summan av logaritmer, och detta minskar det praktiska värdet av en sådan generalisering.
Om är element i en finit abelisk multiplikativ grupp kallas logaritmen i den angivna betydelsen (om den finns) diskret . Oftast anses det för en finit grupp av en restring modulo some, där det kallas ett index modulo detta [82] och spelar en viktig roll i kryptografi . I cykliska grupper existerar en logaritm om dess bas är en primitiv rot av den gruppen. $a,b$
Matrislogaritm :Du kan definiera logaritmer även förmatriser [83] .
Man kan definiera den p-adiska logaritmen för vissa p-adiska tal [84] .
För att arbeta med mycket stora tal introduceras begreppet superlogaritm , som inte är relaterat till exponentiering , utan till en operation av högre ordning: tetration .

Se även

Antilog
logaritmisk subtraktion
Logaritmiskt tecken på konvergens
logaritmiskt papper
polylogaritm
Storleksordning
Prostapheretisk funktion
Lista över integraler av logaritmiska funktioner

Anteckningar

↑ Kort ordbok över främmande ord. M.: Ryska språket, 1984.
↑ Vygodsky M. Ya. Handbook of elementary mathematics, 1978 , sid. 186.
↑ Vygodsky M. Ya. Handbook of elementary mathematics, 1978 , sid. 184-186.
↑ Shvetsov K.I., Bevz G.P. Handbook of elementary mathematics. Aritmetik, algebra. Kiev: Naukova Dumka, 1966. §40. Historisk information om logaritmer och skjutregeln.
↑ 1 2 Korn G., Korn T. Handbook of Mathematics, 1973 , sid. 34.
↑ Algebra och början av analys. Lärobok för 10-11 årskurser. 12:e upplagan, Moscow: Enlightenment, 2002. S. 229.
↑ Algebra och början av analys. Lärobok för 10-11 årskurser. 12:e upplagan, Moscow: Enlightenment, 2002. S. 233.
↑ Vygodsky M. Ya. Handbook of elementary mathematics, 1978 , sid. 187.
↑ Elementär matematik, 1976 , sid. 93f.
↑ 1 2 Elementär matematik, 1976 , sid. 89.
↑ 1 2 Logaritmisk funktion. // Matematisk uppslagsbok (i 5 volymer) . - M . : Soviet Encyclopedia , 1982. - T. 3.
↑ Fikhtengolts G. M. Course of differential and integral calculus, 1966 , Volym I, s. 159-160.
↑ Sasaki T., Kanada Y. Praktiskt taget snabb multipelprecisionsutvärdering av log(x ) // Journal of Information Processing. - 1982. - Vol. 5 , iss. 4 . - S. 247-250 .
↑ 1 2 Elementär matematik, 1976 , sid. 94-100.
↑ Vygodsky M. Ya. Handbook of elementary mathematics, 1978 , sid. 189.
↑ Klein F. Elementär matematik ur en högre synvinkel, 1987 , sid. 406.
↑ Fikhtengolts G. M. Course of differential and integral calculus, 1966 , Volym I, s. 164.
↑ Baker, Alan (1975), Transcendental nummerteori , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-20461-3 , sid. tio.
↑ 1 2 Fikhtengolts G. M. Course of differential and integral calculus, 1966 , Volym II, s. 520-522.
↑ 1 2 Korn G., Korn T. Handbook of Mathematics, 1973 , sid. 623.
↑ Sveshnikov A. G., Tikhonov A. N. Theory of functions of a complex variabel, 1967 , sid. 92-94.
↑ 1 2 3 Sveshnikov A. G., Tikhonov A. N. Theory of functions of a complex variabel, 1967 , sid. 45-46, 99-100.
↑ Boltjanskij V. G. , Efremovich V. A. Visuell topologi . - M . : Nauka, 1982. - S. 112. - (Quantum Library, nummer 21).
↑ Fikhtengolts G. M. Kurs för differential- och integralkalkyl, 1966 , Volym II, s. 522-526.
↑ 1 2 Korn G., Korn T. Handbook of Mathematics, 1973 , sid. 624.
↑ 1 2 Uspensky Ya. V. Essä om logaritmernas historia, 1923 , sid. 9.
↑ Klein F. Elementär matematik ur en högre synvinkel, 1987 , sid. 206.
↑ Gupta, RC (2000), History of Mathematics in India , i Hoiberg, Dale & Ramchandani, Students' Britannica India: Select essays , New Delhi: Popular Prakashan, sid. 329 Arkiverad 17 mars 2018 på Wayback Machine
↑ History of Mathematics, volym II, 1970 , sid. 54-55.
↑ Vivian Shaw Groza, Susanne M. Shelley (1972), Precalculus mathematics , New York: Holt, Rinehart, Winston, sid. 182, ISBN 978-0-03-077670-0 , < https://books.google.com/?id=yM_lSq1eJv8C&pg=PA182&dq=%22arithmetica+integra%22+logaritm&q=stifel >
↑ Klein F. Elementär matematik ur en högre synvinkel, 1987 , sid. 210.
↑ Uspensky Ya. V. Essay on the history of logaritms, 1923 , sid. 13.
↑ History of Mathematics, volym II, 1970 , sid. 56.
↑ Läsare om matematikens historia. Matematisk analys. Sannolikhetsteori / Ed. A. P. Jusjkevitj . - M . : Utbildning, 1977. - S. 40. - 224 sid.
↑ 1 2 History of Mathematics, volym II, 1970 , sid. 59.
↑ 1 2 History of Mathematics, volym II, 1970 , sid. 61.
↑ Uspensky Ya. V. Essay on the history of logaritms, 1923 , sid. 39.
↑ History of Mathematics, volym II, 1970 , sid. 63.
↑ Charles Hutton. Matematiska tabeller. Arkiverad 11 september 2016 på Wayback Machine London, 1811, sid. trettio.
↑ History of Mathematics, volym II, 1970 , sid. 133.
↑ 1 2 Uspensky Ya. V. Essä om logaritmernas historia, 1923 , sid. 52.
↑ Klein F. Elementär matematik ur en högre synvinkel, 1987 , sid. 51, 286, 352.
↑ Klein F. Elementär matematik ur en högre synvinkel, 1987 , sid. 213, 217.
↑ Florian Cajori . A History of Mathematics, 5:e upplagan (obestämd) . - AMS Bokhandel, 1991. - S. 152. - ISBN 0821821024 .
↑ Rybnikov K. A. Matematikens historia. I två volymer. - M. : Ed. Moscow State University, 1963. - T. II. - S. 25.
↑ 1 2 History of Mathematics, Volym III, 1972 , sid. 325-328.
↑ Rybnikov K. A. Matematikens historia. I två volymer. - M. : Ed. Moscow State University, 1963. - T. II. - S. 27, 230-231.
↑ 1800-talets matematik. Volym II: Geometri. Theory of analytic functions, 1981 , sid. 122-123.
↑ Klein F. Elementär matematik från en högre synvinkel . - M . : Nauka, 1987. - T. II. Geometri. - S. 159-161. — 416 sid.
↑ Derbyshire, John. Simpelt beroende. Bernhard Riemann och det största olösta problemet i matematik. - Astrel, 2010. - 464 sid. — ISBN 978-5-271-25422-2 .
↑ Weisstein , Eric W. Log-Series Distribution . matematikvärlden. Hämtad 26 april 2012. Arkiverad från originalet 11 maj 2012.
↑ Logaritmiskt normalfördelning // Mathematical Encyclopedia (i 5 volymer) . - M . : Soviet Encyclopedia , 1982. - T. 3.
↑ Maximum likelihood-metod // Mathematical Encyclopedia (i 5 volymer) . - M . : Soviet Encyclopedia , 1982. - T. 3.
↑ Harel, David; Feldman, Yishai A. Algoritmik: datorandan . - New York: Addison-Wesley, 2004. - S. 143 . - ISBN 978-0-321-11784-7 .
↑ N.G. Kingsburg, PJW Rayner. Digital filtrering med logaritmisk aritmetik // Elektronikbokstäver : journal. - 1971. - 28 januari ( vol. 7 ). — S. 55 .
↑ R. C. Ismail och J. N. Coleman. ROM-löst LNS (neopr.) // 20:e IEEE Symposium on Computer Arithmetic (ARITH) 2011. - 2011. - Juli. - S. 43-51 . - doi : 10.1109/ARITH.2011.15 .
↑ Haohuan Fu, Oskar Mencer, Wayne Luk. Jämför flyttals- och logaritmiska talrepresentationer för omkonfigurerbar acceleration // IEEE Conference on Field Programmable Technology: journal. - 2006. - December. - S. 337 . - doi : 10.1109/FPT.2006.270342 .
↑ Ivanov M. G. Storlek och dimension // "Potential", augusti 2006.
↑ 1 2 3 Shilov G. E. Enkel gamma. Musik skala enhet. Arkivexemplar daterad 22 februari 2014 på Wayback Machine M.: Fizmatgiz, 1963. 20 sid. Serien "Populära föreläsningar i matematik", nummer 37.
↑ Golovin S. Yu. WEBER-FECHNER LAW // Ordbok för en praktisk psykolog . Hämtad 17 april 2012. Arkiverad från originalet 27 maj 2012. (obestämd)
↑ Irina Aldoshina. Grunderna i psykoakustik // Ljudtekniker. - 1999. - Utgåva. 6 .
↑ Fitts' lag // Psychological Encyclopedia . Hämtad 17 april 2012. Arkiverad från originalet 27 maj 2012. (obestämd)
↑ Welford, A. T. Grundläggande skicklighet . - London: Methuen, 1968. - S. 61 . - ISBN 978-0-416-03000-6 .
↑ Logaritmisk spiral //Mathematical Encyclopedic Dictionary / Kap. ed. Yu. V. Prokhorov . - M .: Soviet Encyclopedia , 1988. - S. 328. - 847 sid. — ISBN 5-85270-278-1 .
↑ Kharin A. A. Organisation och hållande av tävlingar. Metodguide . - Izhevsk: UdGU, 2011. - S. 27.
↑ Decibel // Stora sovjetiska encyklopedin : [i 30 volymer] / kap. ed. A. M. Prokhorov . - 3:e uppl. - M . : Soviet Encyclopedia, 1969-1978.
↑ Utbildnings- och metodkomplex: Metoder och medel för signalbehandling . Hämtad 28 april 2012. Arkiverad från originalet 18 februari 2012. (obestämd)
↑ Stjärnans storlek // Great Soviet Encyclopedia : [i 30 volymer] / kap. ed. A. M. Prokhorov . - 3:e uppl. - M . : Soviet Encyclopedia, 1969-1978.
↑ Bates R. Bestämning av pH. Teori och praktik. - 2:a uppl. - L . : Kemi, 1972.
↑ Gorkin A.P. Richterskalan // Geografi. - M. : Rosmen-Press, 2006. - 624 sid. — (Modern illustrerad uppslagsbok). — 10 000 exemplar. — ISBN 5-353-02443-5 .
↑ Optisk täthet // Photokinotechnics: Encyclopedia / Ch. ed. E. A. Iofis . — M .: Soviet Encyclopedia , 1981. — 447 sid.
↑ Fotografisk breddgrad // Photokinotechnics: Encyclopedia / Ch. ed. E. A. Iofis . — M .: Soviet Encyclopedia , 1981. — 447 sid.
↑ Kulagin S. V. Utdrag // Foto-bioteknik: Encyclopedia / Kap. ed. E. A. Iofis . — M .: Soviet Encyclopedia , 1981. — 447 sid.
↑ Shein E. V. Kurs i jordfysik. M.: Moscow State Universitys förlag, 2005. - 432 s. ISBN 5-211-05021-5 .
↑ Begreppet frekvenssvar . Hämtad 28 april 2012. Arkiverad från originalet 27 maj 2012. (obestämd)
↑ History of Mathematics, volym II, 1970 , sid. 62.
↑ Gnedenko B. V. Uppsatser om matematikens historia i Ryssland, 2:a upplagan. - M. : KomKniga, 2005. - S. 66. - 296 sid. - ISBN 5-484-00123-4 .
↑ Logaritmiska tabeller // Stora sovjetiska encyklopedin : [i 30 volymer] / kap. ed. A. M. Prokhorov . - 3:e uppl. - M . : Soviet Encyclopedia, 1969-1978.
↑ History of Mathematics, volym II, 1970 , sid. 65-66.
↑ Berezin S.I. Räknelinjal. - M . : Mashinostroenie, 1968.
↑ David Eberly. Kvaternionalgebra och kalkyl (engelska) (2 mars 1999). Hämtad 12 april 2012. Arkiverad från originalet 27 maj 2012.
↑ Vinogradov I. M. Grunderna för talteorin . - M. - L. : GITTL, 1952. - S. 97. - 180 sid.
↑ Gantmakher F. R. Matrix Theory. — M .: Nauka, 1967. — 576 sid.
↑ p-adisk exponentiell och p-adisk logaritm // PlanetMath.org .

Litteratur

Teori om logaritmer

Vygodsky M. Ya. Handbok i elementär matematik . — M .: Nauka, 1978.
- Återutgivning: AST, 2003, ISBN 5-17-009554-6 .
Zaitsev V. V., Ryzhkov V. V., Skanavi M. I. Elementär matematik. Upprepa kursen. – Tredje upplagan, stereotypt. — M .: Nauka, 1976. — 591 sid.
Korn G., Korn T. Handbok i matematik (för forskare och ingenjörer) . - M . : Nauka, 1973. - 720 sid.
Sveshnikov A. G., Tikhonov A. N. Teori om funktioner för en komplex variabel. — M .: Nauka, 1967. — 304 sid.
Fikhtengol'ts G. M. Kurs för differential- och integralkalkyl. - ed. 6:a. — M .: Nauka, 1966. — 680 sid.
Shakhmeister A. Kh. Logaritmer. Handbok för skolbarn, nybörjare och lärare. - ed. 5:a. - St Petersburg. : MTSNMO, 2016. - 288 sid. - ISBN 978-5-4439-0648-5 .

Logaritmernas historia

Abelson I. B. Logaritmernas födelse . - M. - L .: Gostekhizdat, 1948. - 231 sid.
Girshvald L. Ya. Historien om upptäckten av logaritmer. - Kharkov: Publishing House of Kharkov University, 1952. - 33 sid.
Klein F. Elementär matematik ur en högre synvinkel . - M . : Nauka, 1987. - T. I. Aritmetik. Algebra. Analys. — 432 sid.
1600-talets matematik // Matematikens historia / Redigerad av A.P. Yushkevich , i tre volymer. - M . : Nauka, 1970. - T. II.
1700-talets matematik // Matematikens historia / Redigerad av A.P. Yushkevich , i tre volymer. - M . : Nauka, 1972. - T. III.
Kolmogorov A. N. , Yushkevich A. P. (red.). 1800-talets matematik. Geometri. Teori om analytiska funktioner. - M . : Nauka, 1981. - T. II.
Uspensky Ya. V. Essä om logaritmernas historia. - Petrograd: Vetenskapligt förlag, 1923. - 78 sid.

Ordböcker och uppslagsverk

Stor dansk
Stor dansk
Stor norsk
Stor ryss
Stor ryss
Brockhaus och Efron
runt världen
Litet Brockhaus och Efron
Musikal Riemann
Britannica (online)
Britannica (online)

I bibliografiska kataloger
BNE : XX527539 BNF : 11941516p GND : 4168047-9 J9U : 987007533701405171 LCCN : sh85078091 NDL : 00572566