Pafnuty Lvovich Chebyshev | |||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Namn vid födseln | Pafnuty Lvovich Chebyshev | ||||||||
Födelsedatum | 4 maj (16), 1821 [1] | ||||||||
Födelseort | |||||||||
Dödsdatum | 26 november ( 8 december ) 1894 [1] (73 år gammal) | ||||||||
En plats för döden | |||||||||
Land | |||||||||
Vetenskaplig sfär | matematik , mekanik | ||||||||
Arbetsplats | Sankt Petersburgs universitet | ||||||||
Alma mater | Moskvas universitet (1841) | ||||||||
Akademisk examen | Doktor i matematik och astronomi (1849) | ||||||||
Akademisk titel | akademiker vid Sankt Petersburgs vetenskapsakademi (1859) | ||||||||
vetenskaplig rådgivare | N.D. Brashman | ||||||||
Studenter | E. I. Zolotarev , A. N. Korkin , A. M. Lyapunov , A. A. Markov , P. O. Somov , Yu. V. Sokhotsky | ||||||||
Känd som | en av grundarna av modern approximationsteori | ||||||||
Utmärkelser och priser |
|
||||||||
Autograf | |||||||||
![]() | |||||||||
Mediafiler på Wikimedia Commons |
Pafnuty Lvovich Chebyshev (felaktig Chebyshev ; 4 maj [16], 1821 , Okatovo , Kaluga-provinsen , ryska imperiet - 26 november [ 8 december ] 1894 , St. Petersburg , ryska imperiet ) - Rysk matematiker och mekaniker av St. Petersburg, grundare matematisk skola, akademiker Petersburgs vetenskapsakademi ( adjungerad sedan 1853, extraordinär akademiker sedan 1859) [2] och 24 andra akademier i världen [3] .
Chebyshev är "den störste, tillsammans med N. I. Lobatsjovskij , rysk matematiker under 1800-talet" [4] . Han fick grundläggande resultat i talteori ( fördelning av primtal ) och sannolikhetsteori ( central gränssats , lag för stora tal ), konstruerade den allmänna teorin om ortogonala polynom , teorin om enhetliga approximationer och många andra. Han grundade den matematiska teorin om syntesen av mekanismer och utvecklade ett antal praktiskt viktiga begrepp om mekanismer.
Vetenskapsmannens namn bör - på hans egna instruktioner - uttalas "Chebyshov" [5] ; på 1800-talet var ett sådant uttal av denna gamla adliga släkt (skrivet då - under villkoren för e/e :s traditionella omöjlighet i skrift - som "Chebyshev") mycket vanligt [6] (det antas att detta efternamn i dess ursprung är ett kort possessivt adjektiv bildat från antroponymen Chebysh med betoning på ändelsen i sneda kasus och på stammens sista stavelse i nominativfallet [7] ).
På 1900-talet, på grund av tendensen att separera efternamn i -ov / -ev från de ursprungliga possessiva adjektiven [6] och den fortfarande utbredda oskiljaktigheten i bokstaven e / e , det felaktiga uttalet "Chebyshev" (med betoning på det första stavelse) blev ganska utbredd - trots tydliga rekommendationer från auktoritativa källor [8] [9] . 4:e upplagan av den akademiska "Russian Spelling Dictionary" (2013) [10] , stressordboken "Egennamn på ryska" (2001) [11] och specialiserade akademiska publikationer [12] [13] som konsekvent använder bokstaven ё vid överföring av namn och namn, fixa stavningen och uttalet av Chebyshev som en stavning och ortoepisk norm [14] .
Pafnuty Chebyshev föddes den 4 ( 16 ) maj 1821 i byn Okatovo, Borovsky-distriktet, Kaluga-provinsen (nu byn Akatovo , Zhukovsky-distriktet , Kaluga-regionen) i familjen till en förmögen markägare, en representant för den gamla ryska adlig familj av Chebyshevs , Lev Pavlovich Chebyshev, en deltagare i det fosterländska kriget 1812 och erövringen av Paris 1814 [15] [16] .
Födelsedatumet anges i enlighet med posten som upptäcktes av V. E. Prudnikov i den metriska boken av Church of the Transfiguration of the Lord i byn Spas-Prognanye, Kaluga-provinsen [17] [18] (många källor ger [19 ) ] [2] datumet 14 (26) maj , angivet av K. A. Posse i artikeln "Chebyshev, Pafnuty Lvovich" från Brockhaus och Efrons encyklopediska ordbok [20] ). Chebyshev hade fyra bröder och fyra systrar. Hans yngre bröder blev kända som artillerister: en av dem var chef för Kronstadts fästningsartilleri, den andre var en vetenskapsman, grundaren av vapen i Ryssland, en hedrad professor vid Artilleriakademin [21] .
Han fick sin första uppväxt och utbildning hemma: hans mor Agrafena Ivanovna lärde honom läskunnighet, aritmetik och franska - hans kusin Avdotya Kvintilianovna Sukhareva. Dessutom, sedan barndomen, studerade Pafnutiy musik [22] . En av den framtida forskarens barndomshobbyer var studiet av mekanismerna för leksaker och automater, och han själv uppfann och tillverkade dem. Detta intresse för mekanismer fanns kvar hos Chebyshev under hans mogna år [23] .
1832 flyttade familjen till Moskva för att fortsätta utbildningen av sina växande barn. I Moskva, tillsammans med Paphnutius, studerade P. N. Pogorelsky , en av de bästa lärarna i Moskva, matematik och fysik, med vilken han också studerade på Weidenhammer internatskola , och I. S. Turgenev [19] [24] . Pafnuty Chebyshev undervisades i latin vid den tiden av en läkarstudent och i framtiden chefsläkaren på Sheremetev Hospital A. T. Tarasenkov , som Pafnutys syster, Elizaveta Chebysheva, senare gifte sig med [25] [26] .
Sommaren 1837 började Chebyshev studera matematik vid Moskvas universitet i den andra avdelningen för fysik och matematik vid den filosofiska fakulteten. Ett betydande inflytande på bildandet av utbudet av vetenskapliga intressen hos den unge Chebyshev utövades av hans lärare, professor i tillämpad matematik och mekanik vid Moskvas universitet, Nikolai Dmitrievich Brashman ; tack vare honom, i synnerhet, blev Chebyshev bekant med verken av den franske ingenjören Jean-Victor Poncelet [19] (känd, särskilt för sina verk "Course of mechanics used to machines" (1826) och "Introduction to industrial, fysisk eller experimentell mekanik" (1829)).
Under läsåret 1840/1841, som deltog i en studenttävling, fick Chebyshev en silvermedalj för sitt arbete med att hitta rötterna till en ekvation av n :e graden (själva verket skrevs av honom redan 1838 och gjordes på basis av Newtons algoritm ) [27] [28] .
1841 tog Pafnuty Chebyshev examen från Imperial Moscow University. Vid den här tiden hamnade hans föräldrars angelägenheter, på grund av hungersnöden som uppslukade en betydande del av Ryssland 1840, i oordning, och familjen kunde inte längre ekonomiskt försörja sin son. Men en universitetsexamen, trots sin extremt trånga ekonomiska situation, fortsatte envist att engagera sig i vetenskap [29] [30] . År 1846 försvarade han framgångsrikt sin magisteravhandling "Ett försök till en elementär analys av sannolikhetsteori" [31] .
1847 godkändes Chebyshev som adjungerad professor vid St. Petersburg University . För att få rätten att föreläsa vid universitetet disputerade han på ytterligare en avhandling - på ämnet "Om integration med logaritmer", varefter han föreläste om högre algebra , talteori , geometri , teorin om elliptiska funktioner och praktisk mekanik [32] [ 33] . Mer än en gång undervisade han också i en kurs i sannolikhetsteori , tog bort vaga formuleringar och olagliga uttalanden från den och förvandlade den till en rigorös matematisk disciplin [34] .
1849 disputerade Chebyshev på sin doktorsavhandling " Theory of Comparisons " vid St. Petersburgs universitet, varefter han 1850 blev professor vid St. Petersburgs universitet; han innehade denna position till 1882 [5] . Medan han arbetade vid St. Petersburg University, blev Chebyshev nära vän med professorn i tillämpad matematik O. I. Somov , som också var student vid N. D. Brashman , och dessa relationer växte till en djup vänskap. I familjehänseende var Chebyshev ensam, och denna omständighet bidrog också till hans närmande till den stora Somovfamiljen [35] .
1852 gjorde Chebyshev en vetenskaplig resa till Storbritannien, Frankrike och Belgien, under vilken han bekantade sig med utövandet av utländsk maskinteknik, med museisamlingar av maskiner och mekanismer, med växters och fabrikers arbete, och träffade också stora matematiker och mekaniker: O. Cauchy , J. Liouville , J.-A. Serret , L. Foucault , C. Hermite , J. Sylvester , A. Cayley , T. Gregory. Därefter undervisade han under en tid praktisk mekanik vid St. Petersburgs universitet och Alexander Lyceum [36] [37] .
År 1853 presenterade akademiker P. N. Fuss , V. Ya. Struve , B. S. Yakobi , V. Ya. Bunyakovsky Chebyshev för val till docent vid St. Petersburg Academy of Sciences, och betonade vikten av hans arbete inom området praktisk mekanik . Samma år invaldes han till adjunkten och blev 1856 en utomordentlig akademiker. År 1858, i samband med sitt arbete med teorin om gångjärnsförsedda parallellogram och teorin om tillnärmning av funktioner, undertecknade akademiker V. Ya Bunyakovskii , M. V. Ostrogradskii .KhE., en inlaga för valet av Chebyshev som en vanlig akademiker, vilket skedde året därpå [38] . Hedersledamot av Moskvas universitet (1858) [39] . Från 22 februari 1860 - ordinarie professor; från den 10 juli 1863 - ledamot av den vetenskapliga kommittén för ministeriet för folkbildning ; från 30 augusti 1863 - en riktig riksråd [40] .
År 1863 tog en speciell "Chebyshev Commission" en aktiv del av rådet vid St. Petersburg University i utvecklingen av universitetsstadgan . Universitetsstadgan, undertecknad av Alexander II den 18 juni 1863, gav universitetet autonomi som en sammanslutning av professorer. Denna stadga existerade fram till eran av motreformer av Alexander III :s regering och ansågs av historiker som de mest liberala och framgångsrika universitetsbestämmelserna i Ryssland under 1800- och början av 1900-talet [41] .
P. L. Chebyshev dog den 26 november ( 8 december ) 1894 vid sitt skrivbord [42] . Han begravdes i sin hembygd, i byn Spas-Prognanye (nuvarande Zhukovsky-distriktet i Kaluga-regionen) i källaren i Herrens förvandlingskyrka, bredvid hans föräldrars gravar [43] [44 ] .
De huvudsakliga matematiska studierna av P. L. Chebyshev relaterar till talteori , sannolikhetsteori , teori om approximation av funktioner , matematisk analys , geometri , tillämpad matematik [2] .
Chebyshevs kreativa metod kännetecknades av önskan att koppla ihop matematikens problem med frågorna om naturvetenskap och teknik och att kombinera abstrakt teori med praktik [45] . Forskaren påpekade: "Konvergensen mellan teori och praktik ger de mest fördelaktiga resultaten, och inte bara praktiken drar nytta av detta: vetenskaperna själva utvecklas under dess inflytande: det öppnar upp nya ämnen för forskning eller nya aspekter i ämnen som länge är kända ... Om teorin drar mycket nytta av nya tillämpningar av den gamla metoden eller av nya utvecklingar av den, så får den ännu mer genom upptäckten av nya metoder, och i detta fall finner vetenskaperna sin sanna vägledning i praktiken” [46] .
TalteoriAv de många upptäckterna av Chebyshev bör först och främst arbeten om talteori nämnas . De började med Chebyshevs doktorsavhandling "The Theory of Comparisons", publicerad 1849; det blev den första nationella monografin om talteori. Detta arbete trycktes om flera gånger, översattes till tyska och italienska [47] .
År 1851 dök hans berömda memoarbok "Om fastställandet av antalet primtal som inte överskrider ett givet värde" [48] . Vid denna tidpunkt var den obevisade Legendre -förmodan känd , enligt vilken fördelningsfunktionen för primtal är ungefär lika med
Chebyshev upptäckte en mycket bättre approximation - integrallogaritmen (detta antagande gjordes först av Gauss i ett brev till Encke (1849), men kunde inte underbygga det):
Chebyshev visade att gränsen för förhållandet , om det finns, inte kan skilja sig från 1, och gav en uppskattning av möjliga avvikelser från integrallogaritmen. Han visade också att om gränsen för relationen existerar, så är den lika med 1. Han kunde dock inte bevisa existensen av dessa gränser. Senare (1896) bevisades existensen av båda gränserna - oberoende av varandra - av J. Hadamard och Ch. J. de Vallée-Poussin [49] [50] .
Denna memoarbok gav den 30-åriga Chebyshev alleuropeisk berömmelse. Året därpå, 1852, publicerade Chebyshev en ny artikel, "Om primtal". I den genomförde han en djup analys av konvergensen av serier beroende på primtal, hittade ett kriterium för deras konvergens. Som en tillämpning av dessa resultat bevisade han först " Bertrands postulat " (den gissning som J. L. Bertrand framförde att det finns minst ett primtal mellan naturliga tal ) och gav en ny, mycket exakt uppskattning för :
(denna ojämlikhet stärktes senare något av J. Sylvester och I. Shur ) [23] [47] [49] .
Chebyshev gjorde mycket arbete på teorin om kvadratiska former och relaterade problem med delbarhet av naturliga tal och deras nedbrytning i primtalsfaktorer . I sin artikel "On an Arithmetic Question" från 1866 undersökte han, med hjälp av apparaten för fortsatta bråk , Diophantine approximationer av heltal [51] . Inom analytisk talteori var han en av de första som använde gammafunktionen [52] .
SannolikhetsteoriChebyshev blev också den första ryska matematikern i världsklass inom sannolikhetsteori . Sedan 1860 ersatte han V. Ya. Bunyakovsky vid institutionen för sannolikhetsteori vid St. Petersburgs universitet och började sin cykel av föreläsningar. Han publicerade endast fyra verk om detta ämne, men av grundläggande karaktär. I artikeln "On Averages" (1866) bevisades först " Chebyshev-ojämlikheten ", senare förstärkt av Markov :
Denna formel innebär att sannolikheten för avvikelse för en slumpvariabel från dess medelvärde ( matematisk förväntan ) med mer än standardavvikelser ( ) inte överstiger . Till exempel har en avvikelse på mer än 1 en sannolikhet på högst 1/25, det vill säga 4%.
Även om denna ojämlikhet först publicerades (utan bevis) av I.-J. Bienheim 1853 tilldelades den namnet "Chebyshevs ojämlikhet" - till stor del för att P. L. Chebyshev inte bara gav härledningen av denna ojämlikhet, utan också framgångsrikt tillämpade den för att lösa ett viktigt problem - motiveringen av lagen om stora tal [53] .
Som en konsekvens av denna ojämlikhet fick Chebyshev nämligen en extremt allmän formulering av lagen om stora siffror : om de matematiska förväntningarna på en serie slumpvariabler och de matematiska förväntningarna på deras kvadrater är begränsade i aggregatet, då det aritmetiska medelvärdet av dessa kvantiteter konvergerar med tillväxten till det aritmetiska medelvärdet för deras matematiska förväntningar. Från denna sats får man som följder av Bernoulli- och Poisson -satserna ; Chebyshev var den första att noggrant bedöma riktigheten av dessa satser och andra approximationer [54] .
I samma artikel underbyggde P. L. Chebyshev för första gången tydligt den synpunkt som är allmänt accepterad idag om begreppet en slumpvariabel som ett av sannolikhetsteorins grundläggande begrepp [55] .
1887 kom en artikel av Chebyshev "Om två satser om sannolikheter". I detta arbete slog han fast att under vissa (ganska generella) förhållanden är den centrala gränssatsen sann : summan av ett stort antal oberoende slumpvariabler med noll matematiska förväntningar (till exempel mätfel) fördelas ungefär enligt normalen lag, och ju mer exakt, desto fler termer i summan . I sin allmänhet överstiger detta resultat vida Moivre-Laplace-satsen och alla dess analoger [56] . Under sökandet efter ett bevis för satsen utvecklade Chebyshev - för fallet med konvergens till en normalfördelning - en metod som nu är känd som metoden för moment , det vill säga en metod för att bestämma sannolikhetsfördelningen över dess moment [57 ] [58] .
För att bevisa sin version av den centrala gränssatsen gjorde Chebyshev en logisk lucka: det visade sig att man, förutom de angivna Chebyshev-villkoren för satsens tillämplighet, också bör kräva att det aritmetiska medelvärdet av varianserna, eftersom det tenderar att oändligheten har en gräns. Denna brist korrigerades snart av A. A. Markov [57] .
Båda dessa satser av Chebyshev intar en central plats i sannolikhetsteorin. Särskilt viktigt är det faktum att Chebyshev inte bara angav den begränsande fördelningen, utan i båda fallen analyserade i detalj gränserna för möjliga avvikelser från denna gräns [59] . P. L. Chebyshevs forskning fortsatte av hans studenter, främst A. A. Markov och A. M. Lyapunov [57] .
FunktionsapproximationsteoriÄven om teorin om approximation av funktioner har en ganska rik förhistoria, beräknas den faktiska historien för denna gren av matematik vanligtvis från 1854, då P. L. Chebyshevs artikel "The Theory of Mechanisms Known as Parallelograms" publicerades. Det blev det första i en serie verk av forskaren om "funktioner som avviker minst från noll" (Chebyshev ägnade fyrtio år åt forskning inom detta område) [60] [61] .
I den nämnda artikeln kom Chebyshev till slutsatsen att för approximationen av en analytisk funktion på ett visst intervall med ett algebraiskt polynom av en given grad , är Taylor-formeln inte tillräckligt effektiv, och han ställde det allmänna problemet att hitta den bästa enhetliga approximation för en given kontinuerlig funktion av ett polynom [62] . För måttet på funktionens avvikelse från noll tog han värdet
nu kallas det antingen (efter Chebyshev) avvikelse från noll [63] eller Chebyshev-normen för en funktion [64] . I själva verket talar vi om ett enhetligt mått i utrymmet för kontinuerliga funktioner på intervallet ; i detta mått tas värdet som ett mått på skillnaden mellan funktioner och
I enlighet med detta, bland polynom av grad som inte överstiger , är polynomet av den bästa enhetliga approximationen för en funktion ett sådant polynom för vilket Chebyshev-normen för skillnaden är minimal [64] [65] .
Chebyshev etablerade den karakteristiska egenskapen för ett sådant polynom: polynomet kommer att vara ett polynom med den bästa enhetliga approximationen om och endast om det finns sådana punkter på segmentet att skillnaden i dem omväxlande tar på dess maximala och minimivärden lika i absoluta värde ( poäng i Chebyshev-alternansen ). Senare, 1905, bevisade E. Borel existensen och unikheten hos polynomet med den bästa enhetliga approximationen [64] [66] . Sedan mitten av 1900-talet har bästa approximationspolynom använts ganska ofta i vanliga datorprogram för att beräkna elementära och specialfunktioner [67] .
Chebyshev erhöll ett liknande resultat för den bästa enhetliga approximationen av en kontinuerlig funktion genom rationella bråk med fasta potenser av täljaren och nämnaren [66] .
P. L. Chebyshev ställde och löste problemet med att hitta polynom som avviker minst från noll : på ett segment är dessa polynom av grad med en koefficient på 1 vid den högsta termen för vilken avvikelsen från noll på ett givet segment är minimal. Det visade sig att lösningen på detta problem är polynom med Chebyshev-normen lika med (de skiljer sig endast med en numerisk faktor från Chebyshev-polynom av 1:a slaget). Polynomen som avviker minst från noll på ett godtyckligt intervall erhålls från de som betraktas av en linjär förändring av den oberoende variabeln [68] [69] .
Polynomen som introducerades av P. L. Chebyshev, som avviker minst från noll, har använts i synnerhet i beräkningslinjär algebra . Nämligen, sedan 1950-talet, när man löser system av linjära ekvationer av formen med en symmetrisk positiv bestämd matris , har den iterativa metoden Chebyshev blivit utbredd . Detta är en modifiering av metoden för enkla iterationer , i sin enklaste form, med formen
( är nästa approximation till den exakta lösningen av systemet), och parametrarna väljs från villkoret att felfrekvensen för den approximativa lösningen ska minska så snabbt som möjligt under nästa cykel av iterationer ( given i förväg). Det visade sig att om och är de nedre och övre gränserna för matrisens egenvärden , då är det på varje cykel efter det nödvändigt att ta siffror som är ömsesidiga till värdena för rötterna till polynomet som avviker minst från noll på segmentet (i det här fallet, för att säkerställa beräkningsstabilitet, tas inte rötterna i rad, utan ordnas om på ett speciellt sätt) [70] [71] . Denna metod har funnit de viktigaste tillämpningarna i den numeriska lösningen av elliptiska gränsvärdesproblem [72] .
Detta och efterföljande verk av Chebyshev var mycket originella, både när det gäller formuleringen av problem och de föreslagna metoderna för att lösa dem. Formuleringen av problemet med approximation av en funktion som föreslagits av Chebyshev skiljer sig avsevärt från ett annat välkänt tillvägagångssätt, när man ofta använder för att uppskatta skillnaden mellan två funktioner och någon genomsnittlig egenskap för skillnaden mellan dessa funktioner - till exempel Lebesgue- mått [73] :
(problemet med den bästa approximationen av rot-medelkvadrat ) [74] [75] .
Chebyshevs tillvägagångssätt skiljer sig genom att som ett kriterium för närhet mellan två funktioner, inte genomsnittet, utan deras maximala skillnad (Chebyshev-normen för skillnaden mellan funktioner) tas. Detta tillvägagångssätt är att föredra i många praktiska situationer - till exempel när en mekanism fungerar, kan även en kortsiktig betydande avvikelse av de nuvarande parametrarna från standarden leda till en minskning av dess prestanda eller till och med förstörelse [76] . Liknande krav ställs av kartografi (den maximala förvrängningen av skalan på kartan bör vara liten), mekaniken för exakt urverk , etc. [77] .
För kartografi formulerade Chebyshev 1856 ett teorem: "den mest fördelaktiga konforma projektionen för att avbilda någon del av jordens yta på en karta är en där skalan behåller samma värde vid bildens gräns." 38 år senare lyckades Chebyshevs elev D. A. Grave bevisa det ; nu kallas denna sats Chebyshev-Grave-satsen , och konforma projektioner som uppfyller dess villkor kallas Chebyshev-projektioner [78] [79] .
I början av 1900-talet växte teorin om den bästa approximationen av funktioner som utvecklades i verk av Chebyshev och hans skola till den konstruktiva teorin om funktioner . Samtidigt, med uppkomsten av verken av D. Jackson (1911) och S. N. Bernshtein (1912), skiftade tyngdpunkten från problemen med individuell approximation av funktioner till studiet av beteendet hos approximationsfel av polynom. när de närmar sig oändligheten [80] [81] .
P. L. Chebyshev var också engagerad i den klassiska metoden för att approximera funktioner - interpolation . 1859, i sitt arbete "Frågor om de minsta värdena associerade med den ungefärliga representationen av funktioner", visade han att interpolationsfelet för en funktion som ges på intervallet är minimalt om rötterna till Chebyshev-polynom av 1:a slaget används som interpolationsnoder [82] .
Matematisk analys och geometriChebyshev ägnade sin memoarbok från 1860 [83] åt problemen med integralkalkyl , där det för ett givet polynom med rationella koefficienter ges en algoritm för att bestämma ett sådant antal att uttrycket integreras i logaritmer och beräkna motsvarande integral .
Verken från den sista perioden av Chebyshevs verksamhet inkluderar forskningen "Om integralers gränsvärden" ("Sur les valeurs limites des intégrales", 1873). Helt nya frågor som vetenskapsmannen ställde här utvecklades sedan av hans elever. Den sista memoarboken av Chebyshev 1895 tillhör samma område.
Chebyshev äger ett teorem om villkoren för integrerbarheten av en differentialbinomial , publicerad i memoaren 1853 "Om integrationen av irrationella differentialer". Satsen säger att integralen
,där , , är rationella tal, uttrycks i elementära funktioner endast i tre fall (kända så långt tillbaka som på 1700-talet) [84] [85] :
1882 bevisade P. L. Chebyshev att för monotona funktioner givna på ett intervall och med icke-negativa värden, gäller följande olikhet:
,och en liknande ojämlikhet
gäller även för finita monotona sekvenser av icke-negativa tal. Nu kallas båda dessa ojämlikheter Tjebysjevs ojämlikheter [86] .
Ett antal viktiga resultat som erhållits av P. L. Chebyshev relaterar till en annan del av matematisk analys - teorin om ortogonala polynom ; de erhölls i nära anslutning till undersökningar i teorin om approximation av funktioner. 1854, i The Theory of Mechanisms Known as Parallelograms, introducerade Chebyshev Chebyshev-polynomen av 1:a och 2:a slaget och började studera deras egenskaper (detta var de första systemen av klassiska ortogonala polynom som följde de som introducerades av A. M. Legendre tillbaka i 1785 av Legendre polynomen ) [87] [88] .
År 1859, i artikeln "Om utbyggnaden av funktioner för en variabel", introducerade Chebyshev två nya system av klassiska ortogonala polynom. Nu är de kända som Chebyshev-Hermite polynom (eller Hermite polynom ) och Chebyshev-Laguerre polynom (eller Laguerre polynom ) [80] ; Namnen är relaterade till det faktum att senare dessa polynom studerades av C. Hermite (1864) [89] respektive E. Laguerre (1878) [90] . Alla ovanstående system av ortogonala polynom spelar en viktig roll i matematik och har olika tillämpningar. Samtidigt utvecklade Chebyshev, på grundval av apparaten för fortsatta bråk , en allmän teori om att expandera en godtycklig funktion till en serie i termer av ortogonala polynom [91] .
Ytornas differentiella geometri var föremål för en artikel av Chebyshev med en ovanlig titel "Om skärning av kläder" (1878); i den introducerade forskaren en ny klass av koordinatnät, kallade " Chebyshev-nätverk " [92] .
Tillämpad matematikI fyrtio år tog Chebyshev en aktiv del i arbetet för den militära artilleriavdelningen (sedan 1855 - en fullvärdig medlem av artilleriavdelningen för den militärvetenskapliga kommittén , sedan 1859 - en fullvärdig medlem av den provisoriska artillerikommittén) och arbetade för att förbättra artillerieldens räckvidd och noggrannhet, med hjälp av resultat av experimentella skjutmetoder för sannolikhetsteorin. I ballistiska kurser har Chebyshevs formel bevarats till denna dag för att beräkna flygräckvidden för en projektil beroende på dess kastvinkel, initialhastighet och luftmotstånd vid en given initial hastighet. Med sina verk hade Chebyshev ett stort inflytande på utvecklingen av den ryska artillerivetenskapen, på att introducera artilleriforskare till matematiken [93] [94] .
I nära anslutning till arbetet med Chebyshev i den provisoriska artillerikommittén var hans studier på kvadraturformler . Under dessa studier föreslog han 1873 en ny typ av kvadraturformler ( Chebyshevs kvadraturformler ). Dessa formler uppfyller det ytterligare kravet på lika vikter och gör det möjligt att förenkla beräkningar och minska deras volym, med följande viktiga egenskap: de ger en minsta varians av det ungefärliga värdet av integralen som beräknas utifrån dem (förutsatt att felen vid noder är oberoende och har samma varians och matematiska förväntan lika med noll) [2] [95] . Chebyshev hittade en explicit form av dessa formler för antalet noder ; Senare lade S. N. Bernshtein till formeln c till dem och bevisade att sådana formler inte existerar för och [96] .
Inom mekaniken var P. L. Chebyshev intresserad av frågor om tillämpad mekanik och, i synnerhet, i teorin om mekanismer ; omkring 15 verk av vetenskapsmannen [97] [98] ägnas åt den senare . Han publicerade inte ett enda arbete om allmänna frågor om teoretisk mekanik , men i ett antal verk av hans elever ( P. I. Somov , A. M. Lyapunov , D. A. Grave ), relaterade till området teoretisk mekanik, idéer som deras lärare föreslagit. Faktum är att P. L. Chebyshev ledde efter M. V. Ostrogradskys död grenen i St. Petersburg till den ursprungliga ryska mekanikskolan [36] .
När det gäller teorin om mekanismer pekar vetenskapshistoriker ut tre vetenskapliga skolor inom detta område som utvecklades i Ryssland under andra hälften av 1800-talet: P. L. Chebyshev i St. Petersburg (bildad tidigare än de andra två), V. N. Ligin i Odessa , och N. E. Zhukovsky i Moskva. Under inflytande av samtal med Chebyshev blev de engelska matematikerna J. Sylvester och A. Cayley [99] intresserade av problem med mekanismernas kinematik .
Syntes av mekanismerPå 1850-talet blev Chebyshev intresserad av ledade spakmekanismer som tjänar till att approximera omvandlingen av cirkulär rörelse till rätlinjig rörelse och vice versa. Bland sådana mekanismer finns Watts parallellogram , designat av uppfinnaren av den universella ångmaskinen J. Watt bara för att omvandla den rätlinjiga fram- och återgående rörelsen hos stången (stelt ansluten till kolven på ångmaskinen) till den gungande rörelsen i änden av balanseraren . I mitten av 1800-talet var få sådana mekanismer kända, parametrarna för deras länkar valdes empiriskt, medan de oundvikliga felaktigheterna i det framåtgående slaget ledde till en ökning av friktionsförluster och snabb förslitning av länkarna [100] [101] .
Chebyshev satte uppgiften att målmedvetet hitta parametrarna för den önskade mekanismen så att, på ett visst givet segment, den maximala avvikelsen av banan för mekanismens arbetspunkt från dess tangent vid mittpunkten avviker minst från noll jämfört med andra liknande banor. För att lösa detta problem kom forskaren till skapandet av en ny del av teorin om approximation av funktioner - teorin om funktioner som avviker minst från noll . Chebyshev beskrev resultaten som erhölls i sitt arbete The Theory of Mechanisms Known as Parallelograms (1854), och blev grundaren av den matematiska teorin om syntesen av mekanismer [101] [76] .
Metoderna för teorin om funktioner som avviker minst från noll användes också av P. L. Chebyshev i hans arbeten om centrifugalregulator (där det var nödvändigt att säkerställa isokronismen i mekanismens rörelse) och på kugghjul (för att konstruera en tandprofil med hjälp av cirkulära bågar, vilket gör det möjligt att uppnå närhet mellan förhållandet mellan hjulens vinkelhastigheter och det önskade värdet) [98] .
MekanismstrukturChebyshev lade också grunden för teorin om strukturen för platta mekanismer . I sitt arbete "On Parallelograms" (1869), för spakmekanismer med rotationskinematiska par och en frihetsgrad, härledde han en strukturformel (nu känd som "Chebyshev-formeln" [102] ) - en identitet som varje sådan mekanism måste uppfylla:
var är antalet rörliga länkar, och är antalet rörliga respektive fasta gångjärn. Efter 14 år återupptäcktes denna formel av den tyske mekanikern M. Grübler [76] [103] . 1887 fick P. O. Somov , en elev av Chebyshev, en liknande strukturformel för rumsliga mekanismer [104] .
MekanismdesignChebyshev skapade över 40 olika mekanismer och cirka 80 av deras modifieringar. Bland dem finns mekanismer med stopp, mekanismer för likriktare och acceleratorer och liknande mekanismer, av vilka många används i modern bil-, motorcykel- och instrumenttillverkning [103] [105] .
I designen av ett antal mekanismer som föreslagits av P. L. Chebyshev, fann metoderna för syntes av mekanismer som utvecklats av honom deras genomförande. Här, först och främst, två ungefärligt styrande Chebyshev-mekanismer förtjänar att nämnas , tillhörande klassen ledade fyrstavslänkar och kända som lambdaformade och korsade . I dessa mekanismer skiljer sig banan för en given punkt på vevstaken (för en lambdaformad mekanism - vid änden av vevstaken, för en kors - i mitten), mycket lite i ett visst område från en rakt linjesegment. Samtidigt är det minsta antalet länkar för en mekanism med rotationskinematiska par, som ger exakt rätlinjig rörelse för en av dess punkter, 6 [106] [107] .
På världsutställningen i Philadelphia 1876 visades en ångmaskin designad av Chebyshev , som hade ett antal designfördelar [108] .
Bland de mekanismer som Chebyshev skapade är en " fotgående maskin " [109] , som imiterade ett djurs rörelse när de gick [110] . Denna maskin visades framgångsrikt på världsutställningen i Paris 1878 och förvaras för närvarande i Moskvas polytekniska museum [111] [112] .
En modell av en rullstol - en skoterstol byggd av P. L. Chebyshev, visades på världsutställningen i Chicago 1893 [113] och en automatisk adderingsmaskin [110] , uppfunnen av honom och som blev den första kontinuerliga adderingsmaskinen [34 ] , förvaras i Paris Museum of Arts and Crafts [105] . Förutom skoterstolen visade Chicago-utställningen sorteringsmaskinen som uppfanns av P. L. Chebyshev (en mekanism för att sortera spannmål efter vikt) och sju mekanismer för att omvandla rotation till andra typer av rörelser [114] .
Som medlem av den akademiska kommittén för ministeriet för offentlig utbildning (1856-1873) granskade P. L. Chebyshev läroböcker, sammanställde program och instruktioner för grund- och gymnasieskolor [23] [115] .
Under andra hälften av 1800-talet väckte det akuta behovet av kvalificerad teknisk personal, orsakat av den snabba utvecklingen av maskinteknik, frågan om en betydande ökning av antalet utbildade maskiningenjörer före den ryska högre skolan. Professor vid Kievs universitet I. I. Rakhmaninov föreslog att sådana ingenjörer skulle utbildas vid universitetens fysik- och matematikavdelningar. P. L. Chebyshev motsatte sig detta förslag och ansåg att det var mer ändamålsenligt att koncentrera utbildningen av ingenjörer till högre tekniska utbildningsinstitutioner och att utbilda specialister i de grundläggande vetenskaperna vid universiteten . Det var längs denna väg - vägen att skapa ett betydande antal tekniska universitet med olika profiler - som den ryska högre skolan gick [116] .
För Chebyshev har uppgiften att utveckla den ryska matematiska skolan alltid varit inte mindre viktig än konkreta vetenskapliga resultat. Som noterats av B.V. Gnedenko och O.B. Sheinin , "P. L. Chebyshev var inte bara en bra föreläsare, utan också en underbar vetenskaplig rådgivare, som hade en sällsynt förmåga att framgångsrikt välja och korrekt ställa nya frågor till unga forskare, vars övervägande lovade att leda till värdefulla upptäckter” [117] . Chebyshev blev en av de mest inflytelserika medlemmarna av Moscow Mathematical Society (grundat 1864, publicerade den första matematiska tidskriften i Ryssland - " Matematisk samling ") och gav samhället betydande hjälp [118] .
Många studenter av P. L. Chebyshev gjorde ett betydande bidrag till vetenskapen. Bland dem finns sådana välkända matematiker, mekaniker och fysiker som [51] [119] :
Chebyshev och hans elever utgjorde kärnan i det vetenskapliga teamet av matematiker, som så småningom blev känt som St. Petersburg School of Mathematics. År 1890 organiserade medlemmar av detta team St. Petersburg Mathematical Society . 1893 valdes P. L. Chebyshev till hedersmedlem i detta sällskap.
Chebyshevs förtjänster uppskattades av den vetenskapliga världen på ett värdigt sätt. Egenskaperna för hans vetenskapliga meriter är mycket väl uttryckta i anteckningen från akademiker A. A. Markov och I. Ya. Sonin, uppläst vid det första mötet med akademin efter Chebyshevs död. Denna anteckning säger [120] :
Chebyshevs verk bär prägel av genialitet. Han uppfann nya metoder för att lösa många svåra frågor som ställts under lång tid och förblev olösta. Samtidigt tog han upp ett antal nya frågor, på vars utveckling han arbetade till slutet av sina dagar.
En liknande syn på det vetenskapliga bidraget från P. L. Chebyshev hade också andra välkända matematiker på 1800-talet. Således hävdade Charles Hermite att Chebyshev "är den ryska vetenskapens stolthet och en av de största matematikerna i Europa", och Gustav Mittag-Leffler skrev att Chebyshev är en genialitetsmatematiker och en av de största analytikerna genom tiderna [121] .
Senare noterade akademikern V. A. Steklov att Chebyshevs geni är ett exceptionellt exempel på att kombinera praktik med den kreativa, generaliserande kraften hos entusiastisk tänkande [122] .
Han valdes till ledamot:
och andra - totalt 25 olika akademier och vetenskapliga sällskap [121] . Chebyshev var också hedersmedlem vid alla ryska universitet; hans porträtt är avbildat på byggnaden av fakulteten för matematik och mekanik vid St. Petersburg State University .
P. L. Chebyshev tilldelades order av St. Alexander Nevsky , St. Vladimir II-grad, St. Anna I-grad, St. Stanislav I-grad. År 1890 tilldelades han också den franska hederslegionen [124] .
Uppkallad efter P. L. Chebyshev:
På fasaden av House of Academicians i St Petersburg , som ligger på adressen: 7: e raden av Vasilevsky Island , 2/1, lit. Och en minnestavla med texten installerades: "Akademiker Panfuty Lvovich Chebyshev bodde här 1821-1894. Berömd matematiker, grundare av den ryska skolan för talteori, sannolikhetsteori, teori om mekanismer och teori om funktioner, som gjorde de viktigaste upptäckterna inom dessa vetenskaper” [131] .
![]() | ||||
---|---|---|---|---|
Ordböcker och uppslagsverk |
| |||
Släktforskning och nekropol | ||||
|